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Theorem lcmfun 14667
Description: The lcm function for a union of sets of integers. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmfun  |-  ( ( ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin )  /\  ( Z  C_  ZZ  /\  Z  e.  Fin )
)  ->  (lcm `  ( Y  u.  Z )
)  =  ( (lcm `  Y ) lcm  (lcm `  Z
) ) )

Proof of Theorem lcmfun
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cleq1lem 13095 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) )  <->  ( (/)  C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin )
) ) )
2 uneq2 3594 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( Y  u.  x )  =  ( Y  u.  (/) ) )
3 un0 3771 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  u.  (/) )  =  Y
42, 3syl6eq 2512 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( Y  u.  x )  =  Y )
54fveq2d 5892 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  (lcm `  ( Y  u.  x )
)  =  (lcm `  Y
) )
6 fveq2 5888 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  (lcm `  x
)  =  (lcm `  (/) ) )
7 lcmf0 14656 . . . . . . . . 9  |-  (lcm `  (/) )  =  1
86, 7syl6eq 2512 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  (lcm `  x
)  =  1 )
98oveq2d 6331 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (lcm `  Y ) lcm  (lcm `  x
) )  =  ( (lcm `  Y ) lcm  1 ) )
105, 9eqeq12d 2477 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (lcm `  ( Y  u.  x
) )  =  ( (lcm `  Y ) lcm  (lcm `  x ) )  <->  (lcm `  Y
)  =  ( (lcm `  Y ) lcm  1 ) ) )
111, 10imbi12d 326 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( x  C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin )
)  ->  (lcm `  ( Y  u.  x )
)  =  ( (lcm `  Y ) lcm  (lcm `  x
) ) )  <->  ( ( (/)  C_  ZZ  /\  ( Y 
C_  ZZ  /\  Y  e. 
Fin ) )  -> 
(lcm `  Y )  =  ( (lcm `  Y
) lcm  1 ) ) ) )
12 cleq1lem 13095 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin )
)  <->  ( y  C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) ) ) )
13 uneq2 3594 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( Y  u.  x )  =  ( Y  u.  y ) )
1413fveq2d 5892 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (lcm `  ( Y  u.  x
) )  =  (lcm `  ( Y  u.  y
) ) )
15 fveq2 5888 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (lcm `  x )  =  (lcm `  y ) )
1615oveq2d 6331 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
(lcm `  Y ) lcm  (lcm `  x ) )  =  ( (lcm `  Y
) lcm  (lcm `  y ) ) )
1714, 16eqeq12d 2477 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
(lcm `  ( Y  u.  x ) )  =  ( (lcm `  Y
) lcm  (lcm `  x ) )  <-> 
(lcm `  ( Y  u.  y ) )  =  ( (lcm `  Y
) lcm  (lcm `  y ) ) ) )
1812, 17imbi12d 326 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) )  ->  (lcm `  ( Y  u.  x
) )  =  ( (lcm `  Y ) lcm  (lcm `  x ) ) )  <-> 
( ( y  C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) )  ->  (lcm `  ( Y  u.  y
) )  =  ( (lcm `  Y ) lcm  (lcm `  y ) ) ) ) )
19 cleq1lem 13095 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( x 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) )  <->  ( (
y  u.  { z } )  C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin )
) ) )
20 uneq2 3594 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( Y  u.  x )  =  ( Y  u.  ( y  u.  { z } ) ) )
2120fveq2d 5892 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  (lcm `  ( Y  u.  x ) )  =  (lcm `  ( Y  u.  ( y  u.  {
z } ) ) ) )
22 fveq2 5888 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  (lcm `  x )  =  (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) )
2322oveq2d 6331 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( (lcm `  Y
) lcm  (lcm `  x ) )  =  ( (lcm `  Y
) lcm  (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )
2421, 23eqeq12d 2477 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( (lcm `  ( Y  u.  x )
)  =  ( (lcm `  Y ) lcm  (lcm `  x
) )  <->  (lcm `  ( Y  u.  ( y  u.  { z } ) ) )  =  ( (lcm `  Y ) lcm  (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) ) ) )
2519, 24imbi12d 326 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( x  C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) )  -> 
(lcm `  ( Y  u.  x ) )  =  ( (lcm `  Y
) lcm  (lcm `  x ) ) )  <->  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin )
)  ->  (lcm `  ( Y  u.  ( y  u.  { z } ) ) )  =  ( (lcm `  Y ) lcm  (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) ) ) ) )
26 cleq1lem 13095 . . . . . 6  |-  ( x  =  Z  ->  (
( x  C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin )
)  <->  ( Z  C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) ) ) )
27 uneq2 3594 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Z  ->  ( Y  u.  x )  =  ( Y  u.  Z ) )
2827fveq2d 5892 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Z  ->  (lcm `  ( Y  u.  x
) )  =  (lcm `  ( Y  u.  Z
) ) )
29 fveq2 5888 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Z  ->  (lcm `  x )  =  (lcm `  Z ) )
3029oveq2d 6331 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Z  ->  (
(lcm `  Y ) lcm  (lcm `  x ) )  =  ( (lcm `  Y
) lcm  (lcm `  Z ) ) )
3128, 30eqeq12d 2477 . . . . . 6  |-  ( x  =  Z  ->  (
(lcm `  ( Y  u.  x ) )  =  ( (lcm `  Y
) lcm  (lcm `  x ) )  <-> 
(lcm `  ( Y  u.  Z ) )  =  ( (lcm `  Y
) lcm  (lcm `  Z ) ) ) )
3226, 31imbi12d 326 . . . . 5  |-  ( x  =  Z  ->  (
( ( x  C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) )  ->  (lcm `  ( Y  u.  x
) )  =  ( (lcm `  Y ) lcm  (lcm `  x ) ) )  <-> 
( ( Z  C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) )  ->  (lcm `  ( Y  u.  Z
) )  =  ( (lcm `  Y ) lcm  (lcm `  Z ) ) ) ) )
33 lcmfcl 14650 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin )  ->  (lcm `  Y )  e.  NN0 )
3433nn0zd 11067 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin )  ->  (lcm `  Y )  e.  ZZ )
35 lcm1 14624 . . . . . . . . 9  |-  ( (lcm `  Y )  e.  ZZ  ->  ( (lcm `  Y
) lcm  1 )  =  ( abs `  (lcm `  Y ) ) )
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin )  ->  (
(lcm `  Y ) lcm  1 )  =  ( abs `  (lcm `  Y ) ) )
37 nn0re 10907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (lcm `  Y )  e.  NN0  ->  (lcm `  Y )  e.  RR )
38 nn0ge0 10924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (lcm `  Y )  e.  NN0  ->  0  <_  (lcm `  Y
) )
3937, 38jca 539 . . . . . . . . . 10  |-  ( (lcm `  Y )  e.  NN0  ->  ( (lcm `  Y
)  e.  RR  /\  0  <_  (lcm `  Y ) ) )
4033, 39syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin )  ->  (
(lcm `  Y )  e.  RR  /\  0  <_ 
(lcm `  Y ) ) )
41 absid 13408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (lcm `  Y )  e.  RR  /\  0  <_ 
(lcm `  Y ) )  ->  ( abs `  (lcm `  Y ) )  =  (lcm `  Y ) )
4240, 41syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin )  ->  ( abs `  (lcm `  Y ) )  =  (lcm `  Y ) )
4336, 42eqtrd 2496 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin )  ->  (
(lcm `  Y ) lcm  1 )  =  (lcm `  Y
) )
4443adantl 472 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) )  -> 
( (lcm `  Y ) lcm  1 )  =  (lcm `  Y
) )
4544eqcomd 2468 . . . . 5  |-  ( (
(/)  C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) )  -> 
(lcm `  Y )  =  ( (lcm `  Y
) lcm  1 ) )
46 unass 3603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  u.  y )  u.  { z } )  =  ( Y  u.  ( y  u. 
{ z } ) )
4746eqcomi 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  u.  ( y  u. 
{ z } ) )  =  ( ( Y  u.  y )  u.  { z } )
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) ) )  ->  ( Y  u.  ( y  u.  {
z } ) )  =  ( ( Y  u.  y )  u. 
