Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepsnlinclem2 Structured version   Unicode version

Theorem ldepsnlinclem2 33251
Description: Lemma 2 for ldepsnlinc 33253. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzldep.a  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
zlmodzxzldep.b  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
Assertion
Ref Expression
ldepsnlinclem2  |-  ( F  e.  ( ( Base ` ring )  ^m  { A }
)  ->  ( F
( linC  `  Z ) { A } )  =/= 
B )

Proof of Theorem ldepsnlinclem2
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 7459 . 2  |-  ( F  e.  ( ( Base ` ring )  ^m  { A }
)  ->  F : { A } --> ( Base ` ring ) )
2 zlmodzxzldep.a . . . . 5  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
3 prex 4698 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  e.  _V
42, 3eqeltri 2541 . . . 4  |-  A  e. 
_V
54fsn2 6072 . . 3  |-  ( F : { A } --> ( Base ` ring )  <->  ( ( F `
 A )  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. A ,  ( F `  A )
>. } ) )
6 oveq1 6303 . . . . . 6  |-  ( F  =  { <. A , 
( F `  A
) >. }  ->  ( F ( linC  `  Z ) { A } )  =  ( { <. A ,  ( F `  A ) >. }  ( linC  `  Z ) { A } ) )
76adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. A ,  ( F `
 A ) >. } )  ->  ( F ( linC  `  Z ) { A } )  =  ( { <. A ,  ( F `  A ) >. }  ( linC  `  Z ) { A } ) )
8 zlmodzxzldep.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
98zlmodzxzlmod 33087 . . . . . . . 8  |-  ( Z  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  Z
) )
109simpli 458 . . . . . . 7  |-  Z  e. 
LMod
1110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. A ,  ( F `
 A ) >. } )  ->  Z  e.  LMod )
12 3z 10918 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  ZZ
13 6nn 10718 . . . . . . . . . 10  |-  6  e.  NN
1413nnzi 10909 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  ZZ
158zlmodzxzel 33088 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  6  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }  e.  (
Base `  Z )
)
1612, 14, 15mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  e.  ( Base `  Z )
172, 16eqeltri 2541 . . . . . . 7  |-  A  e.  ( Base `  Z
)
1817a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. A ,  ( F `
 A ) >. } )  ->  A  e.  ( Base `  Z
) )
19 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. A ,  ( F `
 A ) >. } )  ->  ( F `  A )  e.  ( Base ` ring ) )
20 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
219simpri 462 . . . . . . 7  |-ring  =  (Scalar `  Z
)
22 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( Base ` ring )  =  ( Base ` ring )
23 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  Z )  =  ( .s `  Z
)
2420, 21, 22, 23lincvalsng 33161 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  LMod  /\  A  e.  ( Base `  Z
)  /\  ( F `  A )  e.  (
Base ` ring ) )  ->  ( { <. A ,  ( F `  A )
>. }  ( linC  `  Z
) { A }
)  =  ( ( F `  A ) ( .s `  Z
) A ) )
2511, 18, 19, 24syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. A ,  ( F `
 A ) >. } )  ->  ( { <. A ,  ( F `  A )
>. }  ( linC  `  Z
) { A }
)  =  ( ( F `  A ) ( .s `  Z
) A ) )
267, 25eqtrd 2498 . . . 4  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. A ,  ( F `
 A ) >. } )  ->  ( F ( linC  `  Z ) { A } )  =  ( ( F `
 A ) ( .s `  Z ) A ) )
27 eqid 2457 . . . . . 6  |-  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. }  =  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. }
28 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( -g `  Z )  =  (
-g `  Z )
29 zlmodzxzldep.b . . . . . 6  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
