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Theorem lcmfunsnlem2lem2 14691
Description: Lemma 2 for lcmfunsnlem2 14692. (Contributed by AV, 26-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmfunsnlem2lem2  |-  ( ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0
)  /\  ( n  e.  ZZ  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) ) ) )  -> 
(lcm `  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } ) )  =  ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  n
) )
Distinct variable groups:    y, m, z    k, n, y, z, m

Proof of Theorem lcmfunsnlem2lem2
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun 3565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } )  <->  ( i  e.  ( y  u.  {
z } )  \/  i  e.  { n } ) )
2 elun 3565 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( y  u. 
{ z } )  <-> 
( i  e.  y  \/  i  e.  {
z } ) )
3 simp1 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  z  e.  ZZ )
43adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  z  e.  ZZ )
54adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( i  e.  y  \/  i  e.  {
z } )  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  z  e.  ZZ )
6 sneq 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  z  ->  { n }  =  { z } )
76uneq2d 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  z  ->  (
y  u.  { n } )  =  ( y  u.  { z } ) )
87fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  z  ->  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) )
9 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  z  ->  (
(lcm `  y ) lcm  n
)  =  ( (lcm `  y ) lcm  z ) )
108, 9eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  z  ->  (
(lcm `  ( y  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  n )  <-> 
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  z ) ) )
1110rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ZZ  ->  ( A. n  e.  ZZ  (lcm `
 ( y  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  n )  ->  (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  z ) ) )
125, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i  e.  y  \/  i  e.  {
z } )  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  ( A. n  e.  ZZ  (lcm `
 ( y  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  n )  ->  (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  z ) ) )
13 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  i  ->  (
k  ||  (lcm `  y
)  <->  i  ||  (lcm `  y ) ) )
1413rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  e.  y  ->  ( A. k  e.  y 
k  ||  (lcm `  y
)  ->  i  ||  (lcm `
 y ) ) )
15 dvdslcmf 14683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  A. k  e.  y  k  ||  (lcm `
 y ) )
16153adant1 1048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  A. k  e.  y  k  ||  (lcm `
 y ) )
1716adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  y  k  ||  (lcm `
 y ) )
1814, 17impel 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  y  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  i  ||  (lcm `  y ) )
19 lcmfcl 14680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (lcm `  y )  e.  NN0 )
2019nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (lcm `  y )  e.  ZZ )
21203adant1 1048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (lcm `  y )  e.  ZZ )
2221adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (lcm `  y )  e.  ZZ )
23 lcmcl 14645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( z lcm  n )  e.  NN0 )
243, 23sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
z lcm  n )  e. 
NN0 )
2524nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
z lcm  n )  e.  ZZ )
2622, 25jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
(lcm `  y )  e.  ZZ  /\  ( z lcm  n )  e.  ZZ ) )
2726adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  y  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  (
(lcm `  y )  e.  ZZ  /\  ( z lcm  n )  e.  ZZ ) )
28 dvdslcm 14642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( (lcm `  y )  e.  ZZ  /\  ( z lcm  n )  e.  ZZ )  ->  ( (lcm `  y
)  ||  ( (lcm `  y ) lcm  ( z lcm  n ) )  /\  ( z lcm  n )  ||  ( (lcm `  y
) lcm  ( z lcm  n
) ) ) )
2928simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( (lcm `  y )  e.  ZZ  /\  ( z lcm  n )  e.  ZZ )  ->  (lcm `  y )  ||  ( (lcm `  y ) lcm  (
z lcm  n ) ) )
3027, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  y  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  (lcm `  y )  ||  (
(lcm `  y ) lcm  (
z lcm  n ) ) )
31 ssel 3412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y 
C_  ZZ  ->  ( i  e.  y  ->  i  e.  ZZ ) )
32313ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (
i  e.  y  -> 
i  e.  ZZ ) )
3332adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
i  e.  y  -> 
i  e.  ZZ ) )
3433impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  y  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  i  e.  ZZ )
