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Theorem ldepspr 31007
Description: If a vector is a scalar multiple of another vector, the (unordered pair containing the) two vectors are linearly dependent. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Revised by AV, 27-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
snlindsntor.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
snlindsntor.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
snlindsntor.s  |-  S  =  ( Base `  R
)
snlindsntor.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
snlindsntor.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
snlindsntor.t  |-  .x.  =  ( .s `  M )
Assertion
Ref Expression
ldepspr  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  ->  { X ,  Y } linDepS  M ) )

Proof of Theorem ldepspr
Dummy variables  f 
v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpa 985 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  -> 
( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )
21ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )
3 fvex 5701 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
4 fvex 5701 . . . . . . . 8  |-  ( ( invg `  R
) `  A )  e.  _V
53, 4pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( ( 1r `  R )  e.  _V  /\  (
( invg `  R ) `  A
)  e.  _V )
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( 1r
`  R )  e. 
_V  /\  ( ( invg `  R ) `
 A )  e. 
_V ) )
7 simp3 990 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  ->  X  =/=  Y )
87ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  X  =/=  Y
)
9 fprg 5891 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( 1r `  R )  e. 
_V  /\  ( ( invg `  R ) `
 A )  e. 
_V )  /\  X  =/=  Y )  ->  { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } : { X ,  Y } --> { ( 1r
`  R ) ,  ( ( invg `  R ) `  A
) } )
102, 6, 8, 9syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } : { X ,  Y } --> { ( 1r `  R ) ,  ( ( invg `  R ) `  A
) } )
11 prfi 7586 . . . . . 6  |-  { X ,  Y }  e.  Fin
1211a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  { X ,  Y }  e.  Fin )
13 snlindsntor.0 . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
14 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1513, 14eqeltri 2513 . . . . . 6  |-  .0.  e.  _V
1615a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  .0.  e.  _V )
1710, 12, 16fdmfifsupp 7630 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } finSupp  .0.  )
187anim2i 569 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  X  =/=  Y
) )
1918adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  X  =/=  Y
) )
20 snlindsntor.r . . . . . . . . 9  |-  R  =  (Scalar `  M )
21 snlindsntor.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( Base `  R
)
22 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
2320, 21, 22lmod1cl 16975 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( 1r
`  R )  e.  S )
24 simp1 988 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  ->  X  e.  B )
2523, 24anim12ci 567 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( X  e.  B  /\  ( 1r
`  R )  e.  S ) )
2625adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( X  e.  B  /\  ( 1r
`  R )  e.  S ) )
27 simp2 989 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  ->  Y  e.  B )
2827ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  Y  e.  B
)
2920lmodfgrp 16957 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
3029adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y ) )  ->  R  e.  Grp )
31 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  ->  A  e.  S )
32 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
3321, 32grpinvcl 15583 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  A  e.  S )  ->  ( ( invg `  R ) `  A
)  e.  S )
3430, 31, 33syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( invg `  R ) `
 A )  e.  S )
35 snlindsntor.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  M
)
36 snlindsntor.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  M )
37 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
38 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. }  =  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }
3935, 20, 21, 36, 37, 38lincvalpr 30952 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  =/=  Y )  /\  ( X  e.  B  /\  ( 1r
`  R )  e.  S )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( ( invg `  R ) `  A
)  e.  S ) )  ->  ( { <. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  ( ( ( 1r
`  R )  .x.  X ) ( +g  `  M ) ( ( ( invg `  R ) `  A
)  .x.  Y )
) )
4019, 26, 28, 34, 39syl112anc 1222 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. }  ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  ( ( ( 1r `  R )  .x.  X
) ( +g  `  M
) ( ( ( invg `  R
) `  A )  .x.  Y ) ) )
41 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  M  e.  LMod )
4224ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  X  e.  B
)
4331adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  A  e.  S
)
4442, 28, 433jca 1168 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  A  e.  S ) )
4541, 44jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  A  e.  S ) ) )
46 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  X  =  ( A  .x.  Y ) )
47 snlindsntor.z . . . . . . 7  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
4835, 20, 21, 13, 47, 36, 22, 32ldepsprlem 31006 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  A  e.  S )
