Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2r Structured version   Unicode version

Theorem lclkrlem2r 35478
Description: Lemma for lclkr 35487. When  B is zero, i.e. when  X and  Y are colinear, the intersection of the kernels of  E and  G equal the kernel of  G, so the kernels of  G and the sum are comparable. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2m.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lclkrlem2m.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
lclkrlem2m.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lclkrlem2m.q  |-  .X.  =  ( .r `  S )
lclkrlem2m.z  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
lclkrlem2m.i  |-  I  =  ( invr `  S
)
lclkrlem2m.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
lclkrlem2m.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lclkrlem2m.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lclkrlem2m.p  |-  .+  =  ( +g  `  D )
lclkrlem2m.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lclkrlem2m.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lclkrlem2m.e  |-  ( ph  ->  E  e.  F )
lclkrlem2m.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
lclkrlem2n.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
lclkrlem2n.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lclkrlem2o.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lclkrlem2o.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lclkrlem2o.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lclkrlem2o.a  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
lclkrlem2o.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lclkrlem2q.le  |-  ( ph  ->  ( L `  E
)  =  (  ._|_  `  { X } ) )
lclkrlem2q.lg  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  =  (  ._|_  `  { Y } ) )
lclkrlem2q.b  |-  B  =  ( X  .-  (
( ( ( E 
.+  G ) `  X )  .X.  (
I `  ( ( E  .+  G ) `  Y ) ) ) 
.x.  Y ) )
lclkrlem2q.n  |-  ( ph  ->  ( ( E  .+  G ) `  Y
)  =/=  .0.  )
lclkrlem2r.bn  |-  ( ph  ->  B  =  ( 0g
`  U ) )
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2r  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  ( L `  ( E  .+  G
) ) )

Proof of Theorem lclkrlem2r
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2m.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
2 lclkrlem2m.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  U )
3 lclkrlem2m.s . . . . 5  |-  S  =  (Scalar `  U )
4 lclkrlem2m.q . . . . 5  |-  .X.  =  ( .r `  S )
5 lclkrlem2m.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
6 lclkrlem2m.i . . . . 5  |-  I  =  ( invr `  S
)
7 lclkrlem2m.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  U )
8 lclkrlem2m.f . . . . 5  |-  F  =  (LFnl `  U )
9 lclkrlem2m.d . . . . 5  |-  D  =  (LDual `  U )
10 lclkrlem2m.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  D )
11 lclkrlem2m.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
12 lclkrlem2m.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
13 lclkrlem2m.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  F )
14 lclkrlem2m.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
15 lclkrlem2n.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
16 lclkrlem2n.l . . . . 5  |-  L  =  (LKer `  U )
17 lclkrlem2o.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
18 lclkrlem2o.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
19 lclkrlem2o.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
20 lclkrlem2o.a . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
21 lclkrlem2o.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
22 lclkrlem2q.b . . . . 5  |-  B  =  ( X  .-  (
( ( ( E 
.+  G ) `  X )  .X.  (
I `  ( ( E  .+  G ) `  Y ) ) ) 
.x.  Y ) )
23 lclkrlem2q.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E  .+  G ) `  Y
)  =/=  .0.  )
24 lclkrlem2r.bn . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( 0g
`  U ) )
251, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24lclkrlem2p 35476 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { Y } )  C_  (  ._|_  `  { X }
) )
26 lclkrlem2q.lg . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  =  (  ._|_  `  { Y } ) )
27 lclkrlem2q.le . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L `  E
)  =  (  ._|_  `  { X } ) )
2825, 26, 273sstr4d 3500 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  ( L `  E ) )
29 dfss1 3656 . . 3  |-  ( ( L `  G ) 
C_  ( L `  E )  <->  ( ( L `  E )  i^i  ( L `  G
) )  =  ( L `  G ) )
3028, 29sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( L `  E )  i^i  ( L `  G )
)  =  ( L `
 G ) )
3117, 19, 21dvhlmod 35064 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
328, 16, 9, 10, 31, 13, 14lkrin 33118 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( L `  E )  i^i  ( L `  G )
)  C_  ( L `  ( E  .+  G
) ) )
3330, 32eqsstr3d 3492 1  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  ( L `  ( E  .+  G
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644    i^i cin 3428    C_ wss 3429   {csn 3978   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   Basecbs 14285   +g cplusg 14349   .rcmulr 14350  Scalarcsca 14352   .scvsca 14353   0gc0g 14489   -gcsg 15524   LSSumclsm 16246   invrcinvr 16878   LSpanclspn 17167  LFnlclfn 33011  LKerclk 33039  LDualcld 33077   HLchlt 33304   LHypclh 33937   DVecHcdvh 35032   ocHcoch 35301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-riotaBAD 32913
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-tpos 6848  df-undef 6895  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-0g 14491  df-poset 15227  df-plt 15239  df-lub 15255  df-glb 15256  df-join 15257  df-meet 15258  df-p0 15320  df-p1 15321  df-lat 15327  df-clat 15389  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-sbg 15658  df-subg 15789  df-cntz 15946  df-lsm 16248  df-cmn 16392  df-abl 16393  df-mgp 16706  df-ur 16718  df-rng 16762  df-oppr 16830  df-dvdsr 16848  df-unit 16849  df-invr 16879  df-dvr 16890  df-drng 16949  df-lmod 17065  df-lss 17129  df-lsp 17168  df-lvec 17299  df-lsatoms 32930  df-lfl 33012  df-lkr 33040  df-ldual 33078  df-oposet 33130  df-ol 33132  df-oml 33133  df-covers 33220  df-ats 33221  df-atl 33252  df-cvlat 33276  df-hlat 33305  df-llines 33451  df-lplanes 33452  df-lvols 33453  df-lines 33454  df-psubsp 33456  df-pmap 33457  df-padd 33749  df-lhyp 33941  df-laut 33942  df-ldil 34057  df-ltrn 34058  df-trl 34112  df-tendo 34708  df-edring 34710  df-disoa 34983  df-dvech 35033  df-dib 35093  df-dic 35127  df-dih 35183  df-doch 35302
This theorem is referenced by:  lclkrlem2s  35479
  Copyright terms: Public domain W3C validator