Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepsnlinc Structured version   Unicode version

Theorem ldepsnlinc 31055
Description: The reverse implication of islindeps2 31022 does not hold for arbitrary (left) modules, see note in [Roman] p. 112: "... if a nontrivial linear combination of the elements ... in an R-module M is 0, ... where not all of the coefficients are 0, then we cannot conclude ... that one of the elements ... is a linear combination of the others." This means that there is at least one left module having a linearly dependent subset in which there is at least one element which is not a linear combinantion of the other elements of this subset. Such a left module can be constructed by using zlmodzxzequa 31043 and zlmodzxznm 31044 (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
ldepsnlinc  |-  E. m  e.  LMod  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  A. v  e.  s 
A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  ->  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) )
Distinct variable group:    f, m, s, v

Proof of Theorem ldepsnlinc
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . 4  |-  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
21zlmodzxzlmod 30756 . . 3  |-  ( (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )
32simpli 458 . 2  |-  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  e. 
LMod
4 3z 10684 . . . . 5  |-  3  e.  ZZ
5 6nn 10488 . . . . . 6  |-  6  e.  NN
65nnzi 10675 . . . . 5  |-  6  e.  ZZ
71zlmodzxzel 30757 . . . . 5  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  6  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }  e.  (
Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )
84, 6, 7mp2an 672 . . . 4  |-  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  e.  ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) )
9 2z 10683 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
10 4nn 10486 . . . . . 6  |-  4  e.  NN
1110nnzi 10675 . . . . 5  |-  4  e.  ZZ
121zlmodzxzel 30757 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }  e.  (
Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )
139, 11, 12mp2an 672 . . . 4  |-  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }  e.  ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) )
14 prelpwi 4544 . . . 4  |-  ( ( { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }  e.  (
Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) )  /\  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. }  e.  ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  e.  ~P ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )
158, 13, 14mp2an 672 . . 3  |-  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  e.  ~P ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) )
16 eqid 2443 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  =  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }
17 eqid 2443 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }  =  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }
181, 16, 17zlmodzxzldep 31051 . . . 4  |-  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } } linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
191, 16, 17ldepsnlinclem1 31052 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( ( Base ` ring )  ^m  { { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } } )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } )  =/= 
{ <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } )
20 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->ring  =  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )
2120eqcomd 2448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
(Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) )  =ring )
222, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  (Scalar `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) )  =ring
2322fveq2i 5699 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  =  ( Base ` ring )
2423oveq1i 6106 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } } )  =  ( ( Base ` ring )  ^m  { { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } } )
2519, 24eleq2s 2535 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } )  =/= 
{ <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } )
2625a1d 25 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } )  -> 
( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } } )  =/=  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ) )
2726rgen 2786 . . . . 5  |-  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } } ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } } )  =/=  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } )
281, 16, 17ldepsnlinclem2 31053 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( ( Base ` ring )  ^m  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } } )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } } )  =/= 
{ <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } )
2923oveq1i 6106 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } } )  =  ( ( Base ` ring )  ^m  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } } )
3028, 29eleq2s 2535 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } } )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } } )  =/= 
{ <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } )
3130a1d 25 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } } )  -> 
( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } } )  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } ) )
3231rgen 2786 . . . . 5  |-  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } } ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } } )  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } )
33 prex 4539 . . . . . 6  |-  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  e.  _V
34 prex 4539 . . . . . 6  |-  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }  e.  _V
35 sneq 3892 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. }  ->  { v }  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } } )
3635difeq2d 3479 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. }  ->  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } )  =  ( { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  \  { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } } ) )
371, 16, 17zlmodzxzldeplem 31045 . . . . . . . . . 10  |-  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  =/=  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }
38 difprsn1 4015 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. }  ->  ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } } )  =  { { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } } )
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } } )  =  { { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }
4036, 39syl6eq 2491 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. }  ->  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } )  =  { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } } )
4140oveq2d 6112 . . . . . . 7  |-  ( v  =  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. }  ->  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } ) )
4240oveq2d 6112 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. }  ->  ( f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =  ( f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } ) )
43 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. }  ->  v  =  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } )
4442, 43neeq12d 2628 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. }  ->  ( ( f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v  <->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } } )  =/=  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ) )
4544imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( v  =  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. }  ->  ( ( f finSupp 
( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v )  <->  ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } )  =/= 
{ <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ) ) )
4641, 45raleqbidv 2936 . . . . . 6  |-  ( v  =  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. }  ->  ( A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v )  <->  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } } ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } } )  =/=  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ) ) )
47 sneq 3892 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. }  ->  { v }  =  { { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } } )
4847difeq2d 3479 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. }  ->  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } )  =  ( { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  \  { { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } } ) )
49 difprsn2 4016 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. }  ->  ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  { { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } } )  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } } )
5037, 49ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  { { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } } )  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } }
5148, 50syl6eq 2491 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. }  ->  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } )  =  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } } )
5251oveq2d 6112 . . . . . . 7  |-  ( v  =  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. }  ->  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } } ) )
5351oveq2d 6112 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. }  ->  ( f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =  ( f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } } ) )
54 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. }  ->  v  =  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } )
5553, 54neeq12d 2628 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. }  ->  ( ( f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v  <->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } } )  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } ) )
5655imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( v  =  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. }  ->  ( ( f finSupp 
( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v )  <->  ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } } )  =/= 
{ <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } ) ) )
5752, 56raleqbidv 2936 . . . . . 6  |-  ( v  =  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. }  ->  ( A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v )  <->  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } } ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } } )  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } ) ) )
5833, 34, 46, 57ralpr 3934 . . . . 5  |-  ( A. v  e.  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } } A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v )  <->  ( A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } } ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } } )  =/=  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } )  /\  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } } ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } } )  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } ) ) )
5927, 32, 58mpbir2an 911 . . . 4  |-  A. v  e.  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } } A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v )
6018, 59pm3.2i 455 . . 3  |-  ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  /\  A. v  e.  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } } A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v ) )
61 breq1 4300 . . . . 5  |-  ( s  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  ->  (
s linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  <->  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } } linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )
62 id 22 . . . . . 6  |-  ( s  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  ->  s  =  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } } )
63 difeq1 3472 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  ->  (
s  \  { v } )  =  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) )
6463oveq2d 6112 . . . . . . 7  |-  ( s  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  ->  (
( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  (
s  \  { v } ) )  =  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) ) )
6563oveq2d 6112 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  ->  (
f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s  \  { v } ) )  =  ( f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) ) )
6665neeq1d 2626 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  ->  (
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v  <->  ( f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v ) )
6766imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( s  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  ->  (
( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s  \  {
v } ) )  =/=  v )  <->  ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v ) ) )
6864, 67raleqbidv 2936 . . . . . 6  |-  ( s  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  ->  ( A. f  e.  (
( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v ) ) )
6962, 68raleqbidv 2936 . . . . 5  |-  ( s  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  ->  ( A. v  e.  s  A. f  e.  (
( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  A. v  e.  { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v ) ) )
7061, 69anbi12d 710 . . . 4  |-  ( s  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  ->  (
( s linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  /\  A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
) )  <->  ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  /\  A. v  e.  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } } A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v ) ) ) )
7170rspcev 3078 . . 3  |-  ( ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  e.  ~P ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) )  /\  ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  /\  A. v  e.  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } } A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v ) ) )  ->  E. s  e.  ~P  ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  /\  A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) ) )
7215, 60, 71mp2an 672 . 2  |-  E. s  e.  ~P  ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  /\  A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) )
73 fveq2 5696 . . . . 5  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( Base `  m )  =  (
Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )
7473pweqd 3870 . . . 4  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ~P ( Base `  m )  =  ~P ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )
75 breq2 4301 . . . . 5  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( s linDepS  m  <-> 
s linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )
76 fveq2 5696 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  (Scalar `  m
)  =  (Scalar `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) )
7776fveq2d 5700 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( Base `  (Scalar `  m )
)  =  ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ) )
7877oveq1d 6111 . . . . . . 7  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) )  =  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) )
7976fveq2d 5700 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( 0g `  (Scalar `  m )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ) )
8079breq2d 4309 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  <->  f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ) ) )
81 fveq2 5696 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( linC  `  m
)  =  ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) )
8281oveqd 6113 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  ( f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s 
\  { v } ) ) )
8382neeq1d 2626 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( (
f ( linC  `  m
) ( s  \  { v } ) )  =/=  v  <->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) )
8480, 83imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( (
f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  -> 
( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  (
f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s  \  { v } ) )  =/=  v ) ) )
8578, 84raleqbidv 2936 . . . . . 6  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) ) )
8685ralbidv 2740 . . . . 5  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  A. v  e.  s 
A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) ) )
8775, 86anbi12d 710 . . . 4  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( (
s linDepS  m  /\  A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  ->  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) )  <-> 
( s linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  /\  A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
) ) ) )
8874, 87rexeqbidv 2937 . . 3  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( E. s  e.  ~P  ( Base `  m ) ( s linDepS  m  /\  A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  ->  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) )  <->  E. s  e.  ~P  ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  /\  A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
) ) ) )
8988rspcev 3078 . 2  |-  ( ( (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  e.  LMod  /\  E. s  e.  ~P  ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s linDepS 
(ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  /\  A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) ) )  ->  E. m  e.  LMod  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  A. v  e.  s 
A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  ->  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) ) )
903, 72, 89mp2an 672 1  |-  E. m  e.  LMod  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  A. v  e.  s 
A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  ->  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721    \ cdif 3330   ~Pcpw 3865   {csn 3882   {cpr 3884   <.cop 3888   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    ^m cmap 7219   finSupp cfsupp 7625   0cc0 9287   1c1 9288   2c2 10376   3c3 10377   4c4 10378   6c6 10380   ZZcz 10651   Basecbs 14179  Scalarcsca 14246   0gc0g 14383   LModclmod 16953  ℤringzring 17888   freeLMod cfrlm 18176   linC clinc 30943   linDepS clindeps 30980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-rp 10997  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-dvds 13541  df-prm 13769  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-prds 14391  df-pws 14393  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-mulg 15553  df-subg 15683  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-cring 16653  df-subrg 16868  df-lmod 16955  df-lss 17019  df-sra 17258  df-rgmod 17259  df-cnfld 17824  df-zring 17889  df-dsmm 18162  df-frlm 18177  df-linc 30945  df-lininds 30981  df-lindeps 30983
This theorem is referenced by:  ldepslinc  31056
  Copyright terms: Public domain W3C validator