Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepsnlinclem2 Structured version   Unicode version

Theorem ldepsnlinclem2 31158
Description: Lemma 2 for ldepsnlinc 31160. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzldep.a  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
zlmodzxzldep.b  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
Assertion
Ref Expression
ldepsnlinclem2  |-  ( F  e.  ( ( Base ` ring )  ^m  { A }
)  ->  ( F
( linC  `  Z ) { A } )  =/= 
B )

Proof of Theorem ldepsnlinclem2
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 7337 . 2  |-  ( F  e.  ( ( Base ` ring )  ^m  { A }
)  ->  F : { A } --> ( Base ` ring ) )
2 zlmodzxzldep.a . . . . 5  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
3 prex 4635 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  e.  _V
42, 3eqeltri 2535 . . . 4  |-  A  e. 
_V
54fsn2 5985 . . 3  |-  ( F : { A } --> ( Base ` ring )  <->  ( ( F `
 A )  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. A ,  ( F `  A )
>. } ) )
6 oveq1 6200 . . . . . 6  |-  ( F  =  { <. A , 
( F `  A
) >. }  ->  ( F ( linC  `  Z ) { A } )  =  ( { <. A ,  ( F `  A ) >. }  ( linC  `  Z ) { A } ) )
76adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. A ,  ( F `
 A ) >. } )  ->  ( F ( linC  `  Z ) { A } )  =  ( { <. A ,  ( F `  A ) >. }  ( linC  `  Z ) { A } ) )
8 zlmodzxzldep.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
98zlmodzxzlmod 30892 . . . . . . . 8  |-  ( Z  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  Z
) )
109simpli 458 . . . . . . 7  |-  Z  e. 
LMod
1110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. A ,  ( F `
 A ) >. } )  ->  Z  e.  LMod )
12 3z 10783 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  ZZ
13 6nn 10587 . . . . . . . . . 10  |-  6  e.  NN
1413nnzi 10774 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  ZZ
158zlmodzxzel 30893 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  6  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }  e.  (
Base `  Z )
)
1612, 14, 15mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  e.  ( Base `  Z )
172, 16eqeltri 2535 . . . . . . 7  |-  A  e.  ( Base `  Z
)
1817a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. A ,  ( F `
 A ) >. } )  ->  A  e.  ( Base `  Z
) )
19 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. A ,  ( F `
 A ) >. } )  ->  ( F `  A )  e.  ( Base ` ring ) )
20 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
219simpri 462 . . . . . . 7  |-ring  =  (Scalar `  Z
)
22 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( Base ` ring )  =  ( Base ` ring )
23 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  Z )  =  ( .s `  Z
)
2420, 21, 22, 23lincvalsng 31060 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  LMod  /\  A  e.  ( Base `  Z
)  /\  ( F `  A )  e.  (
Base ` ring ) )  ->  ( { <. A ,  ( F `  A )
>. }  ( linC  `  Z
) { A }
)  =  ( ( F `  A ) ( .s `  Z
) A ) )
2511, 18, 19, 24syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. A ,  ( F `
 A ) >. } )  ->  ( { <. A ,  ( F `  A )
>. }  ( linC  `  Z
) { A }
)  =  ( ( F `  A ) ( .s `  Z
) A ) )
267, 25eqtrd 2492 . . . 4  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. A ,  ( F `
 A ) >. } )  ->  ( F ( linC  `  Z ) { A } )  =  ( ( F `
 A ) ( .s `  Z ) A ) )
27 eqid 2451 . . . . . 6  |-  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. }  =  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. }
28 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( -g `  Z )  =  (
-g `  Z )
29 zlmodzxzldep.b . . . . . 6  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
308, 27, 23, 28, 2, 29zlmodzxznm 31149 . . . . 5  |-  A. i  e.  ZZ  ( ( i ( .s `  Z
) A )  =/= 
B  /\  ( i
( .s `  Z
) B )  =/= 
A )
31 r19.26 2948 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  ZZ  (
( i ( .s
`  Z ) A )  =/=  B  /\  ( i ( .s
