Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepsnlinc Structured version   Unicode version

Theorem ldepsnlinc 38553
Description: The reverse implication of islindeps2 38528 does not hold for arbitrary (left) modules, see note in [Roman] p. 112: "... if a nontrivial linear combination of the elements ... in an R-module M is 0, ... where not all of the coefficients are 0, then we cannot conclude ... that one of the elements ... is a linear combination of the others." This means that there is at least one left module having a linearly dependent subset in which there is at least one element which is not a linear combinantion of the other elements of this subset. Such a left module can be constructed by using zlmodzxzequa 38541 and zlmodzxznm 38542 (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
ldepsnlinc  |-  E. m  e.  LMod  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  A. v  e.  s 
A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  ->  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) )
Distinct variable group:    f, m, s, v

Proof of Theorem ldepsnlinc
StepHypRef Expression
1 eqid 2400 . . . 4  |-  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
21zlmodzxzlmod 38387 . . 3  |-  ( (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )
32simpli 456 . 2  |-  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  e. 
LMod
4 3z 10856 . . . . 5  |-  3  e.  ZZ
5 6nn 10656 . . . . . 6  |-  6  e.  NN
65nnzi 10847 . . . . 5  |-  6  e.  ZZ
71zlmodzxzel 38388 . . . . 5  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  6  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }  e.  (
Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )
84, 6, 7mp2an 670 . . . 4  |-  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  e.  ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) )
9 2z 10855 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
10 4z 10857 . . . . 5  |-  4  e.  ZZ
111zlmodzxzel 38388 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }  e.  (
Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )
129, 10, 11mp2an 670 . . . 4  |-  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }  e.  ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) )
13 prelpwi 4635 . . . 4  |-  ( ( { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }  e.  (
Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) )  /\  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. }  e.  ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  e.  ~P ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )
148, 12, 13mp2an 670 . . 3  |-  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  e.  ~P ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) )
15 eqid 2400 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  =  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }
16 eqid 2400 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }  =  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }
171, 15, 16zlmodzxzldep 38549 . . . 4  |-  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } } linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
181, 15, 16ldepsnlinclem1 38550 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( ( Base ` ring )  ^m  { { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } } )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } )  =/= 
{ <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } )
19 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->ring  =  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )
2019eqcomd 2408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
(Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) )  =ring )
212, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  (Scalar `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) )  =ring
2221fveq2i 5806 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  =  ( Base ` ring )
2322oveq1i 6242 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } } )  =  ( ( Base ` ring )  ^m  { { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } } )
2418, 23eleq2s 2508 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } )  =/= 
{ <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } )
2524a1d 25 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } )  -> 
( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } } )  =/=  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ) )
2625rgen 2761 . . . . 5  |-  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } } ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } } )  =/=  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } )
271, 15, 16ldepsnlinclem2 38551 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( ( Base ` ring )  ^m  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } } )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } } )  =/= 
{ <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } )
2822oveq1i 6242 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } } )  =  ( ( Base ` ring )  ^m  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } } )
2927, 28eleq2s 2508 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } } )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } } )  =/= 
{ <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } )
3029a1d 25 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } } )  -> 
( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } } )  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } ) )
3130rgen 2761 . . . . 5  |-  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } } ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } } )  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } )
32 prex 4630 . . . . . 6  |-  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  e.  _V
33 prex 4630 . . . . . 6  |-  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }  e.  _V
34 sneq 3979 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. }  ->  { v }  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } } )
3534difeq2d 3558 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. }  ->  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } )  =  ( { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  \  { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } } ) )
361, 15, 16zlmodzxzldeplem 38543 . . . . . . . . . 10  |-  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  =/=  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }
37 difprsn1 4105 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. }  ->  ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } } )  =  { { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } } )
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } } )  =  { { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }
3935, 38syl6eq 2457 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. }  ->  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } )  =  { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } } )
4039oveq2d 6248 . . . . . . 7  |-  ( v  =  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. }  ->  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } ) )
