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Theorem ldepspr 40774
Description: If a vector is a scalar multiple of another vector, the (unordered pair containing the) two vectors are linearly dependent. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Revised by AV, 27-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
snlindsntor.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
snlindsntor.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
snlindsntor.s  |-  S  =  ( Base `  R
)
snlindsntor.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
snlindsntor.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
snlindsntor.t  |-  .x.  =  ( .s `  M )
Assertion
Ref Expression
ldepspr  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  ->  { X ,  Y } linDepS  M ) )

Proof of Theorem ldepspr
Dummy variables  f 
v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpa 1027 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  -> 
( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )
21ad2antlr 741 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )
3 fvex 5889 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
4 fvex 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ( invg `  R
) `  A )  e.  _V
53, 4pm3.2i 462 . . . . . . 7  |-  ( ( 1r `  R )  e.  _V  /\  (
( invg `  R ) `  A
)  e.  _V )
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( 1r
`  R )  e. 
_V  /\  ( ( invg `  R ) `
 A )  e. 
_V ) )
7 simp3 1032 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  ->  X  =/=  Y )
87ad2antlr 741 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  X  =/=  Y
)
9 fprg 6089 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( 1r `  R )  e. 
_V  /\  ( ( invg `  R ) `
 A )  e. 
_V )  /\  X  =/=  Y )  ->  { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } : { X ,  Y } --> { ( 1r
`  R ) ,  ( ( invg `  R ) `  A
) } )
102, 6, 8, 9syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } : { X ,  Y } --> { ( 1r `  R ) ,  ( ( invg `  R ) `  A
) } )
11 prfi 7864 . . . . . 6  |-  { X ,  Y }  e.  Fin
1211a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  { X ,  Y }  e.  Fin )
13 snlindsntor.0 . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
14 fvex 5889 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1513, 14eqeltri 2545 . . . . . 6  |-  .0.  e.  _V
1615a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  .0.  e.  _V )
1710, 12, 16fdmfifsupp 7911 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } finSupp  .0.  )
187anim2i 579 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  X  =/=  Y
) )
1918adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  X  =/=  Y
) )
20 snlindsntor.r . . . . . . . . 9  |-  R  =  (Scalar `  M )
21 snlindsntor.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( Base `  R
)
22 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
2320, 21, 22lmod1cl 18196 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( 1r
`  R )  e.  S )
24 simp1 1030 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  ->  X  e.  B )
2523, 24anim12ci 577 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( X  e.  B  /\  ( 1r
`  R )  e.  S ) )
2625adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( X  e.  B  /\  ( 1r
`  R )  e.  S ) )
27 simp2 1031 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  ->  Y  e.  B )
2827ad2antlr 741 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  Y  e.  B
)
2920lmodfgrp 18178 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
3029adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y ) )  ->  R  e.  Grp )
31 simpl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  ->  A  e.  S )
32 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
3321, 32grpinvcl 16789 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  A  e.  S )  ->  ( ( invg `  R ) `  A
)  e.  S )
3430, 31, 33syl2an 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( invg `  R ) `
 A )  e.  S )
35 snlindsntor.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  M
)
36 snlindsntor.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  M )
37 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
38 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. }  =  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }
3935, 20, 21, 36, 37, 38lincvalpr 40719 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  =/=  Y )  /\  ( X  e.  B  /\  ( 1r
`  R )  e.  S )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( ( invg `  R ) `  A
)  e.  S ) )  ->  ( { <. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  ( ( ( 1r
`  R )  .x.  X ) ( +g  `  M ) ( ( ( invg `  R ) `  A
)  .x.  Y )
) )
4019, 26, 28, 34, 39syl112anc 1296 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. }  ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  ( ( ( 1r `  R )  .x.  X
) ( +g  `  M
) ( ( ( invg `  R
) `  A )  .x.  Y ) ) )
41 simpll 768 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  M  e.  LMod )
4224ad2antlr 741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  X  e.  B
)
4331adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  A  e.  S
)
4442, 28, 433jca 1210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  A  e.  S ) )
4541, 44jca 541 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  A  e.  S ) ) )
46 simprr 774 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  X  =  ( A  .x.  Y ) )
47 snlindsntor.z . . . . . . 7  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
4835, 20, 21, 13, 47, 36, 22, 32ldepsprlem 40773 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  A  e.  S )
)  ->  ( X  =  ( A  .x.  Y )  ->  (
( ( 1r `  R )  .x.  X
) ( +g  `  M
) ( ( ( invg `  R
) `  A )  .x.  Y ) )  =  Z ) )
4945, 46, 48sylc 61 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( ( 1r `  R ) 
.x.  X ) ( +g  `  M ) ( ( ( invg `  R ) `
 A )  .x.  Y ) )  =  Z )
5040, 49eqtrd 2505 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. }  ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z )
5120lmodring 18177 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
52 eqcom 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  <->  ( 0g `  R )  =  ( 1r `  R ) )
53 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
5421, 53, 2201eq0ring 18573 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 0g `  R )  =  ( 1r `  R
) )  ->  S  =  { ( 0g `  R ) } )
55 sneq 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0g `  R )  =  ( 1r `  R )  ->  { ( 0g `  R ) }  =  { ( 1r `  R ) } )
5655eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0g `  R )  =  ( 1r `  R )  ->  ( S  =  { ( 0g `  R ) }  <-> 
S  =  { ( 1r `  R ) } ) )
57 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( S  =  { ( 1r
`  R ) }  ->  ( A  e.  S  <->  A  e.  { ( 1r `  R ) } ) )
58 elsni 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  { ( 1r
`  R ) }  ->  A  =  ( 1r `  R ) )
59 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  =  ( 1r `  R )  ->  ( A  .x.  Y )  =  ( ( 1r `  R )  .x.  Y
) )
6059eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  =  ( 1r `  R )  ->  ( X  =  ( A  .x.  Y )  <->  X  =  ( ( 1r `  R )  .x.  Y
) ) )
6127anim1i 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  /\  M  e.  LMod )  ->  ( Y  e.  B  /\  M  e. 
LMod ) )
6261ancomd 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  /\  M  e.  LMod )  ->  ( M  e.  LMod  /\  Y  e.  B ) )
6335, 20, 36, 22lmodvs1 18197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  Y  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  .x.  Y )  =  Y )
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  /\  M  e.  LMod )  ->  ( ( 1r `  R )  .x.  Y )  =  Y )
6564eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  /\  M  e.  LMod )  ->  ( X  =  ( ( 1r
`  R )  .x.  Y )  <->  X  =  Y ) )
66 eqneqall 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( X  =  Y  ->  ( X  =/=  Y  ->  ( -.  ( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  \/  ( ( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) )
6766com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( X  =/=  Y  ->  ( X  =  Y  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  \/  ( ( invg `  R ) `
 A )  =/= 
.0.  ) ) )
68673ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  -> 
( X  =  Y  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) )
6968adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  /\  M  e.  LMod )  ->  ( X  =  Y  ->  ( -.  ( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  \/  ( ( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) )
7065, 69sylbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  /\  M  e.  LMod )  ->  ( X  =  ( ( 1r
`  R )  .x.  Y )  ->  ( -.  ( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  \/  ( ( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) )
7170ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  -> 
( M  e.  LMod  -> 
( X  =  ( ( 1r `  R
)  .x.  Y )  ->  ( -.  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) )
7271com3r 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( X  =  ( ( 1r
`  R )  .x.  Y )  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  ->  ( M  e.  LMod  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  \/  (
( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) ) )
7360, 72syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  =  ( 1r `  R )  ->  ( X  =  ( A  .x.  Y )  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  ->  ( M  e.  LMod  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  \/  (
( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) ) ) )
7458, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  { ( 1r
`  R ) }  ->  ( X  =  ( A  .x.  Y
)  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  -> 
( M  e.  LMod  -> 
( -.  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) )
7557, 74syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S  =  { ( 1r
`  R ) }  ->  ( A  e.  S  ->  ( X  =  ( A  .x.  Y )  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  ->  ( M  e.  LMod  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  \/  (
( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) ) ) ) )
7675impd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S  =  { ( 1r
`  R ) }  ->  ( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  -> 
( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/= 
Y )  ->  ( M  e.  LMod  ->  ( -.  ( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  \/  ( ( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) ) ) )
7776com23 80 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  =  { ( 1r
`  R ) }  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/= 
Y )  ->  (
( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  ->  ( M  e. 
LMod  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) )
7856, 77syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0g `  R )  =  ( 1r `  R )  ->  ( S  =  { ( 0g `  R ) }  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/= 
Y )  ->  (
( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  ->  ( M  e. 
LMod  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) ) )
7978adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 0g `  R )  =  ( 1r `  R
) )  ->  ( S  =  { ( 0g `  R ) }  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/= 
Y )  ->  (
( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  ->  ( M  e. 
