Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcvexchlem3 Structured version   Unicode version

Theorem lcvexchlem3 32035
Description: Lemma for lcvexch 32038. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcvexch.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lcvexch.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lcvexch.c  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
lcvexch.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lcvexch.t  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
lcvexch.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lcvexch.q  |-  ( ph  ->  R  e.  S )
lcvexch.d  |-  ( ph  ->  T  C_  R )
lcvexch.e  |-  ( ph  ->  R  C_  ( T  .(+) 
U ) )
Assertion
Ref Expression
lcvexchlem3  |-  ( ph  ->  ( ( R  i^i  U )  .(+)  T )  =  R )

Proof of Theorem lcvexchlem3
StepHypRef Expression
1 lcvexch.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lcvexch.s . . . . . 6  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
32lsssssubg 17816 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
41, 3syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  (SubGrp `  W
) )
5 lcvexch.q . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  S )
64, 5sseldd 3442 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubGrp `  W ) )
7 lcvexch.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
84, 7sseldd 3442 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
9 lcvexch.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
104, 9sseldd 3442 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  W ) )
11 lcvexch.d . . 3  |-  ( ph  ->  T  C_  R )
12 lcvexch.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
1312lsmmod2 16910 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  (SubGrp `  W )  /\  U  e.  (SubGrp `  W )  /\  T  e.  (SubGrp `  W ) )  /\  T  C_  R )  -> 
( R  i^i  ( U  .(+)  T ) )  =  ( ( R  i^i  U )  .(+)  T ) )
146, 8, 10, 11, 13syl31anc 1233 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  i^i  ( U  .(+)  T ) )  =  ( ( R  i^i  U )  .(+)  T ) )
15 lcvexch.e . . . 4  |-  ( ph  ->  R  C_  ( T  .(+) 
U ) )
16 lmodabl 17769 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
171, 16syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
1812lsmcom 17080 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  Abel  /\  T  e.  (SubGrp `  W )  /\  U  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( T  .(+)  U )  =  ( U  .(+)  T ) )
1917, 10, 8, 18syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  .(+)  U )  =  ( U  .(+)  T ) )
2015, 19sseqtrd 3477 . . 3  |-  ( ph  ->  R  C_  ( U  .(+) 
T ) )
21 df-ss 3427 . . 3  |-  ( R 
C_  ( U  .(+)  T )  <->  ( R  i^i  ( U  .(+)  T ) )  =  R )
2220, 21sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  i^i  ( U  .(+)  T ) )  =  R )
2314, 22eqtr3d 2445 1  |-  ( ph  ->  ( ( R  i^i  U )  .(+)  T )  =  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842    i^i cin 3412    C_ wss 3413   ` cfv 5525  (class class class)co 6234  SubGrpcsubg 16411   LSSumclsm 16870   Abelcabl 17015   LModclmod 17724   LSubSpclss 17790    <oLL clcv 32017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-tpos 6912  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-0g 14948  df-mre 15092  df-mrc 15093  df-acs 15095  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-submnd 16183  df-grp 16273  df-minusg 16274  df-sbg 16275  df-subg 16414  df-oppg 16597  df-lsm 16872  df-cmn 17016  df-abl 17017  df-mgp 17354  df-ur 17366  df-ring 17412  df-lmod 17726  df-lss 17791
This theorem is referenced by:  lcvexchlem5  32037
  Copyright terms: Public domain W3C validator