308, 27, 23, 28, 2, 29zlmodzxznm 33242 . . . . 5  |-  A. i  e.  ZZ  ( ( i ( .s `  Z
) A )  =/= 
B  /\  ( i
( .s `  Z
) B )  =/= 
A )
31 r19.26 2984 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  ZZ  (
( i ( .s
`  Z ) A )  =/=  B  /\  ( i ( .s
`  Z ) B )  =/=  A )  <-> 
( A. i  e.  ZZ  ( i ( .s `  Z ) A )  =/=  B  /\  A. i  e.  ZZ  ( i ( .s
`  Z ) B )  =/=  A ) )
32 zringbas 18621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
3332eqcomi 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base ` ring )  =  ZZ
3433eleq2i 2535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  A )  e.  ( Base ` ring )  <->  ( F `  A )  e.  ZZ )
3534biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  A )  e.  ( Base ` ring )  ->  ( F `
 A )  e.  ZZ )
3635adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. A ,  ( F `
 A ) >. } )  ->  ( F `  A )  e.  ZZ )
37 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( F `  A )  ->  (
i ( .s `  Z ) A )  =  ( ( F `
 A ) ( .s `  Z ) A ) )
3837neeq1d 2734 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( F `  A )  ->  (
( i ( .s
`  Z ) A )  =/=  B  <->  ( ( F `  A )
( .s `  Z
) A )  =/= 
B ) )
3938rspcv 3206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  A )  e.  ZZ  ->  ( A. i  e.  ZZ  ( i ( .s
`  Z ) A )  =/=  B  -> 
( ( F `  A ) ( .s
`  Z ) A )  =/=  B ) )
4036, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. A ,  ( F `
 A ) >. } )  ->  ( A. i  e.  ZZ  ( i ( .s
`  Z ) A )  =/=  B  -> 
( ( F `  A ) ( .s
`  Z ) A )  =/=  B ) )
4140com12 31 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  ZZ  (
i ( .s `  Z ) A )  =/=  B  ->  (
( ( F `  A )  e.  (
Base ` ring )  /\  F  =  { <. A ,  ( F `  A )
>. } )  ->  (
( F `  A
) ( .s `  Z ) A )  =/=  B ) )
4241adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A. i  e.  ZZ  ( i ( .s
`  Z ) A )  =/=  B  /\  A. i  e.  ZZ  (
i ( .s `  Z ) B )  =/=  A )  -> 
( ( ( F `
 A )  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. A ,  ( F `  A )
>. } )  ->  (
( F `  A
) ( .s `  Z ) A )  =/=  B ) )
4331, 42sylbi 195 . . . . 5  |-  ( A. i  e.  ZZ  (
( i ( .s
`  Z ) A )  =/=  B  /\  ( i ( .s
`  Z ) B )  =/=  A )  ->  ( ( ( F `  A )  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. A ,  ( F `  A )
>. } )  ->  (
( F `  A
) ( .s `  Z ) A )  =/=  B ) )
4430, 43ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. A ,  ( F `
 A ) >. } )  ->  (
( F `  A
) ( .s `  Z ) A )  =/=  B )
4526, 44eqnetrd 2750 . . 3  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. A ,  ( F `
 A ) >. } )  ->  ( F ( linC  `  Z ) { A } )  =/=  B )
465, 45sylbi 195 . 2  |-  ( F : { A } --> ( Base ` ring )  ->  ( F ( linC  `  Z ) { A } )  =/= 
B )
471, 46syl 16 1  |-  ( F  e.  ( ( Base ` ring )  ^m  { A }
)  ->  ( F
( linC  `  Z ) { A } )  =/= 
B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   _Vcvv 3109   {csn 4032   {cpr 4034   <.cop 4038   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438   0cc0 9509   1c1 9510   2c2 10606   3c3 10607   4c4 10608   6c6 10610   ZZcz 10885   Basecbs 14644  Scalarcsca 14715   .scvsca 14716   -gcsg 16182   LModclmod 17639  ℤringzring 18615   freeLMod cfrlm 18904   linC clinc 33149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-dvds 13999  df-prm 14230  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-prds 14865  df-pws 14867  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-subrg 17554  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-cnfld 18548  df-zring 18616  df-dsmm 18890  df-frlm 18905  df-linc 33151
This theorem is referenced by:  ldepsnlinc  33253
  Copyright terms: Public domain W3C validator