Theorem ldepspr 32164

Description: If a vector is a scalar multiple of another vector, the (unordered pair containing the) two vectors are linearly dependent. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Revised by AV, 27-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
snlindsntor.b	|- B = ( Base ` M )
snlindsntor.r	|- R = (Scalar ` M )
snlindsntor.s	|- S = ( Base ` R )
snlindsntor.0	|- .0. = ( 0g ` R )
snlindsntor.z	|- Z = ( 0g ` M )
snlindsntor.t	|- .x. = ( .s ` M )

Assertion

Ref	Expression
ldepspr	|- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> { X , Y } linDepS M ) )

Proof of Theorem ldepspr

Dummy variables f v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 993	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( X e. B /\ Y e. B ) )
2	1	ad2antlr 726	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( X e. B /\ Y e. B ) )
3		fvex 5875	. . . . . . . 8 |- ( 1r ` R ) e. _V
4		fvex 5875	. . . . . . . 8 |- ( ( invg ` R ) ` A ) e. _V
5	3, 4	pm3.2i 455	. . . . . . 7 |- ( ( 1r ` R ) e. _V /\ ( ( invg ` R ) ` A ) e. _V )
6	5	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( 1r ` R ) e. _V /\ ( ( invg ` R ) ` A ) e. _V ) )
7		simp3 998	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> X =/= Y )
8	7	ad2antlr 726	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> X =/= Y )
9		fprg 6069	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( 1r ` R ) e. _V /\ ( ( invg ` R ) ` A ) e. _V ) /\ X =/= Y ) -> { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } : { X , Y } --> { ( 1r ` R ) , ( ( invg ` R ) ` A ) } )
10	2, 6, 8, 9	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } : { X , Y } --> { ( 1r ` R ) , ( ( invg ` R ) ` A ) } )
11		prfi 7794	. . . . . 6 |- { X , Y } e. Fin
12	11	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> { X , Y } e. Fin )
13		snlindsntor.0	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` R )
14		fvex 5875	. . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) e. _V
15	13, 14	eqeltri 2551	. . . . . 6 |- .0. e. _V
16	15	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> .0. e. _V )
17	10, 12, 16	fdmfifsupp 7838	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } finSupp .0. )
18	7	anim2i 569	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) -> ( M e. LMod /\ X =/= Y ) )
19	18	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( M e. LMod /\ X =/= Y ) )
20		snlindsntor.r	. . . . . . . . 9 |- R = (Scalar ` M )
21		snlindsntor.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( Base ` R )
22		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
23	20, 21, 22	lmod1cl 17334	. . . . . . . 8 |- ( M e. LMod -> ( 1r ` R ) e. S )
24		simp1 996	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> X e. B )
25	23, 24	anim12ci 567	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) -> ( X e. B /\ ( 1r ` R ) e. S ) )
26	25	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( X e. B /\ ( 1r ` R ) e. S ) )
27		simp2 997	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> Y e. B )
28	27	ad2antlr 726	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> Y e. B )
29	20	lmodfgrp 17316	. . . . . . . 8 |- ( M e. LMod -> R e. Grp )
30	29	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) -> R e. Grp )
31		simpl 457	. . . . . . 7 |- ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> A e. S )
32		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- ( invg ` R ) = ( invg ` R )
33	21, 32	grpinvcl 15902	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Grp /\ A e. S ) -> ( ( invg ` R ) ` A ) e. S )
34	30, 31, 33	syl2an 477	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( invg ` R ) ` A ) e. S )
35		snlindsntor.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` M )
36		snlindsntor.t	. . . . . . 7 |- .x. = ( .s ` M )
37		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
38		eqid 2467	. . . . . . 7 |- { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. }
39	35, 20, 21, 36, 37, 38	lincvalpr 32109	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ X =/= Y ) /\ ( X e. B /\ ( 1r ` R ) e. S ) /\ ( Y e. B /\ ( ( invg ` R ) ` A ) e. S ) ) -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ( linC ` M ) { X , Y } ) = ( ( ( 1r ` R ) .x. X ) ( +g ` M ) ( ( ( invg ` R ) ` A ) .x. Y ) ) )
40	19, 26, 28, 34, 39	syl112anc 1232	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ( linC ` M ) { X , Y } ) = ( ( ( 1r ` R ) .x. X ) ( +g ` M ) ( ( ( invg ` R ) ` A ) .x. Y ) ) )
41		simpll 753	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> M e. LMod )
42	24	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> X e. B )
43	31	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> A e. S )
44	42, 28, 43	3jca 1176	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) )
45	41, 44	jca 532	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) ) )
46		simprr 756	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> X = ( A .x. Y ) )
47		snlindsntor.z	. . . . . . 7 |- Z = ( 0g ` M )
48	35, 20, 21, 13, 47, 36, 22, 32	ldepsprlem 32163	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) ) -> ( X = ( A .x. Y ) -> ( ( ( 1r ` R ) .x. X ) ( +g ` M ) ( ( ( invg ` R ) ` A ) .x. Y ) ) = Z ) )
49	45, 46, 48	sylc 60	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( ( 1r ` R ) .x. X ) ( +g ` M ) ( ( ( invg ` R ) ` A ) .x. Y ) ) = Z )
50	40, 49	eqtrd 2508	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z )
51	20	lmodrng 17315	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. LMod -> R e. Ring )
52		eqcom 2476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) <-> ( 0g ` R ) = ( 1r ` R ) )
53		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
54	21, 53, 22	01eq0rng 32048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ ( 0g ` R ) = ( 1r ` R ) ) -> S = { ( 0g ` R ) } )
55		sneq 4037	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0g ` R ) = ( 1r ` R ) -> { ( 0g ` R ) } = { ( 1r ` R ) } )
56	55	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0g ` R ) = ( 1r ` R ) -> ( S = { ( 0g ` R ) } <-> S = { ( 1r ` R ) } ) )
57		eleq2 2540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( S = { ( 1r ` R ) } -> ( A e. S <-> A e. { ( 1r ` R ) } ) )
