Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcv2 Structured version   Unicode version

Theorem lcv2 32684
Description: Covering property of a subspace plus an atom. (chcv2 25758 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcv2.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lcv2.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lcv2.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lcv2.c  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
lcv2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lcv2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lcv2.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
Assertion
Ref Expression
lcv2  |-  ( ph  ->  ( U  C.  ( U  .(+)  Q )  <->  U C
( U  .(+)  Q ) ) )

Proof of Theorem lcv2
StepHypRef Expression
1 lcv2.p . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
2 lcv2.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
3 lveclmod 17185 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
42, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
5 lcv2.s . . . . . 6  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
65lsssssubg 17037 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
74, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  (SubGrp `  W
) )
8 lcv2.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
97, 8sseldd 3355 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
10 lcv2.a . . . . 5  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
11 lcv2.q . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
125, 10, 4, 11lsatlssel 32639 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  S )
137, 12sseldd 3355 . . 3  |-  ( ph  ->  Q  e.  (SubGrp `  W ) )
141, 9, 13lssnle 16169 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  Q  C_  U 
<->  U  C.  ( U  .(+) 
Q ) ) )
15 lcv2.c . . 3  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
165, 1, 10, 15, 2, 8, 11lcv1 32683 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  Q  C_  U 
<->  U C ( U 
.(+)  Q ) ) )
1714, 16bitr3d 255 1  |-  ( ph  ->  ( U  C.  ( U  .(+)  Q )  <->  U C
( U  .(+)  Q ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3326    C. wpss 3327   class class class wbr 4290   ` cfv 5416  (class class class)co 6089  SubGrpcsubg 15673   LSSumclsm 16131   LModclmod 16946   LSubSpclss 17011   LVecclvec 17181  LSAtomsclsa 32616    <oLL clcv 32660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-tpos 6743  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-0g 14378  df-mnd 15413  df-submnd 15463  df-grp 15543  df-minusg 15544  df-sbg 15545  df-subg 15676  df-cntz 15833  df-lsm 16133  df-cmn 16277  df-abl 16278  df-mgp 16590  df-ur 16602  df-rng 16645  df-oppr 16713  df-dvdsr 16731  df-unit 16732  df-invr 16762  df-drng 16832  df-lmod 16948  df-lss 17012  df-lsp 17051  df-lvec 17182  df-lsatoms 32618  df-lcv 32661
This theorem is referenced by:  lsatexch  32685  islshpcv  32695
  Copyright terms: Public domain W3C validator