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Theorem lcmfunsnlem2 14613
Description: Lemma for lcmfunsn 14617 and lcmfunsnlem 14614 (Induction step part 2). (Contributed by AV, 26-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmfunsnlem2  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) )  ->  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } ) )  =  ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  n
) )
Distinct variable groups:    y, m, z    k, n, y, z, m

Proof of Theorem lcmfunsnlem2
StepHypRef Expression
1 nfv 1761 . . 3  |-  F/ n
( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )
2 nfv 1761 . . . 4  |-  F/ n A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )
3 nfra1 2769 . . . 4  |-  F/ n A. n  e.  ZZ  (lcm `
 ( y  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  n )
42, 3nfan 2011 . . 3  |-  F/ n
( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  ->  (lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) )
51, 4nfan 2011 . 2  |-  F/ n
( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  ->  (lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) )
6 0z 10948 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
7 eqoreldif 4013 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
n  e.  ZZ  <->  ( n  =  0  \/  n  e.  ( ZZ  \  {
0 } ) ) ) )
86, 7ax-mp 5 . . . 4  |-  ( n  e.  ZZ  <->  ( n  =  0  \/  n  e.  ( ZZ  \  {
0 } ) ) )
9 simp2 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  y  C_  ZZ )
10 snssi 4116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ZZ  ->  { z }  C_  ZZ )
11103ad2ant1 1029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  { z }  C_  ZZ )
129, 11unssd 3610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (
y  u.  { z } )  C_  ZZ )
13 snssi 4116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  { 0 }  C_  ZZ )
146, 13mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  { 0 }  C_  ZZ )
1512, 14unssd 3610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ 0 } ) 
C_  ZZ )
16 c0ex 9637 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  _V
1716snid 3996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  { 0 }
1817olci 393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  ( y  u. 
{ z } )  \/  0  e.  {
0 } )
19 elun 3574 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  ( ( y  u.  { z } )  u.  { 0 } )  <->  ( 0  e.  ( y  u. 
{ z } )  \/  0  e.  {
0 } ) )
2018, 19mpbir 213 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { 0 } )
21 lcmf0val 14592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { 0 } )  C_  ZZ  /\  0  e.  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { 0 } ) )  ->  (lcm `  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { 0 } ) )  =  0 )
2215, 20, 21sylancl 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (lcm `  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { 0 } ) )  =  0 )
2322adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  =  0 )  -> 
(lcm `  ( ( y  u.  { z } )  u.  { 0 } ) )  =  0 )
24 sneq 3978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  0  ->  { n }  =  { 0 } )
2524adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  =  0 )  ->  { n }  =  { 0 } )
2625uneq2d 3588 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  =  0 )  -> 
( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
)  =  ( ( y  u.  { z } )  u.  {
0 } ) )
2726fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  =  0 )  -> 
(lcm `  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } ) )  =  (lcm `  ( ( y  u.  { z } )  u.  { 0 } ) ) )
28 oveq2 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  0  ->  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n )  =  ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  0 ) )
29 snfi 7650 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { z }  e.  Fin
30 unfi 7838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin )
3129, 30mpan2 677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
32313ad2ant3 1031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
33 lcmfcl 14601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  ZZ  /\  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin )  -> 
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) )  e.  NN0 )
3412, 32, 33syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (lcm `  ( y  u.  {
z } ) )  e.  NN0 )
3534nn0zd 11038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (lcm `  ( y  u.  {
z } ) )  e.  ZZ )
36 lcm0val 14558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) )  e.  ZZ  ->  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  0 )  =  0 )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  0 )  =  0 )
3828, 37sylan9eqr 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  =  0 )  -> 
( (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n )  =  0 )
3923, 27, 383eqtr4d 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  n  =  0 )  -> 
(lcm `  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } ) )  =  ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  n
) )
4039ex 436 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (
n  =  0  -> 
(lcm `  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } ) )  =  ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  n
) ) )
4140adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) )  ->  ( n  =  0  ->  (lcm `  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
) )  =  ( (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n ) ) )
4241com12 32 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  (
( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  ->  (lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) )  ->  (lcm `  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) lcm  n ) ) )
439adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 0  e.  y  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
y  C_  ZZ )
4411adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 0  e.  y  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  ->  { z }  C_  ZZ )
4543, 44unssd 3610 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 0  e.  y  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  C_  ZZ )
46 elun1 3601 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  e.  y  ->  0  e.  ( y  u.  {
z } ) )
4746ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 0  e.  y  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
0  e.  ( y  u.  { z } ) )
48 lcmf0val 14592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  ZZ  /\  0  e.  ( y  u.  { z } ) )  -> 
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) )  =  0 )
4945, 47, 48syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 0  e.  y  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) )  =  0 )
5049oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 0  e.  y  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( n lcm  (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) )  =  ( n lcm  0
) )
51 eldifi 3555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ  \  { 0 } )  ->  n  e.  ZZ )
52 lcm0val 14558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n lcm  0 )  =  0 )
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( ZZ  \  { 0 } )  ->  ( n lcm  0
)  =  0 )
5453ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 0  e.  y  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( n lcm  0 )  =  0 )
5550, 54eqtrd 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0  e.  y  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( n lcm  (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) )  =  0 )
56 simp3 1010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  y  e.  Fin )
5756, 29, 30sylancl 668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
5812, 57, 33syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (lcm `  ( y  u.  {
z } ) )  e.  NN0 )
5958nn0zd 11038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (lcm `  ( y  u.  {
z } ) )  e.  ZZ )
6051adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  y  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  ->  n  e.  ZZ )
61 lcmcom 14557 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) )  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  n
)  =  ( n lcm  (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )
6259, 60, 61syl2anr 481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0  e.  y  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n )  =  ( n lcm  (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) ) )
6312adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 0  e.  y  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  C_  ZZ )
6451snssd 4117 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ  \  { 0 } )  ->  { n }  C_  ZZ )
6564ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 0  e.  y  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  ->  { n }  C_  ZZ )
6663, 65unssd 3610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 0  e.  y  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
)  C_  ZZ )
6746orcd 394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  e.  y  ->  (
0  e.  ( y  u.  { z } )  \/  0  e. 
