Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lco0 Structured version   Unicode version

Theorem lco0 38989
 Description: The set of empty linear combinations over a monoid is the singleton with the identity element of the monoid. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
lco0 LinCo

Proof of Theorem lco0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0elpw 4594 . . 3
2 eqid 2429 . . . 4
3 eqid 2429 . . . 4 Scalar Scalar
4 eqid 2429 . . . 4 Scalar Scalar
52, 3, 4lcoop 38973 . . 3 LinCo Scalar finSupp Scalar linC
61, 5mpan2 675 . 2 LinCo Scalar finSupp Scalar linC
7 fvex 5891 . . . . . . 7 Scalar
8 map0e 7517 . . . . . . 7 Scalar Scalar
97, 8mp1i 13 . . . . . 6 Scalar
10 df1o2 7202 . . . . . 6
119, 10syl6eq 2486 . . . . 5 Scalar
1211rexeqdv 3039 . . . 4 Scalar finSupp Scalar linC finSupp Scalar linC
13 lincval0 38977 . . . . . . . 8 linC
1413adantr 466 . . . . . . 7 linC
1514eqeq2d 2443 . . . . . 6 linC
1615anbi2d 708 . . . . 5 linC
17 0ex 4557 . . . . . 6
18 breq1 4429 . . . . . . . . 9 finSupp Scalar finSupp Scalar
19 fvex 5891 . . . . . . . . . . 11 Scalar
20 0fsupp 7911 . . . . . . . . . . 11 Scalar finSupp Scalar
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 finSupp Scalar
22 0fin 7805 . . . . . . . . . 10
2321, 222th 242 . . . . . . . . 9 finSupp Scalar
2418, 23syl6bb 264 . . . . . . . 8 finSupp Scalar
25 oveq1 6312 . . . . . . . . 9 linC linC
2625eqeq2d 2443 . . . . . . . 8 linC linC
2724, 26anbi12d 715 . . . . . . 7 finSupp Scalar linC linC
2827rexsng 4038 . . . . . 6 finSupp Scalar linC linC
2917, 28mp1i 13 . . . . 5 finSupp Scalar linC linC
3022a1i 11 . . . . . 6
3130biantrurd 510 . . . . 5
3216, 29, 313bitr4d 288 . . . 4 finSupp Scalar linC
3312, 32bitrd 256 . . 3 Scalar finSupp Scalar linC
3433rabbidva 3078 . 2 Scalar finSupp Scalar linC
35 eqid 2429 . . . 4
362, 35mndidcl 16505 . . 3
37 rabsn 4070 . . 3
3836, 37syl 17 . 2
396, 34, 383eqtrd 2474 1 LinCo
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1870  wrex 2783  crab 2786  cvv 3087  c0 3767  cpw 3985  csn 4002   class class class wbr 4426  cfv 5601  (class class class)co 6305  c1o 7183   cmap 7480  cfn 7577   finSupp cfsupp 7889  cbs 15084  Scalarcsca 15155  c0g 15297  cmnd 16486   linC clinc 38966   LinCo clinco 38967 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-map 7482  df-en 7578  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-seq 12211  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-linc 38968  df-lco 38969 This theorem is referenced by:  lcoel0  38990
 Copyright terms: Public domain W3C validator