{ z } ) )
4948fveq2d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) ) )  ->  (lcm `  ( Y  u.  ( y  u.  {
z } ) ) )  =  (lcm `  (
( Y  u.  y
)  u.  { z } ) ) )
50 simpl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin )  ->  Y  C_  ZZ )
5150adantl 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) )  ->  Y  C_  ZZ )
52 unss 3620 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  C_  ZZ  /\  {
z }  C_  ZZ ) 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  ZZ )
53 simpl 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  C_  ZZ  /\  {
z }  C_  ZZ )  ->  y  C_  ZZ )
5452, 53sylbir 218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  ZZ  ->  y  C_  ZZ )
5554adantr 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) )  ->  y  C_  ZZ )
5651, 55unssd 3622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) )  ->  ( Y  u.  y )  C_  ZZ )
5756adantl 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) ) )  ->  ( Y  u.  y )  C_  ZZ )
58 unfi 7864 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Y  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )  ->  ( Y  u.  y
)  e.  Fin )
5958ex 440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Y  e.  Fin  ->  (
y  e.  Fin  ->  ( Y  u.  y )  e.  Fin ) )
6059adantl 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin )  ->  (
y  e.  Fin  ->  ( Y  u.  y )  e.  Fin ) )
6160adantl 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) )  ->  (
y  e.  Fin  ->  ( Y  u.  y )  e.  Fin ) )
6261impcom 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) ) )  ->  ( Y  u.  y )  e.  Fin )
63 vex 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
_V
6463snss 4109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ZZ  <->  { z }  C_  ZZ )
6564biimpri 211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { z }  C_  ZZ  ->  z  e.  ZZ )
6665adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  C_  ZZ  /\  {
z }  C_  ZZ )  ->  z  e.  ZZ )
6752, 66sylbir 218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  ZZ  ->  z  e.  ZZ )
6867adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) )  ->  z  e.  ZZ )
6968adantl 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) ) )  ->  z  e.  ZZ )
70 lcmfunsn 14666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Y  u.  y
)  C_  ZZ  /\  ( Y  u.  y )  e.  Fin  /\  z  e.  ZZ )  ->  (lcm `  ( ( Y  u.  y )  u.  {
z } ) )  =  ( (lcm `  ( Y  u.  y )
) lcm  z ) )
7157, 62, 69, 70syl3anc 1276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) ) )  ->  (lcm `  ( ( Y  u.  y )  u. 
{ z } ) )  =  ( (lcm `  ( Y  u.  y
) ) lcm  z ) )
7249, 71eqtrd 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) ) )  ->  (lcm `  ( Y  u.  ( y  u.  {
z } ) ) )  =  ( (lcm `  ( Y  u.  y
) ) lcm  z ) )
7372adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) ) )  /\  ( ( y 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) )  -> 
(lcm `  ( Y  u.  y ) )  =  ( (lcm `  Y
) lcm  (lcm `  y ) ) ) )  ->  (lcm `  ( Y  u.  (
y  u.  { z } ) ) )  =  ( (lcm `  ( Y  u.  y )
) lcm  z ) )
7454anim1i 576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) )  ->  (
y  C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) ) )
7574adantl 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) ) )  ->  ( y  C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) ) )
76 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin )
)  ->  (lcm `  ( Y  u.  y )
)  =  ( (lcm `  Y ) lcm  (lcm `  y
) ) )  -> 
( ( y  C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) )  ->  (lcm `  ( Y  u.  y
) )  =  ( (lcm `  Y ) lcm  (lcm `  y ) ) ) )
7775, 76mpan9 476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) ) )  /\  ( ( y 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) )  -> 
(lcm `  ( Y  u.  y ) )  =  ( (lcm `  Y
) lcm  (lcm `  y ) ) ) )  ->  (lcm `  ( Y  u.  y
) )  =  ( (lcm `  Y ) lcm  (lcm `  y ) ) )
7877oveq1d 6330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) ) )  /\  ( ( y 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) )  -> 
(lcm `  ( Y  u.  y ) )  =  ( (lcm `  Y
) lcm  (lcm `  y ) ) ) )  ->  (
(lcm `  ( Y  u.  y ) ) lcm  z
)  =  ( ( (lcm `  Y ) lcm  (lcm `  y ) ) lcm  z
) )
7934adantl 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) )  ->  (lcm `  Y )  e.  ZZ )
8079adantl 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) ) )  ->  (lcm `  Y )  e.  ZZ )
8155anim2i 577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) ) )  ->  ( y  e. 
