Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2x Structured version   Unicode version

Theorem lclkrlem2x 34851
Description: Lemma for lclkr 34854. Eliminate by cases the hypotheses of lclkrlem2u 34848, lclkrlem2u 34848 and lclkrlem2w 34850. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2x.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lclkrlem2x.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lclkrlem2x.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lclkrlem2x.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lclkrlem2x.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lclkrlem2x.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lclkrlem2x.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lclkrlem2x.p  |-  .+  =  ( +g  `  D )
lclkrlem2x.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lclkrlem2x.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lclkrlem2x.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lclkrlem2x.e  |-  ( ph  ->  E  e.  F )
lclkrlem2x.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
lclkrlem2x.le  |-  ( ph  ->  ( L `  E
)  =  (  ._|_  `  { X } ) )
lclkrlem2x.lg  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  =  (  ._|_  `  { Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2x  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  ( E  .+  G ) ) ) )  =  ( L `  ( E 
.+  G ) ) )

Proof of Theorem lclkrlem2x
StepHypRef Expression
1 df-ne 2618 . . 3  |-  ( ( ( E  .+  G
) `  X )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  U ) )  <->  -.  (
( E  .+  G
) `  X )  =  ( 0g `  (Scalar `  U ) ) )
2 lclkrlem2x.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
3 eqid 2420 . . . 4  |-  ( .s
`  U )  =  ( .s `  U
)
4 eqid 2420 . . . 4  |-  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U )
5 eqid 2420 . . . 4  |-  ( .r
`  (Scalar `  U )
)  =  ( .r
`  (Scalar `  U )
)
6 eqid 2420 . . . 4  |-  ( 0g
`  (Scalar `  U )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  U )
)
7 eqid 2420 . . . 4  |-  ( invr `  (Scalar `  U )
)  =  ( invr `  (Scalar `  U )
)
8 eqid 2420 . . . 4  |-  ( -g `  U )  =  (
-g `  U )
9 lclkrlem2x.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  U )
10 lclkrlem2x.d . . . 4  |-  D  =  (LDual `  U )
11 lclkrlem2x.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  D )
12 lclkrlem2x.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
1312adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( E  .+  G ) `  X )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  U
) ) )  ->  X  e.  V )
14 lclkrlem2x.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
1514adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( E  .+  G ) `  X )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  U
) ) )  ->  Y  e.  V )
16 lclkrlem2x.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  F )
1716adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( E  .+  G ) `  X )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  U
) ) )  ->  E  e.  F )
18 lclkrlem2x.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
1918adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( E  .+  G ) `  X )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  U
) ) )  ->  G  e.  F )
20 eqid 2420 . . . 4  |-  ( LSpan `  U )  =  (
LSpan `  U )
21 lclkrlem2x.l . . . 4  |-  L  =  (LKer `  U )
22 lclkrlem2x.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
23 lclkrlem2x.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
24 lclkrlem2x.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
25 eqid 2420 . . . 4  |-  ( LSSum `  U )  =  (
LSSum `  U )
26 lclkrlem2x.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2726adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( E  .+  G ) `  X )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  U
) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
28 lclkrlem2x.le . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( L `  E
)  =  (  ._|_  `  { X } ) )
2928adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( E  .+  G ) `  X )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  U
) ) )  -> 
( L `  E
)  =  (  ._|_  `  { X } ) )
30 lclkrlem2x.lg . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  =  (  ._|_  `  { Y } ) )
3130adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( E  .+  G ) `  X )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  U
) ) )  -> 
( L `  G
)  =  (  ._|_  `  { Y } ) )
32 simpr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( E  .+  G ) `  X )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  U
) ) )  -> 
( ( E  .+  G ) `  X
)  =/=  ( 0g
`  (Scalar `  U )
) )
332, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 29, 31, 32lclkrlem2u 34848 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( E  .+  G ) `  X )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  U
) ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  ( E  .+  G ) ) ) )  =  ( L `  ( E 
.+  G ) ) )
341, 33sylan2br 478 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( E  .+  G
) `  X )  =  ( 0g `  (Scalar `  U ) ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 ( E  .+  G ) ) ) )  =  ( L `
 ( E  .+  G ) ) )
35 df-ne 2618 . . 3  |-  ( ( ( E  .+  G
) `  Y )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  U ) )  <->  -.  (
( E  .+  G
) `  Y )  =  ( 0g `  (Scalar `  U ) ) )
3612adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( E  .+  G ) `  Y )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  U
) ) )  ->  X  e.  V )
3714adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( E  .+  G ) `  Y )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  U
) ) )  ->  Y  e.  V )
3816adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( E  .+  G ) `  Y )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  U
) ) )  ->  E  e.  F )
3918adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( E  .+  G ) `  Y )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  U