{ n } ) )
68 elun 3574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  e.  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } )  <->  ( 0  e.  ( y  u. 
{ z } )  \/  0  e.  {
n } ) )
6967, 68sylibr 216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  y  ->  0  e.  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
) )
7069ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 0  e.  y  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
0  e.  ( ( y  u.  { z } )  u.  {
n } ) )
71 lcmf0val 14592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
)  C_  ZZ  /\  0  e.  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
) )  ->  (lcm `  ( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
) )  =  0 )
7266, 70, 71syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0  e.  y  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
(lcm `  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } ) )  =  0 )
7355, 62, 723eqtr4rd 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0  e.  y  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
(lcm `  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } ) )  =  ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  n
) )
7473a1d 26 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0  e.  y  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  ->  (lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) )  ->  (lcm `  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } ) )  =  ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  n
) ) )
7574ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  y  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  ->  ( (
z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (
( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  ->  (lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) )  ->  (lcm `  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } ) )  =  ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  n
) ) ) )
7675impd 433 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  y  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  ->  ( (
( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) )  ->  (lcm `  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) lcm  n ) ) )
7776ex 436 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  y  ->  (
n  e.  ( ZZ 
\  { 0 } )  ->  ( (
( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) )  ->  (lcm `  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) lcm  n ) ) ) )
78 elsncg 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0  e.  { z }  <->  0  =  z ) )
79 eqcom 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  =  z  <->  z  = 
0 )
8078, 79syl6bb 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0  e.  { z }  <->  z  =  0 ) )
816, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  { z }  <-> 
z  =  0 )
8281biimpri 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  0  ->  0  e.  { z } )
8382ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  =  0  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
0  e.  { z } )
8483olcd 395 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  =  0  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( 0  e.  y  \/  0  e.  {
z } ) )
85 elun 3574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  e.  ( y  u. 
{ z } )  <-> 
( 0  e.  y  \/  0  e.  {
z } ) )
8684, 85sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  =  0  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
0  e.  ( y  u.  { z } ) )
8712, 86, 48syl2an2 841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  =  0  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
(lcm `  ( y  u. 
{ z } ) )  =  0 )
8887oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  =  0  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( n lcm  (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) )  =  ( n lcm  0
) )
8951ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  =  0  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  ->  n  e.  ZZ )
9089, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  =  0  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( n lcm  0 )  =  0 )
9188, 90eqtrd 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  =  0  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( n lcm  (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) )  =  0 )
9259, 89, 61syl2an2 841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  =  0  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) lcm  n )  =  ( n lcm  (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) ) )
9312adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  =  0  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  C_  ZZ )
9464ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  =  0  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  ->  { n }  C_  ZZ )
9593, 94unssd 3610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  =  0  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } )  u.  { n }
)  C_  ZZ )
96 sneq 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  0  ->  { z }  =  { 0 } )
9717, 96syl5eleqr 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  0  ->  0  e.  { z } )
9897ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  =  0  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
0  e.  { z } )
9998olcd 395 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  =  0  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( 0  e.  y  \/  0  e.  {
z } ) )
10099, 85sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  =  0  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
0  e.  ( y  u.  { z } ) )
101100orcd 394 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  =  0  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( 0  e.  ( y  u.  { z } )  \/  0  e.  { n }
) )
102101, 68sylibr 216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  =  0  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
0  e.  ( ( y  u.  { z } )  u.  {
n } ) )
10395, 102, 71syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  =  0  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
(lcm `  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } ) )  =  0 )
10491, 92, 1033eqtr4rd 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  =  0  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
(lcm `  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } ) )  =  ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  n
) )
