Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepsnlinclem1 Structured version   Unicode version

Theorem ldepsnlinclem1 33360
Description: Lemma 1 for ldepsnlinc 33363. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzldep.a  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
zlmodzxzldep.b  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
Assertion
Ref Expression
ldepsnlinclem1  |-  ( F  e.  ( ( Base ` ring )  ^m  { B }
)  ->  ( F
( linC  `  Z ) { B } )  =/= 
A )

Proof of Theorem ldepsnlinclem1
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 7433 . 2  |-  ( F  e.  ( ( Base ` ring )  ^m  { B }
)  ->  F : { B } --> ( Base ` ring ) )
2 zlmodzxzldep.b . . . . 5  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
3 prex 4679 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }  e.  _V
42, 3eqeltri 2538 . . . 4  |-  B  e. 
_V
54fsn2 6047 . . 3  |-  ( F : { B } --> ( Base ` ring )  <->  ( ( F `
 B )  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. B ,  ( F `  B )
>. } ) )
6 oveq1 6277 . . . . . 6  |-  ( F  =  { <. B , 
( F `  B
) >. }  ->  ( F ( linC  `  Z ) { B } )  =  ( { <. B ,  ( F `  B ) >. }  ( linC  `  Z ) { B } ) )
76adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. B ,  ( F `
 B ) >. } )  ->  ( F ( linC  `  Z ) { B } )  =  ( { <. B ,  ( F `  B ) >. }  ( linC  `  Z ) { B } ) )
8 zlmodzxzldep.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
98zlmodzxzlmod 33197 . . . . . . . 8  |-  ( Z  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  Z
) )
109simpli 456 . . . . . . 7  |-  Z  e. 
LMod
1110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. B ,  ( F `
 B ) >. } )  ->  Z  e.  LMod )
12 2z 10892 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
13 4z 10894 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  ZZ
148zlmodzxzel 33198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }  e.  (
Base `  Z )
)
1512, 13, 14mp2an 670 . . . . . . . 8  |-  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }  e.  ( Base `  Z )
162, 15eqeltri 2538 . . . . . . 7  |-  B  e.  ( Base `  Z
)
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. B ,  ( F `
 B ) >. } )  ->  B  e.  ( Base `  Z
) )
18 simpl 455 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. B ,  ( F `
 B ) >. } )  ->  ( F `  B )  e.  ( Base ` ring ) )
19 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
209simpri 460 . . . . . . 7  |-ring  =  (Scalar `  Z
)
21 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( Base ` ring )  =  ( Base ` ring )
22 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  Z )  =  ( .s `  Z
)
2319, 20, 21, 22lincvalsng 33271 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  LMod  /\  B  e.  ( Base `  Z
)  /\  ( F `  B )  e.  (
Base ` ring ) )  ->  ( { <. B ,  ( F `  B )
>. }  ( linC  `  Z
) { B }
)  =  ( ( F `  B ) ( .s `  Z
) B ) )
2411, 17, 18, 23syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. B ,  ( F `
 B ) >. } )  ->  ( { <. B ,  ( F `  B )
>. }  ( linC  `  Z
) { B }
)  =  ( ( F `  B ) ( .s `  Z
) B ) )
257, 24eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. B ,  ( F `
 B ) >. } )  ->  ( F ( linC  `  Z ) { B } )  =  ( ( F `
 B ) ( .s `  Z ) B ) )
26 eqid 2454 . . . . . 6  |-  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. }  =  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. }
27 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( -g `  Z )  =  (
-g `  Z )
28 zlmodzxzldep.a . . . . . 6  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
298, 26, 22, 27, 28, 2zlmodzxznm 33352 . . . . 5  |-  A. i  e.  ZZ  ( ( i ( .s `  Z
) A )  =/= 
B  /\  ( i
( .s `  Z