)  ->  ( X  =  ( A  .x.  Y )  ->  (
( ( 1r `  R )  .x.  X
) ( +g  `  M
) ( ( ( invg `  R
) `  A )  .x.  Y ) )  =  Z ) )
4945, 46, 48sylc 60 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( ( 1r `  R ) 
.x.  X ) ( +g  `  M ) ( ( ( invg `  R ) `
 A )  .x.  Y ) )  =  Z )
5040, 49eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. }  ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z )
5120lmodrng 16956 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
52 eqcom 2445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  <->  ( 0g `  R )  =  ( 1r `  R ) )
53 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
5421, 53, 2201eq0rng 30777 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 0g `  R )  =  ( 1r `  R
) )  ->  S  =  { ( 0g `  R ) } )
55 sneq 3887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0g `  R )  =  ( 1r `  R )  ->  { ( 0g `  R ) }  =  { ( 1r `  R ) } )
5655eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0g `  R )  =  ( 1r `  R )  ->  ( S  =  { ( 0g `  R ) }  <-> 
S  =  { ( 1r `  R ) } ) )
57 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( S  =  { ( 1r
`  R ) }  ->  ( A  e.  S  <->  A  e.  { ( 1r `  R ) } ) )
58 elsni 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  { ( 1r
`  R ) }  ->  A  =  ( 1r `  R ) )
59 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  =  ( 1r `  R )  ->  ( A  .x.  Y )  =  ( ( 1r `  R )  .x.  Y
) )
6059eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  =  ( 1r `  R )  ->  ( X  =  ( A  .x.  Y )  <->  X  =  ( ( 1r `  R )  .x.  Y
) ) )
6127anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  /\  M  e.  LMod )  ->  ( Y  e.  B  /\  M  e. 
LMod ) )
6261ancomd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  /\  M  e.  LMod )  ->  ( M  e.  LMod  /\  Y  e.  B ) )
6335, 20, 36, 22lmodvs1 16976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  Y  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  .x.  Y )  =  Y )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  /\  M  e.  LMod )  ->  ( ( 1r `  R )  .x.  Y )  =  Y )
6564eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  /\  M  e.  LMod )  ->  ( X  =  ( ( 1r
`  R )  .x.  Y )  <->  X  =  Y ) )
66 eqneqall 2705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( X  =  Y  ->  ( X  =/=  Y  ->  ( -.  ( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  \/  ( ( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) )
6766com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( X  =/=  Y  ->  ( X  =  Y  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  \/  ( ( invg `  R ) `
 A )  =/= 
.0.  ) ) )
68673ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  -> 
( X  =  Y  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) )
6968adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  /\  M  e.  LMod )  ->  ( X  =  Y  ->  ( -.  ( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  \/  ( ( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) )
7065, 69sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  /\  M  e.  LMod )  ->  ( X  =  ( ( 1r
`  R )  .x.  Y )  ->  ( -.  ( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  \/  ( ( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) )
7170ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  -> 
( M  e.  LMod  -> 
( X  =  ( ( 1r `  R
)  .x.  Y )  ->  ( -.  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) )
7271com3r 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( X  =  ( ( 1r
`  R )  .x.  Y )  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  ->  ( M  e.  LMod  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  \/  (
( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) ) )
7360, 72syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  =  ( 1r `  R )  ->  ( X  =  ( A  .x.  Y )  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  ->  ( M  e.  LMod  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  \/  (
( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) ) ) )
7458, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  { ( 1r
`  R ) }  ->  ( X  =  ( A  .x.  Y
)  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  -> 
( M  e.  LMod  -> 
( -.  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) )
7557, 74syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S  =  { ( 1r
`  R ) }  ->  ( A  e.  S  ->  ( X  =  ( A  .x.  Y )  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  ->  ( M  e.  LMod  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  \/  (
( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) ) ) ) )
7675impd 431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S  =  { ( 1r
`  R ) }  ->  ( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  -> 
( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/= 
Y )  ->  ( M  e.  LMod  ->  ( -.  ( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  \/  ( ( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) ) ) )
7776com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  =  { ( 1r
`  R ) }  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/= 
Y )  ->  (
( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  ->  ( M  e. 
LMod  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) )
7856, 77syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0g `  R )  =  ( 1r `  R )  ->  ( S  =  { ( 0g `  R ) }  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/= 
Y )  ->  (
( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  ->  ( M  e. 