4139oveq2d 6248 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. }  ->  ( f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =  ( f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } ) )
42 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. }  ->  v  =  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } )
4341, 42neeq12d 2680 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. }  ->  ( ( f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v  <->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } } )  =/=  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ) )
4443imbi2d 314 . . . . . . 7  |-  ( v  =  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. }  ->  ( ( f finSupp 
( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v )  <->  ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } )  =/= 
{ <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ) ) )
4540, 44raleqbidv 3015 . . . . . 6  |-  ( v  =  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. }  ->  ( A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v )  <->  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } } ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } } )  =/=  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ) ) )
46 sneq 3979 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. }  ->  { v }  =  { { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } } )
4746difeq2d 3558 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. }  ->  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } )  =  ( { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  \  { { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } } ) )
48 difprsn2 4106 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. }  ->  ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  { { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } } )  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } } )
4936, 48ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  { { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } } )  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } }
5047, 49syl6eq 2457 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. }  ->  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } )  =  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } } )
5150oveq2d 6248 . . . . . . 7  |-  ( v  =  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. }  ->  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } } ) )
5250oveq2d 6248 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. }  ->  ( f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =  ( f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } } ) )
53 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. }  ->  v  =  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } )
5452, 53neeq12d 2680 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. }  ->  ( ( f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v  <->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } } )  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } ) )
5554imbi2d 314 . . . . . . 7  |-  ( v  =  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. }  ->  ( ( f finSupp 
( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v )  <->  ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } } )  =/= 
{ <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } ) ) )
5651, 55raleqbidv 3015 . . . . . 6  |-  ( v  =  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. }  ->  ( A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v )  <->  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } } ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } } )  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } ) ) )
5732, 33, 45, 56ralpr 4022 . . . . 5  |-  ( A. v  e.  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } } A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v )  <->  ( A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } } ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } } )  =/=  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } )  /\  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } } ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } } )  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } ) ) )
5826, 31, 57mpbir2an 919 . . . 4  |-  A. v  e.  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } } A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v )
5917, 58pm3.2i 453 . . 3  |-  ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  /\  A. v  e.  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } } A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v ) )
60 breq1 4395 . . . . 5  |-  ( s  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  ->  (
s linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  <->  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } } linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )
61 id 22 . . . . . 6  |-  ( s  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  ->  s  =  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } } )
62 difeq1 3551 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  ->  (
s  \  { v } )  =  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) )
6362oveq2d 6248 . . . . . . 7  |-  ( s  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  ->  (
( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  (
s  \  { v } ) )  =  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) ) )
6462oveq2d 6248 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  ->  (
f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s  \  { v } ) )  =  ( f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) ) )
6564neeq1d 2678 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  ->  (
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v  <->  ( f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v ) )
6665imbi2d 314 . . . . . . 7  |-  ( s  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  ->  (
( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s  \  {
v } ) )  =/=  v )  <->  ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v ) ) )
6763, 66raleqbidv 3015 . . . . . 6  |-  ( s  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  ->  ( A. f  e.  (
( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v ) ) )
6861, 67raleqbidv 3015 . . . . 5  |-  ( s  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  ->  ( A. v  e.  s  A. f  e.  (
( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  A. v  e.  { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v ) ) )
6960, 68anbi12d 709 . . . 4  |-  ( s  =  { { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } }  ->  (
( s linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  /\  A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
) )  <->  ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  /\  A. v  e.  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } } A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v ) ) ) )
