Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepsnlinclem1 Structured version   Unicode version

Theorem ldepsnlinclem1 31151
Description: Lemma 1 for ldepsnlinc 31154. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzldep.a  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
zlmodzxzldep.b  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
Assertion
Ref Expression
ldepsnlinclem1  |-  ( F  e.  ( ( Base ` ring )  ^m  { B }
)  ->  ( F
( linC  `  Z ) { B } )  =/= 
A )

Proof of Theorem ldepsnlinclem1
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 7331 . 2  |-  ( F  e.  ( ( Base ` ring )  ^m  { B }
)  ->  F : { B } --> ( Base ` ring ) )
2 zlmodzxzldep.b . . . . 5  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
3 prex 4629 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }  e.  _V
42, 3eqeltri 2533 . . . 4  |-  B  e. 
_V
54fsn2 5979 . . 3  |-  ( F : { B } --> ( Base ` ring )  <->  ( ( F `
 B )  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. B ,  ( F `  B )
>. } ) )
6 oveq1 6194 . . . . . 6  |-  ( F  =  { <. B , 
( F `  B
) >. }  ->  ( F ( linC  `  Z ) { B } )  =  ( { <. B ,  ( F `  B ) >. }  ( linC  `  Z ) { B } ) )
76adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. B ,  ( F `
 B ) >. } )  ->  ( F ( linC  `  Z ) { B } )  =  ( { <. B ,  ( F `  B ) >. }  ( linC  `  Z ) { B } ) )
8 zlmodzxzldep.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
98zlmodzxzlmod 30886 . . . . . . . 8  |-  ( Z  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  Z
) )
109simpli 458 . . . . . . 7  |-  Z  e. 
LMod
1110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. B ,  ( F `
 B ) >. } )  ->  Z  e.  LMod )
12 2z 10776 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
13 4nn 10579 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  NN
1413nnzi 10768 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  ZZ
158zlmodzxzel 30887 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }  e.  (
Base `  Z )
)
1612, 14, 15mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }  e.  ( Base `  Z )
172, 16eqeltri 2533 . . . . . . 7  |-  B  e.  ( Base `  Z
)
1817a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. B ,  ( F `
 B ) >. } )  ->  B  e.  ( Base `  Z
) )
19 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. B ,  ( F `
 B ) >. } )  ->  ( F `  B )  e.  ( Base ` ring ) )
20 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
219simpri 462 . . . . . . 7  |-ring  =  (Scalar `  Z
)
22 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( Base ` ring )  =  ( Base ` ring )
23 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  Z )  =  ( .s `  Z
)
2420, 21, 22, 23lincvalsng 31054 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  LMod  /\  B  e.  ( Base `  Z
)  /\  ( F `  B )  e.  (
Base ` ring ) )  ->  ( { <. B ,  ( F `  B )
>. }  ( linC  `  Z
) { B }
)  =  ( ( F `  B ) ( .s `  Z
) B ) )
2511, 18, 19, 24syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. B ,  ( F `
 B ) >. } )  ->  ( { <. B ,  ( F `  B )
>. }  ( linC  `  Z
) { B }
)  =  ( ( F `  B ) ( .s `  Z
) B ) )
267, 25eqtrd 2491 . . . 4  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. B ,  ( F `
 B ) >. } )  ->  ( F ( linC  `  Z ) { B } )  =  ( ( F `
 B ) ( .s `  Z ) B ) )
27 eqid 2451 . . . . . 6  |-  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. }  =  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. }
28 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( -g `  Z )  =  (
-g `  Z )
29 zlmodzxzldep.a . . . . . 6  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
308, 27, 23, 28, 29, 2zlmodzxznm 31143 . . . . 5  |-  A. i  e.  ZZ  ( ( i ( .s `  Z
) A )  =/= 
B  /\  ( i
( .s `  Z
) B )  =/= 
A )
31 r19.26 2942 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  ZZ  (
( i ( .s
`  Z ) A )  =/=  B  /\  ( i ( .s
`  Z ) B )  =/=  A )  <-> 
( A. i  e.  ZZ  ( i ( .s `  Z ) A )  =/=  B  /\  A. i  e.  ZZ  ( i ( .s
`  Z ) B )  =/=  A ) )
32 zringbas 17995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
3332eqcomi 2463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base ` ring )  =  ZZ
3433eleq2i 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  B )  e.  ( Base ` ring )  <->  ( F `  B )  e.  ZZ )
3534biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  B )  e.  ( Base ` ring )  ->  ( F `
