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Theorem ldepspr 30831
Description: If a vector is a scalar multiple of another vector, the (unordered pair containing the) two vectors are linearly dependent. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Revised by AV, 27-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
snlindsntor.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
snlindsntor.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
snlindsntor.s  |-  S  =  ( Base `  R
)
snlindsntor.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
snlindsntor.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
snlindsntor.t  |-  .x.  =  ( .s `  M )
Assertion
Ref Expression
ldepspr  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  ->  { X ,  Y } linDepS  M ) )

Proof of Theorem ldepspr
Dummy variables  f 
v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpa 980 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  -> 
( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )
21ad2antlr 721 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )
3 fvex 5698 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
4 fvex 5698 . . . . . . . 8  |-  ( ( invg `  R
) `  A )  e.  _V
53, 4pm3.2i 452 . . . . . . 7  |-  ( ( 1r `  R )  e.  _V  /\  (
( invg `  R ) `  A
)  e.  _V )
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( 1r
`  R )  e. 
_V  /\  ( ( invg `  R ) `
 A )  e. 
_V ) )
7 simp3 985 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  ->  X  =/=  Y )
87ad2antlr 721 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  X  =/=  Y
)
9 fprg 5888 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( 1r `  R )  e. 
_V  /\  ( ( invg `  R ) `
 A )  e. 
_V )  /\  X  =/=  Y )  ->  { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } : { X ,  Y } --> { ( 1r
`  R ) ,  ( ( invg `  R ) `  A
) } )
102, 6, 8, 9syl3anc 1213 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } : { X ,  Y } --> { ( 1r `  R ) ,  ( ( invg `  R ) `  A
) } )
11 prfi 7582 . . . . . 6  |-  { X ,  Y }  e.  Fin
1211a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  { X ,  Y }  e.  Fin )
13 snlindsntor.0 . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
14 fvex 5698 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1513, 14eqeltri 2511 . . . . . 6  |-  .0.  e.  _V
1615a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  .0.  e.  _V )
1710, 12, 16fdmfifsupp 7626 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } finSupp  .0.  )
187anim2i 566 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  X  =/=  Y
) )
1918adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  X  =/=  Y
) )
20 snlindsntor.r . . . . . . . . 9  |-  R  =  (Scalar `  M )
21 snlindsntor.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( Base `  R
)
22 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
2320, 21, 22lmod1cl 16955 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( 1r
`  R )  e.  S )
24 simp1 983 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  ->  X  e.  B )
2523, 24anim12ci 564 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( X  e.  B  /\  ( 1r
`  R )  e.  S ) )
2625adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( X  e.  B  /\  ( 1r
`  R )  e.  S ) )
27 simp2 984 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  ->  Y  e.  B )
2827ad2antlr 721 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  Y  e.  B
)
2920lmodfgrp 16937 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
3029adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y ) )  ->  R  e.  Grp )
31 simpl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  ->  A  e.  S )
32 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
3321, 32grpinvcl 15576 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  A  e.  S )  ->  ( ( invg `  R ) `  A
)  e.  S )
3430, 31, 33syl2an 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( invg `  R ) `
 A )  e.  S )
35 snlindsntor.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  M
)
36 snlindsntor.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  M )
37 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
38 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. }  =  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }
3935, 20, 21, 36, 37, 38lincvalpr 30776 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  =/=  Y )  /\  ( X  e.  B  /\  ( 1r
`  R )  e.  S )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( ( invg `  R ) `  A
)  e.  S ) )  ->  ( { <. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  ( ( ( 1r
`  R )  .x.  X ) ( +g  `  M ) ( ( ( invg `  R ) `  A
)  .x.  Y )
) )
4019, 26, 28, 34, 39syl112anc 1217 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. }  ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  ( ( ( 1r `  R )  .x.  X
) ( +g  `  M
) ( ( ( invg `  R
) `  A )  .x.  Y ) ) )
41 simpll 748 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  M  e.  LMod )
4224ad2antlr 721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  X  e.  B
)
4331adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  A  e.  S
)
4442, 28, 433jca 1163 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  A  e.  S ) )
4541, 44jca 529 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  A  e.  S ) ) )
46 simprr 751 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  X  =  ( A  .x.  Y ) )
47 snlindsntor.z . . . . . . 7  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
4835, 20, 21, 13, 47, 36, 22, 32ldepsprlem 30830 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  A  e.  S )
)  ->  ( X  =  ( A  .x.  Y )  ->  (
( ( 1r `  R )  .x.  X
) ( +g  `  M
) ( ( ( invg `  R
) `  A )  .x.  Y ) )  =  Z ) )
4945, 46, 48sylc 60 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( ( 1r `  R ) 
.x.  X ) ( +g  `  M ) ( ( ( invg `  R ) `
 A )  .x.  Y ) )  =  Z )
5040, 49eqtrd 2473 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. }  ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z )
5120lmodrng 16936 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
52 eqcom 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  <->  ( 0g `  R )  =  ( 1r `  R ) )
53 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
5421, 53, 2201eq0rng 30677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 0g `  R )  =  ( 1r `  R
) )  ->  S  =  { ( 0g `  R ) } )
55 sneq 3884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0g `  R )  =  ( 1r `  R )  ->  { ( 0g `  R ) }  =  { ( 1r `  R ) } )
5655eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0g `  R )  =  ( 1r `  R )  ->  ( S  =  { ( 0g `  R ) }  <-> 
S  =  { ( 1r `  R ) } ) )
57 eleq2 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( S  =  { ( 1r
`  R ) }  ->  ( A  e.  S  <->  A  e.  { ( 1r `  R ) } ) )
58 elsni 3899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  { ( 1r
`  R ) }  ->  A  =  ( 1r `  R ) )
59 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  =  ( 1r `  R )  ->  ( A  .x.  Y )  =  ( ( 1r `  R )  .x.  Y
) )
6059eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  =  ( 1r `  R )  ->  ( X  =  ( A  .x.  Y )  <->  X  =  ( ( 1r `  R )  .x.  Y
) ) )
6127anim1i 565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  /\  M  e.  LMod )  ->  ( Y  e.  B  /\  M  e. 
LMod ) )
6261ancomd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  /\  M  e.  LMod )  ->  ( M  e.  LMod  /\  Y  e.  B ) )
6335, 20, 36, 22lmodvs1 16956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  Y  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  .x.  Y )  =  Y )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  /\  M  e.  LMod )  ->  ( ( 1r `  R )  .x.  Y )  =  Y )
6564eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  /\  M  e.  LMod )  ->  ( X  =  ( ( 1r
`  R )  .x.  Y )  <->  X  =  Y ) )
66 eqneqall 2703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( X  =  Y  ->  ( X  =/=  Y  ->  ( -.  ( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  \/  ( ( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) )
6766com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( X  =/=  Y  ->  ( X  =  Y  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  \/  ( ( invg `  R ) `
 A )  =/= 
.0.  ) ) )
68673ad2ant3 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  -> 
( X  =  Y  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) )
6968adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  /\  M  e.  LMod )  ->  ( X  =  Y  ->  ( -.  ( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  \/  ( ( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) )
7065, 69sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  /\  M  e.  LMod )  ->  ( X  =  ( ( 1r
`  R )  .x.  Y )  ->  ( -.  ( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  \/  ( ( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) )
7170ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  -> 
( M  e.  LMod  -> 
( X  =  ( ( 1r `  R
)  .x.  Y )  ->  ( -.  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) )
7271com3r 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( X  =  ( ( 1r
`  R )  .x.  Y )  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  ->  ( M  e.  LMod  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  \/  (
( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) ) )
7360, 72syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  =  ( 1r `  R )  ->  ( X  =  ( A  .x.  Y )  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  ->  ( M  e.  LMod  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  \/  (
( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) ) ) )
7458, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  { ( 1r
`  R ) }  ->  ( X  =  ( A  .x.  Y
)  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  -> 
( M  e.  LMod  -> 
( -.  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) )
7557, 74syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S  =  { ( 1r
`  R ) }  ->  ( A  e.  S  ->  ( X  =  ( A  .x.  Y )  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  ->  ( M  e.  LMod  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  \/  (
( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) ) ) ) )
7675imp3a 431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S  =  { ( 1r
`  R ) }  ->  ( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  -> 
( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/= 
Y )  ->  ( M  e.  LMod  ->  ( -.  ( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  \/  ( ( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) ) ) )
7776com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  =  { ( 1r
`  R ) }  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/= 
Y )  ->  (
( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  ->  ( M  e. 
LMod  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) )
7856, 77syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0g `  R )  =  ( 1r `  R )  ->  ( S  =  { ( 0g `  R ) }  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/= 
Y )  ->  (
( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  ->  ( M  e. 
LMod  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) ) )
7978adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 0g `  R )  =  ( 1r `  R
) )  ->  ( S  =  { ( 0g `  R ) }  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/= 
Y )  ->  (
( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  ->  ( M  e. 
LMod  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) ) )
8054, 79mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 0g `  R )  =  ( 1r `  R
) )  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  ->  ( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  -> 
( M  e.  LMod  -> 
( -.  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) )
8180ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 0g `  R )  =  ( 1r `  R )  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  ->  ( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  -> 
( M  e.  LMod  -> 
( -.  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) ) )
8252, 81syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  ->  ( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  -> 
( M  e.  LMod  -> 
( -.  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) ) )
8382com25 91 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( M  e.  LMod  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  -> 
( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y
) )  ->  (
( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  -> 
( -.  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) ) )
8451, 83mpcom 36 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  -> 
( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y
) )  ->  (
( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  -> 
( -.  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) )
8584imp31 432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  \/  (
( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) )
86 orc 385 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  -> 
( -.  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) )
8785, 86pm2.61d1 159 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) )
8813eqeq2i 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1r `  R )  =  .0.  <->  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R ) )
8988necon3abii 2636 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1r `  R )  =/=  .0.  <->  -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
) )
9089orbi1i 517 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1r `  R
)  =/=  .0.  \/  ( ( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )  <->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  \/  ( ( invg `  R ) `
 A )  =/= 
.0.  ) )
9187, 90sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( 1r
`  R )  =/= 
.0.  \/  ( ( invg `  R ) `
 A )  =/= 
.0.  ) )
923a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( 1r `  R )  e.  _V )
93 fvpr1g 5920 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  B  /\  ( 1r `  R )  e.  _V  /\  X  =/=  Y )  ->  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  X
)  =  ( 1r
`  R ) )
9442, 92, 8, 93syl3anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } `  X )  =  ( 1r `  R ) )
9594neeq1d 2619 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( {
<. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  X
)  =/=  .0.  <->  ( 1r `  R )  =/=  .0.  ) )
964a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( invg `  R ) `
 A )  e. 
_V )
97 fvpr2g 5921 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  B  /\  ( ( invg `  R ) `  A
)  e.  _V  /\  X  =/=  Y )  -> 
( { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  Y
)  =  ( ( invg `  R
) `  A )
)
9828, 96, 8, 97syl3anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } `  Y )  =  ( ( invg `  R ) `
 A ) )
9998neeq1d 2619 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( {
<. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  Y
)  =/=  .0.  <->  ( ( invg `  R ) `
 A )  =/= 
.0.  ) )
10095, 99orbi12d 704 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  X
)  =/=  .0.  \/  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  Y
)  =/=  .0.  )  <->  ( ( 1r `  R
)  =/=  .0.  \/  ( ( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) )
10191, 100mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( {
<. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  X
)  =/=  .0.  \/  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  Y
)  =/=  .0.  )
)
102 fveq2 5688 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  X  ->  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  v
)  =  ( {
<. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  X
) )
103102neeq1d 2619 . . . . . . 7  |-  ( v  =  X  ->  (
( { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  v
)  =/=  .0.  <->  ( { <. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  X
)  =/=  .0.  )
)
104 fveq2 5688 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  Y  ->  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  v
)  =  ( {
<. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  Y
) )
105104neeq1d 2619 . . . . . . 7  |-  ( v  =  Y  ->  (
( { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  v
)  =/=  .0.  <->  ( { <. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  Y
)  =/=  .0.  )
)
106103, 105rexprg 3923 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( E. v  e. 
{ X ,  Y }  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } `  v )  =/=  .0.  <->  ( ( {
<. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  X
)  =/=  .0.  \/  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  Y
)  =/=  .0.  )
) )
1072, 106syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( E. v  e.  { X ,  Y }  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } `  v )  =/=  .0.  <->  ( ( {
<. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  X
)  =/=  .0.  \/  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  Y
)  =/=  .0.  )
) )
108101, 107mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  E. v  e.  { X ,  Y } 
( { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  v
)  =/=  .0.  )
10923adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( 1r `  R )  e.  S
)
110109adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( 1r `  R )  e.  S
)
111 fvex 5698 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  e.  _V
11221, 111eqeltri 2511 . . . . . . 7  |-  S  e. 
_V
1138, 112jctir 535 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( X  =/= 
Y  /\  S  e.  _V ) )
11438mapprop 30644 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  ( 1r `  R
)  e.  S )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( ( invg `  R
) `  A )  e.  S )  /\  ( X  =/=  Y  /\  S  e.  _V ) )  ->  { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  e.  ( S  ^m  { X ,  Y } ) )
11542, 110, 28, 34, 113, 114syl221anc 1224 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  e.  ( S  ^m  { X ,  Y } ) )
116 breq1 4292 . . . . . . 7  |-  ( f  =  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ->  (
f finSupp  .0.  <->  { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } finSupp  .0.  ) )
117 oveq1 6097 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ->  (
f ( linC  `  M
) { X ,  Y } )  =  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ( linC  `  M ) { X ,  Y } ) )
118117eqeq1d 2449 . . . . . . 7  |-  ( f  =  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ->  (
( f ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z  <->  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. }  ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z ) )
119 fveq1 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ->  (
f `  v )  =  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } `  v )
)
120119neeq1d 2619 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ->  (
( f `  v
)  =/=  .0.  <->  ( { <. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  v
)  =/=  .0.  )
)
121120rexbidv 2734 . . . . . . 7  |-  ( f  =  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ->  ( E. v  e.  { X ,  Y }  ( f `
 v )  =/= 
.0. 
<->  E. v  e.  { X ,  Y } 
( { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  v
)  =/=  .0.  )
)
122116, 118, 1213anbi123d 1284 . . . . . 6  |-  ( f  =  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ->  (
( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e. 
{ X ,  Y }  ( f `  v )  =/=  .0.  ) 
<->  ( { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } finSupp  .0.  /\  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e.  { X ,  Y }  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } `  v )  =/=  .0.  ) ) )
123122adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/= 
Y ) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  /\  f  =  { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } )  -> 
( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e.  { X ,  Y }  ( f `  v )  =/=  .0.  ) 
<->  ( { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } finSupp  .0.  /\  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e.  { X ,  Y }  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } `  v )  =/=  .0.  ) ) )
124115, 123rspcedv 3074 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( {
<. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } finSupp  .0.  /\  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e.  { X ,  Y }  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } `  v )  =/=  .0.  )  ->  E. f  e.  ( S  ^m  { X ,  Y }
) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e.  { X ,  Y }  ( f `  v )  =/=  .0.  ) ) )
12517, 50, 108, 124mp3and 1312 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  E. f  e.  ( S  ^m  { X ,  Y } ) ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e. 
{ X ,  Y }  ( f `  v )  =/=  .0.  ) )
126 prelpwi 4536 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  { X ,  Y }  e.  ~P B
)
1271263adant3 1003 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  ->  { X ,  Y }  e.  ~P B )
128127ad2antlr 721 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  { X ,  Y }  e.  ~P B )
12935, 47, 20, 21, 13islindeps 30811 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  { X ,  Y }  e.  ~P B )  -> 
( { X ,  Y } linDepS  M  <->  E. f  e.  ( S  ^m  { X ,  Y }
) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e.  { X ,  Y }  ( f `  v )  =/=  .0.  ) ) )
13041, 128, 129syl2anc 656 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( { X ,  Y } linDepS  M  <->  E. f  e.  ( S  ^m  { X ,  Y }
) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e.  { X ,  Y }  ( f `  v )  =/=  .0.  ) ) )
131125, 130mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  { X ,  Y } linDepS  M )
132131ex 434 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  ->  { X ,  Y } linDepS  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   ~Pcpw 3857   {csn 3874   {cpr 3876   <.cop 3880   class class class wbr 4289   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    ^m cmap 7210   Fincfn 7306   finSupp cfsupp 7616   Basecbs 14170   +g cplusg 14234  Scalarcsca 14237   .scvsca 14238   0gc0g 14374   Grpcgrp 15406   invgcminusg 15407   1rcur 16593   Ringcrg 16635   LModclmod 16928   linC clinc 30762   linDepS clindeps 30799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-hash 12100  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-lmod 16930  df-linc 30764  df-lininds 30800  df-lindeps 30802
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