Theorem ldepspr 30831

Description: If a vector is a scalar multiple of another vector, the (unordered pair containing the) two vectors are linearly dependent. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Revised by AV, 27-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
snlindsntor.b	|- B = ( Base ` M )
snlindsntor.r	|- R = (Scalar ` M )
snlindsntor.s	|- S = ( Base ` R )
snlindsntor.0	|- .0. = ( 0g ` R )
snlindsntor.z	|- Z = ( 0g ` M )
snlindsntor.t	|- .x. = ( .s ` M )

Assertion

Ref	Expression
ldepspr	|- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> { X , Y } linDepS M ) )

Proof of Theorem ldepspr

Dummy variables f v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 980	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( X e. B /\ Y e. B ) )
2	1	ad2antlr 721	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( X e. B /\ Y e. B ) )
3		fvex 5698	. . . . . . . 8 |- ( 1r ` R ) e. _V
4		fvex 5698	. . . . . . . 8 |- ( ( invg ` R ) ` A ) e. _V
5	3, 4	pm3.2i 452	. . . . . . 7 |- ( ( 1r ` R ) e. _V /\ ( ( invg ` R ) ` A ) e. _V )
6	5	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( 1r ` R ) e. _V /\ ( ( invg ` R ) ` A ) e. _V ) )
7		simp3 985	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> X =/= Y )
8	7	ad2antlr 721	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> X =/= Y )
9		fprg 5888	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( 1r ` R ) e. _V /\ ( ( invg ` R ) ` A ) e. _V ) /\ X =/= Y ) -> { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } : { X , Y } --> { ( 1r ` R ) , ( ( invg ` R ) ` A ) } )
10	2, 6, 8, 9	syl3anc 1213	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } : { X , Y } --> { ( 1r ` R ) , ( ( invg ` R ) ` A ) } )
11		prfi 7582	. . . . . 6 |- { X , Y } e. Fin
12	11	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> { X , Y } e. Fin )
13		snlindsntor.0	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` R )
14		fvex 5698	. . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) e. _V
15	13, 14	eqeltri 2511	. . . . . 6 |- .0. e. _V
16	15	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> .0. e. _V )
17	10, 12, 16	fdmfifsupp 7626	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } finSupp .0. )
18	7	anim2i 566	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) -> ( M e. LMod /\ X =/= Y ) )
19	18	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( M e. LMod /\ X =/= Y ) )
20		snlindsntor.r	. . . . . . . . 9 |- R = (Scalar ` M )
21		snlindsntor.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( Base ` R )
22		eqid 2441	. . . . . . . . 9 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
23	20, 21, 22	lmod1cl 16955	. . . . . . . 8 |- ( M e. LMod -> ( 1r ` R ) e. S )
24		simp1 983	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> X e. B )
25	23, 24	anim12ci 564	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) -> ( X e. B /\ ( 1r ` R ) e. S ) )
26	25	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( X e. B /\ ( 1r ` R ) e. S ) )
27		simp2 984	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> Y e. B )
28	27	ad2antlr 721	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> Y e. B )
29	20	lmodfgrp 16937	. . . . . . . 8 |- ( M e. LMod -> R e. Grp )
30	29	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) -> R e. Grp )
31		simpl 454	. . . . . . 7 |- ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> A e. S )
32		eqid 2441	. . . . . . . 8 |- ( invg ` R ) = ( invg ` R )
33	21, 32	grpinvcl 15576	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Grp /\ A e. S ) -> ( ( invg ` R ) ` A ) e. S )
34	30, 31, 33	syl2an 474	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( invg ` R ) ` A ) e. S )
35		snlindsntor.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` M )
36		snlindsntor.t	. . . . . . 7 |- .x. = ( .s ` M )
37		eqid 2441	. . . . . . 7 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
38		eqid 2441	. . . . . . 7 |- { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. }
39	35, 20, 21, 36, 37, 38	lincvalpr 30776	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ X =/= Y ) /\ ( X e. B /\ ( 1r ` R ) e. S ) /\ ( Y e. B /\ ( ( invg ` R ) ` A ) e. S ) ) -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ( linC ` M ) { X , Y } ) = ( ( ( 1r ` R ) .x. X ) ( +g ` M ) ( ( ( invg ` R ) ` A ) .x. Y ) ) )
40	19, 26, 28, 34, 39	syl112anc 1217	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ( linC ` M ) { X , Y } ) = ( ( ( 1r ` R ) .x. X ) ( +g ` M ) ( ( ( invg ` R ) ` A ) .x. Y ) ) )
41		simpll 748	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> M e. LMod )
42	24	ad2antlr 721	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> X e. B )
43	31	adantl 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> A e. S )
44	42, 28, 43	3jca 1163	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) )
45	41, 44	jca 529	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) ) )
46		simprr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> X = ( A .x. Y ) )
47		snlindsntor.z	. . . . . . 7 |- Z = ( 0g ` M )
48	35, 20, 21, 13, 47, 36, 22, 32	ldepsprlem 30830	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) ) -> ( X = ( A .x. Y ) -> ( ( ( 1r ` R ) .x. X ) ( +g ` M ) ( ( ( invg ` R ) ` A ) .x. Y ) ) = Z ) )
49	45, 46, 48	sylc 60	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( ( 1r ` R ) .x. X ) ( +g ` M ) ( ( ( invg ` R ) ` A ) .x. Y ) ) = Z )
50	40, 49	eqtrd 2473	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z )
51	20	lmodrng 16936	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. LMod -> R e. Ring )
52		eqcom 2443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) <-> ( 0g ` R ) = ( 1r ` R ) )
53		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
54	21, 53, 22	01eq0rng 30677	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ ( 0g ` R ) = ( 1r ` R ) ) -> S = { ( 0g ` R ) } )
55		sneq 3884	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0g ` R ) = ( 1r ` R ) -> { ( 0g ` R ) } = { ( 1r ` R ) } )
56	55	eqeq2d 2452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0g ` R ) = ( 1r ` R ) -> ( S = { ( 0g ` R ) } <-> S = { ( 1r ` R ) } ) )