3522adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  y  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  (lcm `  y )  e.  ZZ )
3625adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( i  e.  y  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  (
z lcm  n )  e.  ZZ )
37 lcmcl 14645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( (lcm `  y )  e.  ZZ  /\  ( z lcm  n )  e.  ZZ )  ->  ( (lcm `  y
) lcm  ( z lcm  n
) )  e.  NN0 )
3835, 36, 37syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( i  e.  y  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  (
(lcm `  y ) lcm  (
z lcm  n ) )  e.  NN0 )
3938nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  y  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  (
(lcm `  y ) lcm  (
z lcm  n ) )  e.  ZZ )
40 dvdstr 14414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  (lcm `
 y )  e.  ZZ  /\  ( (lcm `  y ) lcm  ( z lcm  n ) )  e.  ZZ )  ->  (
( i  ||  (lcm `  y )  /\  (lcm `  y )  ||  (
(lcm `  y ) lcm  (
z lcm  n ) ) )  ->  i  ||  ( (lcm `  y ) lcm  (
z lcm  n ) ) ) )
4134, 35, 39, 40syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  y  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  (
( i  ||  (lcm `  y )  /\  (lcm `  y )  ||  (
(lcm `  y ) lcm  (
z lcm  n ) ) )  ->  i  ||  ( (lcm `  y ) lcm  (
z lcm  n ) ) ) )
4218, 30, 41mp2and 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  y  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  i  ||  ( (lcm `  y
) lcm  ( z lcm  n
) ) )
434adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  y  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  z  e.  ZZ )
44 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  n  e.  ZZ )
4544adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  y  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  n  e.  ZZ )
46 lcmass 14658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( (lcm `  y )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( (lcm `  y ) lcm  z
) lcm  n )  =  ( (lcm `  y
) lcm  ( z lcm  n
) ) )
4735, 43, 45, 46syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  y  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  (
( (lcm `  y ) lcm  z
) lcm  n )  =  ( (lcm `  y
) lcm  ( z lcm  n
) ) )
4842, 47breqtrrd 4422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  e.  y  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  i  ||  ( ( (lcm `  y
) lcm  z ) lcm  n
) )
4948ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  y  ->  (
( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  i  ||  (
( (lcm `  y ) lcm  z
) lcm  n ) ) )
50 elsni 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  { z }  ->  i  =  z )
5121, 3jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (
(lcm `  y )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )
5251adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
(lcm `  y )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )
53 dvdslcm 14642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( (lcm `  y )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
(lcm `  y )  ||  ( (lcm `  y ) lcm  z
)  /\  z  ||  ( (lcm `  y ) lcm  z
) ) )
5453simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( (lcm `  y )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  z  ||  ( (lcm `  y
) lcm  z ) )
5552, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  z  ||  ( (lcm `  y
) lcm  z ) )
56193adant1 1048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (lcm `  y )  e.  NN0 )
5756nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (lcm `  y )  e.  ZZ )
58 lcmcl 14645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( (lcm `  y )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
(lcm `  y ) lcm  z
)  e.  NN0 )
5957, 3, 58syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (
(lcm `  y ) lcm  z
)  e.  NN0 )
6059nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (
(lcm `  y ) lcm  z
)  e.  ZZ )
61 dvdslcm 14642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( (lcm `  y
) lcm  z )  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( (lcm `  y ) lcm  z
)  ||  ( (
(lcm `  y ) lcm  z
) lcm  n )  /\  n  ||  ( ( (lcm `  y ) lcm  z ) lcm  n ) ) )
6261simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( (lcm `  y
) lcm  z )  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
(lcm `  y ) lcm  z
)  ||  ( (
(lcm `  y ) lcm  z
) lcm  n ) )
6360, 62sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
(lcm `  y ) lcm  z
)  ||  ( (
(lcm `  y ) lcm  z
) lcm  n ) )
6460adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
(lcm `  y ) lcm  z
)  e.  ZZ )
65 lcmcl 14645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( (lcm `  y
) lcm  z )  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( (lcm `  y ) lcm  z
) lcm  n )  e. 