Fin  /\  y  C_  ZZ ) )
8281ancomd 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) ) )  ->  ( y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin ) )
83 lcmfcl 14650 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin )  ->  (lcm `  y )  e.  NN0 )
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) ) )  ->  (lcm `  y )  e. 
NN0 )
8584nn0zd 11067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) ) )  ->  (lcm `  y )  e.  ZZ )
86 lcmass 14628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (lcm `  Y )  e.  ZZ  /\  (lcm `  y
)  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( (lcm `  Y
) lcm  (lcm `  y ) ) lcm  z )  =  ( (lcm `  Y ) lcm  (
(lcm `  y ) lcm  z
) ) )
8780, 85, 69, 86syl3anc 1276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) ) )  ->  ( ( (lcm `  Y ) lcm  (lcm `  y
) ) lcm  z )  =  ( (lcm `  Y
) lcm  ( (lcm `  y
) lcm  z ) ) )
8887adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) ) )  /\  ( ( y 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) )  -> 
(lcm `  ( Y  u.  y ) )  =  ( (lcm `  Y
) lcm  (lcm `  y ) ) ) )  ->  (
( (lcm `  Y ) lcm  (lcm `  y ) ) lcm  z
)  =  ( (lcm `  Y ) lcm  ( (lcm `  y ) lcm  z ) ) )
8978, 88eqtrd 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) ) )  /\  ( ( y 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) )  -> 
(lcm `  ( Y  u.  y ) )  =  ( (lcm `  Y
) lcm  (lcm `  y ) ) ) )  ->  (
(lcm `  ( Y  u.  y ) ) lcm  z
)  =  ( (lcm `  Y ) lcm  ( (lcm `  y ) lcm  z ) ) )
9073, 89eqtrd 2496 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) ) )  /\  ( ( y 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) )  -> 
(lcm `  ( Y  u.  y ) )  =  ( (lcm `  Y
) lcm  (lcm `  y ) ) ) )  ->  (lcm `  ( Y  u.  (
y  u.  { z } ) ) )  =  ( (lcm `  Y
) lcm  ( (lcm `  y
) lcm  z ) ) )
9153adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  C_  ZZ  /\ 
{ z }  C_  ZZ )  /\  y  e.  Fin )  ->  y  C_  ZZ )
92 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  C_  ZZ  /\ 
{ z }  C_  ZZ )  /\  y  e.  Fin )  ->  y  e.  Fin )
9366adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  C_  ZZ  /\ 
{ z }  C_  ZZ )  /\  y  e.  Fin )  ->  z  e.  ZZ )
9491, 92, 933jca 1194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  C_  ZZ  /\ 
{ z }  C_  ZZ )  /\  y  e.  Fin )  ->  (
y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin  /\  z  e.  ZZ ) )
9594ex 440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  C_  ZZ  /\  {
z }  C_  ZZ )  ->  ( y  e. 