105104a1d 26 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  =  0  /\  n  e.  ( ZZ  \  { 0 } ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  ->  (lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) )  ->  (lcm `  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } ) )  =  ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  n
) ) )
106105ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =  0  /\  n  e.  ( ZZ 
\  { 0 } ) )  ->  (
( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (
( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  ->  (lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) )  ->  (lcm `  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } ) )  =  ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  n
) ) ) )
107106impd 433 . . . . . . 7  |-  ( ( z  =  0  /\  n  e.  ( ZZ 
\  { 0 } ) )  ->  (
( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  ->  (lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) )  ->  (lcm `  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) lcm  n ) ) )
108107ex 436 . . . . . 6  |-  ( z  =  0  ->  (
n  e.  ( ZZ 
\  { 0 } )  ->  ( (
( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) )  ->  (lcm `  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) lcm  n ) ) ) )
109 ioran 493 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( 0  e.  y  \/  z  =  0 )  <->  ( -.  0  e.  y  /\  -.  z  =  0 ) )
110 df-nel 2625 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e/  y  <->  -.  0  e.  y )
111 df-ne 2624 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =/=  0  <->  -.  z  =  0 )
112110, 111anbi12i 703 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0 )  <->  ( -.  0  e.  y  /\  -.  z  =  0
) )
113109, 112bitr4i 256 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( 0  e.  y  \/  z  =  0 )  <->  ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0 ) )
114 eldif 3414 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( ZZ  \  { 0 } )  <-> 
( n  e.  ZZ  /\ 
-.  n  e.  {
0 } ) )
115 elsn 3982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  { 0 }  <-> 
n  =  0 )
116115bicomi 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  0  <->  n  e.  { 0 } )
117116necon3abii 2670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =/=  0  <->  -.  n  e.  { 0 } )
118 lcmfunsnlem2lem2 14612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0  /\  n  =/=  0
)  /\  ( n  e.  ZZ  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) ) ) )  -> 
(lcm `  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } ) )  =  ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  n
) )
119118exp520 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e/  y  ->  (
z  =/=  0  -> 
( n  =/=  0  ->  ( n  e.  ZZ  ->  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e. 
Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) )  ->  (lcm `  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) lcm  n ) ) ) ) ) )
120119imp 431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0 )  -> 
( n  =/=  0  ->  ( n  e.  ZZ  ->  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e. 
Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) )  ->  (lcm `  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) lcm  n ) ) ) ) )
121117, 120syl5bir 222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0 )  -> 
( -.  n  e. 
{ 0 }  ->  ( n  e.  ZZ  ->  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  ->  (lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) )  ->  (lcm `  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) lcm  n ) ) ) ) )
122121com23 81 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0 )  -> 
( n  e.  ZZ  ->  ( -.  n  e. 
{ 0 }  ->  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  ->  (lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) )  ->  (lcm `  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) lcm  n ) ) ) ) )
123122impd 433 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0 )  -> 
( ( n  e.  ZZ  /\  -.  n  e.  { 0 } )  ->  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) )  ->  (lcm `  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) lcm  n ) ) ) )
124114, 123syl5bi 221 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e/  y  /\  z  =/=  0 )  -> 
( n  e.  ( ZZ  \  { 0 } )  ->  (
( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  ->  (lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) )  ->  (lcm `  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) lcm  n ) ) ) )
125113, 124sylbi 199 . . . . . 6  |-  ( -.  ( 0  e.  y  \/  z  =  0 )  ->  ( n  e.  ( ZZ  \  {
0 } )  -> 
( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e. 
Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) )  ->  (lcm `  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) lcm  n ) ) ) )
12677, 108, 125ecase3 952 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ  \  { 0 } )  ->  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) )  ->  (lcm `  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) lcm  n ) ) )
12742, 126jaoi 381 . . . 4  |-  ( ( n  =  0  \/  n  e.  ( ZZ 
\  { 0 } ) )  ->  (
( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  ->  (lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) )  ->  (lcm `  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) lcm  n ) ) )
1288, 127sylbi 199 . . 3  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  ->  (lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) )  ->  (lcm `  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) lcm  n ) ) )
129128com12 32 . 2  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) )  ->  ( n  e.  ZZ  ->  (lcm `  (
( y  u.  {
z } )  u. 
{ n } ) )  =  ( (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) lcm  n ) ) )
1305, 129ralrimi 2788 1  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  /\  ( A. k  e.  ZZ  ( A. m  e.  y  m  ||  k  -> 
(lcm `  y )  ||  k )  /\  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( y  u.  {
n } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  n ) ) )  ->  A. n  e.  ZZ  (lcm `  ( ( y  u.  { z } )  u.  { n } ) )  =  ( (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) lcm  n
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622    e/ wnel 2623   A.wral 2737    \ cdif 3401    u. cun 3402    C_ wss 3404   {csn 3968   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   0cc0 9539   NN0cn0 10869   ZZcz 10937    || cdvds 14305   lcm clcm 14547  lcmclcmf 14548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-prod 13960  df-dvds 14306  df-gcd 14469  df-lcm 14551  df-lcmf 14553
This theorem is referenced by:  lcmfunsnlem  14614
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