Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepsnlinc Structured version   Unicode version

Theorem ldepsnlinc 32591
Description: The reverse implication of islindeps2 32566 does not hold for arbitrary (left) modules, see note in [Roman] p. 112: "... if a nontrivial linear combination of the elements ... in an R-module M is 0, ... where not all of the coefficients are 0, then we cannot conclude ... that one of the elements ... is a linear combination of the others." This means that there is at least one left module having a linearly dependent subset in which there is at least one element which is not a linear combinantion of the other elements of this subset. Such a left module can be constructed by using zlmodzxzequa 32579 and zlmodzxznm 32580 (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
ldepsnlinc  |-  E. m  e.  LMod  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  A. v  e.  s 
A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  ->  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) )
Distinct variable group:    f, m, s, v

Proof of Theorem ldepsnlinc
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . 4  |-  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
21zlmodzxzlmod 32422 . . 3  |-  ( (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )
32simpli 458 . 2  |-  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  e. 
LMod
4 3z 10909 . . . . 5  |-  3  e.  ZZ
5 6nn 10709 . . . . . 6  |-  6  e.  NN
65nnzi 10900 . . . . 5  |-  6  e.  ZZ
71zlmodzxzel 32423 . . . . 5  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  6  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }  e.  (
Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )
84, 6, 7mp2an 672 . . . 4  |-  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  e.  ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) )
9 2z 10908 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
10 4nn 10707 . . . . . 6  |-  4  e.  NN
1110nnzi 10900 . . . . 5  |-  4  e.  ZZ
121zlmodzxzel 32423 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }  e.  (
Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )
139, 11, 12mp2an 672 . . . 4  |-  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }  e.  ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) )
14 prelpwi 4700 . . . 4  |-  ( ( { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }  e.  (
Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) )  /\  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. }  e.  ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  e.  ~P ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )
158, 13, 14mp2an 672 . . 3  |-  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  e.  ~P ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) )
16 eqid 2467 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  =  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }
17 eqid 2467 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }  =  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }
181, 16, 17zlmodzxzldep 32587 . . . 4  |-  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } } linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
191, 16, 17ldepsnlinclem1 32588 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( ( Base ` ring )  ^m  { { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } } )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } )  =/= 
{ <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } )
20 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->ring  =  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )
2120eqcomd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
(Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) )  =ring )
222, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  (Scalar `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) )  =ring
2322fveq2i 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  =  ( Base ` ring )
2423oveq1i 6305 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } } )  =  ( ( Base ` ring )  ^m  { { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } } )
2519, 24eleq2s 2575 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } )  =/= 
{ <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } )
2625a1d 25 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } )  -> 
( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } } )  =/=  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ) )
2726rgen 2827 . . . . 5  |-  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } } ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } } )  =/=  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } )
281, 16, 17ldepsnlinclem2 32589 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( ( Base ` ring )  ^m  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } } )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } } )  =/= 
{ <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } )
2923oveq1i 6305 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } } )  =  ( ( Base ` ring )  ^m  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } } )
3028, 29eleq2s 2575 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } } )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } } )  =/= 
{ <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } )
3130a1d 25 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } } )  -> 
( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } } )  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } ) )
3231rgen 2827 . . . . 5  |-  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } } ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } } )  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } )
33 prex 4695 . . . . . 6  |-  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  e.  _V
34 prex 4695 . . . . . 6  |-  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }  e.  _V
35 sneq 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. }  ->  { v }  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } } )
3635difeq2d 3627 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. }  ->  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } )  =  ( { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  \  { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } } ) )
371, 16, 17zlmodzxzldeplem 32581 . . . . . . . . . 10  |-  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  =/=  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }
38 difprsn1 4169 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. }  ->  ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } } )  =  { { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } } )
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } } )  =  { { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }
4036, 39syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. }  ->  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } )  =  { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } } )
4140oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( v  =  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. }  ->  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } ) )
4240oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. }  ->  ( f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =  ( f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } ) )
43 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. }  ->  v  =  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } )
4442, 43neeq12d 2746 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. }  ->  ( ( f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v  <->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } } )  =/=  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ) )
4544imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( v  =  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. }  ->  ( ( f finSupp 
( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v )  <->  ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } )  =/= 
{ <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ) ) )
4641, 45raleqbidv 3077 . . . . . 6  |-  ( v  =  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. }  ->  ( A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v )  <->  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } } ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } } )  =/=  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ) ) )
47 sneq 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. }  ->  { v }  =  { { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } } )
4847difeq2d 3627 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. }  ->  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } )  =  ( { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  \  { { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } } ) )
49 difprsn2 4170 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. }  ->  ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  { { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } } )  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } } )
5037, 49ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  { { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } } )  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } }
5148, 50syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. }  ->  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } )  =  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } } )
5251oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( v  =  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. }  ->  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } } ) )
