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Theorem ldepslinc 32066
Description: For (left) vector spaces, isldepslvec2 32034 provides an alternative definition of being a linearly dependent subset, whereas ldepsnlinc 32065 indicates that there is not an analogous alternative definition for arbitrary (left) modules. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
ldepslinc  |-  ( A. m  e.  LVec  A. s  e.  ~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  /\  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =  v ) )  /\  -.  A. m  e.  LMod  A. s  e.  ~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  /\  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =  v ) ) )
Distinct variable group:    f, m, s, v

Proof of Theorem ldepslinc
StepHypRef Expression
1 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( Base `  m )  =  (
Base `  m )
2 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( 0g
`  m )  =  ( 0g `  m
)
3 eqid 2460 . . . . 5  |-  (Scalar `  m )  =  (Scalar `  m )
4 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  m )
)  =  ( Base `  (Scalar `  m )
)
5 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)
61, 2, 3, 4, 5isldepslvec2 32034 . . . 4  |-  ( ( m  e.  LVec  /\  s  e.  ~P ( Base `  m
) )  ->  ( E. v  e.  s  E. f  e.  (
( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  /\  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =  v )  <->  s linDepS  m ) )
76bicomd 201 . . 3  |-  ( ( m  e.  LVec  /\  s  e.  ~P ( Base `  m
) )  ->  (
s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) ) )
87rgen2 2882 . 2  |-  A. m  e.  LVec  A. s  e.  ~P  ( Base `  m )
( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )
9 ldepsnlinc 32065 . . . . . . 7  |-  E. m  e.  LMod  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  A. v  e.  s 
A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  ->  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) )
10 df-ne 2657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f ( linC  `  m
) ( s  \  { v } ) )  =/=  v  <->  -.  (
f ( linC  `  m
) ( s  \  { v } ) )  =  v )
1110imbi2i 312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m
) )  ->  -.  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =  v ) )
12 imnan 422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  -.  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  <->  -.  (
f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  /\  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =  v ) )
1311, 12bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  -.  ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  /\  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =  v ) )
1413ralbii 2888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) )  -.  ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m
) )  /\  (
f ( linC  `  m
) ( s  \  { v } ) )  =  v ) )
15 ralnex 2903 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) )  -.  ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  <->  -.  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )
1614, 15bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  -.  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )
1716ralbii 2888 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  A. v  e.  s  -.  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )
18 ralnex 2903 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. v  e.  s  -.  E. f  e.  ( (
Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  /\  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =  v )  <->  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )
1917, 18bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )
2019anbi2i 694 . . . . . . . 8  |-  ( ( s linDepS  m  /\  A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  ->  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) )  <-> 
( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) ) )
21202rexbii 2959 . . . . . . 7  |-  ( E. m  e.  LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  A. v  e.  s 
A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  ->  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) )  <->  E. m  e.  LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m ) ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  /\  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =  v ) ) )
229, 21mpbi 208 . . . . . 6  |-  E. m  e.  LMod  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )
2322orci 390 . . . . 5  |-  ( E. m  e.  LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  E. m  e. 
LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m )
( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) )
24 r19.43 3010 . . . . 5  |-  ( E. m  e.  LMod  ( E. s  e.  ~P  ( Base `  m )
( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) )  <-> 
( E. m  e. 
LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m )
( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  E. m  e. 
LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m )
( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) ) )
2523, 24mpbir 209 . . . 4  |-  E. m  e.  LMod  ( E. s  e.  ~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) )
26 r19.43 3010 . . . . 5  |-  ( E. s  e.  ~P  ( Base `  m ) ( ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) )  <-> 
( E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) ) )
2726rexbii 2958 . . . 4  |-  ( E. m  e.  LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m
) ( ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) )  <->  E. m  e.  LMod  ( E. s  e.  ~P  ( Base `  m )
( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) ) )
2825, 27mpbir 209 . . 3  |-  E. m  e.  LMod  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) )
29 xor 887 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  <-> 
( ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) ) )
3029bicomi 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) )  <->  -.  ( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) ) )
3130rexbii 2958 . . . . . 6  |-  ( E. s  e.  ~P  ( Base `  m ) ( ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) )  <->  E. s  e.  ~P  ( Base `  m )  -.  ( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) ) )
32 rexnal 2905 . . . . . 6  |-  ( E. s  e.  ~P  ( Base `  m )  -.  ( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  <->  -.  A. s  e.  ~P  ( Base `  m )
( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) ) )
3331, 32bitri 249 . . . . 5  |-  ( E. s  e.  ~P  ( Base `  m ) ( ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
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( linC  `  m )
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( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
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3433rexbii 2958 . . . 4  |-  ( E. m  e.  LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m
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( linC  `  m )
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`  (Scalar `  m )
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A. s  e.  ~P  ( Base `  m )
( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
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`  (Scalar `  m )
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( linC  `  m )
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35 rexnal 2905 . . . 4  |-  ( E. m  e.  LMod  -.  A. s  e.  ~P  ( Base `  m ) ( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
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`  (Scalar `  m )
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3634, 35bitri 249 . . 3  |-  ( E. m  e.  LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m
) ( ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
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`  (Scalar `  m )
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`  (Scalar `  m )
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( linC  `  m )
( s  \  {
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3728, 36mpbi 208 . 2  |-  -.  A. m  e.  LMod  A. s  e.  ~P  ( Base `  m
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388, 37pm3.2i 455 1  |-  ( A. m  e.  LVec  A. s  e.  ~P  ( Base `  m
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\  { v } ) )  =  v ) )  /\  -.  A. m  e.  LMod  A. s  e.  ~P  ( Base `  m
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Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808    \ cdif 3466   ~Pcpw 4003   {csn 4020   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    ^m cmap 7410   finSupp cfsupp 7818   Basecbs 14479  Scalarcsca 14547   0gc0g 14684   LModclmod 17288   LVecclvec 17524   linC clinc 31953   linDepS clindeps 31990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-rp 11210  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-dvds 13837  df-prm 14066  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-prds 14692  df-pws 14694  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-mhm 15770  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-mulg 15854  df-subg 15986  df-ghm 16053  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-cring 16982  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-invr 17098  df-drng 17174  df-subrg 17203  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-lvec 17525  df-sra 17594  df-rgmod 17595  df-nzr 17681  df-cnfld 18185  df-zring 18250  df-dsmm 18523  df-frlm 18538  df-linc 31955  df-lininds 31991  df-lindeps 31993
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