Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepspr Structured version   Unicode version

Theorem ldepspr 32164
Description: If a vector is a scalar multiple of another vector, the (unordered pair containing the) two vectors are linearly dependent. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Revised by AV, 27-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
snlindsntor.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
snlindsntor.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
snlindsntor.s  |-  S  =  ( Base `  R
)
snlindsntor.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
snlindsntor.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
snlindsntor.t  |-  .x.  =  ( .s `  M )
Assertion
Ref Expression
ldepspr  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  ->  { X ,  Y } linDepS  M ) )

Proof of Theorem ldepspr
Dummy variables  f 
v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpa 993 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  -> 
( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )
21ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )
3 fvex 5875 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
4 fvex 5875 . . . . . . . 8  |-  ( ( invg `  R
) `  A )  e.  _V
53, 4pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( ( 1r `  R )  e.  _V  /\  (
( invg `  R ) `  A
)  e.  _V )
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( 1r
`  R )  e. 
_V  /\  ( ( invg `  R ) `
 A )  e. 
_V ) )
7 simp3 998 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  ->  X  =/=  Y )
87ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  X  =/=  Y
)
9 fprg 6069 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( 1r `  R )  e. 
_V  /\  ( ( invg `  R ) `
 A )  e. 
_V )  /\  X  =/=  Y )  ->  { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } : { X ,  Y } --> { ( 1r
`  R ) ,  ( ( invg `  R ) `  A
) } )
102, 6, 8, 9syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } : { X ,  Y } --> { ( 1r `  R ) ,  ( ( invg `  R ) `  A
) } )
11 prfi 7794 . . . . . 6  |-  { X ,  Y }  e.  Fin
1211a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  { X ,  Y }  e.  Fin )
13 snlindsntor.0 . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
14 fvex 5875 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1513, 14eqeltri 2551 . . . . . 6  |-  .0.  e.  _V
1615a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  .0.  e.  _V )
1710, 12, 16fdmfifsupp 7838 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } finSupp  .0.  )
187anim2i 569 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  X  =/=  Y
) )
1918adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  X  =/=  Y
) )
20 snlindsntor.r . . . . . . . . 9  |-  R  =  (Scalar `  M )
21 snlindsntor.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( Base `  R
)
22 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
2320, 21, 22lmod1cl 17334 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( 1r
`  R )  e.  S )
24 simp1 996 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  ->  X  e.  B )
2523, 24anim12ci 567 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( X  e.  B  /\  ( 1r
`  R )  e.  S ) )
2625adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( X  e.  B  /\  ( 1r
`  R )  e.  S ) )
27 simp2 997 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  ->  Y  e.  B )
2827ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  Y  e.  B
)
2920lmodfgrp 17316 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
3029adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y ) )  ->  R  e.  Grp )
31 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  ->  A  e.  S )
32 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
3321, 32grpinvcl 15902 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  A  e.  S )  ->  ( ( invg `  R ) `  A
)  e.  S )
3430, 31, 33syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( invg `  R ) `
 A )  e.  S )
35 snlindsntor.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  M
)
36 snlindsntor.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  M )
37 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
38 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. }  =  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }
3935, 20, 21, 36, 37, 38lincvalpr 32109 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  =/=  Y )  /\  ( X  e.  B  /\  ( 1r
`  R )  e.  S )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( ( invg `  R ) `  A
)  e.  S ) )  ->  ( { <. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  ( ( ( 1r
`  R )  .x.  X ) ( +g  `  M ) ( ( ( invg `  R ) `  A
)  .x.  Y )
) )
4019, 26, 28, 34, 39syl112anc 1232 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. }  ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  ( ( ( 1r `  R )  .x.  X
) ( +g  `  M
) ( ( ( invg `  R
) `  A )  .x.  Y ) ) )
41 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  M  e.  LMod )
4224ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  X  e.  B
)
4331adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  A  e.  S
)
4442, 28, 433jca 1176 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  A  e.  S ) )
4541, 44jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  A  e.  S ) ) )
46 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  X  =  ( A  .x.  Y ) )
47 snlindsntor.z . . . . . . 7  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
4835, 20, 21, 13, 47, 36, 22, 32ldepsprlem 32163 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  A  e.  S )