LMod  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) ) )
7978adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 0g `  R )  =  ( 1r `  R
) )  ->  ( S  =  { ( 0g `  R ) }  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/= 
Y )  ->  (
( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  ->  ( M  e. 
LMod  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) ) )
8054, 79mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 0g `  R )  =  ( 1r `  R
) )  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  ->  ( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  -> 
( M  e.  LMod  -> 
( -.  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) )
8180ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 0g `  R )  =  ( 1r `  R )  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  ->  ( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  -> 
( M  e.  LMod  -> 
( -.  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) ) )
8252, 81syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  ->  ( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  -> 
( M  e.  LMod  -> 
( -.  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) ) )
8382com25 91 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( M  e.  LMod  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  -> 
( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y
) )  ->  (
( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  -> 
( -.  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) ) )
8451, 83mpcom 36 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  -> 
( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y
) )  ->  (
( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  -> 
( -.  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) )
8584imp31 432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  \/  (
( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) )
86 orc 385 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  -> 
( -.  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) )
8785, 86pm2.61d1 159 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) )
8813eqeq2i 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1r `  R )  =  .0.  <->  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R ) )
8988necon3abii 2638 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1r `  R )  =/=  .0.  <->  -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
) )
9089orbi1i 520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1r `  R
)  =/=  .0.  \/  ( ( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )  <->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  \/  ( ( invg `  R ) `
 A )  =/= 
.0.  ) )
9187, 90sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( 1r
`  R )  =/= 
.0.  \/  ( ( invg `  R ) `
 A )  =/= 
.0.  ) )
923a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( 1r `  R )  e.  _V )
93 fvpr1g 5923 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  B  /\  ( 1r `  R )  e.  _V  /\  X  =/=  Y )  ->  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  X
)  =  ( 1r
`  R ) )
9442, 92, 8, 93syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } `  X )  =  ( 1r `  R ) )
9594neeq1d 2621 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( {
<. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  X
)  =/=  .0.  <->  ( 1r `  R )  =/=  .0.  ) )
964a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( invg `  R ) `
 A )  e. 
_V )
97 fvpr2g 5924 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  B  /\  ( ( invg `  R ) `  A
)  e.  _V  /\  X  =/=  Y )  -> 
( { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  Y
)  =  ( ( invg `  R
) `  A )
)
9828, 96, 8, 97syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } `  Y )  =  ( ( invg `  R ) `
 A ) )
9998neeq1d 2621 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( {
<. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  Y
)  =/=  .0.  <->  ( ( invg `  R ) `
 A )  =/= 
.0.  ) )
10095, 99orbi12d 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  X
)  =/=  .0.  \/  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  Y
)  =/=  .0.  )  <->  ( ( 1r `  R
)  =/=  .0.  \/  ( ( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) )
10191, 100mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( {
<. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  X
)  =/=  .0.  \/  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  Y
)  =/=  .0.  )
)
102 fveq2 5691 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  X  ->  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  v
)  =  ( {
<. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  X
) )
103102neeq1d 2621 . . . . . . 7  |-  ( v  =  X  ->  (
( { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  v
)  =/=  .0.  <->  ( { <. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  X
)  =/=  .0.  )
)
104 fveq2 5691 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  Y  ->  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  v
)  =  ( {
<. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  Y
) )
105104neeq1d 2621 . . . . . . 7  |-  ( v  =  Y  ->  (
( { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  v
)  =/=  .0.  <->  ( { <. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  Y
)  =/=  .0.  )
)
106103, 105rexprg 3926 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( E. v  e. 
{ X ,  Y }  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } `  v )  =/=  .0.  <->  ( ( {
<. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  X
)  =/=  .0.  \/  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  Y
)  =/=  .0.  )
) )
1072, 106syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( E. v  e.  { X ,  Y }  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } `  v )  =/=  .0.  <->  ( ( {
<. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  X
)  =/=  .0.  \/  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  Y
)  =/=  .0.  )
) )
108101, 107mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  E. v  e.  { X ,  Y } 
( { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  v
)  =/=  .0.  )
10923adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( 1r `  R )  e.  S
)
110109adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( 1r `  R )  e.  S
)
111 fvex 5701 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  e.  _V
11221, 111eqeltri 2513 . . . . . . 7  |-  S  e. 
