Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmass Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lcmass 14658
 Description: Associative law for lcm operator. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmass lcm lcm lcm lcm

Proof of Theorem lcmass
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orass 533 . . 3
2 anass 661 . . . . . 6
32a1i 11 . . . . 5
43rabbiia 3019 . . . 4
54infeq1i 8012 . . 3 inf inf
61, 5ifbieq2i 3896 . 2 inf inf
7 lcmcl 14645 . . . . . 6 lcm
873adant3 1050 . . . . 5 lcm
98nn0zd 11061 . . . 4 lcm
10 simp3 1032 . . . 4
11 lcmval 14634 . . . 4 lcm lcm lcm lcm inf lcm
129, 10, 11syl2anc 673 . . 3 lcm lcm lcm inf lcm
13 lcmeq0 14644 . . . . . . 7 lcm
14133adant3 1050 . . . . . 6 lcm
1514orbi1d 717 . . . . 5 lcm
1615bicomd 206 . . . 4 lcm
17 nnz 10983 . . . . . . . . 9
1817adantl 473 . . . . . . . 8
19 simp1 1030 . . . . . . . . 9
2019adantr 472 . . . . . . . 8
21 simpl2 1034 . . . . . . . 8
22 lcmdvdsb 14657 . . . . . . . 8 lcm
2318, 20, 21, 22syl3anc 1292 . . . . . . 7 lcm
2423anbi1d 719 . . . . . 6 lcm
2524rabbidva 3021 . . . . 5 lcm
2625infeq1d 8011 . . . 4 inf inf lcm
2716, 26ifbieq2d 3897 . . 3 inf lcm inf lcm
2812, 27eqtr4d 2508 . 2 lcm lcm inf
29 lcmcl 14645 . . . . . 6 lcm
30293adant1 1048 . . . . 5 lcm
3130nn0zd 11061 . . . 4 lcm
32 lcmval 14634 . . . 4 lcm lcm lcm lcm inf lcm
3319, 31, 32syl2anc 673 . . 3 lcm lcm lcm inf lcm
34 lcmeq0 14644 . . . . . . 7 lcm
35343adant1 1048 . . . . . 6 lcm
3635orbi2d 716 . . . . 5 lcm
3736bicomd 206 . . . 4 lcm
3810adantr 472 . . . . . . . 8
39 lcmdvdsb 14657 . . . . . . . 8 lcm
4018, 21, 38, 39syl3anc 1292 . . . . . . 7 lcm
4140anbi2d 718 . . . . . 6 lcm
4241rabbidva 3021 . . . . 5 lcm
4342infeq1d 8011 . . . 4 inf inf lcm
4437, 43ifbieq2d 3897 . . 3 inf lcm inf lcm
4533, 44eqtr4d 2508 . 2 lcm lcm inf
466, 28, 453eqtr4a 2531 1 lcm lcm lcm lcm
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  crab 2760  cif 3872   class class class wbr 4395  (class class class)co 6308  infcinf 7973  cr 9556  cc0 9557   clt 9693  cn 10631  cn0 10893  cz 10961   cdvds 14382   lcm clcm 14626 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-lcm 14630 This theorem is referenced by:  lcmfunsnlem2lem2  14691  lcmfun  14697
 Copyright terms: Public domain W3C validator