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Theorem ldepslinc 39895
Description: For (left) vector spaces, isldepslvec2 39871 provides an alternative definition of being a linearly dependent subset, whereas ldepsnlinc 39894 indicates that there is not an analogous alternative definition for arbitrary (left) modules. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
ldepslinc  |-  ( A. m  e.  LVec  A. s  e.  ~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  /\  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =  v ) )  /\  -.  A. m  e.  LMod  A. s  e.  ~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  /\  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =  v ) ) )
Distinct variable group:    f, m, s, v

Proof of Theorem ldepslinc
StepHypRef Expression
1 eqid 2423 . . . . 5  |-  ( Base `  m )  =  (
Base `  m )
2 eqid 2423 . . . . 5  |-  ( 0g
`  m )  =  ( 0g `  m
)
3 eqid 2423 . . . . 5  |-  (Scalar `  m )  =  (Scalar `  m )
4 eqid 2423 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  m )
)  =  ( Base `  (Scalar `  m )
)
5 eqid 2423 . . . . 5  |-  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)
61, 2, 3, 4, 5isldepslvec2 39871 . . . 4  |-  ( ( m  e.  LVec  /\  s  e.  ~P ( Base `  m
) )  ->  ( E. v  e.  s  E. f  e.  (
( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  /\  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =  v )  <->  s linDepS  m ) )
76bicomd 204 . . 3  |-  ( ( m  e.  LVec  /\  s  e.  ~P ( Base `  m
) )  ->  (
s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) ) )
87rgen2 2785 . 2  |-  A. m  e.  LVec  A. s  e.  ~P  ( Base `  m )
( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )
9 ldepsnlinc 39894 . . . . . . 7  |-  E. m  e.  LMod  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  A. v  e.  s 
A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  ->  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) )
10 df-ne 2596 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f ( linC  `  m
) ( s  \  { v } ) )  =/=  v  <->  -.  (
f ( linC  `  m
) ( s  \  { v } ) )  =  v )
1110imbi2i 313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m
) )  ->  -.  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =  v ) )
12 imnan 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  -.  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  <->  -.  (
f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  /\  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =  v ) )
1311, 12bitri 252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  -.  ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  /\  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =  v ) )
1413ralbii 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) )  -.  ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m
) )  /\  (
f ( linC  `  m
) ( s  \  { v } ) )  =  v ) )
15 ralnex 2806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) )  -.  ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  <->  -.  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )
1614, 15bitri 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  -.  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )
1716ralbii 2791 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  A. v  e.  s  -.  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )
18 ralnex 2806 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. v  e.  s  -.  E. f  e.  ( (
Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  /\  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =  v )  <->  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )
1917, 18bitri 252 . . . . . . . . 9  |-  ( A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )
2019anbi2i 698 . . . . . . . 8  |-  ( ( s linDepS  m  /\  A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  ->  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) )  <-> 
( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) ) )
21202rexbii 2862 . . . . . . 7  |-  ( E. m  e.  LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  A. v  e.  s 
A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  ->  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) )  <->  E. m  e.  LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m ) ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  /\  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =  v ) ) )
229, 21mpbi 211 . . . . . 6  |-  E. m  e.  LMod  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )
2322orci 391 . . . . 5  |-  ( E. m  e.  LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  E. m  e. 
LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m )
( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) )
24 r19.43 2918 . . . . 5  |-  ( E. m  e.  LMod  ( E. s  e.  ~P  ( Base `  m )
( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) )  <-> 
( E. m  e. 
LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m )
( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  E. m  e. 
LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m )
( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) ) )
2523, 24mpbir 212 . . . 4  |-  E. m  e.  LMod  ( E. s  e.  ~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) )
26 r19.43 2918 . . . . 5  |-  ( E. s  e.  ~P  ( Base `  m ) ( ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) )  <-> 
( E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) ) )
2726rexbii 2861 . . . 4  |-  ( E. m  e.  LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m
) ( ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) )  <->  E. m  e.  LMod  ( E. s  e.  ~P  ( Base `  m )
( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) ) )
2825, 27mpbir 212 . . 3  |-  E. m  e.  LMod  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) )
29 xor 899 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  <-> 
( ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) ) )
3029bicomi 205 . . . . . . 7  |-  ( ( ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) )  <->  -.  ( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) ) )
3130rexbii 2861 . . . . . 6  |-  ( E. s  e.  ~P  ( Base `  m ) ( ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) )  <->  E. s  e.  ~P  ( Base `  m )  -.  ( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) ) )
32 rexnal 2808 . . . . . 6  |-  ( E. s  e.  ~P  ( Base `  m )  -.  ( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  <->  -.  A. s  e.  ~P  ( Base `  m )
( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) ) )
3331, 32bitri 252 . . . . 5  |-  ( E. s  e.  ~P  ( Base `  m ) ( ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
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3433rexbii 2861 . . . 4  |-  ( E. m  e.  LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m
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A. s  e.  ~P  ( Base `  m )
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35 rexnal 2808 . . . 4  |-  ( E. m  e.  LMod  -.  A. s  e.  ~P  ( Base `  m ) ( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
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3634, 35bitri 252 . . 3  |-  ( E. m  e.  LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m
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3728, 36mpbi 211 . 2  |-  -.  A. m  e.  LMod  A. s  e.  ~P  ( Base `  m
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Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2594   A.wral 2709   E.wrex 2710    \ cdif 3371   ~Pcpw 3919   {csn 3936   class class class wbr 4361   ` cfv 5539  (class class class)co 6244    ^m cmap 7422   finSupp cfsupp 7831   Basecbs 15059  Scalarcsca 15131   0gc0g 15276   LModclmod 18029   LVecclvec 18263   linC clinc 39790   linDepS clindeps 39827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-rep 4474  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-inf2 8094  ax-cnex 9541  ax-resscn 9542  ax-1cn 9543  ax-icn 9544  ax-addcl 9545  ax-addrcl 9546  ax-mulcl 9547  ax-mulrcl 9548  ax-mulcom 9549  ax-addass 9550  ax-mulass 9551  ax-distr 9552  ax-i2m1 9553  ax-1ne0 9554  ax-1rid 9555  ax-rnegex 9556  ax-rrecex 9557  ax-cnre 9558  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560  ax-pre-ltadd 9561  ax-pre-mulgt0 9562  ax-pre-sup 9563  ax-addf 9564  ax-mulf 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-int 4194  df-iun 4239  df-iin 4240  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-se 4751  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-isom 5548  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-of 6484  df-om 6646  df-1st 6746  df-2nd 6747  df-supp 6865  df-tpos 6923  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7473  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-fin 7523  df-fsupp 7832  df-sup 7904  df-inf 7905  df-oi 7973  df-card 8320  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10216  df-nn 10556  df-2 10614  df-3 10615  df-4 10616  df-5 10617  df-6 10618  df-7 10619  df-8 10620  df-9 10621  df-10 10622  df-n0 10816  df-z 10884  df-dec 10998  df-uz 11106  df-rp 11249  df-fz 11731  df-fzo 11862  df-seq 12159  df-exp 12218  df-hash 12461  df-cj 13101  df-re 13102  df-im 13103  df-sqrt 13237  df-abs 13238  df-dvds 14244  df-prm 14561  df-struct 15061  df-ndx 15062  df-slot 15063  df-base 15064  df-sets 15065  df-ress 15066  df-plusg 15141  df-mulr 15142  df-starv 15143  df-sca 15144  df-vsca 15145  df-ip 15146  df-tset 15147  df-ple 15148  df-ds 15150  df-unif 15151  df-hom 15152  df-cco 15153  df-0g 15278  df-gsum 15279  df-prds 15284  df-pws 15286  df-mre 15430  df-mrc 15431  df-acs 15433  df-mgm 16426  df-sgrp 16465  df-mnd 16475  df-mhm 16520  df-submnd 16521  df-grp 16611  df-minusg 16612  df-sbg 16613  df-mulg 16614  df-subg 16752  df-ghm 16819  df-cntz 16909  df-cmn 17370  df-abl 17371  df-mgp 17662  df-ur 17674  df-ring 17720  df-cring 17721  df-oppr 17789  df-dvdsr 17807  df-unit 17808  df-invr 17838  df-drng 17915  df-subrg 17944  df-lmod 18031  df-lss 18094  df-lvec 18264  df-sra 18333  df-rgmod 18334  df-nzr 18420  df-cnfld 18909  df-zring 18977  df-dsmm 19232  df-frlm 19247  df-linc 39792  df-lininds 39828  df-lindeps 39830
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