Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepspr Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ldepspr 40319
 Description: If a vector is a scalar multiple of another vector, the (unordered pair containing the) two vectors are linearly dependent. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Revised by AV, 27-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
snlindsntor.b
snlindsntor.r Scalar
snlindsntor.s
snlindsntor.0
snlindsntor.z
snlindsntor.t
Assertion
Ref Expression
ldepspr linDepS

Proof of Theorem ldepspr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpa 1005 . . . . . . 7
21ad2antlr 733 . . . . . 6
3 fvex 5875 . . . . . . . 8
4 fvex 5875 . . . . . . . 8
53, 4pm3.2i 457 . . . . . . 7
65a1i 11 . . . . . 6
7 simp3 1010 . . . . . . 7
87ad2antlr 733 . . . . . 6
9 fprg 6073 . . . . . 6
102, 6, 8, 9syl3anc 1268 . . . . 5
11 prfi 7846 . . . . . 6
1211a1i 11 . . . . 5
13 snlindsntor.0 . . . . . . 7
14 fvex 5875 . . . . . . 7
1513, 14eqeltri 2525 . . . . . 6
1615a1i 11 . . . . 5
1710, 12, 16fdmfifsupp 7893 . . . 4 finSupp
187anim2i 573 . . . . . . 7
1918adantr 467 . . . . . 6
20 snlindsntor.r . . . . . . . . 9 Scalar
21 snlindsntor.s . . . . . . . . 9
22 eqid 2451 . . . . . . . . 9
2320, 21, 22lmod1cl 18118 . . . . . . . 8
24 simp1 1008 . . . . . . . 8
2523, 24anim12ci 571 . . . . . . 7
2625adantr 467 . . . . . 6
27 simp2 1009 . . . . . . 7
2827ad2antlr 733 . . . . . 6
2920lmodfgrp 18100 . . . . . . . 8
3029adantr 467 . . . . . . 7
31 simpl 459 . . . . . . 7
32 eqid 2451 . . . . . . . 8
3321, 32grpinvcl 16711 . . . . . . 7
3430, 31, 33syl2an 480 . . . . . 6
35 snlindsntor.b . . . . . . 7
36 snlindsntor.t . . . . . . 7
37 eqid 2451 . . . . . . 7
38 eqid 2451 . . . . . . 7
3935, 20, 21, 36, 37, 38lincvalpr 40264 . . . . . 6 linC
4019, 26, 28, 34, 39syl112anc 1272 . . . . 5 linC
41 simpll 760 . . . . . . 7
4224ad2antlr 733 . . . . . . . 8
4331adantl 468 . . . . . . . 8
4442, 28, 433jca 1188 . . . . . . 7
4541, 44jca 535 . . . . . 6
46 simprr 766 . . . . . 6
47 snlindsntor.z . . . . . . 7
4835, 20, 21, 13, 47, 36, 22, 32ldepsprlem 40318 . . . . . 6
4945, 46, 48sylc 62 . . . . 5
5040, 49eqtrd 2485 . . . 4 linC
5120lmodring 18099 . . . . . . . . . 10
52 eqcom 2458 . . . . . . . . . . . 12
53 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15
5421, 53, 2201eq0ring 18496 . . . . . . . . . . . . . 14
55 sneq 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5655eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . . . . . 16
57 eleq2 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
58 elsni 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
59 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6059eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6127anim1i 572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6261ancomd 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6335, 20, 36, 22lmodvs1 18119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6564eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
66 eqneqall 2634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6766com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
68673ad2ant3 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6968adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7065, 69sylbid 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7170ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7271com3r 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7360, 72syl6bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7458, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7557, 74syl6bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7675impd 433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7776com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7856, 77syl6bi 232 . . . . . . . . . . . . . . 15
7978adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14
8054, 79mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13
8180ex 436 . . . . . . . . . . . 12
8252, 81syl5bi 221 . . . . . . . . . . 11
8382com25 94 . . . . . . . . . 10
8451, 83mpcom 37 . . . . . . . . 9
8584imp31 434 . . . . . . . 8
86 orc 387 . . . . . . . 8
8785, 86pm2.61d1 163 . . . . . . 7
8813eqeq2i 2463 . . . . . . . . 9
8988necon3abii 2670 . . . . . . . 8
9089orbi1i 523 . . . . . . 7
9187, 90sylibr 216 . . . . . 6
923a1i 11 . . . . . . . . 9
93 fvpr1g 6109 . . . . . . . . 9
9442, 92, 8, 93syl3anc 1268 . . . . . . . 8
9594neeq1d 2683 . . . . . . 7
964a1i 11 . . . . . . . . 9
97 fvpr2g 6110 . . . . . . . . 9
9828, 96, 8, 97syl3anc 1268 . . . . . . . 8
9998neeq1d 2683 . . . . . . 7
10095, 99orbi12d 716 . . . . . 6
10191, 100mpbird 236 . . . . 5
102 fveq2 5865 . . . . . . . 8
103102neeq1d 2683 . . . . . . 7
104 fveq2 5865 . . . . . . . 8
105104neeq1d 2683 . . . . . . 7
106103, 105rexprg 4022 . . . . . 6
1072, 106syl 17 . . . . 5
108101, 107mpbird 236 . . . 4
10923adantr 467 . . . . . . 7
110109adantr 467 . . . . . 6
111 fvex 5875 . . . . . . . 8
11221, 111eqeltri 2525 . . . . . . 7
1138, 112jctir 541 . . . . . 6
11438mapprop 40180 . . . . . 6
11542, 110, 28, 34, 113, 114syl221anc 1279 . . . . 5
116 breq1 4405 . . . . . . 7 finSupp finSupp
117 oveq1 6297 . . . . . . . 8 linC linC
118117eqeq1d 2453 . . . . . . 7 linC linC
119 fveq1 5864 . . . . . . . . 9
120119neeq1d 2683 . . . . . . . 8
121120rexbidv 2901 . . . . . . 7
122116, 118, 1213anbi123d 1339 . . . . . 6 finSupp linC finSupp linC
123122adantl 468 . . . . 5 finSupp linC finSupp linC
124115, 123rspcedv 3154 . . . 4 finSupp linC finSupp linC
12517, 50, 108, 124mp3and 1367 . . 3 finSupp linC
126 prelpwi 4647 . . . . . 6
1271263adant3 1028 . . . . 5
128127ad2antlr 733 . . . 4
12935, 47, 20, 21, 13islindeps 40299 . . . 4 linDepS finSupp linC
13041, 128, 129syl2anc 667 . . 3 linDepS finSupp linC
131125, 130mpbird 236 . 2 linDepS
132131ex 436 1 linDepS
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wo 370   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622  wrex 2738  cvv 3045  cpw 3951  csn 3968  cpr 3970  cop 3974   class class class wbr 4402  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290   cmap 7472  cfn 7569   finSupp cfsupp 7883  cbs 15121   cplusg 15190  Scalarcsca 15193  cvsca 15194  c0g 15338  cgrp 16669  cminusg 16670  cur 17735  crg 17780  clmod 18091   linC clinc 40250   linDepS clindeps 40287 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-lmod 18093  df-linc 40252  df-lininds 40288  df-lindeps 40290 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator