Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcoel0 Structured version   Unicode version

Theorem lcoel0 33131
 Description: The zero vector is always a linear combination. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
lcoel0 LinCo

Proof of Theorem lcoel0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5882 . . . 4
21snid 4060 . . 3
3 oveq2 6304 . . . 4 LinCo LinCo
4 lmodgrp 17645 . . . . . 6
5 grpmnd 16188 . . . . . 6
6 lco0 33130 . . . . . 6 LinCo
74, 5, 63syl 20 . . . . 5 LinCo
87adantr 465 . . . 4 LinCo
93, 8sylan9eq 2518 . . 3 LinCo
102, 9syl5eleqr 2552 . 2 LinCo
11 eqid 2457 . . . . . 6
12 eqid 2457 . . . . . 6
1311, 12lmod0vcl 17667 . . . . 5
1413adantr 465 . . . 4
16 eqid 2457 . . . . . 6 Scalar Scalar
17 eqid 2457 . . . . . 6 Scalar Scalar
18 eqidd 2458 . . . . . . 7 Scalar Scalar
1918cbvmptv 4548 . . . . . 6 Scalar Scalar
20 eqid 2457 . . . . . 6 Scalar Scalar
2111, 16, 17, 12, 19, 20lcoc0 33125 . . . . 5 Scalar Scalar Scalar finSupp Scalar Scalar linC
2221adantl 466 . . . 4 Scalar Scalar Scalar finSupp Scalar Scalar linC
23 simpl 457 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar Scalar
24 breq1 4459 . . . . . . . . . 10 Scalar finSupp Scalar Scalar finSupp Scalar
25 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . 12 Scalar linC Scalar linC
2625eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . 11 Scalar linC Scalar linC
27 eqcom 2466 . . . . . . . . . . 11 Scalar linC Scalar linC
2826, 27syl6bb 261 . . . . . . . . . 10 Scalar linC Scalar linC
2924, 28anbi12d 710 . . . . . . . . 9 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar Scalar linC
3029adantl 466 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar Scalar linC
3123, 30rspcedv 3214 . . . . . . 7 Scalar Scalar Scalar finSupp Scalar Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC
3231ex 434 . . . . . 6 Scalar Scalar Scalar finSupp Scalar Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC
3332com23 78 . . . . 5 Scalar Scalar Scalar finSupp Scalar Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC
34333impib 1194 . . . 4 Scalar Scalar Scalar finSupp Scalar Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC
3522, 34mpcom 36 . . 3 Scalar finSupp Scalar linC
3611, 16, 20lcoval 33115 . . . 4 LinCo Scalar finSupp Scalar linC
3736adantl 466 . . 3 LinCo Scalar finSupp Scalar linC
3815, 35, 37mpbir2and 922 . 2 LinCo
3910, 38pm2.61ian 790 1 LinCo
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819  wrex 2808  c0 3793  cpw 4015  csn 4032   class class class wbr 4456   cmpt 4515  cfv 5594  (class class class)co 6296   cmap 7438   finSupp cfsupp 7847  cbs 14643  Scalarcsca 14714  c0g 14856  cmnd 16045  cgrp 16179  clmod 17638   linC clinc 33107   LinCo clinco 33108 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-map 7440  df-en 7536  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-seq 12110  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-ring 17326  df-lmod 17640  df-linc 33109  df-lco 33110 This theorem is referenced by:  lincolss  33137
 Copyright terms: Public domain W3C validator