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Theorem lcmfunsnlem2lem2 14605
Description: Lemma 2 for lcmfunsnlem2 14606. (Contributed by AV, 26-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmfunsnlem2lem2  |-  ( ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0
)  /\  ( n  e.  ZZ  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) ) ) )  -> 
(lcm `  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } ) )  =  ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  n
) )
Distinct variable groups:    y, m, z    k, n, y, z, m

Proof of Theorem lcmfunsnlem2lem2
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun 3607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } )  <->  ( i  e.  ( y  u.  {
z } )  \/  i  e.  { n } ) )
2 elun 3607 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( y  u. 
{ z } )  <-> 
( i  e.  y  \/  i  e.  {
z } ) )
3 simp1 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  z  e.  ZZ )
43adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  z  e.  ZZ )
54adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( i  e.  y  \/  i  e.  {
z } )  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  z  e.  ZZ )
6 sneq 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  z  ->  { n }  =  { z } )
76uneq2d 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  z  ->  (
y  u.  { n } )  =  ( y  u.  { z } ) )
87fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  z  ->  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) )
9 oveq2 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  z  ->  (
(lcm `  y ) lcm  n
)  =  ( (lcm `  y ) lcm  z ) )
108, 9eqeq12d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  z  ->  (
(lcm `  ( y  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  n )  <-> 
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  z ) ) )
1110rspcv 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ZZ  ->  ( A. n  e.  ZZ  (lcm `
 ( y  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  n )  ->  (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  z ) ) )
125, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i  e.  y  \/  i  e.  {
z } )  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  ( A. n  e.  ZZ  (lcm `
 ( y  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  n )  ->  (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  z ) ) )
13 breq1 4424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  i  ->  (
k  ||  (lcm `  y
)  <->  i  ||  (lcm `  y ) ) )
1413rspcv 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  e.  y  ->  ( A. k  e.  y 
k  ||  (lcm `  y
)  ->  i  ||  (lcm `
 y ) ) )
15 dvdslcmf 14597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  A. k  e.  y  k  ||  (lcm `
 y ) )
16153adant1 1024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  A. k  e.  y  k  ||  (lcm `
 y ) )
1716adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  y  k  ||  (lcm `
 y ) )
1814, 17impel 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  y  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  i  ||  (lcm `  y ) )
19 lcmfcl 14594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (lcm `  y )  e.  NN0 )
2019nn0zd 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (lcm `  y )  e.  ZZ )
21203adant1 1024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (lcm `  y )  e.  ZZ )
2221adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (lcm `  y )  e.  ZZ )
23 lcmcl 14559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( z lcm  n )  e.  NN0 )
243, 23sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
z lcm  n )  e. 
NN0 )
2524nn0zd 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
z lcm  n )  e.  ZZ )
2622, 25jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
(lcm `  y )  e.  ZZ  /\  ( z lcm  n )  e.  ZZ ) )
2726adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  y  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  (
(lcm `  y )  e.  ZZ  /\  ( z lcm  n )  e.  ZZ ) )
28 dvdslcm 14556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( (lcm `  y )  e.  ZZ  /\  ( z lcm  n )  e.  ZZ )  ->  ( (lcm `  y
)  ||  ( (lcm `  y ) lcm  ( z lcm  n ) )  /\  ( z lcm  n )  ||  ( (lcm `  y
) lcm  ( z lcm  n
) ) ) )
2928simpld 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( (lcm `  y )  e.  ZZ  /\  ( z lcm  n )  e.  ZZ )  ->  (lcm `  y )  ||  ( (lcm `  y ) lcm  (
z lcm  n ) ) )
3027, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  y  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  (lcm `  y )  ||  (
(lcm `  y ) lcm  (
z lcm  n ) ) )
31 ssel 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y 
C_  ZZ  ->  ( i  e.  y  ->  i  e.  ZZ ) )
32313ad2ant2 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (
i  e.  y  -> 
i  e.  ZZ ) )
3332adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
i  e.  y  -> 
i  e.  ZZ ) )
3433impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  y  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  i  e.  ZZ )
3522adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  y  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  (lcm `  y )  e.  ZZ )
3625adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( i  e.  y  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  (
z lcm  n )  e.  ZZ )
37 lcmcl 14559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( (lcm `  y )  e.  ZZ  /\  ( z lcm  n )  e.  ZZ )  ->  ( (lcm `  y
) lcm  ( z lcm  n
) )  e.  NN0 )
3835, 36, 37syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( i  e.  y  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  (
(lcm `  y ) lcm  (
z lcm  n ) )  e.  NN0 )
3938nn0zd 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  y  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  (
(lcm `  y ) lcm  (
z lcm  n ) )  e.  ZZ )
40 dvdstr 14330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  (lcm `
 y )  e.  ZZ  /\  ( (lcm `  y ) lcm  ( z lcm  n ) )  e.  ZZ )  ->  (
( i  ||  (lcm `  y )  /\  (lcm `  y )  ||  (
(lcm `  y ) lcm  (
z lcm  n ) ) )  ->  i  ||  ( (lcm `  y ) lcm  (
z lcm  n ) ) ) )
4134, 35, 39, 40syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  y  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  (
( i  ||  (lcm `  y )  /\  (lcm `  y )  ||  (
(lcm `  y ) lcm  (
z lcm  n ) ) )  ->  i  ||  ( (lcm `  y ) lcm  (
z lcm  n ) ) ) )
4218, 30, 41mp2and 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  y  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  i  ||  ( (lcm `  y
) lcm  ( z lcm  n
) ) )
434adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  y  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  z  e.  ZZ )
44 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  n  e.  ZZ )
4544adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  y  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  n  e.  ZZ )
46 lcmass 14572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( (lcm `  y )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( (lcm `  y ) lcm  z
) lcm  n )  =  ( (lcm `  y
) lcm  ( z lcm  n
) ) )
4735, 43, 45, 46syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  y  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  (
( (lcm `  y ) lcm  z
) lcm  n )  =  ( (lcm `  y
) lcm  ( z lcm  n
) ) )
4842, 47breqtrrd 4448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  e.  y  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  i  ||  ( ( (lcm `  y
) lcm  z ) lcm  n
) )
4948ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  y  ->  (
( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  i  ||  (
( (lcm `  y ) lcm  z
) lcm  n ) ) )
50 elsni 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  { z }  ->  i  =  z )
5121, 3jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (
(lcm `  y )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )
5251adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
(lcm `  y )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )
53 dvdslcm 14556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( (lcm `  y )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
(lcm `  y )  ||  ( (lcm `  y ) lcm  z
)  /\  z  ||  ( (lcm `  y ) lcm  z
) ) )
5453simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( (lcm `  y )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  z  ||  ( (lcm `  y
) lcm  z ) )
5552, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  z  ||  ( (lcm `  y
) lcm  z ) )
56193adant1 1024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (lcm `  y )  e.  NN0 )
5756nn0zd 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (lcm `  y )  e.  ZZ )
58 lcmcl 14559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( (lcm `  y )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
(lcm `  y ) lcm  z
)  e.  NN0 )
5957, 3, 58syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (
(lcm `  y ) lcm  z
)  e.  NN0 )
6059nn0zd 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (
(lcm `  y ) lcm  z
)  e.  ZZ )
61 dvdslcm 14556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( (lcm `  y
) lcm  z )  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( (lcm `  y ) lcm  z
)  ||  ( (
(lcm `  y ) lcm  z
) lcm  n )  /\  n  ||  ( ( (lcm `  y ) lcm  z ) lcm  n ) ) )
6261simpld 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( (lcm `  y
) lcm  z )  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
(lcm `  y ) lcm  z
)  ||  ( (
(lcm `  y ) lcm  z
) lcm  n ) )
6360, 62sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
(lcm `  y ) lcm  z
)  ||  ( (
(lcm `  y ) lcm  z
) lcm  n ) )
6460adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
(lcm `  y ) lcm  z
)  e.  ZZ )
65 lcmcl 14559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( (lcm `  y
) lcm  z )  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( (lcm `  y ) lcm  z
) lcm  n )  e. 
NN0 )
6660, 65sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( (lcm `  y ) lcm  z
) lcm  n )  e. 
NN0 )
6766nn0zd 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( (lcm `  y ) lcm  z
) lcm  n )  e.  ZZ )
68 dvdstr 14330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( (lcm `  y ) lcm  z
)  e.  ZZ  /\  ( ( (lcm `  y
) lcm  z ) lcm  n
)  e.  ZZ )  ->  ( ( z 
||  ( (lcm `  y
) lcm  z )  /\  ( (lcm `  y ) lcm  z
)  ||  ( (
(lcm `  y ) lcm  z
) lcm  n ) )  ->  z  ||  (
( (lcm `  y ) lcm  z
) lcm  n ) ) )
694, 64, 67, 68syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( z  ||  (
(lcm `  y ) lcm  z
)  /\  ( (lcm `  y ) lcm  z ) 
||  ( ( (lcm `  y ) lcm  z ) lcm  n ) )  -> 
z  ||  ( (
(lcm `  y ) lcm  z
) lcm  n ) ) )
7055, 63, 69mp2and 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  z  ||  ( ( (lcm `  y
) lcm  z ) lcm  n
) )
71 breq1 4424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  z  ->  (
i  ||  ( (
(lcm `  y ) lcm  z
) lcm  n )  <->  z  ||  ( ( (lcm `  y
) lcm  z ) lcm  n
) ) )
7270, 71syl5ibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  =  z  ->  (
( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  i  ||  (
( (lcm `  y ) lcm  z
) lcm  n ) ) )
7350, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  { z }  ->  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  i  ||  ( ( (lcm `  y
) lcm  z ) lcm  n
) ) )
7449, 73jaoi 381 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  e.  y  \/  i  e.  { z } )  ->  (
( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  i  ||  (
( (lcm `  y ) lcm  z
) lcm  n ) ) )
7574imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( i  e.  y  \/  i  e.  {
z } )  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  i  ||  ( ( (lcm `  y
) lcm  z ) lcm  n
) )
76 oveq1 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  z )  -> 
( (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n )  =  ( ( (lcm `  y
) lcm  z ) lcm  n
) )
7776breq2d 4433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  z )  -> 
( i  ||  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n )  <->  i  ||  ( ( (lcm `  y
) lcm  z ) lcm  n
) ) )
7875, 77syl5ibrcom 226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i  e.  y  \/  i  e.  {
z } )  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  z )  ->  i  ||  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n ) ) )
7912, 78syld 46 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( i  e.  y  \/  i  e.  {
z } )  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  ( A. n  e.  ZZ  (lcm `
 ( y  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  n )  ->  i  ||  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n ) ) )
8079ex 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  y  \/  i  e.  { z } )  ->  (
( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  n )  ->  i  ||  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n ) ) ) )
812, 80sylbi 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A. n  e.  ZZ  (lcm `
 ( y  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  n )  ->  i  ||  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n ) ) ) )
82 elsni 4022 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  { n }  ->  i  =  n )
83 simp2 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  y  C_  ZZ )
84 snssi 4142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  ZZ  ->  { z }  C_  ZZ )
85843ad2ant1 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  { z }  C_  ZZ )
8683, 85unssd 3643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (
y  u.  { z } )  C_  ZZ )
87 simp3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  y  e.  Fin )
88 snfi 7655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  { z }  e.  Fin
89 unfi 7842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin )
9087, 88, 89sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
91 lcmfcl 14594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  ZZ  /\  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin )  -> 
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) )  e.  NN0 )
9286, 90, 91syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (lcm `  ( y  u.  {
z } ) )  e.  NN0 )
9392nn0zd 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (lcm `  ( y  u.  {
z } ) )  e.  ZZ )
9493anim1i 571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) )  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)
9594adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  n ) )  ->  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) )  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )
96 dvdslcm 14556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) )  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) )  ||  ( (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n )  /\  n  ||  ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  n
) ) )
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  n ) )  ->  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) 
||  ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  n
)  /\  n  ||  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n ) ) )
9897simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  n ) )  ->  n  ||  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n ) )
99 breq1 4424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  n  ->  (
i  ||  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) lcm  n )  <->  n  ||  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n ) ) )
10098, 99syl5ibr 225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  n  ->  (
( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e. 
Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) )  ->  i  ||  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n ) ) )
101100expd 438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  n  ->  (
( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  n )  ->  i  ||  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n ) ) ) )
10282, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  { n }  ->  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e. 
Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A. n  e.  ZZ  (lcm `
 ( y  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  n )  ->  i  ||  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n ) ) ) )
10381, 102jaoi 381 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( y  u.  { z } )  \/  i  e. 
{ n } )  ->  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A. n  e.  ZZ  (lcm `
 ( y  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  n )  ->  i  ||  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n ) ) ) )
1041, 103sylbi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } )  ->  (
( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  n )  ->  i  ||  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n ) ) ) )
105104com13 84 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n )  -> 
( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e. 
Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
i  e.  ( ( y  u.  { z } )  u.  {
n } )  -> 
i  ||  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) lcm  n ) ) ) )
106105expd 438 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n )  -> 
( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  ( n  e.  ZZ  ->  ( i  e.  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
)  ->  i  ||  ( (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n ) ) ) ) )
107106adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) )  ->  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e. 
Fin )  ->  (
n  e.  ZZ  ->  ( i  e.  ( ( y  u.  { z } )  u.  {
n } )  -> 
i  ||  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) lcm  n ) ) ) ) )
108107impcom 432 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) )  ->  ( n  e.  ZZ  ->  ( i  e.  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
)  ->  i  ||  ( (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n ) ) ) )
109108impcom 432 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  ->  (lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) ) )  ->  (
i  e.  ( ( y  u.  { z } )  u.  {
n } )  -> 
i  ||  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) lcm  n ) ) )
110109adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0
)  /\  ( n  e.  ZZ  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) ) ) )  -> 
( i  e.  ( ( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } )  ->  i  ||  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n ) ) )
111110ralrimiv 2838 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0
)  /\  ( n  e.  ZZ  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) ) ) )  ->  A. i  e.  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) i  ||  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) lcm  n ) )
112 lcmfunsnlem2lem1 14604 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0
)  /\  ( n  e.  ZZ  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) ) ) )  ->  A. k  e.  NN  ( A. i  e.  ( ( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) i  ||  k  -> 
( (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n )  <_ 
k ) )
113111, 112jca 535 . . 3  |-  ( ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0
)  /\  ( n  e.  ZZ  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) ) ) )  -> 
( A. i  e.  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
) i  ||  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n )  /\  A. k  e.  NN  ( A. i  e.  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) i  ||  k  -> 
( (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n )  <_ 
k ) ) )
11494adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
( (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) )  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)
11586adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
y  u.  { z } )  C_  ZZ )
116115adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  C_  ZZ )
11790adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
118117adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
119 df-nel 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0  e/  y  <->  -.  0  e.  y )
120119biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  e/  y  ->  -.  0  e.  y )
1211203ad2ant1 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 )  ->  -.  0  e.  y )
122 elsni 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 0  e.  { z }  ->  0  =  z )
123122eqcomd 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0  e.  { z }  ->  z  =  0 )
124123necon3ai 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =/=  0  ->  -.  0  e.  { z } )
1251243ad2ant2 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 )  ->  -.  0  e.  { z } )
126 ioran 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  ( 0  e.  y  \/  0  e.  {
z } )  <->  ( -.  0  e.  y  /\  -.  0  e.  { z } ) )
127121, 125, 126sylanbrc 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 )  ->  -.  ( 0  e.  y  \/  0  e.  {
z } ) )
128 elun 3607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  ( y  u. 
{ z } )  <-> 
( 0  e.  y  \/  0  e.  {
z } ) )
129127, 128sylnibr 307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 )  ->  -.  0  e.  ( y  u.  { z } ) )
130 df-nel 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  e/  ( y  u. 
{ z } )  <->  -.  0  e.  (
y  u.  { z } ) )
131129, 130sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 )  ->  0  e/  ( y  u.  {
z } ) )
132131adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
0  e/  ( y  u.  { z } ) )
133 lcmfn0cl 14592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  ZZ  /\  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin  /\  0  e/  ( y  u.  {
z } ) )  ->  (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) )  e.  NN )
134116, 118, 132, 133syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) )  e.  NN )
135134nnne0d 10656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) )  =/=  0 )
136135neneqd 2626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 ) )  ->  -.  (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) )  =  0 )
137 df-ne 2621 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =/=  0  <->  -.  n  =  0 )
138137biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =/=  0  ->  -.  n  =  0 )
1391383ad2ant3 1029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 )  ->  -.  n  =  0 )
140139adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 ) )  ->  -.  n  =  0
)
141 ioran 493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) )  =  0  \/  n  =  0 )  <->  ( -.  (lcm `
 ( y  u. 
{ z } ) )  =  0  /\ 
-.  n  =  0 ) )
142136, 140, 141sylanbrc 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 ) )  ->  -.  ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) )  =  0  \/  n  =  0 ) )
143 lcmn0cl 14555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) )  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  /\  -.  ( (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) )  =  0  \/  n  =  0 ) )  ->  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) lcm  n )  e.  NN )
144114, 142, 143syl2anc 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
( (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n )  e.  NN )
145 snssi 4142 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ZZ  ->  { n }  C_  ZZ )
146145adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  { n }  C_  ZZ )
147115, 146unssd 3643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) 
C_  ZZ )
148147adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
)  C_  ZZ )
14988, 89mpan2 676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
150 snfi 7655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { n }  e.  Fin
151 unfi 7842 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin  /\  { n }  e.  Fin )  ->  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
)  e.  Fin )
152149, 150, 151sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } )  e.  Fin )
1531523ad2ant3 1029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } )  e.  Fin )
154153adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } )  e.  Fin )
155154adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
)  e.  Fin )
156 elun 3607 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  e.  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } )  <->  ( 0  e.  ( y  u. 
{ z } )  \/  0  e.  {
n } ) )
157 nnel 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  0  e/  y  <->  0  e.  y )
158157biimpri 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  e.  y  ->  -.  0  e/  y )
1591583mix1d 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  e.  y  ->  ( -.  0  e/  y  \/  -.  z  =/=  0  \/  -.  n  =/=  0
) )
160 nne 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  z  =/=  0  <->  z  =  0 )
161123, 160sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  e.  { z }  ->  -.  z  =/=  0 )
1621613mix2d 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  e.  { z }  ->  ( -.  0  e/  y  \/  -.  z  =/=  0  \/  -.  n  =/=  0 ) )
163159, 162jaoi 381 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  y  \/  0  e.  { z } )  ->  ( -.  0  e/  y  \/  -.  z  =/=  0  \/  -.  n  =/=  0
) )
164128, 163sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( -.  0  e/  y  \/  -.  z  =/=  0  \/  -.  n  =/=  0 ) )
165 elsni 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  e.  { n }  ->  0  =  n )
166165eqcomd 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  e.  { n }  ->  n  =  0 )
167 nne 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  n  =/=  0  <->  n  =  0 )
168166, 167sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  { n }  ->  -.  n  =/=  0
)
1691683mix3d 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  e.  { n }  ->  ( -.  0  e/  y  \/  -.  z  =/=  0  \/  -.  n  =/=  0 ) )
170164, 169jaoi 381 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  ( y  u.  { z } )  \/  0  e. 
