Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcoc0 Structured version   Unicode version

Theorem lcoc0 32758
 Description: Properties of a linear combination where all scalars are 0. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincvalsc0.b
lincvalsc0.s Scalar
lincvalsc0.0
lincvalsc0.z
lincvalsc0.f
lcoc0.r
Assertion
Ref Expression
lcoc0 finSupp linC
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem lcoc0
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lincvalsc0.s . . . . . 6 Scalar
2 lcoc0.r . . . . . 6
3 lincvalsc0.0 . . . . . 6
41, 2, 3lmod0cl 17516 . . . . 5
54ad2antrr 725 . . . 4
6 lincvalsc0.f . . . 4
75, 6fmptd 6040 . . 3
8 fvex 5866 . . . . . 6
92, 8eqeltri 2527 . . . . 5
109a1i 11 . . . 4
11 elmapg 7435 . . . 4
1210, 11sylan 471 . . 3
137, 12mpbird 232 . 2
14 eqidd 2444 . . . . . . 7
1514cbvmptv 4528 . . . . . 6
166, 15eqtri 2472 . . . . 5
17 simpr 461 . . . . 5
18 fvex 5866 . . . . . . 7
193, 18eqeltri 2527 . . . . . 6
2019a1i 11 . . . . 5
2119a1i 11 . . . . 5
2216, 17, 20, 21mptsuppd 6925 . . . 4 supp
23 neirr 2647 . . . . . . . 8
2423a1i 11 . . . . . . 7
2524ralrimivw 2858 . . . . . 6
26 rabeq0 3793 . . . . . 6
2725, 26sylibr 212 . . . . 5
28 0fin 7749 . . . . . 6
2928a1i 11 . . . . 5
3027, 29eqeltrd 2531 . . . 4
3122, 30eqeltrd 2531 . . 3 supp
326funmpt2 5615 . . . . 5
3332a1i 11 . . . 4
34 funisfsupp 7836 . . . 4 finSupp supp
3533, 13, 20, 34syl3anc 1229 . . 3 finSupp supp
3631, 35mpbird 232 . 2 finSupp
37 lincvalsc0.b . . 3
38 lincvalsc0.z . . 3
3937, 1, 3, 38, 6lincvalsc0 32757 . 2 linC
4013, 36, 393jca 1177 1 finSupp linC
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804   wne 2638  wral 2793  crab 2797  cvv 3095  c0 3770  cpw 3997   class class class wbr 4437   cmpt 4495   wfun 5572  wf 5574  cfv 5578  (class class class)co 6281   supp csupp 6903   cmap 7422  cfn 7518   finSupp cfsupp 7831  cbs 14613  Scalarcsca 14681  c0g 14818  clmod 17490   linC clinc 32740 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-map 7424  df-en 7519  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-seq 12089  df-0g 14820  df-gsum 14821  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-grp 16035  df-ring 17178  df-lmod 17492  df-linc 32742 This theorem is referenced by:  lcoel0  32764
 Copyright terms: Public domain W3C validator