57		eleq2 2502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( S = { ( 1r ` R ) } -> ( A e. S <-> A e. { ( 1r ` R ) } ) )
58		elsni 3899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. { ( 1r ` R ) } -> A = ( 1r ` R ) )
59		oveq1 6097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A = ( 1r ` R ) -> ( A .x. Y ) = ( ( 1r ` R ) .x. Y ) )
60	59	eqeq2d 2452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A = ( 1r ` R ) -> ( X = ( A .x. Y ) <-> X = ( ( 1r ` R ) .x. Y ) ) )
61	27	anim1i 565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) /\ M e. LMod ) -> ( Y e. B /\ M e. LMod ) )
62	61	ancomd 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) /\ M e. LMod ) -> ( M e. LMod /\ Y e. B ) )
63	35, 20, 36, 22	lmodvs1 16956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( M e. LMod /\ Y e. B ) -> ( ( 1r ` R ) .x. Y ) = Y )
64	62, 63	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) /\ M e. LMod ) -> ( ( 1r ` R ) .x. Y ) = Y )
65	64	eqeq2d 2452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) /\ M e. LMod ) -> ( X = ( ( 1r ` R ) .x. Y ) <-> X = Y ) )
66		eqneqall 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( X = Y -> ( X =/= Y -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) )
67	66	com12 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( X =/= Y -> ( X = Y -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) )
68	67	3ad2ant3 1006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( X = Y -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) )
69	68	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) /\ M e. LMod ) -> ( X = Y -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) )
70	65, 69	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) /\ M e. LMod ) -> ( X = ( ( 1r ` R ) .x. Y ) -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) )
71	70	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( M e. LMod -> ( X = ( ( 1r ` R ) .x. Y ) -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) )
72	71	com3r 79	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( X = ( ( 1r ` R ) .x. Y ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) )
73	60, 72	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A = ( 1r ` R ) -> ( X = ( A .x. Y ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) )
74	58, 73	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. { ( 1r ` R ) } -> ( X = ( A .x. Y ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) )
75	57, 74	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( S = { ( 1r ` R ) } -> ( A e. S -> ( X = ( A .x. Y ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) ) )
76	75	imp3a 431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S = { ( 1r ` R ) } -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) )
77	76	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S = { ( 1r ` R ) } -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) )
78	56, 77	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0g ` R ) = ( 1r ` R ) -> ( S = { ( 0g ` R ) } -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) ) )
79	78	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ ( 0g ` R ) = ( 1r ` R ) ) -> ( S = { ( 0g ` R ) } -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) ) )
80	54, 79	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Ring /\ ( 0g ` R ) = ( 1r ` R ) ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) )
81	80	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Ring -> ( ( 0g ` R ) = ( 1r ` R ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) ) )
82	52, 81	syl5bi 217	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) ) )
83	82	com25 91	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Ring -> ( M e. LMod -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) ) )
84	51, 83	mpcom 36	. . . . . . . . 9 |- ( M e. LMod -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) )
85	84	imp31 432	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) )
86		orc 385	. . . . . . . 8 |- ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) )
87	85, 86	pm2.61d1 159	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) )
88	13	eqeq2i 2451	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1r ` R ) = .0. <-> ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) )
89	88	necon3abii 2636	. . . . . . . 8 |- ( ( 1r ` R ) =/= .0. <-> -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) )
90	89	orbi1i 517	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1r ` R ) =/= .0. \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) <-> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) )
91	87, 90	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( 1r ` R ) =/= .0. \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) )
92	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( 1r ` R ) e. _V )
93		fvpr1g 5920	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. B /\ ( 1r ` R ) e. _V /\ X =/= Y ) -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) = ( 1r ` R ) )
94	42, 92, 8, 93	syl3anc 1213	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) = ( 1r ` R ) )
95	94	neeq1d 2619	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) =/= .0. <-> ( 1r ` R ) =/= .0. ) )
96	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( invg ` R ) ` A ) e. _V )
97		fvpr2g 5921	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. B /\ ( ( invg ` R ) ` A ) e. _V /\ X =/= Y ) -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) = ( ( invg ` R ) ` A ) )
98	28, 96, 8, 97	syl3anc 1213	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) = ( ( invg ` R ) ` A ) )
99	98	neeq1d 2619	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) =/= .0. <-> ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) )
100	95, 99	orbi12d 704	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) =/= .0. \/ ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) =/= .0. ) <-> ( ( 1r ` R ) =/= .0. \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) )
101	91, 100	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) =/= .0. \/ ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) =/= .0. ) )