`  Z ) B )  =/=  A )  <-> 
( A. i  e.  ZZ  ( i ( .s `  Z ) A )  =/=  B  /\  A. i  e.  ZZ  ( i ( .s
`  Z ) B )  =/=  A ) )
32 zringbas 18007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
3332eqcomi 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base ` ring )  =  ZZ
3433eleq2i 2529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  A )  e.  ( Base ` ring )  <->  ( F `  A )  e.  ZZ )
3534biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  A )  e.  ( Base ` ring )  ->  ( F `
 A )  e.  ZZ )
3635adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. A ,  ( F `
 A ) >. } )  ->  ( F `  A )  e.  ZZ )
37 oveq1 6200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( F `  A )  ->  (
i ( .s `  Z ) A )  =  ( ( F `
 A ) ( .s `  Z ) A ) )
3837neeq1d 2725 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( F `  A )  ->  (
( i ( .s
`  Z ) A )  =/=  B  <->  ( ( F `  A )
( .s `  Z
) A )  =/= 
B ) )
3938rspcv 3168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  A )  e.  ZZ  ->  ( A. i  e.  ZZ  ( i ( .s
`  Z ) A )  =/=  B  -> 
( ( F `  A ) ( .s
`  Z ) A )  =/=  B ) )
4036, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. A ,  ( F `
 A ) >. } )  ->  ( A. i  e.  ZZ  ( i ( .s
`  Z ) A )  =/=  B  -> 
( ( F `  A ) ( .s
`  Z ) A )  =/=  B ) )
4140com12 31 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  ZZ  (
i ( .s `  Z ) A )  =/=  B  ->  (
( ( F `  A )  e.  (
Base ` ring )  /\  F  =  { <. A ,  ( F `  A )
>. } )  ->  (
( F `  A
) ( .s `  Z ) A )  =/=  B ) )
4241adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A. i  e.  ZZ  ( i ( .s
`  Z ) A )  =/=  B  /\  A. i  e.  ZZ  (
i ( .s `  Z ) B )  =/=  A )  -> 
( ( ( F `
 A )  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. A ,  ( F `  A )
>. } )  ->  (
( F `  A
) ( .s `  Z ) A )  =/=  B ) )
4331, 42sylbi 195 . . . . 5  |-  ( A. i  e.  ZZ  (
( i ( .s
`  Z ) A )  =/=  B  /\  ( i ( .s
`  Z ) B )  =/=  A )  ->  ( ( ( F `  A )  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. A ,  ( F `  A )
>. } )  ->  (
( F `  A
) ( .s `  Z ) A )  =/=  B ) )
4430, 43ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. A ,  ( F `
 A ) >. } )  ->  (
( F `  A
) ( .s `  Z ) A )  =/=  B )
4526, 44eqnetrd 2741 . . 3  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. A ,  ( F `
 A ) >. } )  ->  ( F ( linC  `  Z ) { A } )  =/=  B )
465, 45sylbi 195 . 2  |-  ( F : { A } --> ( Base ` ring )  ->  ( F ( linC  `  Z ) { A } )  =/= 
B )
471, 46syl 16 1  |-  ( F  e.  ( ( Base ` ring )  ^m  { A }
)  ->  ( F
( linC  `  Z ) { A } )  =/= 
B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   _Vcvv 3071   {csn 3978   {cpr 3980   <.cop 3984   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193    ^m cmap 7317   0cc0 9386   1c1 9387   2c2 10475   3c3 10476   4c4 10477   6c6 10479   ZZcz 10750   Basecbs 14285  Scalarcsca 14352   .scvsca 14353   -gcsg 15524   LModclmod 17063  ℤringzring 18001   freeLMod cfrlm 18289   linC clinc 31048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465  ax-mulf 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-rp 11096  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-seq 11917  df-exp 11976  df-hash 12214  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-dvds 13647  df-prm 13875  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-hom 14373  df-cco 14374  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-prds 14497  df-pws 14499  df-mnd 15526  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-sbg 15658  df-mulg 15659  df-subg 15789  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-mgp 16706  df-ur 16718  df-rng 16762  df-cring 16763  df-subrg 16978  df-lmod 17065  df-lss 17129  df-sra 17368  df-rgmod 17369  df-cnfld 17937  df-zring 18002  df-dsmm 18275  df-frlm 18290  df-linc 31050
This theorem is referenced by:  ldepsnlinc  31160
  Copyright terms: Public domain W3C validator