) B )  =/= 
A )
30 r19.26 2981 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  ZZ  (
( i ( .s
`  Z ) A )  =/=  B  /\  ( i ( .s
`  Z ) B )  =/=  A )  <-> 
( A. i  e.  ZZ  ( i ( .s `  Z ) A )  =/=  B  /\  A. i  e.  ZZ  ( i ( .s
`  Z ) B )  =/=  A ) )
31 zringbas 18689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
3231eqcomi 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base ` ring )  =  ZZ
3332eleq2i 2532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  B )  e.  ( Base ` ring )  <->  ( F `  B )  e.  ZZ )
3433biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  B )  e.  ( Base ` ring )  ->  ( F `
 B )  e.  ZZ )
3534adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. B ,  ( F `
 B ) >. } )  ->  ( F `  B )  e.  ZZ )
36 oveq1 6277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( F `  B )  ->  (
i ( .s `  Z ) B )  =  ( ( F `
 B ) ( .s `  Z ) B ) )
3736neeq1d 2731 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( F `  B )  ->  (
( i ( .s
`  Z ) B )  =/=  A  <->  ( ( F `  B )
( .s `  Z
) B )  =/= 
A ) )
3837rspcv 3203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  B )  e.  ZZ  ->  ( A. i  e.  ZZ  ( i ( .s
`  Z ) B )  =/=  A  -> 
( ( F `  B ) ( .s
`  Z ) B )  =/=  A ) )
3935, 38syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. B ,  ( F `
 B ) >. } )  ->  ( A. i  e.  ZZ  ( i ( .s
`  Z ) B )  =/=  A  -> 
( ( F `  B ) ( .s
`  Z ) B )  =/=  A ) )
4039com12 31 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  ZZ  (
i ( .s `  Z ) B )  =/=  A  ->  (
( ( F `  B )  e.  (
Base ` ring )  /\  F  =  { <. B ,  ( F `  B )
>. } )  ->  (
( F `  B
) ( .s `  Z ) B )  =/=  A ) )
4140adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( A. i  e.  ZZ  ( i ( .s
`  Z ) A )  =/=  B  /\  A. i  e.  ZZ  (
i ( .s `  Z ) B )  =/=  A )  -> 
( ( ( F `
 B )  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. B ,  ( F `  B )
>. } )  ->  (
( F `  B
) ( .s `  Z ) B )  =/=  A ) )
4230, 41sylbi 195 . . . . 5  |-  ( A. i  e.  ZZ  (
( i ( .s
`  Z ) A )  =/=  B  /\  ( i ( .s
`  Z ) B )  =/=  A )  ->  ( ( ( F `  B )  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. B ,  ( F `  B )
>. } )  ->  (
( F `  B
) ( .s `  Z ) B )  =/=  A ) )
4329, 42ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. B ,  ( F `
 B ) >. } )  ->  (
( F `  B
) ( .s `  Z ) B )  =/=  A )
4425, 43eqnetrd 2747 . . 3  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. B ,  ( F `
 B ) >. } )  ->  ( F ( linC  `  Z ) { B } )  =/=  A )
455, 44sylbi 195 . 2  |-  ( F : { B } --> ( Base ` ring )  ->  ( F ( linC  `  Z ) { B } )  =/= 
A )
461, 45syl 16 1  |-  ( F  e.  ( ( Base ` ring )  ^m  { B }
)  ->  ( F
( linC  `  Z ) { B } )  =/= 
A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   _Vcvv 3106   {csn 4016   {cpr 4018   <.cop 4022   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    ^m cmap 7412   0cc0 9481   1c1 9482   2c2 10581   3c3 10582   4c4 10583   6c6 10585   ZZcz 10860   Basecbs 14716  Scalarcsca 14787   .scvsca 14788   -gcsg 16254   LModclmod 17707  ℤringzring 18683   freeLMod cfrlm 18950   linC clinc 33259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-dvds 14071  df-prm 14302  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-prds 14937  df-pws 14939  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-mulg 16259  df-subg 16397  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-cring 17396  df-subrg 17622  df-lmod 17709  df-lss 17774  df-sra 18013  df-rgmod 18014  df-cnfld 18616  df-zring 18684  df-dsmm 18936  df-frlm 18951  df-linc 33261
This theorem is referenced by:  ldepsnlinc  33363
  Copyright terms: Public domain W3C validator