102		fveq2 5688	. . . . . . . 8 |- ( v = X -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) = ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) )
103	102	neeq1d 2619	. . . . . . 7 |- ( v = X -> ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. <-> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) =/= .0. ) )
104		fveq2 5688	. . . . . . . 8 |- ( v = Y -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) = ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) )
105	104	neeq1d 2619	. . . . . . 7 |- ( v = Y -> ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. <-> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) =/= .0. ) )
106	103, 105	rexprg 3923	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( E. v e. { X , Y } ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. <-> ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) =/= .0. \/ ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) =/= .0. ) ) )
107	2, 106	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( E. v e. { X , Y } ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. <-> ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) =/= .0. \/ ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) =/= .0. ) ) )
108	101, 107	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> E. v e. { X , Y } ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. )
109	23	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) -> ( 1r ` R ) e. S )
110	109	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( 1r ` R ) e. S )
111		fvex 5698	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) e. _V
112	21, 111	eqeltri 2511	. . . . . . 7 |- S e. _V
113	8, 112	jctir 535	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( X =/= Y /\ S e. _V ) )
114	38	mapprop 30644	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. B /\ ( 1r ` R ) e. S ) /\ ( Y e. B /\ ( ( invg ` R ) ` A ) e. S ) /\ ( X =/= Y /\ S e. _V ) ) -> { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } e. ( S ^m { X , Y } ) )
115	42, 110, 28, 34, 113, 114	syl221anc 1224	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } e. ( S ^m { X , Y } ) )
116		breq1 4292	. . . . . . 7 |- ( f = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } -> ( f finSupp .0. <-> { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } finSupp .0. ) )
117		oveq1 6097	. . . . . . . 8 |- ( f = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } -> ( f ( linC ` M ) { X , Y } ) = ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ( linC ` M ) { X , Y } ) )
118	117	eqeq1d 2449	. . . . . . 7 |- ( f = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } -> ( ( f ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z <-> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z ) )
119		fveq1 5687	. . . . . . . . 9 |- ( f = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } -> ( f ` v ) = ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) )
120	119	neeq1d 2619	. . . . . . . 8 |- ( f = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } -> ( ( f ` v ) =/= .0. <-> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. ) )
121	120	rexbidv 2734	. . . . . . 7 |- ( f = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } -> ( E. v e. { X , Y } ( f ` v ) =/= .0. <-> E. v e. { X , Y } ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. ) )
122	116, 118, 121	3anbi123d 1284	. . . . . 6 |- ( f = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } -> ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( f ` v ) =/= .0. ) <-> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } finSupp .0. /\ ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. ) ) )
123	122	adantl 463	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) /\ f = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ) -> ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( f ` v ) =/= .0. ) <-> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } finSupp .0. /\ ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. ) ) )
124	115, 123	rspcedv 3074	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } finSupp .0. /\ ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. ) -> E. f e. ( S ^m { X , Y } ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( f ` v ) =/= .0. ) ) )
125	17, 50, 108, 124	mp3and 1312	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> E. f e. ( S ^m { X , Y } ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( f ` v ) =/= .0. ) )
126		prelpwi 4536	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> { X , Y } e. ~P B )
127	126	3adant3 1003	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> { X , Y } e. ~P B )
128	127	ad2antlr 721	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> { X , Y } e. ~P B )
129	35, 47, 20, 21, 13	islindeps 30811	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ { X , Y } e. ~P B ) -> ( { X , Y } linDepS M <-> E. f e. ( S ^m { X , Y } ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( f ` v ) =/= .0. ) ) )
130	41, 128, 129	syl2anc 656	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( { X , Y } linDepS M <-> E. f e. ( S ^m { X , Y } ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( f ` v ) =/= .0. ) ) )
131	125, 130	mpbird 232	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> { X , Y } linDepS M )
132	131	ex 434	1 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> { X , Y } linDepS M ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   ~Pcpw 3857   {csn 3874   {cpr 3876   <.cop 3880   class class class wbr 4289   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   ^m cmap 7210   Fincfn 7306   finSupp cfsupp 7616   Basecbs 14170   +g cplusg 14234  Scalarcsca 14237   .scvsca 14238   0gc0g 14374   Grpcgrp 15406   invgcminusg 15407   1rcur 16593   Ringcrg 16635   LModclmod 16928   linC clinc 30762   linDepS clindeps 30799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-hash 12100  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-lmod 16930  df-linc 30764  df-lininds 30800  df-lindeps 30802

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