Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcomfsupOLD Structured version   Unicode version

Theorem lcomfsupOLD 17397
 Description: A linear-combination sum is finitely supported if the coefficients are. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) Obsolete version of lcomfsupp 17398 as of 15-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lcomf.f Scalar
lcomf.k
lcomf.s
lcomf.b
lcomf.w
lcomf.g
lcomf.h
lcomf.i
lcomfsupp.z
lcomfsupp.y
lcomfsupOLD.j
Assertion
Ref Expression
lcomfsupOLD

Proof of Theorem lcomfsupOLD
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcomfsupOLD.j . 2
2 lcomf.f . . . 4 Scalar
3 lcomf.k . . . 4
4 lcomf.s . . . 4
5 lcomf.b . . . 4
6 lcomf.w . . . 4
7 lcomf.g . . . 4
8 lcomf.h . . . 4
9 lcomf.i . . . 4
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lcomf 17396 . . 3
11 eldifi 3631 . . . . 5
12 ffn 5736 . . . . . . . 8
137, 12syl 16 . . . . . . 7
1413adantr 465 . . . . . 6
15 ffn 5736 . . . . . . . 8
168, 15syl 16 . . . . . . 7
1716adantr 465 . . . . . 6
189adantr 465 . . . . . 6
19 simpr 461 . . . . . 6
20 fnfvof 6547 . . . . . 6
2114, 17, 18, 19, 20syl22anc 1229 . . . . 5
2211, 21sylan2 474 . . . 4
23 ssid 3528 . . . . . . 7
2423a1i 11 . . . . . 6
257, 24suppssrOLD 6021 . . . . 5
2625oveq1d 6309 . . . 4
276adantr 465 . . . . . 6
288ffvelrnda 6031 . . . . . 6
29 lcomfsupp.y . . . . . . 7
30 lcomfsupp.z . . . . . . 7
315, 2, 4, 29, 30lmod0vs 17393 . . . . . 6
3227, 28, 31syl2anc 661 . . . . 5
3311, 32sylan2 474 . . . 4
3422, 26, 333eqtrd 2512 . . 3
3510, 34suppssOLD 6020 . 2
36 ssfi 7750 . 2
371, 35, 36syl2anc 661 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  cvv 3118   cdif 3478   wss 3481  csn 4032  ccnv 5003  cima 5007   wfn 5588  wf 5589  cfv 5593  (class class class)co 6294   cof 6532  cfn 7526  cbs 14502  Scalarcsca 14570  cvsca 14571  c0g 14707  clmod 17360 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-of 6534  df-om 6695  df-er 7321  df-en 7527  df-fin 7530  df-0g 14709  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-grp 15906  df-ring 17049  df-lmod 17362 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator