Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcv1 Structured version   Unicode version

Theorem lcv1 34867
Description: Covering property of a subspace plus an atom. (chcv1 27400 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcv1.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lcv1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lcv1.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lcv1.c  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
lcv1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lcv1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lcv1.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
Assertion
Ref Expression
lcv1  |-  ( ph  ->  ( -.  Q  C_  U 
<->  U C ( U 
.(+)  Q ) ) )

Proof of Theorem lcv1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcv1.q . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
2 lcv1.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
3 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
4 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
5 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
6 lcv1.a . . . . . . 7  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
73, 4, 5, 6islsat 34817 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( Q  e.  A  <->  E. x  e.  ( ( Base `  W
)  \  { ( 0g `  W ) } ) Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  { x } ) ) )
82, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  A  <->  E. x  e.  ( (
Base `  W )  \  { ( 0g `  W ) } ) Q  =  ( (
LSpan `  W ) `  { x } ) ) )
91, 8mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( ( Base `  W
)  \  { ( 0g `  W ) } ) Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  { x } ) )
109adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  E. x  e.  ( ( Base `  W
)  \  { ( 0g `  W ) } ) Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  { x } ) )
11 lcv1.s . . . . . 6  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
12 lcv1.p . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
13 lcv1.c . . . . . 6  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
142adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  W  e.  LVec )
15143ad2ant1 1017 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  Q  C_  U )  /\  x  e.  ( ( Base `  W )  \  { ( 0g `  W ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  { x } ) )  ->  W  e.  LVec )
16 lcv1.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
1716adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  U  e.  S )
18173ad2ant1 1017 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  Q  C_  U )  /\  x  e.  ( ( Base `  W )  \  { ( 0g `  W ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  { x } ) )  ->  U  e.  S )
19 eldifi 3622 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( Base `  W )  \  {
( 0g `  W
) } )  ->  x  e.  ( Base `  W ) )
20193ad2ant2 1018 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  Q  C_  U )  /\  x  e.  ( ( Base `  W )  \  { ( 0g `  W ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  { x } ) )  ->  x  e.  ( Base `  W )
)
21 simp1r 1021 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  Q  C_  U )  /\  x  e.  ( ( Base `  W )  \  { ( 0g `  W ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  { x } ) )  ->  -.  Q  C_  U )
22 simp3 998 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -.  Q  C_  U )  /\  x  e.  ( ( Base `  W )  \  { ( 0g `  W ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  { x } ) )  ->  Q  =  ( ( LSpan `  W
) `  { x } ) )
2322sseq1d 3526 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  Q  C_  U )  /\  x  e.  ( ( Base `  W )  \  { ( 0g `  W ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  { x } ) )  ->  ( Q  C_  U  <->  ( ( LSpan `  W ) `  {
x } )  C_  U ) )
2421, 23mtbid 300 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  Q  C_  U )  /\  x  e.  ( ( Base `  W )  \  { ( 0g `  W ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  { x } ) )  ->  -.  (
( LSpan `  W ) `  { x } ) 
C_  U )
253, 11, 4, 12, 13, 15, 18, 20, 24lsmcv2 34855 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  Q  C_  U )  /\  x  e.  ( ( Base `  W )  \  { ( 0g `  W ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  { x } ) )  ->  U C
( U  .(+)  ( (
LSpan `  W ) `  { x } ) ) )
2622oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  Q  C_  U )  /\  x  e.  ( ( Base `  W )  \  { ( 0g `  W ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  { x } ) )  ->  ( U  .(+) 
Q )  =  ( U  .(+)  ( ( LSpan `  W ) `  { x } ) ) )
2725, 26breqtrrd 4482 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  Q  C_  U )  /\  x  e.  ( ( Base `  W )  \  { ( 0g `  W ) } )  /\  Q  =  ( ( LSpan `  W ) `  { x } ) )  ->  U C
( U  .(+)  Q ) )
2827rexlimdv3a 2951 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  ( E. x  e.  (
( Base `  W )  \  { ( 0g `  W ) } ) Q  =  ( (
LSpan `  W ) `  { x } )  ->  U C ( U  .(+)  Q )
) )
2910, 28mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  U C ( U  .(+)  Q ) )
302adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  U C
( U  .(+)  Q ) )  ->  W  e.  LVec )
3116adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  U C
( U  .(+)  Q ) )  ->  U  e.  S )
32 lveclmod 17878 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
332, 32syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
3411, 6, 33, 1lsatlssel 34823 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  e.  S )
3511, 12lsmcl 17855 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  Q  e.  S )  ->  ( U  .(+)  Q )  e.  S )
3633, 16, 34, 35syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  Q )  e.  S )
3736adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  U C
( U  .(+)  Q ) )  ->  ( U  .(+) 
Q )  e.  S
)
38 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  U C
( U  .(+)  Q ) )  ->  U C
( U  .(+)  Q ) )
3911, 13, 30, 31, 37, 38lcvpss 34850 . . 3  |-  ( (
ph  /\  U C
( U  .(+)  Q ) )  ->  U  C.  ( U  .(+)  Q ) )
4011lsssssubg 17730 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
4133, 40syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  (SubGrp `  W
) )
4241, 16sseldd 3500 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
4341, 34sseldd 3500 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  (SubGrp `  W ) )
4412, 42, 43lssnle 16818 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -.  Q  C_  U 
<->  U  C.  ( U  .(+) 
Q ) ) )
4544adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  U C
( U  .(+)  Q ) )  ->  ( -.  Q  C_  U  <->  U  C.  ( U  .(+)  Q ) ) )
4639, 45mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  U C
( U  .(+)  Q ) )  ->  -.  Q  C_  U )
4729, 46impbida 832 1  |-  ( ph  ->  ( -.  Q  C_  U 
<->  U C ( U 
.(+)  Q ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   E.wrex 2808    \ cdif 3468    C_ wss 3471    C. wpss 3472   {csn 4032   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14643   0gc0g 14856  SubGrpcsubg 16321   LSSumclsm 16780   LModclmod 17638   LSubSpclss 17704   LSpanclspn 17743   LVecclvec 17874  LSAtomsclsa 34800    <oLL clcv 34844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-0g 14858  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-subg 16324  df-cntz 16481  df-lsm 16782  df-cmn 16926  df-abl 16927  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-oppr 17398  df-dvdsr 17416  df-unit 17417  df-invr 17447  df-drng 17524  df-lmod 17640  df-lss 17705  df-lsp 17744  df-lvec 17875  df-lsatoms 34802  df-lcv 34845
This theorem is referenced by:  lcv2  34868  lsatnle  34870  lsatcvat3  34878
  Copyright terms: Public domain W3C validator