Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcvexchlem2 Structured version   Unicode version

Theorem lcvexchlem2 32692
Description: Lemma for lcvexch 32696. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcvexch.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lcvexch.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lcvexch.c  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
lcvexch.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lcvexch.t  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
lcvexch.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lcvexch.r  |-  ( ph  ->  R  e.  S )
lcvexch.a  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  C_  R )
lcvexch.b  |-  ( ph  ->  R  C_  U )
Assertion
Ref Expression
lcvexchlem2  |-  ( ph  ->  ( ( R  .(+)  T )  i^i  U )  =  R )

Proof of Theorem lcvexchlem2
StepHypRef Expression
1 lcvexch.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lcvexch.s . . . . . 6  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
32lsssssubg 17051 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
41, 3syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  (SubGrp `  W
) )
5 lcvexch.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  S )
64, 5sseldd 3369 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubGrp `  W ) )
7 lcvexch.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
84, 7sseldd 3369 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  W ) )
9 lcvexch.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
104, 9sseldd 3369 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
11 lcvexch.b . . 3  |-  ( ph  ->  R  C_  U )
12 lcvexch.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
1312lsmmod 16184 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  (SubGrp `  W )  /\  T  e.  (SubGrp `  W )  /\  U  e.  (SubGrp `  W ) )  /\  R  C_  U )  -> 
( R  .(+)  ( T  i^i  U ) )  =  ( ( R 
.(+)  T )  i^i  U
) )
146, 8, 10, 11, 13syl31anc 1221 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  .(+)  ( T  i^i  U ) )  =  ( ( R 
.(+)  T )  i^i  U
) )
152lssincl 17058 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  ( T  i^i  U )  e.  S )
161, 7, 9, 15syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  e.  S )
174, 16sseldd 3369 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  e.  (SubGrp `  W ) )
18 lcvexch.a . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  C_  R )
1912lsmss2 16177 . . 3  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( T  i^i  U )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( T  i^i  U
)  C_  R )  ->  ( R  .(+)  ( T  i^i  U ) )  =  R )
206, 17, 18, 19syl3anc 1218 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  .(+)  ( T  i^i  U ) )  =  R )
2114, 20eqtr3d 2477 1  |-  ( ph  ->  ( ( R  .(+)  T )  i^i  U )  =  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    i^i cin 3339    C_ wss 3340   ` cfv 5430  (class class class)co 6103  SubGrpcsubg 15687   LSSumclsm 16145   LModclmod 16960   LSubSpclss 17025    <oLL clcv 32675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-0g 14392  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-sbg 15559  df-subg 15690  df-lsm 16147  df-mgp 16604  df-ur 16616  df-rng 16659  df-lmod 16962  df-lss 17026
This theorem is referenced by:  lcvexchlem4  32694
  Copyright terms: Public domain W3C validator