_V
1138, 112jctir 538 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( X  =/= 
Y  /\  S  e.  _V ) )
11438mapprop 30736 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  ( 1r `  R
)  e.  S )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( ( invg `  R
) `  A )  e.  S )  /\  ( X  =/=  Y  /\  S  e.  _V ) )  ->  { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  e.  ( S  ^m  { X ,  Y } ) )
11542, 110, 28, 34, 113, 114syl221anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  e.  ( S  ^m  { X ,  Y } ) )
116 breq1 4295 . . . . . . 7  |-  ( f  =  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ->  (
f finSupp  .0.  <->  { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } finSupp  .0.  ) )
117 oveq1 6098 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ->  (
f ( linC  `  M
) { X ,  Y } )  =  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ( linC  `  M ) { X ,  Y } ) )
118117eqeq1d 2451 . . . . . . 7  |-  ( f  =  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ->  (
( f ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z  <->  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. }  ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z ) )
119 fveq1 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ->  (
f `  v )  =  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } `  v )
)
120119neeq1d 2621 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ->  (
( f `  v
)  =/=  .0.  <->  ( { <. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  v
)  =/=  .0.  )
)
121120rexbidv 2736 . . . . . . 7  |-  ( f  =  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ->  ( E. v  e.  { X ,  Y }  ( f `
 v )  =/= 
.0. 
<->  E. v  e.  { X ,  Y } 
( { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  v
)  =/=  .0.  )
)
122116, 118, 1213anbi123d 1289 . . . . . 6  |-  ( f  =  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ->  (
( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e. 
{ X ,  Y }  ( f `  v )  =/=  .0.  ) 
<->  ( { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } finSupp  .0.  /\  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e.  { X ,  Y }  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } `  v )  =/=  .0.  ) ) )
123122adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/= 
Y ) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  /\  f  =  { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } )  -> 
( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e.  { X ,  Y }  ( f `  v )  =/=  .0.  ) 
<->  ( { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } finSupp  .0.  /\  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e.  { X ,  Y }  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } `  v )  =/=  .0.  ) ) )
124115, 123rspcedv 3077 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( {
<. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } finSupp  .0.  /\  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e.  { X ,  Y }  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } `  v )  =/=  .0.  )  ->  E. f  e.  ( S  ^m  { X ,  Y }
) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e.  { X ,  Y }  ( f `  v )  =/=  .0.  ) ) )
12517, 50, 108, 124mp3and 1317 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  E. f  e.  ( S  ^m  { X ,  Y } ) ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e. 
{ X ,  Y }  ( f `  v )  =/=  .0.  ) )
126 prelpwi 4539 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  { X ,  Y }  e.  ~P B
)
1271263adant3 1008 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  ->  { X ,  Y }  e.  ~P B )
128127ad2antlr 726 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  { X ,  Y }  e.  ~P B )
12935, 47, 20, 21, 13islindeps 30987 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  { X ,  Y }  e.  ~P B )  -> 
( { X ,  Y } linDepS  M  <->  E. f  e.  ( S  ^m  { X ,  Y }
) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e.  { X ,  Y }  ( f `  v )  =/=  .0.  ) ) )
13041, 128, 129syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( { X ,  Y } linDepS  M  <->  E. f  e.  ( S  ^m  { X ,  Y }
) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e.  { X ,  Y }  ( f `  v )  =/=  .0.  ) ) )
131125, 130mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  { X ,  Y } linDepS  M )
132131ex 434 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  ->  { X ,  Y } linDepS  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   E.wrex 2716   _Vcvv 2972   ~Pcpw 3860   {csn 3877   {cpr 3879   <.cop 3883   class class class wbr 4292   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    ^m cmap 7214   Fincfn 7310   finSupp cfsupp 7620   Basecbs 14174   +g cplusg 14238  Scalarcsca 14241   .scvsca 14242   0gc0g 14378   Grpcgrp 15410   invgcminusg 15411   1rcur 16603   Ringcrg 16645   LModclmod 16948   linC clinc 30938   linDepS clindeps 30975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-hash 12104  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-lmod 16950  df-linc 30940  df-lininds 30976  df-lindeps 30978
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