Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcoss Structured version   Unicode version

Theorem lcoss 38988
 Description: A set of vectors of a module is a subset of the set of all linear combinations of the set. (Contributed by AV, 18-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
lcoss LinCo

Proof of Theorem lcoss
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elelpwi 3996 . . . . . . 7
21expcom 436 . . . . . 6
32adantl 467 . . . . 5
43imp 430 . . . 4
5 eqid 2429 . . . . . . 7
6 eqid 2429 . . . . . . 7 Scalar Scalar
7 eqid 2429 . . . . . . 7 Scalar Scalar
8 eqid 2429 . . . . . . 7 Scalar Scalar
9 equequ1 1850 . . . . . . . . 9
109ifbid 3937 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar Scalar
1110cbvmptv 4518 . . . . . . 7 Scalar Scalar Scalar Scalar
125, 6, 7, 8, 11mptcfsupp 38924 . . . . . 6 Scalar Scalar finSupp Scalar
13123expa 1205 . . . . 5 Scalar Scalar finSupp Scalar
14 eqid 2429 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar Scalar
155, 6, 7, 8, 14linc1 38977 . . . . . . 7 Scalar Scalar linC
16153expa 1205 . . . . . 6 Scalar Scalar linC
1716eqcomd 2437 . . . . 5 Scalar Scalar linC
18 eqid 2429 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar
196, 18, 8lmod1cl 18053 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
206, 18, 7lmod0cl 18052 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
2119, 20ifcld 3958 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar Scalar
2221ad3antrrr 734 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar
2322, 14fmptd 6061 . . . . . . 7 Scalar ScalarScalar
24 fvex 5891 . . . . . . . 8 Scalar
25 simplr 760 . . . . . . . 8
26 elmapg 7493 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar ScalarScalar
2724, 25, 26sylancr 667 . . . . . . 7 Scalar Scalar Scalar Scalar ScalarScalar
2823, 27mpbird 235 . . . . . 6 Scalar Scalar Scalar
29 breq1 4429 . . . . . . . 8 Scalar Scalar finSupp Scalar Scalar Scalar finSupp Scalar
30 oveq1 6312 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar linC Scalar Scalar linC
3130eqeq2d 2443 . . . . . . . 8 Scalar Scalar linC Scalar Scalar linC
3229, 31anbi12d 715 . . . . . . 7 Scalar Scalar finSupp Scalar linC Scalar Scalar finSupp Scalar Scalar Scalar linC
3332adantl 467 . . . . . 6 Scalar Scalar finSupp Scalar linC Scalar Scalar finSupp Scalar Scalar Scalar linC
3428, 33rspcedv 3192 . . . . 5 Scalar Scalar finSupp Scalar Scalar Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC
3513, 17, 34mp2and 683 . . . 4 Scalar finSupp Scalar linC
365, 6, 18lcoval 38964 . . . . 5 LinCo Scalar finSupp Scalar linC
3736adantr 466 . . . 4 LinCo Scalar finSupp Scalar linC
384, 35, 37mpbir2and 930 . . 3 LinCo
3938ex 435 . 2 LinCo
4039ssrdv 3476 1 LinCo
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1870  wrex 2783  cvv 3087   wss 3442  cif 3915  cpw 3985   class class class wbr 4426   cmpt 4484  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305   cmap 7480   finSupp cfsupp 7889  cbs 15084  Scalarcsca 15155  c0g 15297  cur 17670  clmod 18026   linC clinc 38956   LinCo clinco 38957 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-lmod 18028  df-linc 38958  df-lco 38959 This theorem is referenced by:  lspsslco  38989
 Copyright terms: Public domain W3C validator