Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcvexchlem2 Structured version   Unicode version

Theorem lcvexchlem2 34903
Description: Lemma for lcvexch 34907. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcvexch.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lcvexch.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lcvexch.c  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
lcvexch.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lcvexch.t  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
lcvexch.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lcvexch.r  |-  ( ph  ->  R  e.  S )
lcvexch.a  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  C_  R )
lcvexch.b  |-  ( ph  ->  R  C_  U )
Assertion
Ref Expression
lcvexchlem2  |-  ( ph  ->  ( ( R  .(+)  T )  i^i  U )  =  R )

Proof of Theorem lcvexchlem2
StepHypRef Expression
1 lcvexch.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lcvexch.s . . . . . 6  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
32lsssssubg 17731 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
41, 3syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  (SubGrp `  W
) )
5 lcvexch.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  S )
64, 5sseldd 3500 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubGrp `  W ) )
7 lcvexch.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
84, 7sseldd 3500 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  W ) )
9 lcvexch.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
104, 9sseldd 3500 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
11 lcvexch.b . . 3  |-  ( ph  ->  R  C_  U )
12 lcvexch.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
1312lsmmod 16820 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  (SubGrp `  W )  /\  T  e.  (SubGrp `  W )  /\  U  e.  (SubGrp `  W ) )  /\  R  C_  U )  -> 
( R  .(+)  ( T  i^i  U ) )  =  ( ( R 
.(+)  T )  i^i  U
) )
146, 8, 10, 11, 13syl31anc 1231 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  .(+)  ( T  i^i  U ) )  =  ( ( R 
.(+)  T )  i^i  U
) )
152lssincl 17738 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  ( T  i^i  U )  e.  S )
161, 7, 9, 15syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  e.  S )
174, 16sseldd 3500 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  e.  (SubGrp `  W ) )
18 lcvexch.a . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  C_  R )
1912lsmss2 16813 . . 3  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( T  i^i  U )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( T  i^i  U
)  C_  R )  ->  ( R  .(+)  ( T  i^i  U ) )  =  R )
206, 17, 18, 19syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  .(+)  ( T  i^i  U ) )  =  R )
2114, 20eqtr3d 2500 1  |-  ( ph  ->  ( ( R  .(+)  T )  i^i  U )  =  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ` cfv 5594  (class class class)co 6296  SubGrpcsubg 16322   LSSumclsm 16781   LModclmod 17639   LSubSpclss 17705    <oLL clcv 34886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-0g 14859  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-subg 16325  df-lsm 16783  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-lmod 17641  df-lss 17706
This theorem is referenced by:  lcvexchlem4  34905
  Copyright terms: Public domain W3C validator