58		elsni 4052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. { ( 1r ` R ) } -> A = ( 1r ` R ) )
59		oveq1 6290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A = ( 1r ` R ) -> ( A .x. Y ) = ( ( 1r ` R ) .x. Y ) )
60	59	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A = ( 1r ` R ) -> ( X = ( A .x. Y ) <-> X = ( ( 1r ` R ) .x. Y ) ) )
61	27	anim1i 568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) /\ M e. LMod ) -> ( Y e. B /\ M e. LMod ) )
62	61	ancomd 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) /\ M e. LMod ) -> ( M e. LMod /\ Y e. B ) )
63	35, 20, 36, 22	lmodvs1 17335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( M e. LMod /\ Y e. B ) -> ( ( 1r ` R ) .x. Y ) = Y )
64	62, 63	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) /\ M e. LMod ) -> ( ( 1r ` R ) .x. Y ) = Y )
65	64	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) /\ M e. LMod ) -> ( X = ( ( 1r ` R ) .x. Y ) <-> X = Y ) )
66		eqneqall 2674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( X = Y -> ( X =/= Y -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) )
67	66	com12 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( X =/= Y -> ( X = Y -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) )
68	67	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( X = Y -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) )
69	68	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) /\ M e. LMod ) -> ( X = Y -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) )
70	65, 69	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) /\ M e. LMod ) -> ( X = ( ( 1r ` R ) .x. Y ) -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) )
71	70	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( M e. LMod -> ( X = ( ( 1r ` R ) .x. Y ) -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) )
72	71	com3r 79	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( X = ( ( 1r ` R ) .x. Y ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) )
73	60, 72	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A = ( 1r ` R ) -> ( X = ( A .x. Y ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) )
74	58, 73	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. { ( 1r ` R ) } -> ( X = ( A .x. Y ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) )
75	57, 74	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( S = { ( 1r ` R ) } -> ( A e. S -> ( X = ( A .x. Y ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) ) )
76	75	impd 431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S = { ( 1r ` R ) } -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) )
77	76	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S = { ( 1r ` R ) } -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) )
78	56, 77	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0g ` R ) = ( 1r ` R ) -> ( S = { ( 0g ` R ) } -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) ) )
79	78	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ ( 0g ` R ) = ( 1r ` R ) ) -> ( S = { ( 0g ` R ) } -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) ) )
80	54, 79	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Ring /\ ( 0g ` R ) = ( 1r ` R ) ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) )
81	80	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Ring -> ( ( 0g ` R ) = ( 1r ` R ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) ) )
82	52, 81	syl5bi 217	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) ) )
83	82	com25 91	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Ring -> ( M e. LMod -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) ) )
84	51, 83	mpcom 36	. . . . . . . . 9 |- ( M e. LMod -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) )
85	84	imp31 432	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) )
86		orc 385	. . . . . . . 8 |- ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) )
87	85, 86	pm2.61d1 159	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) )
88	13	eqeq2i 2485	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1r ` R ) = .0. <-> ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) )
89	88	necon3abii 2727	. . . . . . . 8 |- ( ( 1r ` R ) =/= .0. <-> -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) )
90	89	orbi1i 520	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1r ` R ) =/= .0. \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) <-> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) )
91	87, 90	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( 1r ` R ) =/= .0. \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) )
92	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( 1r ` R ) e. _V )
93		fvpr1g 6105	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. B /\ ( 1r ` R ) e. _V /\ X =/= Y ) -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) = ( 1r ` R ) )
94	42, 92, 8, 93	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) = ( 1r ` R ) )
95	94	neeq1d 2744	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) =/= .0. <-> ( 1r ` R ) =/= .0. ) )
96	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( invg ` R ) ` A ) e. _V )
97		fvpr2g 6106	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. B /\ ( ( invg ` R ) ` A ) e. _V /\ X =/= Y ) -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) = ( ( invg ` R ) ` A ) )
98	28, 96, 8, 97	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) = ( ( invg ` R ) ` A ) )
99	98	neeq1d 2744	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) =/= .0. <-> ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) )
100	95, 99	orbi12d 709	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) =/= .0. \/ ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) =/= .0. ) <-> ( ( 1r ` R ) =/= .0. \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) )
101	91, 100	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) =/= .0. \/ ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) =/= .0. ) )
102		fveq2 5865	. . . . . . . 8 |- ( v = X -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) = ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) )
