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Theorem ldepslinc 40575
Description: For (left) vector spaces, isldepslvec2 40551 provides an alternative definition of being a linearly dependent subset, whereas ldepsnlinc 40574 indicates that there is not an analogous alternative definition for arbitrary (left) modules. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
ldepslinc  |-  ( A. m  e.  LVec  A. s  e.  ~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  /\  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =  v ) )  /\  -.  A. m  e.  LMod  A. s  e.  ~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  /\  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =  v ) ) )
Distinct variable group:    f, m, s, v

Proof of Theorem ldepslinc
StepHypRef Expression
1 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( Base `  m )  =  (
Base `  m )
2 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( 0g
`  m )  =  ( 0g `  m
)
3 eqid 2462 . . . . 5  |-  (Scalar `  m )  =  (Scalar `  m )
4 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  m )
)  =  ( Base `  (Scalar `  m )
)
5 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)
61, 2, 3, 4, 5isldepslvec2 40551 . . . 4  |-  ( ( m  e.  LVec  /\  s  e.  ~P ( Base `  m
) )  ->  ( E. v  e.  s  E. f  e.  (
( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  /\  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =  v )  <->  s linDepS  m ) )
76bicomd 206 . . 3  |-  ( ( m  e.  LVec  /\  s  e.  ~P ( Base `  m
) )  ->  (
s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) ) )
87rgen2 2825 . 2  |-  A. m  e.  LVec  A. s  e.  ~P  ( Base `  m )
( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )
9 ldepsnlinc 40574 . . . . . . 7  |-  E. m  e.  LMod  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  A. v  e.  s 
A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  ->  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) )
10 df-ne 2635 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f ( linC  `  m
) ( s  \  { v } ) )  =/=  v  <->  -.  (
f ( linC  `  m
) ( s  \  { v } ) )  =  v )
1110imbi2i 318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m
) )  ->  -.  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =  v ) )
12 imnan 428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  -.  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  <->  -.  (
f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  /\  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =  v ) )
1311, 12bitri 257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  -.  ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  /\  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =  v ) )
1413ralbii 2831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) )  -.  ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m
) )  /\  (
f ( linC  `  m
) ( s  \  { v } ) )  =  v ) )
15 ralnex 2846 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) )  -.  ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  <->  -.  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )
1614, 15bitri 257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  -.  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )
1716ralbii 2831 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  A. v  e.  s  -.  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )
18 ralnex 2846 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. v  e.  s  -.  E. f  e.  ( (
Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  /\  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =  v )  <->  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )
1917, 18bitri 257 . . . . . . . . 9  |-  ( A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )
2019anbi2i 705 . . . . . . . 8  |-  ( ( s linDepS  m  /\  A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  ->  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) )  <-> 
( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) ) )
21202rexbii 2902 . . . . . . 7  |-  ( E. m  e.  LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  A. v  e.  s 
A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  ->  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) )  <->  E. m  e.  LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m ) ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  /\  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =  v ) ) )
229, 21mpbi 213 . . . . . 6  |-  E. m  e.  LMod  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )
2322orci 396 . . . . 5  |-  ( E. m  e.  LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  E. m  e. 
LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m )
( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) )
24 r19.43 2958 . . . . 5  |-  ( E. m  e.  LMod  ( E. s  e.  ~P  ( Base `  m )
( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) )  <-> 
( E. m  e. 
LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m )
( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  E. m  e. 
LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m )
( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) ) )
2523, 24mpbir 214 . . . 4  |-  E. m  e.  LMod  ( E. s  e.  ~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) )
26 r19.43 2958 . . . . 5  |-  ( E. s  e.  ~P  ( Base `  m ) ( ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) )  <-> 
( E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) ) )
2726rexbii 2901 . . . 4  |-  ( E. m  e.  LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m
) ( ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) )  <->  E. m  e.  LMod  ( E. s  e.  ~P  ( Base `  m )
( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) ) )
2825, 27mpbir 214 . . 3  |-  E. m  e.  LMod  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) )
29 xor 907 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  <-> 
( ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) ) )
3029bicomi 207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) )  <->  -.  ( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) ) )
3130rexbii 2901 . . . . . 6  |-  ( E. s  e.  ~P  ( Base `  m ) ( ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) )  <->  E. s  e.  ~P  ( Base `  m )  -.  ( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) ) )
32 rexnal 2848 . . . . . 6  |-  ( E. s  e.  ~P  ( Base `  m )  -.  ( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  <->  -.  A. s  e.  ~P  ( Base `  m )
( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) ) )
3331, 32bitri 257 . . . . 5  |-  ( E. s  e.  ~P  ( Base `  m ) ( ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
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3433rexbii 2901 . . . 4  |-  ( E. m  e.  LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m
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A. s  e.  ~P  ( Base `  m )
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35 rexnal 2848 . . . 4  |-  ( E. m  e.  LMod  -.  A. s  e.  ~P  ( Base `  m ) ( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
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3634, 35bitri 257 . . 3  |-  ( E. m  e.  LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m
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Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750    \ cdif 3413   ~Pcpw 3963   {csn 3980   class class class wbr 4416   ` cfv 5601  (class class class)co 6315    ^m cmap 7498   finSupp cfsupp 7909   Basecbs 15170  Scalarcsca 15242   0gc0g 15387   LModclmod 18140   LVecclvec 18374   linC clinc 40470   linDepS clindeps 40507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-inf2 8172  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-pre-sup 9643  ax-addf 9644  ax-mulf 9645
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