)  ->  ( X  =  ( A  .x.  Y )  ->  (
( ( 1r `  R )  .x.  X
) ( +g  `  M
) ( ( ( invg `  R
) `  A )  .x.  Y ) )  =  Z ) )
4945, 46, 48sylc 60 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( ( 1r `  R ) 
.x.  X ) ( +g  `  M ) ( ( ( invg `  R ) `
 A )  .x.  Y ) )  =  Z )
5040, 49eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. }  ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z )
5120lmodrng 17315 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
52 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  <->  ( 0g `  R )  =  ( 1r `  R ) )
53 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
5421, 53, 2201eq0rng 32048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 0g `  R )  =  ( 1r `  R
) )  ->  S  =  { ( 0g `  R ) } )
55 sneq 4037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0g `  R )  =  ( 1r `  R )  ->  { ( 0g `  R ) }  =  { ( 1r `  R ) } )
5655eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0g `  R )  =  ( 1r `  R )  ->  ( S  =  { ( 0g `  R ) }  <-> 
S  =  { ( 1r `  R ) } ) )
57 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( S  =  { ( 1r
`  R ) }  ->  ( A  e.  S  <->  A  e.  { ( 1r `  R ) } ) )
58 elsni 4052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  { ( 1r
`  R ) }  ->  A  =  ( 1r `  R ) )
59 oveq1 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  =  ( 1r `  R )  ->  ( A  .x.  Y )  =  ( ( 1r `  R )  .x.  Y
) )
6059eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  =  ( 1r `  R )  ->  ( X  =  ( A  .x.  Y )  <->  X  =  ( ( 1r `  R )  .x.  Y
) ) )
6127anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  /\  M  e.  LMod )  ->  ( Y  e.  B  /\  M  e. 
LMod ) )
6261ancomd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  /\  M  e.  LMod )  ->  ( M  e.  LMod  /\  Y  e.  B ) )
6335, 20, 36, 22lmodvs1 17335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  Y  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  .x.  Y )  =  Y )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  /\  M  e.  LMod )  ->  ( ( 1r `  R )  .x.  Y )  =  Y )
6564eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  /\  M  e.  LMod )  ->  ( X  =  ( ( 1r
`  R )  .x.  Y )  <->  X  =  Y ) )
66 eqneqall 2674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( X  =  Y  ->  ( X  =/=  Y  ->  ( -.  ( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  \/  ( ( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) )
6766com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( X  =/=  Y  ->  ( X  =  Y  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  \/  ( ( invg `  R ) `
 A )  =/= 
.0.  ) ) )
68673ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  -> 
( X  =  Y  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) )
6968adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  /\  M  e.  LMod )  ->  ( X  =  Y  ->  ( -.  ( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  \/  ( ( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) )
7065, 69sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  /\  M  e.  LMod )  ->  ( X  =  ( ( 1r
`  R )  .x.  Y )  ->  ( -.  ( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  \/  ( ( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) )
7170ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  -> 
( M  e.  LMod  -> 
( X  =  ( ( 1r `  R
)  .x.  Y )  ->  ( -.  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) )
7271com3r 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( X  =  ( ( 1r
`  R )  .x.  Y )  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  ->  ( M  e.  LMod  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  \/  (
( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) ) )
7360, 72syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  =  ( 1r `  R )  ->  ( X  =  ( A  .x.  Y )  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  ->  ( M  e.  LMod  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  \/  (
( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) ) ) )
7458, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  { ( 1r
`  R ) }  ->  ( X  =  ( A  .x.  Y
)  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  -> 
( M  e.  LMod  -> 
( -.  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) )
7557, 74syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S  =  { ( 1r
`  R ) }  ->  ( A  e.  S  ->  ( X  =  ( A  .x.  Y )  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  ->  ( M  e.  LMod  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  \/  (
( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) ) ) ) )
7675impd 431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S  =  { ( 1r
`  R ) }  ->  ( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  -> 
( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/= 
Y )  ->  ( M  e.  LMod  ->  ( -.  ( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  \/  ( ( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) ) ) )
7776com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  =  { ( 1r
`  R ) }  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/= 
Y )  ->  (
( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  ->  ( M  e. 
LMod  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) )
7856, 77syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0g `  R )  =  ( 1r `  R )  ->  ( S  =  { ( 0g `  R ) }  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/= 
Y )  ->  (
( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  ->  ( M  e. 
LMod  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) ) )
7978adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 0g `  R )  =  ( 1r `  R
) )  ->  ( S  =  { ( 0g `  R ) }  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/= 
Y )  ->  (
( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  ->  ( M  e. 
LMod  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) ) )
8054, 79mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 0g `  R )  =  ( 1r `  R
) )  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  ->  ( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  -> 
( M  e.  LMod  -> 
( -.  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) )
8180ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 0g `  R )  =  ( 1r `  R )  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  ->  ( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  -> 
( M  e.  LMod  -> 
( -.  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) ) )
8252, 81syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  ->  ( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  -> 
( M  e.  LMod  -> 
( -.  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) ) )
8382com25 91 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( M  e.  LMod  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  -> 
( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y
) )  ->  (
( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  -> 
( -.  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) ) )
8451, 83mpcom 36 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  -> 
( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y
) )  ->  (
( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  -> 
( -.  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) )
8584imp31 432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  \/  (
( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) )
86 orc 385 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  -> 
( -.  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) )
8785, 86pm2.61d1 159 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) )
8813eqeq2i 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1r `  R )  =  .0.  <->  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R ) )
8988necon3abii 2727 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1r `  R )  =/=  .0.  <->  -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
) )
9089orbi1i 520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1r `  R
)  =/=  .0.  \/  ( ( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )  <->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  \/  ( ( invg `  R ) `
 A )  =/= 
.0.  ) )
9187, 90sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( 1r
`  R )  =/= 
.0.  \/  ( ( invg `  R ) `
 A )  =/= 
.0.  ) )
923a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( 1r `  R )  e.  _V )
93 fvpr1g 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  B  /\  ( 1r `  R )  e.  _V  /\  X  =/=  Y )  ->  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  X
)  =  ( 1r
`  R ) )
9442, 92, 8, 93syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } `  X )  =  ( 1r `  R ) )
9594neeq1d 2744 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( {
<. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  X
)  =/=  .0.  <->  ( 1r `  R )  =/=  .0.  ) )
964a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( invg `  R ) `
 A )  e. 
_V )
97 fvpr2g 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  B  /\  ( ( invg `  R ) `  A
)  e.  _V  /\  X  =/=  Y )  -> 
( { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  Y
)  =  ( ( invg `  R
) `  A )
)
9828, 96, 8, 97syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } `  Y )  =  ( ( invg `  R ) `
 A ) )
9998neeq1d 2744 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( {
<. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  Y
)  =/=  .0.  <->  ( ( invg `  R ) `
 A )  =/= 
.0.  ) )
10095, 99orbi12d 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  X
)  =/=  .0.  \/  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  Y
)  =/=  .0.  )  <->  ( ( 1r `  R
)  =/=  .0.  \/  ( ( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) )
10191, 100mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( {
<. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  X
)  =/=  .0.  \/  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  Y
)  =/=  .0.  )
)
102 fveq2 5865 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  X  ->  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  v
)  =  ( {
<. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  X
) )
103102neeq1d 2744 . . . . . . 7  |-  ( v  =  X  ->  (
( { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  v
)  =/=  .0.  <->  ( { <. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  X
)  =/=  .0.  )
)
104 fveq2 5865 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  Y  ->  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  v
)  =  ( {
<. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  Y
) )
105104neeq1d 2744 . . . . . . 7  |-  ( v  =  Y  ->  (
( { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  v
)  =/=  .0.  <->  ( { <. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  Y
)  =/=  .0.  )
)
106103, 105rexprg 4077 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( E. v  e. 
{ X ,  Y }  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } `  v )  =/=  .0.  <->  ( ( {
<. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  X
)  =/=  .0.  \/  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  Y
)  =/=  .0.  )
) )
1072, 106syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( E. v  e.  { X ,  Y }  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } `  v )  =/=  .0.  <->  ( ( {
<. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  X
)  =/=  .0.  \/  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  Y
)  =/=  .0.  )
) )
108101, 107mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  E. v  e.  { X ,  Y } 
( { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  v
)  =/=  .0.  )
10923adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( 1r `  R )  e.  S
)
110109adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( 1r `  R )  e.  S
)
111 fvex 5875 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  e.  _V
11221, 111eqeltri 2551 . . . . . . 7  |-  S  e. 