5351oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. }  ->  ( f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =  ( f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } } ) )
54 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. }  ->  v  =  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } )
5553, 54neeq12d 2746 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. }  ->  ( ( f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v  <->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } } )  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } ) )
5655imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( v  =  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. }  ->  ( ( f finSupp 
( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v )  <->  ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } } )  =/= 
{ <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } ) ) )
5752, 56raleqbidv 3077 . . . . . 6  |-  ( v  =  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. }  ->  ( A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v )  <->  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } } ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } } )  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } ) ) )
5833, 34, 46, 57ralpr 4086 . . . . 5  |-  ( A. v  e.  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } } A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v )  <->  ( A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } } ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } } )  =/=  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } )  /\  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } } ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } } )  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } ) ) )
5927, 32, 58mpbir2an 918 . . . 4  |-  A. v  e.  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } } A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v )
6018, 59pm3.2i 455 . . 3  |-  ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  /\  A. v  e.  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } } A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v ) )
61 breq1 4456 . . . . 5  |-  ( s  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  ->  (
s linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  <->  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } } linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )
62 id 22 . . . . . 6  |-  ( s  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  ->  s  =  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } } )
63 difeq1 3620 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  ->  (
s  \  { v } )  =  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) )
6463oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( s  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  ->  (
( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  (
s  \  { v } ) )  =  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) ) )
6563oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  ->  (
f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s  \  { v } ) )  =  ( f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) ) )
6665neeq1d 2744 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  ->  (
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v  <->  ( f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v ) )
6766imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( s  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  ->  (
( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s  \  {
v } ) )  =/=  v )  <->  ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v ) ) )
6864, 67raleqbidv 3077 . . . . . 6  |-  ( s  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  ->  ( A. f  e.  (
( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v ) ) )
6962, 68raleqbidv 3077 . . . . 5  |-  ( s  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  ->  ( A. v  e.  s  A. f  e.  (
( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  A. v  e.  { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v ) ) )
7061, 69anbi12d 710 . . . 4  |-  ( s  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  ->  (
( s linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  /\  A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
) )  <->  ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  /\  A. v  e.  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } } A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v ) ) ) )
7170rspcev 3219 . . 3  |-  ( ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  e.  ~P ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) )  /\  ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  /\  A. v  e.  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } } A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v ) ) )  ->  E. s  e.  ~P  ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  /\  A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) ) )
7215, 60, 71mp2an 672 . 2  |-  E. s  e.  ~P  ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  /\  A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) )
73 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( Base `  m )  =  (
Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )
7473pweqd 4021 . . . 4  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ~P ( Base `  m )  =  ~P ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )
75 breq2 4457 . . . . 5  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( s linDepS  m  <-> 
s linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )
76 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  (Scalar `  m
)  =  (Scalar `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) )
7776fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( Base `  (Scalar `  m )
)  =  ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ) )
7877oveq1d 6310 . . . . . . 7  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) )  =  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) )
7976fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( 0g `  (Scalar `  m )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ) )
8079breq2d 4465 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  <->  f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ) ) )
81 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( linC  `  m
)  =  ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) )
8281oveqd 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  ( f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s 
\  { v } ) ) )
8382neeq1d 2744 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( (
f ( linC  `  m
) ( s  \  { v } ) )  =/=  v  <->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) )
8480, 83imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( (
f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  -> 
( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  (
f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s  \  { v } ) )  =/=  v ) ) )
8578, 84raleqbidv 3077 . . . . . 6  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) ) )
8685ralbidv 2906 . . . . 5  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  A. v  e.  s 
A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) ) )
8775, 86anbi12d 710 . . . 4  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( (
s linDepS  m  /\  A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  ->  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) )  <-> 
( s linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  /\  A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
) ) ) )
8874, 87rexeqbidv 3078 . . 3  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( E. s  e.  ~P  ( Base `  m ) ( s linDepS  m  /\  A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  ->  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) )  <->  E. s  e.  ~P  ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  /\  A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
) ) ) )
8988rspcev 3219 . 2  |-  ( ( (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  e.  LMod  /\  E. s  e.  ~P  ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s linDepS 
(ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  /\  A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) ) )  ->  E. m  e.  LMod  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  A. v  e.  s 
A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  ->  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) ) )
903, 72, 89mp2an 672 1  |-  E. m  e.  LMod  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  A. v  e.  s 
A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  ->  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818    \ cdif 3478   ~Pcpw 4016   {csn 4033   {cpr 4035   <.cop 4039   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   finSupp cfsupp 7841   0cc0 9504   1c1 9505   2c2 10597   3c3 10598   4c4 10599   6c6 10601   ZZcz 10876   Basecbs 14507  Scalarcsca 14575   0gc0g 14712   LModclmod 17383  ℤringzring 18358   freeLMod cfrlm 18646   linC clinc 32487   linDepS clindeps 32524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-dvds 13865  df-prm 14094  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-prds 14720  df-pws 14722  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-subg 16070  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-cring 17073  df-subrg 17298  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-cnfld 18291  df-zring 18359  df-dsmm 18632  df-frlm 18647  df-linc 32489  df-lininds 32525  df-lindeps 32527
This theorem is referenced by:  ldepslinc  32592
  Copyright terms: Public domain W3C validator