{ n } )  ->  ( -.  0  e/  y  \/  -.  z  =/=  0  \/  -.  n  =/=  0 ) )
171156, 170sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  e.  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } )  ->  ( -.  0  e/  y  \/  -.  z  =/=  0  \/  -.  n  =/=  0
) )
172 3ianor 1000 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0
)  <->  ( -.  0  e/  y  \/  -.  z  =/=  0  \/  -.  n  =/=  0 ) )
173171, 172sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  e.  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } )  ->  -.  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0
) )
174173con2i 124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 )  ->  -.  0  e.  ( (
y  u.  { z } )  u.  {
n } ) )
175 df-nel 2622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e/  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } )  <->  -.  0  e.  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
) )
176174, 175sylibr 216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 )  ->  0  e/  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
) )
177176adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
0  e/  ( (
y  u.  { z } )  u.  {
n } ) )
178148, 155, 1773jca 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } )  C_  ZZ  /\  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
)  e.  Fin  /\  0  e/  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } ) ) )
179144, 178jca 535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
( ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  n
)  e.  NN  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } )  C_  ZZ  /\  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
)  e.  Fin  /\  0  e/  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } ) ) ) )
180179ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0
)  ->  ( (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n )  e.  NN  /\  ( ( ( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) 
C_  ZZ  /\  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } )  e.  Fin  /\  0  e/  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
) ) ) ) )
181180ex 436 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (
n  e.  ZZ  ->  ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0
)  ->  ( (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n )  e.  NN  /\  ( ( ( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) 
C_  ZZ  /\  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } )  e.  Fin  /\  0  e/  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
) ) ) ) ) )
182181adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) )  ->  ( n  e.  ZZ  ->  ( (
0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 )  ->  (
( (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n )  e.  NN  /\  ( ( ( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) 
C_  ZZ  /\  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } )  e.  Fin  /\  0  e/  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
) ) ) ) ) )
183182impcom 432 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  ->  (lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) ) )  ->  (
( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0
)  ->  ( (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n )  e.  NN  /\  ( ( ( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) 
C_  ZZ  /\  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } )  e.  Fin  /\  0  e/  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
) ) ) ) )
184183impcom 432 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0
)  /\  ( n  e.  ZZ  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) ) ) )  -> 
( ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  n
)  e.  NN  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } )  C_  ZZ  /\  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
)  e.  Fin  /\  0  e/  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } ) ) ) )
185 lcmf 14599 . . . 4  |-  ( ( ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  n
)  e.  NN  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } )  C_  ZZ  /\  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
)  e.  Fin  /\  0  e/  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } ) ) )  ->  ( ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) lcm  n )  =  (lcm `  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
) )  <->  ( A. i  e.  ( (
y  u.  { z } )  u.  {
n } ) i 
||  ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  n
)  /\  A. k  e.  NN  ( A. i  e.  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
) i  ||  k  ->  ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  n
)  <_  k )
) ) )
186184, 185syl 17 . . 3  |-  ( ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0
)  /\  ( n  e.  ZZ  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) ) ) )  -> 
( ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  n
)  =  (lcm `  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) )  <->  ( A. i  e.  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
) i  ||  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n )  /\  A. k  e.  NN  ( A. i  e.  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) i  ||  k  -> 
( (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n )  <_ 
k ) ) ) )
187113, 186mpbird 236 . 2  |-  ( ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0
)  /\  ( n  e.  ZZ  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) ) ) )  -> 
( (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n )  =  (lcm `  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } ) ) )
188187eqcomd 2431 1  |-  ( ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0
)  /\  ( n  e.  ZZ  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) ) ) )  -> 
(lcm `  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } ) )  =  ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  n
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    \/ w3o 982    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619    e/ wnel 2620   A.wral 2776    u. cun 3435    C_ wss 3437   {csn 3997   class class class wbr 4421   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   Fincfn 7575   0cc0 9541    <_ cle 9678   NNcn 10611   NN0cn0 10871   ZZcz 10939    || cdvds 14298   lcm clcm 14540  lcmclcmf 14541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-fl 12029  df-mod 12098  df-seq 12215  df-exp 12274  df-hash 12517  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-clim 13545  df-prod 13953  df-dvds 14299  df-gcd 14462  df-lcm 14544  df-lcmf 14546
This theorem is referenced by:  lcmfunsnlem2  14606
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