Fin  ->  ( y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin  /\  z  e.  ZZ ) ) )
9652, 95sylbir 218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  ZZ  ->  ( y  e.  Fin  ->  ( y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin  /\  z  e.  ZZ )
) )
9796adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) )  ->  (
y  e.  Fin  ->  ( y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin  /\  z  e.  ZZ ) ) )
9897impcom 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) ) )  ->  ( y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin  /\  z  e.  ZZ ) )
99 lcmfunsn 14666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  C_  ZZ  /\  y  e.  Fin  /\  z  e.  ZZ )  ->  (lcm `  ( y  u.  {
z } ) )  =  ( (lcm `  y
) lcm  z ) )
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) ) )  ->  (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) )  =  ( (lcm `  y ) lcm  z ) )
101100oveq2d 6331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) ) )  ->  ( (lcm `  Y
) lcm  (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) )  =  ( (lcm `  Y ) lcm  (
(lcm `  y ) lcm  z
) ) )
102101eqeq2d 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) ) )  ->  ( (lcm `  ( Y  u.  ( y  u.  { z } ) ) )  =  ( (lcm `  Y ) lcm  (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) )  <->  (lcm `  ( Y  u.  ( y  u.  {
z } ) ) )  =  ( (lcm `  Y ) lcm  ( (lcm `  y ) lcm  z ) ) ) )
103102adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) ) )  /\  ( ( y 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) )  -> 
(lcm `  ( Y  u.  y ) )  =  ( (lcm `  Y
) lcm  (lcm `  y ) ) ) )  ->  (
(lcm `  ( Y  u.  ( y  u.  {
z } ) ) )  =  ( (lcm `  Y ) lcm  (lcm `  (
y  u.  { z } ) ) )  <-> 
(lcm `  ( Y  u.  ( y  u.  {
z } ) ) )  =  ( (lcm `  Y ) lcm  ( (lcm `  y ) lcm  z ) ) ) )
10490, 103mpbird 240 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) ) )  /\  ( ( y 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) )  -> 
(lcm `  ( Y  u.  y ) )  =  ( (lcm `  Y
) lcm  (lcm `  y ) ) ) )  ->  (lcm `  ( Y  u.  (
y  u.  { z } ) ) )  =  ( (lcm `  Y
) lcm  (lcm `  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )
105104exp31 613 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) )  -> 
( ( ( y 
C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) )  -> 
(lcm `  ( Y  u.  y ) )  =  ( (lcm `  Y
) lcm  (lcm `  y ) ) )  ->  (lcm `  ( Y  u.  ( y  u.  { z } ) ) )  =  ( (lcm `  Y ) lcm  (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) ) ) ) )
106105com23 81 . . . . 5  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( ( y  C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin ) )  ->  (lcm `  ( Y  u.  y
) )  =  ( (lcm `  Y ) lcm  (lcm `  y ) ) )  ->  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin )
)  ->  (lcm `  ( Y  u.  ( y  u.  { z } ) ) )  =  ( (lcm `  Y ) lcm  (lcm `  ( y  u.  {
z } ) ) ) ) ) )
10711, 18, 25, 32, 45, 106findcard2 7837 . . . 4  |-  ( Z  e.  Fin  ->  (
( Z  C_  ZZ  /\  ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin )
)  ->  (lcm `  ( Y  u.  Z )
)  =  ( (lcm `  Y ) lcm  (lcm `  Z
) ) ) )
108107expd 442 . . 3  |-  ( Z  e.  Fin  ->  ( Z  C_  ZZ  ->  (
( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin )  ->  (lcm `  ( Y  u.  Z ) )  =  ( (lcm `  Y
) lcm  (lcm `  Z ) ) ) ) )
109108impcom 436 . 2  |-  ( ( Z  C_  ZZ  /\  Z  e.  Fin )  ->  (
( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin )  ->  (lcm `  ( Y  u.  Z ) )  =  ( (lcm `  Y
) lcm  (lcm `  Z ) ) ) )
110109impcom 436 1  |-  ( ( ( Y  C_  ZZ  /\  Y  e.  Fin )  /\  ( Z  C_  ZZ  /\  Z  e.  Fin )
)  ->  (lcm `  ( Y  u.  Z )
)  =  ( (lcm `  Y ) lcm  (lcm `  Z
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898    u. cun 3414    C_ wss 3416   (/)c0 3743   {csn 3980   class class class wbr 4416   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   Fincfn 7595   RRcr 9564   0cc0 9565   1c1 9566    <_ cle 9702   NN0cn0 10898   ZZcz 10966   abscabs 13346   lcm clcm 14596  lcmclcmf 14597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-inf2 8172  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-pre-sup 9643
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-sup 7982  df-inf 7983  df-oi 8051  df-card 8399  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-rp 11332  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-fl 12060  df-mod 12129  df-seq 12246  df-exp 12305  df-hash 12548  df-cj 13211  df-re 13212  df-im 13213  df-sqrt 13347  df-abs 13348  df-clim 13601  df-prod 14009  df-dvds 14355  df-gcd 14518  df-lcm 14600  df-lcmf 14602
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