LMod  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) ) )
8054, 79mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 0g `  R )  =  ( 1r `  R
) )  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  ->  ( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  -> 
( M  e.  LMod  -> 
( -.  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) )
8180ex 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 0g `  R )  =  ( 1r `  R )  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  ->  ( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  -> 
( M  e.  LMod  -> 
( -.  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) ) )
8252, 81syl5bi 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
)  ->  ( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  -> 
( M  e.  LMod  -> 
( -.  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) ) )
8382com25 93 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( M  e.  LMod  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  -> 
( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y
) )  ->  (
( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  -> 
( -.  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) ) )
8451, 83mpcom 36 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  -> 
( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y
) )  ->  (
( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  -> 
( -.  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) ) ) ) )
8584imp31 439 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  \/  (
( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) )
86 orc 392 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  -> 
( -.  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) )
8785, 86pm2.61d1 164 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
)  \/  ( ( invg `  R
) `  A )  =/=  .0.  ) )
8813eqeq2i 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1r `  R )  =  .0.  <->  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R ) )
8988necon3abii 2689 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1r `  R )  =/=  .0.  <->  -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
) )
9089orbi1i 529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1r `  R
)  =/=  .0.  \/  ( ( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )  <->  ( -.  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  \/  ( ( invg `  R ) `
 A )  =/= 
.0.  ) )
9187, 90sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( 1r
`  R )  =/= 
.0.  \/  ( ( invg `  R ) `
 A )  =/= 
.0.  ) )
923a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( 1r `  R )  e.  _V )
93 fvpr1g 6125 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  B  /\  ( 1r `  R )  e.  _V  /\  X  =/=  Y )  ->  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  X
)  =  ( 1r
`  R ) )
9442, 92, 8, 93syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } `  X )  =  ( 1r `  R ) )
9594neeq1d 2702 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( {
<. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  X
)  =/=  .0.  <->  ( 1r `  R )  =/=  .0.  ) )
964a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( invg `  R ) `
 A )  e. 
_V )
97 fvpr2g 6126 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  B  /\  ( ( invg `  R ) `  A
)  e.  _V  /\  X  =/=  Y )  -> 
( { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  Y
)  =  ( ( invg `  R
) `  A )
)
9828, 96, 8, 97syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } `  Y )  =  ( ( invg `  R ) `
 A ) )
9998neeq1d 2702 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( {
<. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  Y
)  =/=  .0.  <->  ( ( invg `  R ) `
 A )  =/= 
.0.  ) )
10095, 99orbi12d 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  X
)  =/=  .0.  \/  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  Y
)  =/=  .0.  )  <->  ( ( 1r `  R
)  =/=  .0.  \/  ( ( invg `  R ) `  A
)  =/=  .0.  )
) )
10191, 100mpbird 240 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( {
<. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  X
)  =/=  .0.  \/  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  Y
)  =/=  .0.  )
)
102 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  X  ->  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  v
)  =  ( {
<. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  X
) )
103102neeq1d 2702 . . . . . . 7  |-  ( v  =  X  ->  (
( { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  v
)  =/=  .0.  <->  ( { <. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  X
)  =/=  .0.  )
)
104 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  Y  ->  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  v
)  =  ( {
<. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  Y
) )
105104neeq1d 2702 . . . . . . 7  |-  ( v  =  Y  ->  (
( { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  v
)  =/=  .0.  <->  ( { <. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  Y
)  =/=  .0.  )
)
106103, 105rexprg 4013 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( E. v  e. 
{ X ,  Y }  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } `  v )  =/=  .0.  <->  ( ( {
<. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  X
)  =/=  .0.  \/  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  Y
)  =/=  .0.  )
) )
1072, 106syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( E. v  e.  { X ,  Y }  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } `  v )  =/=  .0.  <->  ( ( {
<. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  X
)  =/=  .0.  \/  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  Y
)  =/=  .0.  )
) )
108101, 107mpbird 240 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  E. v  e.  { X ,  Y } 
( { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  v
)  =/=  .0.  )
10923adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( 1r `  R )  e.  S
)
110109adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( 1r `  R )  e.  S
)
111 fvex 5889 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  e.  _V
11221, 111eqeltri 2545 . . . . . . 7  |-  S  e. 