 B )  e.  ZZ )
3635adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. B ,  ( F `
 B ) >. } )  ->  ( F `  B )  e.  ZZ )
37 oveq1 6194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( F `  B )  ->  (
i ( .s `  Z ) B )  =  ( ( F `
 B ) ( .s `  Z ) B ) )
3837neeq1d 2723 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( F `  B )  ->  (
( i ( .s
`  Z ) B )  =/=  A  <->  ( ( F `  B )
( .s `  Z
) B )  =/= 
A ) )
3938rspcv 3162 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  B )  e.  ZZ  ->  ( A. i  e.  ZZ  ( i ( .s
`  Z ) B )  =/=  A  -> 
( ( F `  B ) ( .s
`  Z ) B )  =/=  A ) )
4036, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. B ,  ( F `
 B ) >. } )  ->  ( A. i  e.  ZZ  ( i ( .s
`  Z ) B )  =/=  A  -> 
( ( F `  B ) ( .s
`  Z ) B )  =/=  A ) )
4140com12 31 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  ZZ  (
i ( .s `  Z ) B )  =/=  A  ->  (
( ( F `  B )  e.  (
Base ` ring )  /\  F  =  { <. B ,  ( F `  B )
>. } )  ->  (
( F `  B
) ( .s `  Z ) B )  =/=  A ) )
4241adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A. i  e.  ZZ  ( i ( .s
`  Z ) A )  =/=  B  /\  A. i  e.  ZZ  (
i ( .s `  Z ) B )  =/=  A )  -> 
( ( ( F `
 B )  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. B ,  ( F `  B )
>. } )  ->  (
( F `  B
) ( .s `  Z ) B )  =/=  A ) )
4331, 42sylbi 195 . . . . 5  |-  ( A. i  e.  ZZ  (
( i ( .s
`  Z ) A )  =/=  B  /\  ( i ( .s
`  Z ) B )  =/=  A )  ->  ( ( ( F `  B )  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. B ,  ( F `  B )
>. } )  ->  (
( F `  B
) ( .s `  Z ) B )  =/=  A ) )
4430, 43ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. B ,  ( F `
 B ) >. } )  ->  (
( F `  B
) ( .s `  Z ) B )  =/=  A )
4526, 44eqnetrd 2739 . . 3  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  ( Base ` ring )  /\  F  =  { <. B ,  ( F `
 B ) >. } )  ->  ( F ( linC  `  Z ) { B } )  =/=  A )
465, 45sylbi 195 . 2  |-  ( F : { B } --> ( Base ` ring )  ->  ( F ( linC  `  Z ) { B } )  =/= 
A )
471, 46syl 16 1  |-  ( F  e.  ( ( Base ` ring )  ^m  { B }
)  ->  ( F
( linC  `  Z ) { B } )  =/= 
A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2642   A.wral 2793   _Vcvv 3065   {csn 3972   {cpr 3974   <.cop 3978   -->wf 5509   ` cfv 5513  (class class class)co 6187    ^m cmap 7311   0cc0 9380   1c1 9381   2c2 10469   3c3 10470   4c4 10471   6c6 10473   ZZcz 10744   Basecbs 14273  Scalarcsca 14340   .scvsca 14341   -gcsg 15512   LModclmod 17051  ℤringzring 17989   freeLMod cfrlm 18277   linC clinc 31042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-inf2 7945  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457  ax-pre-sup 9458  ax-addf 9459  ax-mulf 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-se 4775  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-of 6417  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-supp 6788  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-2o 7018  df-oadd 7021  df-er 7198  df-map 7313  df-ixp 7361  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-fin 7411  df-fsupp 7719  df-sup 7789  df-oi 7822  df-card 8207  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-div 10092  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-4 10480  df-5 10481  df-6 10482  df-7 10483  df-8 10484  df-9 10485  df-10 10486  df-n0 10678  df-z 10745  df-dec 10854  df-uz 10960  df-rp 11090  df-fz 11536  df-fzo 11647  df-seq 11905  df-exp 11964  df-hash 12202  df-cj 12687  df-re 12688  df-im 12689  df-sqr 12823  df-abs 12824  df-dvds 13635  df-prm 13863  df-struct 14275  df-ndx 14276  df-slot 14277  df-base 14278  df-sets 14279  df-ress 14280  df-plusg 14350  df-mulr 14351  df-starv 14352  df-sca 14353  df-vsca 14354  df-ip 14355  df-tset 14356  df-ple 14357  df-ds 14359  df-unif 14360  df-hom 14361  df-cco 14362  df-0g 14479  df-gsum 14480  df-prds 14485  df-pws 14487  df-mnd 15514  df-grp 15644  df-minusg 15645  df-sbg 15646  df-mulg 15647  df-subg 15777  df-cntz 15934  df-cmn 16380  df-mgp 16694  df-ur 16706  df-rng 16750  df-cring 16751  df-subrg 16966  df-lmod 17053  df-lss 17117  df-sra 17356  df-rgmod 17357  df-cnfld 17925  df-zring 17990  df-dsmm 18263  df-frlm 18278  df-linc 31044
This theorem is referenced by:  ldepsnlinc  31154
  Copyright terms: Public domain W3C validator