NN0 )
6660, 65sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( (lcm `  y ) lcm  z
) lcm  n )  e. 
NN0 )
6766nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( (lcm `  y ) lcm  z
) lcm  n )  e.  ZZ )
68 dvdstr 14414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( (lcm `  y ) lcm  z
)  e.  ZZ  /\  ( ( (lcm `  y
) lcm  z ) lcm  n
)  e.  ZZ )  ->  ( ( z 
||  ( (lcm `  y
) lcm  z )  /\  ( (lcm `  y ) lcm  z
)  ||  ( (
(lcm `  y ) lcm  z
) lcm  n ) )  ->  z  ||  (
( (lcm `  y ) lcm  z
) lcm  n ) ) )
694, 64, 67, 68syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( z  ||  (
(lcm `  y ) lcm  z
)  /\  ( (lcm `  y ) lcm  z ) 
||  ( ( (lcm `  y ) lcm  z ) lcm  n ) )  -> 
z  ||  ( (
(lcm `  y ) lcm  z
) lcm  n ) ) )
7055, 63, 69mp2and 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  z  ||  ( ( (lcm `  y
) lcm  z ) lcm  n
) )
71 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  z  ->  (
i  ||  ( (
(lcm `  y ) lcm  z
) lcm  n )  <->  z  ||  ( ( (lcm `  y
) lcm  z ) lcm  n
) ) )
7270, 71syl5ibr 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  =  z  ->  (
( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  i  ||  (
( (lcm `  y ) lcm  z
) lcm  n ) ) )
7350, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  { z }  ->  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  i  ||  ( ( (lcm `  y
) lcm  z ) lcm  n
) ) )
7449, 73jaoi 386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  e.  y  \/  i  e.  { z } )  ->  (
( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  i  ||  (
( (lcm `  y ) lcm  z
) lcm  n ) ) )
7574imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( i  e.  y  \/  i  e.  {
z } )  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  i  ||  ( ( (lcm `  y
) lcm  z ) lcm  n
) )
76 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  z )  -> 
( (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n )  =  ( ( (lcm `  y
) lcm  z ) lcm  n
) )
7776breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  z )  -> 
( i  ||  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n )  <->  i  ||  ( ( (lcm `  y
) lcm  z ) lcm  n
) ) )
7875, 77syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i  e.  y  \/  i  e.  {
z } )  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  z )  ->  i  ||  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n ) ) )
7912, 78syld 44 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( i  e.  y  \/  i  e.  {
z } )  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  ( A. n  e.  ZZ  (lcm `
 ( y  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  n )  ->  i  ||  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n ) ) )
8079ex 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  y  \/  i  e.  { z } )  ->  (
( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  n )  ->  i  ||  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n ) ) ) )
812, 80sylbi 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A. n  e.  ZZ  (lcm `
 ( y  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  n )  ->  i  ||  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n ) ) ) )
82 elsni 3985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  { n }  ->  i  =  n )
83 simp2 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  y  C_  ZZ )
84 snssi 4107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  ZZ  ->  { z }  C_  ZZ )
85843ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  { z }  C_  ZZ )
8683, 85unssd 3601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (
y  u.  { z } )  C_  ZZ )
87 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  y  e.  Fin )
88 snfi 7668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  { z }  e.  Fin
89 unfi 7856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin )
9087, 88, 89sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
91 lcmfcl 14680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  ZZ  /\  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin )  -> 
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) )  e.  NN0 )
9286, 90, 91syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (lcm `  ( y  u.  {
z } ) )  e.  NN0 )
9392nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (lcm `  ( y  u.  {
z } ) )  e.  ZZ )
9493anim1i 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) )  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)
9594adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  n ) )  ->  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) )  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )
96 dvdslcm 14642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) )  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) )  ||  ( (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n )  /\  n  ||  ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  n
) ) )
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  n ) )  ->  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) 
||  ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  n
)  /\  n  ||  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n ) ) )
9897simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  n ) )  ->  n  ||  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n ) )
99 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  n  ->  (
i  ||  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) lcm  n )  <->  n  ||  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n ) ) )
10098, 99syl5ibr 229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  n  ->  (
( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e. 
Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) )  ->  i  ||  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n ) ) )
101100expd 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  n  ->  (
( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  n )  ->  i  ||  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n ) ) ) )
10282, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  { n }  ->  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e. 
Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A. n  e.  ZZ  (lcm `
 ( y  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  n )  ->  i  ||  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n ) ) ) )
10381, 102jaoi 386 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( y  u.  { z } )  \/  i  e. 
{ n } )  ->  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A. n  e.  ZZ  (lcm `
 ( y  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  n )  ->  i  ||  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n ) ) ) )
1041, 103sylbi 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } )  ->  (
( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  n )  ->  i  ||  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n ) ) ) )
105104com13 82 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n )  -> 
( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e. 
Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
i  e.  ( ( y  u.  { z } )  u.  {
n } )  -> 
i  ||  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) lcm  n ) ) ) )
106105expd 443 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n )  -> 
( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  ( n  e.  ZZ  ->  ( i  e.  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
)  ->  i  ||  ( (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n ) ) ) ) )
107106adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) )  ->  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e. 
Fin )  ->  (
n  e.  ZZ  ->  ( i  e.  ( ( y  u.  { z } )  u.  {
n } )  -> 
i  ||  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) lcm  n ) ) ) ) )
108107impcom 437 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) )  ->  ( n  e.  ZZ  ->  ( i  e.  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
)  ->  i  ||  ( (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n ) ) ) )
109108impcom 437 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  ->  (lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) ) )  ->  (
i  e.  ( ( y  u.  { z } )  u.  {
n } )  -> 
i  ||  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) lcm  n ) ) )
110109adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0
)  /\  ( n  e.  ZZ  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) ) ) )  -> 
( i  e.  ( ( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } )  ->  i  ||  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n ) ) )
111110ralrimiv 2808 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0
)  /\  ( n  e.  ZZ  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) ) ) )  ->  A. i  e.  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) i  ||  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) lcm  n ) )
112 lcmfunsnlem2lem1 14690 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0
)  /\  ( n  e.  ZZ  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) ) ) )  ->  A. k  e.  NN  ( A. i  e.  ( ( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) i  ||  k  -> 
( (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n )  <_ 
k ) )
113111, 112jca 541 . . 3  |-  ( ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0
)  /\  ( n  e.  ZZ  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) ) ) )  -> 
( A. i  e.  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
) i  ||  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n )  /\  A. k  e.  NN  ( A. i  e.  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) i  ||  k  -> 
( (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n )  <_ 
k ) ) )
11494adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
( (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) )  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)
11586adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
y  u.  { z } )  C_  ZZ )
116115adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  C_  ZZ )
11790adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
118117adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
119 df-nel 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0  e/  y  <->  -.  0  e.  y )
120119biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  e/  y  ->  -.  0  e.  y )
1211203ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 )  ->  -.  0  e.  y )
122 elsni 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 0  e.  { z }  ->  0  =  z )
123122eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0  e.  { z }  ->  z  =  0 )
124123necon3ai 2668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =/=  0  ->  -.  0  e.  { z } )
1251243ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 )  ->  -.  0  e.  { z } )
126 ioran 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  ( 0  e.  y  \/  0  e.  {
z } )  <->  ( -.  0  e.  y  /\  -.  0  e.  { z } ) )
127121, 125, 126sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 )  ->  -.  ( 0  e.  y  \/  0  e.  {
z } ) )
128 elun 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  ( y  u. 