103	102	neeq1d 2744	. . . . . . 7 |- ( v = X -> ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. <-> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) =/= .0. ) )
104		fveq2 5865	. . . . . . . 8 |- ( v = Y -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) = ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) )
105	104	neeq1d 2744	. . . . . . 7 |- ( v = Y -> ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. <-> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) =/= .0. ) )
106	103, 105	rexprg 4077	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( E. v e. { X , Y } ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. <-> ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) =/= .0. \/ ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) =/= .0. ) ) )
107	2, 106	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( E. v e. { X , Y } ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. <-> ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) =/= .0. \/ ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) =/= .0. ) ) )
108	101, 107	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> E. v e. { X , Y } ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. )
109	23	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) -> ( 1r ` R ) e. S )
110	109	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( 1r ` R ) e. S )
111		fvex 5875	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) e. _V
112	21, 111	eqeltri 2551	. . . . . . 7 |- S e. _V
113	8, 112	jctir 538	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( X =/= Y /\ S e. _V ) )
114	38	mapprop 32019	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. B /\ ( 1r ` R ) e. S ) /\ ( Y e. B /\ ( ( invg ` R ) ` A ) e. S ) /\ ( X =/= Y /\ S e. _V ) ) -> { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } e. ( S ^m { X , Y } ) )
115	42, 110, 28, 34, 113, 114	syl221anc 1239	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } e. ( S ^m { X , Y } ) )
116		breq1 4450	. . . . . . 7 |- ( f = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } -> ( f finSupp .0. <-> { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } finSupp .0. ) )
117		oveq1 6290	. . . . . . . 8 |- ( f = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } -> ( f ( linC ` M ) { X , Y } ) = ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ( linC ` M ) { X , Y } ) )
118	117	eqeq1d 2469	. . . . . . 7 |- ( f = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } -> ( ( f ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z <-> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z ) )
119		fveq1 5864	. . . . . . . . 9 |- ( f = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } -> ( f ` v ) = ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) )
120	119	neeq1d 2744	. . . . . . . 8 |- ( f = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } -> ( ( f ` v ) =/= .0. <-> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. ) )
121	120	rexbidv 2973	. . . . . . 7 |- ( f = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } -> ( E. v e. { X , Y } ( f ` v ) =/= .0. <-> E. v e. { X , Y } ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. ) )
122	116, 118, 121	3anbi123d 1299	. . . . . 6 |- ( f = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } -> ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( f ` v ) =/= .0. ) <-> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } finSupp .0. /\ ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. ) ) )
123	122	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) /\ f = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ) -> ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( f ` v ) =/= .0. ) <-> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } finSupp .0. /\ ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. ) ) )
124	115, 123	rspcedv 3218	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } finSupp .0. /\ ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. ) -> E. f e. ( S ^m { X , Y } ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( f ` v ) =/= .0. ) ) )
125	17, 50, 108, 124	mp3and 1327	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> E. f e. ( S ^m { X , Y } ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( f ` v ) =/= .0. ) )
126		prelpwi 4694	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> { X , Y } e. ~P B )
127	126	3adant3 1016	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> { X , Y } e. ~P B )
128	127	ad2antlr 726	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> { X , Y } e. ~P B )
129	35, 47, 20, 21, 13	islindeps 32144	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ { X , Y } e. ~P B ) -> ( { X , Y } linDepS M <-> E. f e. ( S ^m { X , Y } ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( f ` v ) =/= .0. ) ) )
130	41, 128, 129	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( { X , Y } linDepS M <-> E. f e. ( S ^m { X , Y } ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( f ` v ) =/= .0. ) ) )
131	125, 130	mpbird 232	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> { X , Y } linDepS M )
132	131	ex 434	1 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> { X , Y } linDepS M ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   ~Pcpw 4010   {csn 4027   {cpr 4029   <.cop 4033   class class class wbr 4447   -->wf 5583   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   ^m cmap 7420   Fincfn 7516   finSupp cfsupp 7828   Basecbs 14489   +g cplusg 14554  Scalarcsca 14557   .scvsca 14558   0gc0g 14694   Grpcgrp 15726   invgcminusg 15727   1rcur 16952   Ringcrg 16995   LModclmod 17307   linC clinc 32095   linDepS clindeps 32132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-oi 7934  df-card 8319  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-seq 12075  df-hash 12373  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-0g 14696  df-gsum 14697  df-mre 14840  df-mrc 14841  df-acs 14843  df-mnd 15731  df-submnd 15784  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-mulg 15867  df-cntz 16157  df-cmn 16603  df-abl 16604  df-mgp 16941  df-ur 16953  df-rng 16997  df-lmod 17309  df-linc 32097  df-lininds 32133  df-lindeps 32135

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