Theorem lclkrlem2m 35483

Description: Lemma for lclkr 35497. Construct a vector B that makes the sum of functionals zero. Combine with B e. V to shorten overall proof. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2m.v	|- V = ( Base ` U )
lclkrlem2m.t	|- .x. = ( .s ` U )
lclkrlem2m.s	|- S = (Scalar ` U )
lclkrlem2m.q	|- .X. = ( .r ` S )
lclkrlem2m.z	|- .0. = ( 0g ` S )
lclkrlem2m.i	|- I = ( invr ` S )
lclkrlem2m.m	|- .- = ( -g ` U )
lclkrlem2m.f	|- F = (LFnl ` U )
lclkrlem2m.d	|- D = (LDual ` U )
lclkrlem2m.p	|- .+ = ( +g ` D )
lclkrlem2m.x	|- ( ph -> X e. V )
lclkrlem2m.y	|- ( ph -> Y e. V )
lclkrlem2m.e	|- ( ph -> E e. F )
lclkrlem2m.g	|- ( ph -> G e. F )
lclkrlem2m.w	|- ( ph -> U e. LVec )
lclkrlem2m.b	|- B = ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) )
lclkrlem2m.n	|- ( ph -> ( ( E .+ G ) ` Y ) =/= .0. )

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2m	|- ( ph -> ( B e. V /\ ( ( E .+ G ) ` B ) = .0. ) )

