Theorem lcmfunsnlem2 14613

Description: Lemma for lcmfunsn 14617 and lcmfunsnlem 14614 (Induction step part 2). (Contributed by AV, 26-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmfunsnlem2	|- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> A. n e. ZZ (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) )

Distinct variable groups:   y, m, z   k, n, y, z, m

Proof of Theorem lcmfunsnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1761	. . 3 |- F/ n ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin )
2		nfv 1761	. . . 4 |- F/ n A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k )
3		nfra1 2769	. . . 4 |- F/ n A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n )
4	2, 3	nfan 2011	. . 3 |- F/ n ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) )
5	1, 4	nfan 2011	. 2 |- F/ n ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) )
6		0z 10948	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
7		eqoreldif 4013	. . . . 5 |- ( 0 e. ZZ -> ( n e. ZZ <-> ( n = 0 \/ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 |- ( n e. ZZ <-> ( n = 0 \/ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) )
9		simp2 1009	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> y C_ ZZ )
10		snssi 4116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ZZ -> { z } C_ ZZ )
11	10	3ad2ant1 1029	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> { z } C_ ZZ )
12	9, 11	unssd 3610	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( y u. { z } ) C_ ZZ )
13		snssi 4116	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. ZZ -> { 0 } C_ ZZ )
14	6, 13	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> { 0 } C_ ZZ )
15	12, 14	unssd 3610	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( ( y u. { z } ) u. { 0 } ) C_ ZZ )
16		c0ex 9637	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. _V
17	16	snid 3996	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. { 0 }
18	17	olci 393	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. ( y u. { z } ) \/ 0 e. { 0 } )
19		elun 3574	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. ( ( y u. { z } ) u. { 0 } ) <-> ( 0 e. ( y u. { z } ) \/ 0 e. { 0 } ) )
20	18, 19	mpbir 213	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. ( ( y u. { z } ) u. { 0 } )
21		lcmf0val 14592	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y u. { z } ) u. { 0 } ) C_ ZZ /\ 0 e. ( ( y u. { z } ) u. { 0 } ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { 0 } ) ) = 0 )
22	15, 20, 21	sylancl 668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { 0 } ) ) = 0 )
23	22	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n = 0 ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { 0 } ) ) = 0 )
24		sneq 3978	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 0 -> { n } = { 0 } )
25	24	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n = 0 ) -> { n } = { 0 } )
26	25	uneq2d 3588	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n = 0 ) -> ( ( y u. { z } ) u. { n } ) = ( ( y u. { z } ) u. { 0 } ) )
27	26	fveq2d 5869	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n = 0 ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { 0 } ) ) )
28		oveq2 6298	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 0 -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm 0 ) )
29		snfi 7650	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { z } e. Fin
30		unfi 7838	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. Fin /\ { z } e. Fin ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
31	29, 30	mpan2 677	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. Fin -> ( y u. { z } ) e. Fin )
32	31	3ad2ant3 1031	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
33		lcmfcl 14601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( y u. { z } ) e. Fin ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. NN0 )
34	12, 32, 33	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. NN0 )
35	34	nn0zd 11038	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. ZZ )
36		lcm0val 14558	. . . . . . . . . . 11 |- ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. ZZ -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm 0 ) = 0 )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm 0 ) = 0 )
38	28, 37	sylan9eqr 2507	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n = 0 ) -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) = 0 )
39	23, 27, 38	3eqtr4d 2495	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n = 0 ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) )
40	39	ex 436	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( n = 0 -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
41	40	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> ( n = 0 -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
42	41	com12 32	. . . . 5 |- ( n = 0 -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
43	9	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> y C_ ZZ )
44	11	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> { z } C_ ZZ )
45	43, 44	unssd 3610	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( y u. { z } ) C_ ZZ )
46		elun1 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 e. y -> 0 e. ( y u. { z } ) )
47	46	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> 0 e. ( y u. { z } ) )
48		lcmf0val 14592	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ 0 e. ( y u. { z } ) ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) = 0 )
49	45, 47, 48	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) = 0 )
50	49	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( n lcm (lcm ` ( y u. { z } ) ) ) = ( n lcm 0 ) )
51		eldifi 3555	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( ZZ \ { 0 } ) -> n e. ZZ )
52		lcm0val 14558	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ZZ -> ( n lcm 0 ) = 0 )
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( ZZ \ { 0 } ) -> ( n lcm 0 ) = 0 )
54	53	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( n lcm 0 ) = 0 )
55	50, 54	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( n lcm (lcm ` ( y u. { z } ) ) ) = 0 )
56		simp3 1010	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> y e. Fin )
57	56, 29, 30	sylancl 668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
58	12, 57, 33	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. NN0 )
59	58	nn0zd 11038	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. ZZ )
60	51	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) -> n e. ZZ )
61		lcmcom 14557	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) = ( n lcm (lcm ` ( y u. { z } ) ) ) )
62	59, 60, 61	syl2anr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) = ( n lcm (lcm ` ( y u. { z } ) ) ) )
63	12	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( y u. { z } ) C_ ZZ )
64	51	snssd 4117	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( ZZ \ { 0 } ) -> { n } C_ ZZ )
65	64	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> { n } C_ ZZ )
66	63, 65	unssd 3610	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( ( y u. { z } ) u. { n } ) C_ ZZ )
67	46	orcd 394	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 e. y -> ( 0 e. ( y u. { z } ) \/ 0 e. { n } ) )