) ) )  ->  G  e.  F )
4026adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( E  .+  G ) `  Y )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  U
) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
4128adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( E  .+  G ) `  Y )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  U
) ) )  -> 
( L `  E
)  =  (  ._|_  `  { X } ) )
4230adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( E  .+  G ) `  Y )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  U
) ) )  -> 
( L `  G
)  =  (  ._|_  `  { Y } ) )
43 simpr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( E  .+  G ) `  Y )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  U
) ) )  -> 
( ( E  .+  G ) `  Y
)  =/=  ( 0g
`  (Scalar `  U )
) )
442, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 36, 37, 38, 39, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 40, 41, 42, 43lclkrlem2t 34847 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( E  .+  G ) `  Y )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  U
) ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  ( E  .+  G ) ) ) )  =  ( L `  ( E 
.+  G ) ) )
4535, 44sylan2br 478 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( E  .+  G
) `  Y )  =  ( 0g `  (Scalar `  U ) ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 ( E  .+  G ) ) ) )  =  ( L `
 ( E  .+  G ) ) )
4612adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
( E  .+  G
) `  X )  =  ( 0g `  (Scalar `  U ) )  /\  ( ( E 
.+  G ) `  Y )  =  ( 0g `  (Scalar `  U ) ) ) )  ->  X  e.  V )
4714adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
( E  .+  G
) `  X )  =  ( 0g `  (Scalar `  U ) )  /\  ( ( E 
.+  G ) `  Y )  =  ( 0g `  (Scalar `  U ) ) ) )  ->  Y  e.  V )
4816adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
( E  .+  G
) `  X )  =  ( 0g `  (Scalar `  U ) )  /\  ( ( E 
.+  G ) `  Y )  =  ( 0g `  (Scalar `  U ) ) ) )  ->  E  e.  F )
4918adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
( E  .+  G
) `  X )  =  ( 0g `  (Scalar `  U ) )  /\  ( ( E 
.+  G ) `  Y )  =  ( 0g `  (Scalar `  U ) ) ) )  ->  G  e.  F )
5026adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
( E  .+  G
) `  X )  =  ( 0g `  (Scalar `  U ) )  /\  ( ( E 
.+  G ) `  Y )  =  ( 0g `  (Scalar `  U ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
5128adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
( E  .+  G
) `  X )  =  ( 0g `  (Scalar `  U ) )  /\  ( ( E 
.+  G ) `  Y )  =  ( 0g `  (Scalar `  U ) ) ) )  ->  ( L `  E )  =  ( 
._|_  `  { X }
) )
5230adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
( E  .+  G
) `  X )  =  ( 0g `  (Scalar `  U ) )  /\  ( ( E 
.+  G ) `  Y )  =  ( 0g `  (Scalar `  U ) ) ) )  ->  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { Y }
) )
53 simprl 762 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
( E  .+  G
) `  X )  =  ( 0g `  (Scalar `  U ) )  /\  ( ( E 
.+  G ) `  Y )  =  ( 0g `  (Scalar `  U ) ) ) )  ->  ( ( E  .+  G ) `  X )  =  ( 0g `  (Scalar `  U ) ) )
54 simprr 764 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
( E  .+  G
) `  X )  =  ( 0g `  (Scalar `  U ) )  /\  ( ( E 
.+  G ) `  Y )  =  ( 0g `  (Scalar `  U ) ) ) )  ->  ( ( E  .+  G ) `  Y )  =  ( 0g `  (Scalar `  U ) ) )
552, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 46, 47, 48, 49, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 50, 51, 52, 53, 54lclkrlem2w 34850 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( (
( E  .+  G
) `  X )  =  ( 0g `  (Scalar `  U ) )  /\  ( ( E 
.+  G ) `  Y )  =  ( 0g `  (Scalar `  U ) ) ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 ( E  .+  G ) ) ) )  =  ( L `
 ( E  .+  G ) ) )
5634, 45, 55pm2.61dda 800 1  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  ( E  .+  G ) ) ) )  =  ( L `  ( E 
.+  G ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   {csn 3993   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   Basecbs 15081   +g cplusg 15150   .rcmulr 15151  Scalarcsca 15153   .scvsca 15154   0gc0g 15298   -gcsg 16623   LSSumclsm 17227   invrcinvr 17840   LSpanclspn 18135  LFnlclfn 32376  LKerclk 32404  LDualcld 32442   HLchlt 32669   LHypclh 33302   DVecHcdvh 34399   ocHcoch 34668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-riotaBAD 32278
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-tpos 6972  df-undef 7019  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11772  df-struct 15083  df-ndx 15084  df-slot 15085  df-base 15086  df-sets 15087  df-ress 15088  df-plusg 15163  df-mulr 15164  df-sca 15166  df-vsca 15167  df-0g 15300  df-mre 15444  df-mrc 15445  df-acs 15447  df-preset 16125  df-poset 16143  df-plt 16156  df-lub 16172  df-glb 16173  df-join 16174  df-meet 16175  df-p0 16237  df-p1 16238  df-lat 16244  df-clat 16306  df-mgm 16440  df-sgrp 16479  df-mnd 16489  df-submnd 16535  df-grp 16625  df-minusg 16626  df-sbg 16627  df-subg 16766  df-cntz 16923  df-oppg 16949  df-lsm 17229  df-cmn 17373  df-abl 17374  df-mgp 17665  df-ur 17677  df-ring 17723  df-oppr 17792  df-dvdsr 17810  df-unit 17811  df-invr 17841  df-dvr 17852  df-drng 17918  df-lmod 18034  df-lss 18097  df-lsp 18136  df-lvec 18267  df-lsatoms 32295  df-lshyp 32296  df-lcv 32338  df-lfl 32377  df-lkr 32405  df-ldual 32443  df-oposet 32495  df-ol 32497  df-oml 32498  df-covers 32585  df-ats 32586  df-atl 32617  df-cvlat 32641  df-hlat 32670  df-llines 32816  df-lplanes 32817  df-lvols 32818  df-lines 32819  df-psubsp 32821  df-pmap 32822  df-padd 33114  df-lhyp 33306  df-laut 33307  df-ldil 33422  df-ltrn 33423  df-trl 33478  df-tgrp 34063  df-tendo 34075  df-edring 34077  df-dveca 34323  df-disoa 34350  df-dvech 34400  df-dib 34460  df-dic 34494  df-dih 34550  df-doch 34669  df-djh 34716
This theorem is referenced by:  lclkrlem2y  34852
  Copyright terms: Public domain W3C validator