Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcvexch Unicode version

Theorem lcvexch 29522
Description: Subspaces satisfy the exchange axiom. Lemma 7.5 of [MaedaMaeda] p. 31. (cvexchi 23825 analog.) TODO: combine some lemmas. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcvexch.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lcvexch.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lcvexch.c  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
lcvexch.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lcvexch.t  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
lcvexch.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
Assertion
Ref Expression
lcvexch  |-  ( ph  ->  ( ( T  i^i  U ) C U  <->  T C
( T  .(+)  U ) ) )

Proof of Theorem lcvexch
StepHypRef Expression
1 lcvexch.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
2 lcvexch.p . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
3 lcvexch.c . . 3  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
4 lcvexch.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
54adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  i^i  U ) C U )  ->  W  e.  LMod )
6 lcvexch.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
76adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  i^i  U ) C U )  ->  T  e.  S )
8 lcvexch.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
98adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  i^i  U ) C U )  ->  U  e.  S )
10 simpr 448 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  i^i  U ) C U )  ->  ( T  i^i  U ) C U )
111, 2, 3, 5, 7, 9, 10lcvexchlem5 29521 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( T  i^i  U ) C U )  ->  T C
( T  .(+)  U ) )
124adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T C
( T  .(+)  U ) )  ->  W  e.  LMod )
136adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T C
( T  .(+)  U ) )  ->  T  e.  S )
148adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T C
( T  .(+)  U ) )  ->  U  e.  S )
15 simpr 448 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T C
( T  .(+)  U ) )  ->  T C
( T  .(+)  U ) )
161, 2, 3, 12, 13, 14, 15lcvexchlem4 29520 . 2  |-  ( (
ph  /\  T C
( T  .(+)  U ) )  ->  ( T  i^i  U ) C U )
1711, 16impbida 806 1  |-  ( ph  ->  ( ( T  i^i  U ) C U  <->  T C
( T  .(+)  U ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    i^i cin 3279   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   LSSumclsm 15223   LModclmod 15905   LSubSpclss 15963    <oLL clcv 29501
This theorem is referenced by:  lcvp  29523
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-subg 14896  df-cntz 15071  df-oppg 15097  df-lsm 15225  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lcv 29502
  Copyright terms: Public domain W3C validator