_V
1138, 112jctir 538 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( X  =/= 
Y  /\  S  e.  _V ) )
11438mapprop 32019 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  ( 1r `  R
)  e.  S )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( ( invg `  R
) `  A )  e.  S )  /\  ( X  =/=  Y  /\  S  e.  _V ) )  ->  { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  e.  ( S  ^m  { X ,  Y } ) )
11542, 110, 28, 34, 113, 114syl221anc 1239 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  e.  ( S  ^m  { X ,  Y } ) )
116 breq1 4450 . . . . . . 7  |-  ( f  =  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ->  (
f finSupp  .0.  <->  { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } finSupp  .0.  ) )
117 oveq1 6290 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ->  (
f ( linC  `  M
) { X ,  Y } )  =  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ( linC  `  M ) { X ,  Y } ) )
118117eqeq1d 2469 . . . . . . 7  |-  ( f  =  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ->  (
( f ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z  <->  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. }  ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z ) )
119 fveq1 5864 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ->  (
f `  v )  =  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } `  v )
)
120119neeq1d 2744 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ->  (
( f `  v
)  =/=  .0.  <->  ( { <. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  v
)  =/=  .0.  )
)
121120rexbidv 2973 . . . . . . 7  |-  ( f  =  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ->  ( E. v  e.  { X ,  Y }  ( f `
 v )  =/= 
.0. 
<->  E. v  e.  { X ,  Y } 
( { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  v
)  =/=  .0.  )
)
122116, 118, 1213anbi123d 1299 . . . . . 6  |-  ( f  =  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ->  (
( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e. 
{ X ,  Y }  ( f `  v )  =/=  .0.  ) 
<->  ( { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } finSupp  .0.  /\  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e.  { X ,  Y }  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } `  v )  =/=  .0.  ) ) )
123122adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/= 
Y ) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  /\  f  =  { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } )  -> 
( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e.  { X ,  Y }  ( f `  v )  =/=  .0.  ) 
<->  ( { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } finSupp  .0.  /\  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e.  { X ,  Y }  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } `  v )  =/=  .0.  ) ) )
124115, 123rspcedv 3218 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( {
<. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } finSupp  .0.  /\  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e.  { X ,  Y }  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } `  v )  =/=  .0.  )  ->  E. f  e.  ( S  ^m  { X ,  Y }
) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e.  { X ,  Y }  ( f `  v )  =/=  .0.  ) ) )
12517, 50, 108, 124mp3and 1327 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  E. f  e.  ( S  ^m  { X ,  Y } ) ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e. 
{ X ,  Y }  ( f `  v )  =/=  .0.  ) )
126 prelpwi 4694 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  { X ,  Y }  e.  ~P B
)
1271263adant3 1016 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  ->  { X ,  Y }  e.  ~P B )
128127ad2antlr 726 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  { X ,  Y }  e.  ~P B )
12935, 47, 20, 21, 13islindeps 32144 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  { X ,  Y }  e.  ~P B )  -> 
( { X ,  Y } linDepS  M  <->  E. f  e.  ( S  ^m  { X ,  Y }
) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e.  { X ,  Y }  ( f `  v )  =/=  .0.  ) ) )
13041, 128, 129syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( { X ,  Y } linDepS  M  <->  E. f  e.  ( S  ^m  { X ,  Y }
) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e.  { X ,  Y }  ( f `  v )  =/=  .0.  ) ) )
131125, 130mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  { X ,  Y } linDepS  M )
132131ex 434 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  ->  { X ,  Y } linDepS  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   ~Pcpw 4010   {csn 4027   {cpr 4029   <.cop 4033   class class class wbr 4447   -->wf 5583   ` cfv 5587  (class class class)co 6283    ^m cmap 7420   Fincfn 7516   finSupp cfsupp 7828   Basecbs 14489   +g cplusg 14554  Scalarcsca 14557   .scvsca 14558   0gc0g 14694   Grpcgrp 15726   invgcminusg 15727   1rcur 16952   Ringcrg 16995   LModclmod 17307   linC clinc 32095   linDepS clindeps 32132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-oi 7934  df-card 8319  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-seq 12075  df-hash 12373  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-0g 14696  df-gsum 14697  df-mre 14840  df-mrc 14841  df-acs 14843  df-mnd 15731  df-submnd 15784  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-mulg 15867  df-cntz 16157  df-cmn 16603  df-abl 16604  df-mgp 16941  df-ur 16953  df-rng 16997  df-lmod 17309  df-linc 32097  df-lininds 32133  df-lindeps 32135
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator