Theorem ldepspr 31007

Description: If a vector is a scalar multiple of another vector, the (unordered pair containing the) two vectors are linearly dependent. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Revised by AV, 27-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
snlindsntor.b	|- B = ( Base ` M )
snlindsntor.r	|- R = (Scalar ` M )
snlindsntor.s	|- S = ( Base ` R )
snlindsntor.0	|- .0. = ( 0g ` R )
snlindsntor.z	|- Z = ( 0g ` M )
snlindsntor.t	|- .x. = ( .s ` M )

Assertion

Ref	Expression
ldepspr	|- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> { X , Y } linDepS M ) )

Proof of Theorem ldepspr

Dummy variables f v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 985	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( X e. B /\ Y e. B ) )
2	1	ad2antlr 726	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( X e. B /\ Y e. B ) )
3		fvex 5701	. . . . . . . 8 |- ( 1r ` R ) e. _V
4		fvex 5701	. . . . . . . 8 |- ( ( invg ` R ) ` A ) e. _V
5	3, 4	pm3.2i 455	. . . . . . 7 |- ( ( 1r ` R ) e. _V /\ ( ( invg ` R ) ` A ) e. _V )
6	5	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( 1r ` R ) e. _V /\ ( ( invg ` R ) ` A ) e. _V ) )
7		simp3 990	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> X =/= Y )
8	7	ad2antlr 726	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> X =/= Y )
9		fprg 5891	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( 1r ` R ) e. _V /\ ( ( invg ` R ) ` A ) e. _V ) /\ X =/= Y ) -> { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } : { X , Y } --> { ( 1r ` R ) , ( ( invg ` R ) ` A ) } )
10	2, 6, 8, 9	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } : { X , Y } --> { ( 1r ` R ) , ( ( invg ` R ) ` A ) } )
11		prfi 7586	. . . . . 6 |- { X , Y } e. Fin
12	11	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> { X , Y } e. Fin )
13		snlindsntor.0	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` R )
14		fvex 5701	. . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) e. _V
15	13, 14	eqeltri 2513	. . . . . 6 |- .0. e. _V
16	15	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> .0. e. _V )
17	10, 12, 16	fdmfifsupp 7630	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } finSupp .0. )
18	7	anim2i 569	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) -> ( M e. LMod /\ X =/= Y ) )
19	18	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( M e. LMod /\ X =/= Y ) )
20		snlindsntor.r	. . . . . . . . 9 |- R = (Scalar ` M )
21		snlindsntor.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( Base ` R )
22		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
23	20, 21, 22	lmod1cl 16975	. . . . . . . 8 |- ( M e. LMod -> ( 1r ` R ) e. S )
24		simp1 988	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> X e. B )
25	23, 24	anim12ci 567	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) -> ( X e. B /\ ( 1r ` R ) e. S ) )
26	25	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( X e. B /\ ( 1r ` R ) e. S ) )
27		simp2 989	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> Y e. B )
28	27	ad2antlr 726	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> Y e. B )
29	20	lmodfgrp 16957	. . . . . . . 8 |- ( M e. LMod -> R e. Grp )
30	29	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) -> R e. Grp )
31		simpl 457	. . . . . . 7 |- ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> A e. S )
32		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( invg ` R ) = ( invg ` R )
33	21, 32	grpinvcl 15583	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Grp /\ A e. S ) -> ( ( invg ` R ) ` A ) e. S )
34	30, 31, 33	syl2an 477	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( invg ` R ) ` A ) e. S )
35		snlindsntor.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` M )
36		snlindsntor.t	. . . . . . 7 |- .x. = ( .s ` M )
37		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
38		eqid 2443	. . . . . . 7 |- { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. }
39	35, 20, 21, 36, 37, 38	lincvalpr 30952	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ X =/= Y ) /\ ( X e. B /\ ( 1r ` R ) e. S ) /\ ( Y e. B /\ ( ( invg ` R ) ` A ) e. S ) ) -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ( linC ` M ) { X , Y } ) = ( ( ( 1r ` R ) .x. X ) ( +g ` M ) ( ( ( invg ` R ) ` A ) .x. Y ) ) )
40	19, 26, 28, 34, 39	syl112anc 1222	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ( linC ` M ) { X , Y } ) = ( ( ( 1r ` R ) .x. X ) ( +g ` M ) ( ( ( invg ` R ) ` A ) .x. Y ) ) )
41		simpll 753	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> M e. LMod )
42	24	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> X e. B )
43	31	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> A e. S )
44	42, 28, 43	3jca 1168	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) )
45	41, 44	jca 532	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) ) )
46		simprr 756	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> X = ( A .x. Y ) )
47		snlindsntor.z	. . . . . . 7 |- Z = ( 0g ` M )
48	35, 20, 21, 13, 47, 36, 22, 32	ldepsprlem 31006	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) ) -> ( X = ( A .x. Y ) -> ( ( ( 1r ` R ) .x. X ) ( +g ` M ) ( ( ( invg ` R ) ` A ) .x. Y ) ) = Z ) )
49	45, 46, 48	sylc 60	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( ( 1r ` R ) .x. X ) ( +g ` M ) ( ( ( invg ` R ) ` A ) .x. Y ) ) = Z )
50	40, 49	eqtrd 2475	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z )
51	20	lmodrng 16956	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. LMod -> R e. Ring )
52		eqcom 2445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) <-> ( 0g ` R ) = ( 1r ` R ) )
53		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
54	21, 53, 22	01eq0rng 30777	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ ( 0g ` R ) = ( 1r ` R ) ) -> S = { ( 0g ` R ) } )
55		sneq 3887	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0g ` R ) = ( 1r ` R ) -> { ( 0g ` R ) } = { ( 1r ` R ) } )
56	55	eqeq2d 2454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0g ` R ) = ( 1r ` R ) -> ( S = { ( 0g ` R ) } <-> S = { ( 1r ` R ) } ) )
