Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcosslsp Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lcosslsp 40504
Description: Lemma for lspeqlco 40505. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
lspeqvlco.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
Assertion
Ref Expression
lcosslsp  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B )  -> 
( M LinCo  V )  C_  ( ( LSpan `  M
) `  V )
)

Proof of Theorem lcosslsp
Dummy variables  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ellcoellss 40501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  s  e.  ( LSubSp `  M )  /\  V  C_  s )  ->  A. y  e.  ( M LinCo  V ) y  e.  s )
213exp 1214 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( s  e.  ( LSubSp `  M
)  ->  ( V  C_  s  ->  A. y  e.  ( M LinCo  V ) y  e.  s ) ) )
32ad2antrr 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B
)  /\  x  e.  ( M LinCo  V ) )  ->  ( s  e.  ( LSubSp `  M )  ->  ( V  C_  s  ->  A. y  e.  ( M LinCo  V ) y  e.  s ) ) )
43imp 435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B )  /\  x  e.  ( M LinCo  V ) )  /\  s  e.  ( LSubSp `  M )
)  ->  ( V  C_  s  ->  A. y  e.  ( M LinCo  V ) y  e.  s ) )
5 elequ1 1905 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  s  <->  x  e.  s ) )
65rspcv 3158 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( M LinCo  V
)  ->  ( A. y  e.  ( M LinCo  V ) y  e.  s  ->  x  e.  s ) )
76ad2antlr 738 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B )  /\  x  e.  ( M LinCo  V ) )  /\  s  e.  ( LSubSp `  M )
)  ->  ( A. y  e.  ( M LinCo  V ) y  e.  s  ->  x  e.  s ) )
84, 7syld 45 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B )  /\  x  e.  ( M LinCo  V ) )  /\  s  e.  ( LSubSp `  M )
)  ->  ( V  C_  s  ->  x  e.  s ) )
98ralrimiva 2814 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B
)  /\  x  e.  ( M LinCo  V ) )  ->  A. s  e.  (
LSubSp `  M ) ( V  C_  s  ->  x  e.  s ) )
10 vex 3060 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
1110elintrab 4260 . . . . 5  |-  ( x  e.  |^| { s  e.  ( LSubSp `  M )  |  V  C_  s }  <->  A. s  e.  ( LSubSp `
 M ) ( V  C_  s  ->  x  e.  s ) )
129, 11sylibr 217 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B
)  /\  x  e.  ( M LinCo  V ) )  ->  x  e.  |^| { s  e.  ( LSubSp `  M )  |  V  C_  s } )
13 simpll 765 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B
)  /\  x  e.  ( M LinCo  V ) )  ->  M  e.  LMod )
14 elpwi 3972 . . . . . 6  |-  ( V  e.  ~P B  ->  V  C_  B )
1514ad2antlr 738 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B
)  /\  x  e.  ( M LinCo  V ) )  ->  V  C_  B
)
16 lspeqvlco.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  M
)
17 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  M )  =  (
LSubSp `  M )
18 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( LSpan `  M )  =  (
LSpan `  M )
1916, 17, 18lspval 18247 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  C_  B )  ->  (
( LSpan `  M ) `  V )  =  |^| { s  e.  ( LSubSp `  M )  |  V  C_  s } )
2013, 15, 19syl2anc 671 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B
)  /\  x  e.  ( M LinCo  V ) )  ->  ( ( LSpan `  M ) `  V
)  =  |^| { s  e.  ( LSubSp `  M
)  |  V  C_  s } )
2112, 20eleqtrrd 2543 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B
)  /\  x  e.  ( M LinCo  V ) )  ->  x  e.  ( ( LSpan `  M ) `  V ) )
2221ex 440 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B )  -> 
( x  e.  ( M LinCo  V )  ->  x  e.  ( ( LSpan `  M ) `  V ) ) )
2322ssrdv 3450 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B )  -> 
( M LinCo  V )  C_  ( ( LSpan `  M
) `  V )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898   A.wral 2749   {crab 2753    C_ wss 3416   ~Pcpw 3963   |^|cint 4248   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   Basecbs 15170   LModclmod 18140   LSubSpclss 18204   LSpanclspn 18243   LinCo clinco 40471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-supp 6942  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-fsupp 7910  df-oi 8051  df-card 8399  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-seq 12246  df-hash 12548  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-0g 15389  df-gsum 15390  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-submnd 16632  df-grp 16722  df-minusg 16723  df-sbg 16724  df-subg 16863  df-cntz 17020  df-cmn 17481  df-abl 17482  df-mgp 17773  df-ur 17785  df-ring 17831  df-lmod 18142  df-lss 18205  df-lsp 18244  df-linc 40472  df-lco 40473
This theorem is referenced by:  lspeqlco  40505
  Copyright terms: Public domain W3C validator