7069rspcev 3157 . . 3  |-  ( ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  e.  ~P ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) )  /\  ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } } linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  /\  A. v  e.  { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. } ,  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } } A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( { { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } }  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( { { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ,  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. } }  \  {
v } ) )  =/=  v ) ) )  ->  E. s  e.  ~P  ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  /\  A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) ) )
7114, 59, 70mp2an 670 . 2  |-  E. s  e.  ~P  ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  /\  A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) )
72 fveq2 5803 . . . . 5  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( Base `  m )  =  (
Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )
7372pweqd 3957 . . . 4  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ~P ( Base `  m )  =  ~P ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )
74 breq2 4396 . . . . 5  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( s linDepS  m  <-> 
s linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )
75 fveq2 5803 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  (Scalar `  m
)  =  (Scalar `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) )
7675fveq2d 5807 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( Base `  (Scalar `  m )
)  =  ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ) )
7776oveq1d 6247 . . . . . . 7  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) )  =  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) )
7875fveq2d 5807 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( 0g `  (Scalar `  m )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ) )
7978breq2d 4404 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  <->  f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ) ) )
80 fveq2 5803 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( linC  `  m
)  =  ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) )
8180oveqd 6249 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  ( f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s 
\  { v } ) ) )
8281neeq1d 2678 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( (
f ( linC  `  m
) ( s  \  { v } ) )  =/=  v  <->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) )
8379, 82imbi12d 318 . . . . . . 7  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( (
f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  -> 
( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  (
f ( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s  \  { v } ) )  =/=  v ) ) )
8477, 83raleqbidv 3015 . . . . . 6  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) ) )
8584ralbidv 2840 . . . . 5  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  A. v  e.  s 
A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) ) )
8674, 85anbi12d 709 . . . 4  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( (
s linDepS  m  /\  A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  ->  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) )  <-> 
( s linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  /\  A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
) ) ) )
8773, 86rexeqbidv 3016 . . 3  |-  ( m  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  ->  ( E. s  e.  ~P  ( Base `  m ) ( s linDepS  m  /\  A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  ->  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) )  <->  E. s  e.  ~P  ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s linDepS  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  /\  A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  -> 
( f ( linC  `  (ring freeLMod  {
0 ,  1 } ) ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
) ) ) )
8887rspcev 3157 . 2  |-  ( ( (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  e.  LMod  /\  E. s  e.  ~P  ( Base `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s linDepS 
(ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  /\  A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) )  ->  ( f
( linC  `  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } ) ) ( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) ) )  ->  E. m  e.  LMod  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  A. v  e.  s 
A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  ->  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) ) )
893, 71, 88mp2an 670 1  |-  E. m  e.  LMod  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  A. v  e.  s 
A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  ->  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840    =/= wne 2596   A.wral 2751   E.wrex 2752    \ cdif 3408   ~Pcpw 3952   {csn 3969   {cpr 3971   <.cop 3975   class class class wbr 4392   ` cfv 5523  (class class class)co 6232    ^m cmap 7375   finSupp cfsupp 7781   0cc0 9440   1c1 9441   2c2 10544   3c3 10545   4c4 10546   6c6 10548   ZZcz 10823   Basecbs 14731  Scalarcsca 14802   0gc0g 14944   LModclmod 17722  ℤringzring 18698   freeLMod cfrlm 18965   linC clinc 38449   linDepS clindeps 38486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518  ax-addf 9519  ax-mulf 9520
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-iin 4271  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-of 6475  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-supp 6855  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-2o 7086  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-ixp 7426  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-fsupp 7782  df-sup 7853  df-oi 7887  df-card 8270  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-9 10560  df-10 10561  df-n0 10755  df-z 10824  df-dec 10938  df-uz 11044  df-rp 11182  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-seq 12060  df-exp 12119  df-hash 12358  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-dvds 14086  df-prm 14317  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-ress 14738  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-starv 14814  df-sca 14815  df-vsca 14816  df-ip 14817  df-tset 14818  df-ple 14819  df-ds 14821  df-unif 14822  df-hom 14823  df-cco 14824  df-0g 14946  df-gsum 14947  df-prds 14952  df-pws 14954  df-mre 15090  df-mrc 15091  df-acs 15093  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-submnd 16181  df-grp 16271  df-minusg 16272  df-sbg 16273  df-mulg 16274  df-subg 16412  df-cntz 16569  df-cmn 17014  df-abl 17015  df-mgp 17352  df-ur 17364  df-ring 17410  df-cring 17411  df-subrg 17637  df-lmod 17724  df-lss 17789  df-sra 18028  df-rgmod 18029  df-cnfld 18631  df-zring 18699  df-dsmm 18951  df-frlm 18966  df-linc 38451  df-lininds 38487  df-lindeps 38489
This theorem is referenced by:  ldepslinc  38554
  Copyright terms: Public domain W3C validator