57		eleq2 2504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( S = { ( 1r ` R ) } -> ( A e. S <-> A e. { ( 1r ` R ) } ) )
58		elsni 3902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. { ( 1r ` R ) } -> A = ( 1r ` R ) )
59		oveq1 6098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A = ( 1r ` R ) -> ( A .x. Y ) = ( ( 1r ` R ) .x. Y ) )
60	59	eqeq2d 2454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A = ( 1r ` R ) -> ( X = ( A .x. Y ) <-> X = ( ( 1r ` R ) .x. Y ) ) )
61	27	anim1i 568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) /\ M e. LMod ) -> ( Y e. B /\ M e. LMod ) )
62	61	ancomd 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) /\ M e. LMod ) -> ( M e. LMod /\ Y e. B ) )
63	35, 20, 36, 22	lmodvs1 16976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( M e. LMod /\ Y e. B ) -> ( ( 1r ` R ) .x. Y ) = Y )
64	62, 63	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) /\ M e. LMod ) -> ( ( 1r ` R ) .x. Y ) = Y )
65	64	eqeq2d 2454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) /\ M e. LMod ) -> ( X = ( ( 1r ` R ) .x. Y ) <-> X = Y ) )
66		eqneqall 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( X = Y -> ( X =/= Y -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) )
67	66	com12 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( X =/= Y -> ( X = Y -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) )
68	67	3ad2ant3 1011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( X = Y -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) )
69	68	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) /\ M e. LMod ) -> ( X = Y -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) )
70	65, 69	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) /\ M e. LMod ) -> ( X = ( ( 1r ` R ) .x. Y ) -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) )
71	70	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( M e. LMod -> ( X = ( ( 1r ` R ) .x. Y ) -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) )
72	71	com3r 79	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( X = ( ( 1r ` R ) .x. Y ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) )
73	60, 72	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A = ( 1r ` R ) -> ( X = ( A .x. Y ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) )
74	58, 73	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. { ( 1r ` R ) } -> ( X = ( A .x. Y ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) )
75	57, 74	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( S = { ( 1r ` R ) } -> ( A e. S -> ( X = ( A .x. Y ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) ) )
76	75	impd 431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S = { ( 1r ` R ) } -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) )
77	76	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S = { ( 1r ` R ) } -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) )
78	56, 77	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0g ` R ) = ( 1r ` R ) -> ( S = { ( 0g ` R ) } -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) ) )
79	78	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ ( 0g ` R ) = ( 1r ` R ) ) -> ( S = { ( 0g ` R ) } -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) ) )
80	54, 79	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Ring /\ ( 0g ` R ) = ( 1r ` R ) ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) )
81	80	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Ring -> ( ( 0g ` R ) = ( 1r ` R ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) ) )
82	52, 81	syl5bi 217	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) ) )
83	82	com25 91	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Ring -> ( M e. LMod -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) ) )
84	51, 83	mpcom 36	. . . . . . . . 9 |- ( M e. LMod -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) )
85	84	imp31 432	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) )
86		orc 385	. . . . . . . 8 |- ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) )
87	85, 86	pm2.61d1 159	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) )
88	13	eqeq2i 2453	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1r ` R ) = .0. <-> ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) )
89	88	necon3abii 2638	. . . . . . . 8 |- ( ( 1r ` R ) =/= .0. <-> -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) )
90	89	orbi1i 520	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1r ` R ) =/= .0. \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) <-> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) )
91	87, 90	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( 1r ` R ) =/= .0. \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) )
92	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( 1r ` R ) e. _V )
93		fvpr1g 5923	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. B /\ ( 1r ` R ) e. _V /\ X =/= Y ) -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) = ( 1r ` R ) )
94	42, 92, 8, 93	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) = ( 1r ` R ) )
95	94	neeq1d 2621	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) =/= .0. <-> ( 1r ` R ) =/= .0. ) )
96	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( invg ` R ) ` A ) e. _V )
97		fvpr2g 5924	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. B /\ ( ( invg ` R ) ` A ) e. _V /\ X =/= Y ) -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) = ( ( invg ` R ) ` A ) )
98	28, 96, 8, 97	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) = ( ( invg ` R ) ` A ) )
99	98	neeq1d 2621	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) =/= .0. <-> ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) )
100	95, 99	orbi12d 709	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) =/= .0. \/ ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) =/= .0. ) <-> ( ( 1r ` R ) =/= .0. \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) )
101	91, 100	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) =/= .0. \/ ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) =/= .0. ) )
102		fveq2 5691	. . . . . . . 8 |- ( v = X -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) = ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) )
103	102	neeq1d 2621	. . . . . . 7 |- ( v = X -> ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. <-> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) =/= .0. ) )
104		fveq2 5691	. . . . . . . 8 |- ( v = Y -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) = ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) )
105	104	neeq1d 2621	. . . . . . 7 |- ( v = Y -> ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. <-> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) =/= .0. ) )
106	103, 105	rexprg 3926	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( E. v e. { X , Y } ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. <-> ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) =/= .0. \/ ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) =/= .0. ) ) )
107	2, 106	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( E. v e. { X , Y } ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. <-> ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) =/= .0. \/ ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) =/= .0. ) ) )
108	101, 107	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> E. v e. { X , Y } ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. )
109	23	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) -> ( 1r ` R ) e. S )
110	109	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( 1r ` R ) e. S )
111		fvex 5701	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) e. _V
112	21, 111	eqeltri 2513	. . . . . . 7 |- S e. _V
113	8, 112	jctir 538	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( X =/= Y /\ S e. _V ) )
114	38	mapprop 30736	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. B /\ ( 1r ` R ) e. S ) /\ ( Y e. B /\ ( ( invg ` R ) ` A ) e. S ) /\ ( X =/= Y /\ S e. _V ) ) -> { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } e. ( S ^m { X , Y } ) )
115	42, 110, 28, 34, 113, 114	syl221anc 1229	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } e. ( S ^m { X , Y } ) )
116		breq1 4295	. . . . . . 7 |- ( f = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } -> ( f finSupp .0. <-> { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } finSupp .0. ) )
117		oveq1 6098	. . . . . . . 8 |- ( f = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } -> ( f ( linC ` M ) { X , Y } ) = ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ( linC ` M ) { X , Y } ) )
118	117	eqeq1d 2451	. . . . . . 7 |- ( f = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } -> ( ( f ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z <-> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z ) )
119		fveq1 5690	. . . . . . . . 9 |- ( f = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } -> ( f ` v ) = ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) )
120	119	neeq1d 2621	. . . . . . . 8 |- ( f = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } -> ( ( f ` v ) =/= .0. <-> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. ) )
121	120	rexbidv 2736	. . . . . . 7 |- ( f = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } -> ( E. v e. { X , Y } ( f ` v ) =/= .0. <-> E. v e. { X , Y } ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. ) )
122	116, 118, 121	3anbi123d 1289	. . . . . 6 |- ( f = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } -> ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( f ` v ) =/= .0. ) <-> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } finSupp .0. /\ ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. ) ) )
123	122	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) /\ f = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ) -> ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( f ` v ) =/= .0. ) <-> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } finSupp .0. /\ ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. ) ) )
124	115, 123	rspcedv 3077	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } finSupp .0. /\ ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. ) -> E. f e. ( S ^m { X , Y } ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( f ` v ) =/= .0. ) ) )
125	17, 50, 108, 124	mp3and 1317	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> E. f e. ( S ^m { X , Y } ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( f ` v ) =/= .0. ) )
126		prelpwi 4539	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> { X , Y } e. ~P B )
127	126	3adant3 1008	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> { X , Y } e. ~P B )
128	127	ad2antlr 726	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> { X , Y } e. ~P B )
129	35, 47, 20, 21, 13	islindeps 30987	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ { X , Y } e. ~P B ) -> ( { X , Y } linDepS M <-> E. f e. ( S ^m { X , Y } ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( f ` v ) =/= .0. ) ) )
130	41, 128, 129	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( { X , Y } linDepS M <-> E. f e. ( S ^m { X , Y } ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( f ` v ) =/= .0. ) ) )
131	125, 130	mpbird 232	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> { X , Y } linDepS M )
132	131	ex 434	1 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> { X , Y } linDepS M ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2606   E.wrex 2716   _Vcvv 2972   ~Pcpw 3860   {csn 3877   {cpr 3879   <.cop 3883   class class class wbr 4292   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   ^m cmap 7214   Fincfn 7310   finSupp cfsupp 7620   Basecbs 14174   +g cplusg 14238  Scalarcsca 14241   .scvsca 14242   0gc0g 14378   Grpcgrp 15410   invgcminusg 15411   1rcur 16603   Ringcrg 16645   LModclmod 16948   linC clinc 30938   linDepS clindeps 30975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-hash 12104  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-lmod 16950  df-linc 30940  df-lininds 30976  df-lindeps 30978

This theorem is referenced by: (None)