{ z } )  <-> 
( 0  e.  y  \/  0  e.  {
z } ) )
129127, 128sylnibr 312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 )  ->  -.  0  e.  ( y  u.  { z } ) )
130 df-nel 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  e/  ( y  u. 
{ z } )  <->  -.  0  e.  (
y  u.  { z } ) )
131129, 130sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 )  ->  0  e/  ( y  u.  {
z } ) )
132131adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
0  e/  ( y  u.  { z } ) )
133 lcmfn0cl 14678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  ZZ  /\  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin  /\  0  e/  ( y  u.  {
z } ) )  ->  (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) )  e.  NN )
134116, 118, 132, 133syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) )  e.  NN )
135134nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) )  =/=  0 )
136135neneqd 2648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 ) )  ->  -.  (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) )  =  0 )
137 df-ne 2643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =/=  0  <->  -.  n  =  0 )
138137biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =/=  0  ->  -.  n  =  0 )
1391383ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 )  ->  -.  n  =  0 )
140139adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 ) )  ->  -.  n  =  0
)
141 ioran 498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) )  =  0  \/  n  =  0 )  <->  ( -.  (lcm `
 ( y  u. 
{ z } ) )  =  0  /\ 
-.  n  =  0 ) )
142136, 140, 141sylanbrc 677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 ) )  ->  -.  ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) )  =  0  \/  n  =  0 ) )
143 lcmn0cl 14641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) )  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  /\  -.  ( (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) )  =  0  \/  n  =  0 ) )  ->  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) lcm  n )  e.  NN )
144114, 142, 143syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
( (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n )  e.  NN )
145 snssi 4107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ZZ  ->  { n }  C_  ZZ )
146145adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  { n }  C_  ZZ )
147115, 146unssd 3601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) 
C_  ZZ )
148147adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
)  C_  ZZ )
14988, 89mpan2 685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
150 snfi 7668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { n }  e.  Fin
151 unfi 7856 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin  /\  { n }  e.  Fin )  ->  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
)  e.  Fin )
152149, 150, 151sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } )  e.  Fin )
1531523ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } )  e.  Fin )
154153adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } )  e.  Fin )
155154adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
)  e.  Fin )
156 elun 3565 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  e.  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } )  <->  ( 0  e.  ( y  u. 
{ z } )  \/  0  e.  {
n } ) )
157 nnel 2752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  0  e/  y  <->  0  e.  y )
158157biimpri 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  e.  y  ->  -.  0  e/  y )
1591583mix1d 1205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  e.  y  ->  ( -.  0  e/  y  \/  -.  z  =/=  0  \/  -.  n  =/=  0
) )
160 nne 2647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  z  =/=  0  <->  z  =  0 )
161123, 160sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  e.  { z }  ->  -.  z  =/=  0 )
1621613mix2d 1206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  e.  { z }  ->  ( -.  0  e/  y  \/  -.  z  =/=  0  \/  -.  n  =/=  0 ) )
163159, 162jaoi 386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  y  \/  0  e.  { z } )  ->  ( -.  0  e/  y  \/  -.  z  =/=  0  \/  -.  n  =/=  0
) )
164128, 163sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( -.  0  e/  y  \/  -.  z  =/=  0  \/  -.  n  =/=  0 ) )
165 elsni 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  e.  { n }  ->  0  =  n )
166165eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  e.  { n }  ->  n  =  0 )
167 nne 2647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  n  =/=  0  <->  n  =  0 )
168166, 167sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  { n }  ->  -.  n  =/=  0
)
1691683mix3d 1207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  e.  { n }  ->  ( -.  0  e/  y  \/  -.  z  =/=  0  \/  -.  n  =/=  0 ) )
170164, 169jaoi 386 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  ( y  u.  { z } )  \/  0  e. 