Proof of Theorem lclkrlem2m

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrlem2m.b	. . 3 |- B = ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) )
2		lclkrlem2m.w	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. LVec )
3		lveclmod 17305	. . . . . 6 |- ( U e. LVec -> U e. LMod )
4	2, 3	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> U e. LMod )
5		lmodgrp 17073	. . . . 5 |- ( U e. LMod -> U e. Grp )
6	4, 5	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> U e. Grp )
7		lclkrlem2m.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. V )
8		lclkrlem2m.s	. . . . . . . 8 |- S = (Scalar ` U )
9	8	lmodrng 17074	. . . . . . 7 |- ( U e. LMod -> S e. Ring )
10	4, 9	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. Ring )
11		lclkrlem2m.f	. . . . . . . 8 |- F = (LFnl ` U )
12		lclkrlem2m.d	. . . . . . . 8 |- D = (LDual ` U )
13		lclkrlem2m.p	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` D )
14		lclkrlem2m.e	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. F )
15		lclkrlem2m.g	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. F )
16	11, 12, 13, 4, 14, 15	ldualvaddcl 33094	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E .+ G ) e. F )
17		eqid 2452	. . . . . . . 8 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
18		lclkrlem2m.v	. . . . . . . 8 |- V = ( Base ` U )
19	8, 17, 18, 11	lflcl 33028	. . . . . . 7 |- ( ( U e. LVec /\ ( E .+ G ) e. F /\ X e. V ) -> ( ( E .+ G ) ` X ) e. ( Base ` S ) )
20	2, 16, 7, 19	syl3anc 1219	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E .+ G ) ` X ) e. ( Base ` S ) )
21	8	lvecdrng 17304	. . . . . . . 8 |- ( U e. LVec -> S e. DivRing )
22	2, 21	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. DivRing )
23		lclkrlem2m.y	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. V )
24	8, 17, 18, 11	lflcl 33028	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. LVec /\ ( E .+ G ) e. F /\ Y e. V ) -> ( ( E .+ G ) ` Y ) e. ( Base ` S ) )
25	2, 16, 23, 24	syl3anc 1219	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( E .+ G ) ` Y ) e. ( Base ` S ) )
26		lclkrlem2m.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( E .+ G ) ` Y ) =/= .0. )
27		lclkrlem2m.z	. . . . . . . 8 |- .0. = ( 0g ` S )
28		lclkrlem2m.i	. . . . . . . 8 |- I = ( invr ` S )
29	17, 27, 28	drnginvrcl 16967	. . . . . . 7 |- ( ( S e. DivRing /\ ( ( E .+ G ) ` Y ) e. ( Base ` S ) /\ ( ( E .+ G ) ` Y ) =/= .0. ) -> ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) e. ( Base ` S ) )
30	22, 25, 26, 29	syl3anc 1219	. . . . . 6 |- ( ph -> ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) e. ( Base ` S ) )
31		lclkrlem2m.q	. . . . . . 7 |- .X. = ( .r ` S )
32	17, 31	rngcl 16776	. . . . . 6 |- ( ( S e. Ring /\ ( ( E .+ G ) ` X ) e. ( Base ` S ) /\ ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) e. ( Base ` S ) )
33	10, 20, 30, 32	syl3anc 1219	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) e. ( Base ` S ) )
34		lclkrlem2m.t	. . . . . 6 |- .x. = ( .s ` U )
35	18, 8, 34, 17	lmodvscl 17083	. . . . 5 |- ( ( U e. LMod /\ ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) e. ( Base ` S ) /\ Y e. V ) -> ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) e. V )
36	4, 33, 23, 35	syl3anc 1219	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) e. V )
37		lclkrlem2m.m	. . . . 5 |- .- = ( -g ` U )
38	18, 37	grpsubcl 15720	. . . 4 |- ( ( U e. Grp /\ X e. V /\ ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) e. V ) -> ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) e. V )
39	6, 7, 36, 38	syl3anc 1219	. . 3 |- ( ph -> ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) e. V )
40	1, 39	syl5eqel 2544	. 2 |- ( ph -> B e. V )
41	1	fveq2i 5797	. . 3 |- ( ( E .+ G ) ` B ) = ( ( E .+ G ) ` ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) )
42		eqid 2452	. . . . . 6 |- ( -g ` S ) = ( -g ` S )
43	8, 42, 18, 37, 11	lflsub 33031	. . . . 5 |- ( ( U e. LMod /\ ( E .+ G ) e. F /\ ( X e. V /\ ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) e. V ) ) -> ( ( E .+ G ) ` ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) ) = ( ( ( E .+ G ) ` X ) ( -g ` S ) ( ( E .+ G ) ` ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) ) )
44	4, 16, 7, 36, 43	syl112anc 1223	. . . 4 |- ( ph -> ( ( E .+ G ) ` ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) ) = ( ( ( E .+ G ) ` X ) ( -g ` S ) ( ( E .+ G ) ` ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) ) )
45	8, 17, 31, 18, 34, 11	lflmul 33032	. . . . . . 7 |- ( ( U e. LMod /\ ( E .+ G ) e. F /\ ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) e. ( Base ` S ) /\ Y e. V ) ) -> ( ( E .+ G ) ` ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) = ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .X. ( ( E .+ G ) ` Y ) ) )
46	4, 16, 33, 23, 45	syl112anc 1223	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E .+ G ) ` ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) = ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .X. ( ( E .+ G ) ` Y ) ) )
47	17, 31	rngass 16779	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. Ring /\ ( ( ( E .+ G ) ` X ) e. ( Base ` S ) /\ ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) e. ( Base ` S ) /\ ( ( E .+ G ) ` Y ) e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .X. ( ( E .+ G ) ` Y ) ) = ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) .X. ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) )
48	10, 20, 30, 25, 47	syl13anc 1221	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .X. ( ( E .+ G ) ` Y ) ) = ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) .X. ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) )
49		eqid 2452	. . . . . . . . . 10 |- ( 1r ` S ) = ( 1r ` S )
50	17, 27, 31, 49, 28	drnginvrl 16969	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. DivRing /\ ( ( E .+ G ) ` Y ) e. ( Base ` S ) /\ ( ( E .+ G ) ` Y ) =/= .0. ) -> ( ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) .X. ( ( E .+ G ) ` Y ) ) = ( 1r ` S ) )
51	22, 25, 26, 50	syl3anc 1219	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) .X. ( ( E .+ G ) ` Y ) ) = ( 1r ` S ) )
52	51	oveq2d 6211	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) .X. ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) = ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( 1r ` S ) ) )
53	48, 52	eqtrd 2493	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .X. ( ( E .+ G ) ` Y ) ) = ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( 1r ` S ) ) )
54	17, 31, 49	rngridm 16787	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Ring /\ ( ( E .+ G ) ` X ) e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( 1r ` S ) ) = ( ( E .+ G ) ` X ) )
55	10, 20, 54	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( 1r ` S ) ) = ( ( E .+ G ) ` X ) )
56	46, 53, 55	3eqtrd 2497	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E .+ G ) ` ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) = ( ( E .+ G ) ` X ) )
57	56	oveq2d 6211	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( E .+ G ) ` X ) ( -g ` S ) ( ( E .+ G ) ` ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) ) = ( ( ( E .+ G ) ` X ) ( -g ` S ) ( ( E .+ G ) ` X ) ) )
58		rnggrp 16768	. . . . . 6 |- ( S e. Ring -> S e. Grp )
59	10, 58	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> S e. Grp )
60	17, 27, 42	grpsubid 15724	. . . . 5 |- ( ( S e. Grp /\ ( ( E .+ G ) ` X ) e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( E .+ G ) ` X ) ( -g ` S ) ( ( E .+ G ) ` X ) ) = .0. )
61	59, 20, 60	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( E .+ G ) ` X ) ( -g ` S ) ( ( E .+ G ) ` X ) ) = .0. )
62	44, 57, 61	3eqtrd 2497	. . 3 |- ( ph -> ( ( E .+ G ) ` ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) ) = .0. )
63	41, 62	syl5eq 2505	. 2 |- ( ph -> ( ( E .+ G ) ` B ) = .0. )
64	40, 63	jca 532	1 |- ( ph -> ( B e. V /\ ( ( E .+ G ) ` B ) = .0. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2645   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   Basecbs 14287   +g cplusg 14352   .rcmulr 14353  Scalarcsca 14355   .scvsca 14356   0gc0g 14492   Grpcgrp 15524   -gcsg 15527   1rcur 16720   Ringcrg 16763   invrcinvr 16881   DivRingcdr 16950   LModclmod 17066   LVecclvec 17301  LFnlclfn 33021  LDualcld 33087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-tpos 6850  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-0g 14494  df-mnd 15529  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-sbg 15661  df-cmn 16395  df-abl 16396  df-mgp 16709  df-ur 16721  df-rng 16765  df-oppr 16833  df-dvdsr 16851  df-unit 16852  df-invr 16882  df-drng 16952  df-lmod 17068  df-lvec 17302  df-lfl 33022  df-ldual 33088

This theorem is referenced by:  lclkrlem2o  35485  lclkrlem2q  35487