_V
1138, 112jctir 547 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( X  =/= 
Y  /\  S  e.  _V ) )
11438mapprop 40635 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  ( 1r `  R
)  e.  S )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( ( invg `  R
) `  A )  e.  S )  /\  ( X  =/=  Y  /\  S  e.  _V ) )  ->  { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  e.  ( S  ^m  { X ,  Y } ) )
11542, 110, 28, 34, 113, 114syl221anc 1303 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  e.  ( S  ^m  { X ,  Y } ) )
116 breq1 4398 . . . . . . 7  |-  ( f  =  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ->  (
f finSupp  .0.  <->  { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } finSupp  .0.  ) )
117 oveq1 6315 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ->  (
f ( linC  `  M
) { X ,  Y } )  =  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ( linC  `  M ) { X ,  Y } ) )
118117eqeq1d 2473 . . . . . . 7  |-  ( f  =  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ->  (
( f ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z  <->  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. }  ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z ) )
119 fveq1 5878 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ->  (
f `  v )  =  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } `  v )
)
120119neeq1d 2702 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ->  (
( f `  v
)  =/=  .0.  <->  ( { <. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  v
)  =/=  .0.  )
)
121120rexbidv 2892 . . . . . . 7  |-  ( f  =  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ->  ( E. v  e.  { X ,  Y }  ( f `
 v )  =/= 
.0. 
<->  E. v  e.  { X ,  Y } 
( { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } `  v
)  =/=  .0.  )
)
122116, 118, 1213anbi123d 1365 . . . . . 6  |-  ( f  =  { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ->  (
( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e. 
{ X ,  Y }  ( f `  v )  =/=  .0.  ) 
<->  ( { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } finSupp  .0.  /\  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e.  { X ,  Y }  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } `  v )  =/=  .0.  ) ) )
123122adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/= 
Y ) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  /\  f  =  { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } )  -> 
( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e.  { X ,  Y }  ( f `  v )  =/=  .0.  ) 
<->  ( { <. X , 
( 1r `  R
) >. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. } finSupp  .0.  /\  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e.  { X ,  Y }  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } `  v )  =/=  .0.  ) ) )
124115, 123rspcedv 3140 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( ( {
<. X ,  ( 1r
`  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `  A
) >. } finSupp  .0.  /\  ( { <. X ,  ( 1r `  R )
>. ,  <. Y , 
( ( invg `  R ) `  A
) >. }  ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e.  { X ,  Y }  ( { <. X ,  ( 1r `  R ) >. ,  <. Y ,  ( ( invg `  R ) `
 A ) >. } `  v )  =/=  .0.  )  ->  E. f  e.  ( S  ^m  { X ,  Y }
) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e.  { X ,  Y }  ( f `  v )  =/=  .0.  ) ) )
12517, 50, 108, 124mp3and 1393 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  E. f  e.  ( S  ^m  { X ,  Y } ) ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e. 
{ X ,  Y }  ( f `  v )  =/=  .0.  ) )
126 prelpwi 4647 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  { X ,  Y }  e.  ~P B
)
1271263adant3 1050 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y )  ->  { X ,  Y }  e.  ~P B )
128127ad2antlr 741 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  { X ,  Y }  e.  ~P B )
12935, 47, 20, 21, 13islindeps 40754 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  { X ,  Y }  e.  ~P B )  -> 
( { X ,  Y } linDepS  M  <->  E. f  e.  ( S  ^m  { X ,  Y }
) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e.  { X ,  Y }  ( f `  v )  =/=  .0.  ) ) )
13041, 128, 129syl2anc 673 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  ( { X ,  Y } linDepS  M  <->  E. f  e.  ( S  ^m  { X ,  Y }
) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X ,  Y } )  =  Z  /\  E. v  e.  { X ,  Y }  ( f `  v )  =/=  .0.  ) ) )
131125, 130mpbird 240 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y
) )  /\  ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) ) )  ->  { X ,  Y } linDepS  M )
132131ex 441 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( A  e.  S  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  ->  { X ,  Y } linDepS  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   ~Pcpw 3942   {csn 3959   {cpr 3961   <.cop 3965   class class class wbr 4395   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490   Fincfn 7587   finSupp cfsupp 7901   Basecbs 15199   +g cplusg 15268  Scalarcsca 15271   .scvsca 15272   0gc0g 15416   Grpcgrp 16747   invgcminusg 16748   1rcur 17813   Ringcrg 17858   LModclmod 18169   linC clinc 40705   linDepS clindeps 40742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-lmod 18171  df-linc 40707  df-lininds 40743  df-lindeps 40745
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