{ n } )  ->  ( -.  0  e/  y  \/  -.  z  =/=  0  \/  -.  n  =/=  0 ) )
171156, 170sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  e.  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } )  ->  ( -.  0  e/  y  \/  -.  z  =/=  0  \/  -.  n  =/=  0
) )
172 3ianor 1024 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0
)  <->  ( -.  0  e/  y  \/  -.  z  =/=  0  \/  -.  n  =/=  0 ) )
173171, 172sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  e.  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } )  ->  -.  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0
) )
174173con2i 124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 )  ->  -.  0  e.  ( (
y  u.  { z } )  u.  {
n } ) )
175 df-nel 2644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e/  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } )  <->  -.  0  e.  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
) )
176174, 175sylibr 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 )  ->  0  e/  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
) )
177176adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
0  e/  ( (
y  u.  { z } )  u.  {
n } ) )
178148, 155, 1773jca 1210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } )  C_  ZZ  /\  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
)  e.  Fin  /\  0  e/  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } ) ) )
179144, 178jca 541 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
( ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  n
)  e.  NN  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } )  C_  ZZ  /\  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
)  e.  Fin  /\  0  e/  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } ) ) ) )
180179ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0
)  ->  ( (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n )  e.  NN  /\  ( ( ( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) 
C_  ZZ  /\  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } )  e.  Fin  /\  0  e/  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
) ) ) ) )
181180ex 441 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (
n  e.  ZZ  ->  ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0
)  ->  ( (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n )  e.  NN  /\  ( ( ( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) 
C_  ZZ  /\  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } )  e.  Fin  /\  0  e/  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
) ) ) ) ) )
182181adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) )  ->  ( n  e.  ZZ  ->  ( (
0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0 )  ->  (
( (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n )  e.  NN  /\  ( ( ( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) 
C_  ZZ  /\  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } )  e.  Fin  /\  0  e/  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
) ) ) ) ) )
183182impcom 437 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  ->  (lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) ) )  ->  (
( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0
)  ->  ( (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n )  e.  NN  /\  ( ( ( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) 
C_  ZZ  /\  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } )  e.  Fin  /\  0  e/  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
) ) ) ) )
184183impcom 437 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0
)  /\  ( n  e.  ZZ  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) ) ) )  -> 
( ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  n
)  e.  NN  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } )  C_  ZZ  /\  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
)  e.  Fin  /\  0  e/  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } ) ) ) )
185 lcmf 14685 . . . 4  |-  ( ( ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  n
)  e.  NN  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } )  C_  ZZ  /\  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
)  e.  Fin  /\  0  e/  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } ) ) )  ->  ( ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) lcm  n )  =  (lcm `  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
) )  <->  ( A. i  e.  ( (
y  u.  { z } )  u.  {
n } ) i 
||  ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  n
)  /\  A. k  e.  NN  ( A. i  e.  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
) i  ||  k  ->  ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  n
)  <_  k )
) ) )
186184, 185syl 17 . . 3  |-  ( ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0
)  /\  ( n  e.  ZZ  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) ) ) )  -> 
( ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  n
)  =  (lcm `  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) )  <->  ( A. i  e.  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
) i  ||  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n )  /\  A. k  e.  NN  ( A. i  e.  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) i  ||  k  -> 
( (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n )  <_ 
k ) ) ) )
187113, 186mpbird 240 . 2  |-  ( ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0
)  /\  ( n  e.  ZZ  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) ) ) )  -> 
( (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n )  =  (lcm `  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } ) ) )
188187eqcomd 2477 1  |-  ( ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0
)  /\  ( n  e.  ZZ  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) ) ) )  -> 
(lcm `  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } ) )  =  ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  n
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    \/ w3o 1006    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641    e/ wnel 2642   A.wral 2756    u. cun 3388    C_ wss 3390   {csn 3959   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   0cc0 9557    <_ cle 9694   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961    || cdvds 14382   lcm clcm 14626  lcmclcmf 14627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-prod 14037  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-lcm 14630  df-lcmf 14632
This theorem is referenced by:  lcmfunsnlem2  14692
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