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Theorem ldepslinc 38621
Description: For (left) vector spaces, isldepslvec2 38597 provides an alternative definition of being a linearly dependent subset, whereas ldepsnlinc 38620 indicates that there is not an analogous alternative definition for arbitrary (left) modules. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
ldepslinc  |-  ( A. m  e.  LVec  A. s  e.  ~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  /\  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =  v ) )  /\  -.  A. m  e.  LMod  A. s  e.  ~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  /\  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =  v ) ) )
Distinct variable group:    f, m, s, v

Proof of Theorem ldepslinc
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Base `  m )  =  (
Base `  m )
2 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( 0g
`  m )  =  ( 0g `  m
)
3 eqid 2402 . . . . 5  |-  (Scalar `  m )  =  (Scalar `  m )
4 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  m )
)  =  ( Base `  (Scalar `  m )
)
5 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)
61, 2, 3, 4, 5isldepslvec2 38597 . . . 4  |-  ( ( m  e.  LVec  /\  s  e.  ~P ( Base `  m
) )  ->  ( E. v  e.  s  E. f  e.  (
( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  /\  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =  v )  <->  s linDepS  m ) )
76bicomd 201 . . 3  |-  ( ( m  e.  LVec  /\  s  e.  ~P ( Base `  m
) )  ->  (
s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) ) )
87rgen2 2829 . 2  |-  A. m  e.  LVec  A. s  e.  ~P  ( Base `  m )
( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )
9 ldepsnlinc 38620 . . . . . . 7  |-  E. m  e.  LMod  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  A. v  e.  s 
A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  ->  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) )
10 df-ne 2600 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f ( linC  `  m
) ( s  \  { v } ) )  =/=  v  <->  -.  (
f ( linC  `  m
) ( s  \  { v } ) )  =  v )
1110imbi2i 310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m
) )  ->  -.  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =  v ) )
12 imnan 420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  -.  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  <->  -.  (
f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  /\  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =  v ) )
1311, 12bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  -.  ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  /\  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =  v ) )
1413ralbii 2835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) )  -.  ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m
) )  /\  (
f ( linC  `  m
) ( s  \  { v } ) )  =  v ) )
15 ralnex 2850 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) )  -.  ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  <->  -.  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )
1614, 15bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  -.  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )
1716ralbii 2835 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  A. v  e.  s  -.  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )
18 ralnex 2850 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. v  e.  s  -.  E. f  e.  ( (
Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  /\  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =  v )  <->  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )
1917, 18bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  ->  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =/=  v
)  <->  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )
2019anbi2i 692 . . . . . . . 8  |-  ( ( s linDepS  m  /\  A. v  e.  s  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  ->  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) )  <-> 
( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) ) )
21202rexbii 2907 . . . . . . 7  |-  ( E. m  e.  LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  A. v  e.  s 
A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  ->  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =/=  v ) )  <->  E. m  e.  LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m ) ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m
) )  ^m  (
s  \  { v } ) ) ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  m ) )  /\  ( f ( linC  `  m ) ( s 
\  { v } ) )  =  v ) ) )
229, 21mpbi 208 . . . . . 6  |-  E. m  e.  LMod  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )
2322orci 388 . . . . 5  |-  ( E. m  e.  LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  E. m  e. 
LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m )
( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) )
24 r19.43 2963 . . . . 5  |-  ( E. m  e.  LMod  ( E. s  e.  ~P  ( Base `  m )
( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) )  <-> 
( E. m  e. 
LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m )
( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  E. m  e. 
LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m )
( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) ) )
2523, 24mpbir 209 . . . 4  |-  E. m  e.  LMod  ( E. s  e.  ~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) )
26 r19.43 2963 . . . . 5  |-  ( E. s  e.  ~P  ( Base `  m ) ( ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) )  <-> 
( E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) ) )
2726rexbii 2906 . . . 4  |-  ( E. m  e.  LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m
) ( ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) )  <->  E. m  e.  LMod  ( E. s  e.  ~P  ( Base `  m )
( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) ) )
2825, 27mpbir 209 . . 3  |-  E. m  e.  LMod  E. s  e. 
~P  ( Base `  m
) ( ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) )
29 xor 892 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  <-> 
( ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) ) )
3029bicomi 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) )  <->  -.  ( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) ) )
3130rexbii 2906 . . . . . 6  |-  ( E. s  e.  ~P  ( Base `  m ) ( ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  \/  ( E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v )  /\  -.  s linDepS  m ) )  <->  E. s  e.  ~P  ( Base `  m )  -.  ( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) ) )
32 rexnal 2852 . . . . . 6  |-  ( E. s  e.  ~P  ( Base `  m )  -.  ( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) )  <->  -.  A. s  e.  ~P  ( Base `  m )
( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  m )
)  /\  ( f
( linC  `  m )
( s  \  {
v } ) )  =  v ) ) )
3331, 32bitri 249 . . . . 5  |-  ( E. s  e.  ~P  ( Base `  m ) ( ( s linDepS  m  /\  -.  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
v } ) ) ( f finSupp  ( 0g
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3433rexbii 2906 . . . 4  |-  ( E. m  e.  LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m
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A. s  e.  ~P  ( Base `  m )
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35 rexnal 2852 . . . 4  |-  ( E. m  e.  LMod  -.  A. s  e.  ~P  ( Base `  m ) ( s linDepS  m  <->  E. v  e.  s  E. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  m ) )  ^m  ( s  \  {
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3634, 35bitri 249 . . 3  |-  ( E. m  e.  LMod  E. s  e.  ~P  ( Base `  m
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3728, 36mpbi 208 . 2  |-  -.  A. m  e.  LMod  A. s  e.  ~P  ( Base `  m
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388, 37pm3.2i 453 1  |-  ( A. m  e.  LVec  A. s  e.  ~P  ( Base `  m
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Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755    \ cdif 3411   ~Pcpw 3955   {csn 3972   class class class wbr 4395   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    ^m cmap 7457   finSupp cfsupp 7863   Basecbs 14841  Scalarcsca 14912   0gc0g 15054   LModclmod 17832   LVecclvec 18068   linC clinc 38516   linDepS clindeps 38553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-tpos 6958  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-rp 11266  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-dvds 14196  df-prm 14427  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-prds 15062  df-pws 15064  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mhm 16290  df-submnd 16291  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-mulg 16384  df-subg 16522  df-ghm 16589  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-abl 17125  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-cring 17521  df-oppr 17592  df-dvdsr 17610  df-unit 17611  df-invr 17641  df-drng 17718  df-subrg 17747  df-lmod 17834  df-lss 17899  df-lvec 18069  df-sra 18138  df-rgmod 18139  df-nzr 18226  df-cnfld 18741  df-zring 18809  df-dsmm 19061  df-frlm 19076  df-linc 38518  df-lininds 38554  df-lindeps 38556
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