68		elun 3574	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) <-> ( 0 e. ( y u. { z } ) \/ 0 e. { n } ) )
69	67, 68	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. y -> 0 e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) )
70	69	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> 0 e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) )
71		lcmf0val 14592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y u. { z } ) u. { n } ) C_ ZZ /\ 0 e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = 0 )
72	66, 70, 71	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = 0 )
73	55, 62, 72	3eqtr4rd 2496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) )
74	73	a1d 26	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
75	74	ex 436	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) -> ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) )
76	75	impd 433	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
77	76	ex 436	. . . . . 6 |- ( 0 e. y -> ( n e. ( ZZ \ { 0 } ) -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) )
78		elsncg 3991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 e. { z } <-> 0 = z ) )
79		eqcom 2458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 0 = z <-> z = 0 )
80	78, 79	syl6bb 265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 e. { z } <-> z = 0 ) )
81	6, 80	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 0 e. { z } <-> z = 0 )
82	81	biimpri 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = 0 -> 0 e. { z } )
83	82	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> 0 e. { z } )
84	83	olcd 395	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( 0 e. y \/ 0 e. { z } ) )
85		elun 3574	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 e. ( y u. { z } ) <-> ( 0 e. y \/ 0 e. { z } ) )
86	84, 85	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> 0 e. ( y u. { z } ) )
87	12, 86, 48	syl2an2 841	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) = 0 )
88	87	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( n lcm (lcm ` ( y u. { z } ) ) ) = ( n lcm 0 ) )
89	51	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> n e. ZZ )
90	89, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( n lcm 0 ) = 0 )
91	88, 90	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( n lcm (lcm ` ( y u. { z } ) ) ) = 0 )
92	59, 89, 61	syl2an2 841	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) = ( n lcm (lcm ` ( y u. { z } ) ) ) )
93	12	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( y u. { z } ) C_ ZZ )
94	64	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> { n } C_ ZZ )
95	93, 94	unssd 3610	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( ( y u. { z } ) u. { n } ) C_ ZZ )
96		sneq 3978	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = 0 -> { z } = { 0 } )
97	17, 96	syl5eleqr 2536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = 0 -> 0 e. { z } )
98	97	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> 0 e. { z } )
99	98	olcd 395	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( 0 e. y \/ 0 e. { z } ) )
100	99, 85	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> 0 e. ( y u. { z } ) )
101	100	orcd 394	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( 0 e. ( y u. { z } ) \/ 0 e. { n } ) )
102	101, 68	sylibr 216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> 0 e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) )
103	95, 102, 71	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = 0 )
104	91, 92, 103	3eqtr4rd 2496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) )
105	104	a1d 26	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
106	105	ex 436	. . . . . . . 8 |- ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) -> ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) )
107	106	impd 433	. . . . . . 7 |- ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
108	107	ex 436	. . . . . 6 |- ( z = 0 -> ( n e. ( ZZ \ { 0 } ) -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) )
109		ioran 493	. . . . . . . 8 |- ( -. ( 0 e. y \/ z = 0 ) <-> ( -. 0 e. y /\ -. z = 0 ) )
110		df-nel 2625	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e/ y <-> -. 0 e. y )
111		df-ne 2624	. . . . . . . . 9 |- ( z =/= 0 <-> -. z = 0 )
112	110, 111	anbi12i 703	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 ) <-> ( -. 0 e. y /\ -. z = 0 ) )
113	109, 112	bitr4i 256	. . . . . . 7 |- ( -. ( 0 e. y \/ z = 0 ) <-> ( 0 e/ y /\ z =/= 0 ) )
114		eldif 3414	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( ZZ \ { 0 } ) <-> ( n e. ZZ /\ -. n e. { 0 } ) )
115		elsn 3982	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. { 0 } <-> n = 0 )
116	115	bicomi 206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 0 <-> n e. { 0 } )
117	116	necon3abii 2670	. . . . . . . . . . 11 |- ( n =/= 0 <-> -. n e. { 0 } )
118		lcmfunsnlem2lem2 14612	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( n e. ZZ /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) )
119	118	exp520 1230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e/ y -> ( z =/= 0 -> ( n =/= 0 -> ( n e. ZZ -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) ) ) )
120	119	imp 431	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 ) -> ( n =/= 0 -> ( n e. ZZ -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) ) )
121	117, 120	syl5bir 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 ) -> ( -. n e. { 0 } -> ( n e. ZZ -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) ) )
122	121	com23 81	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 ) -> ( n e. ZZ -> ( -. n e. { 0 } -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) ) )
123	122	impd 433	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 ) -> ( ( n e. ZZ /\ -. n e. { 0 } ) -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) )
124	114, 123	syl5bi 221	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 ) -> ( n e. ( ZZ \ { 0 } ) -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) )
125	113, 124	sylbi 199	. . . . . 6 |- ( -. ( 0 e. y \/ z = 0 ) -> ( n e. ( ZZ \ { 0 } ) -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) )
126	77, 108, 125	ecase3 952	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ \ { 0 } ) -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
127	42, 126	jaoi 381	. . . 4 |- ( ( n = 0 \/ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
128	8, 127	sylbi 199	. . 3 |- ( n e. ZZ -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
129	128	com12 32	. 2 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> ( n e. ZZ -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
130	5, 129	ralrimi 2788	1 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> A. n e. ZZ (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   e/ wnel 2623   A.wral 2737   \ cdif 3401   u. cun 3402   C_ wss 3404   {csn 3968   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   0cc0 9539   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   || cdvds 14305   lcm clcm 14547  lcmclcmf 14548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-prod 13960  df-dvds 14306  df-gcd 14469  df-lcm 14551  df-lcmf 14553

This theorem is referenced by:  lcmfunsnlem  14614