Theorem lclkrlem2m 37643

Description: Lemma for lclkr 37657. Construct a vector B that makes the sum of functionals zero. Combine with B e. V to shorten overall proof. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2m.v	|- V = ( Base ` U )
lclkrlem2m.t	|- .x. = ( .s ` U )
lclkrlem2m.s	|- S = (Scalar ` U )
lclkrlem2m.q	|- .X. = ( .r ` S )
lclkrlem2m.z	|- .0. = ( 0g ` S )
lclkrlem2m.i	|- I = ( invr ` S )
lclkrlem2m.m	|- .- = ( -g ` U )
lclkrlem2m.f	|- F = (LFnl ` U )
lclkrlem2m.d	|- D = (LDual ` U )
lclkrlem2m.p	|- .+ = ( +g ` D )
lclkrlem2m.x	|- ( ph -> X e. V )
lclkrlem2m.y	|- ( ph -> Y e. V )
lclkrlem2m.e	|- ( ph -> E e. F )
lclkrlem2m.g	|- ( ph -> G e. F )
lclkrlem2m.w	|- ( ph -> U e. LVec )
lclkrlem2m.b	|- B = ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) )
lclkrlem2m.n	|- ( ph -> ( ( E .+ G ) ` Y ) =/= .0. )

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2m	|- ( ph -> ( B e. V /\ ( ( E .+ G ) ` B ) = .0. ) )

Proof of Theorem lclkrlem2m

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrlem2m.b	. . 3 |- B = ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) )
2		lclkrlem2m.w	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. LVec )
3		lveclmod 17947	. . . . . 6 |- ( U e. LVec -> U e. LMod )
4	2, 3	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> U e. LMod )
5		lmodgrp 17714	. . . . 5 |- ( U e. LMod -> U e. Grp )
6	4, 5	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> U e. Grp )
7		lclkrlem2m.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. V )
8		lclkrlem2m.s	. . . . . . . 8 |- S = (Scalar ` U )
9	8	lmodring 17715	. . . . . . 7 |- ( U e. LMod -> S e. Ring )
10	4, 9	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. Ring )
11		lclkrlem2m.f	. . . . . . . 8 |- F = (LFnl ` U )
12		lclkrlem2m.d	. . . . . . . 8 |- D = (LDual ` U )
13		lclkrlem2m.p	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` D )
14		lclkrlem2m.e	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. F )
15		lclkrlem2m.g	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. F )
16	11, 12, 13, 4, 14, 15	ldualvaddcl 35252	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E .+ G ) e. F )
17		eqid 2454	. . . . . . . 8 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
18		lclkrlem2m.v	. . . . . . . 8 |- V = ( Base ` U )
19	8, 17, 18, 11	lflcl 35186	. . . . . . 7 |- ( ( U e. LVec /\ ( E .+ G ) e. F /\ X e. V ) -> ( ( E .+ G ) ` X ) e. ( Base ` S ) )
20	2, 16, 7, 19	syl3anc 1226	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E .+ G ) ` X ) e. ( Base ` S ) )
21	8	lvecdrng 17946	. . . . . . . 8 |- ( U e. LVec -> S e. DivRing )
22	2, 21	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. DivRing )
23		lclkrlem2m.y	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. V )
24	8, 17, 18, 11	lflcl 35186	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. LVec /\ ( E .+ G ) e. F /\ Y e. V ) -> ( ( E .+ G ) ` Y ) e. ( Base ` S ) )
25	2, 16, 23, 24	syl3anc 1226	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( E .+ G ) ` Y ) e. ( Base ` S ) )
26		lclkrlem2m.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( E .+ G ) ` Y ) =/= .0. )
27		lclkrlem2m.z	. . . . . . . 8 |- .0. = ( 0g ` S )
28		lclkrlem2m.i	. . . . . . . 8 |- I = ( invr ` S )
29	17, 27, 28	drnginvrcl 17608	. . . . . . 7 |- ( ( S e. DivRing /\ ( ( E .+ G ) ` Y ) e. ( Base ` S ) /\ ( ( E .+ G ) ` Y ) =/= .0. ) -> ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) e. ( Base ` S ) )
30	22, 25, 26, 29	syl3anc 1226	. . . . . 6 |- ( ph -> ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) e. ( Base ` S ) )
31		lclkrlem2m.q	. . . . . . 7 |- .X. = ( .r ` S )
32	17, 31	ringcl 17407	. . . . . 6 |- ( ( S e. Ring /\ ( ( E .+ G ) ` X ) e. ( Base ` S ) /\ ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) e. ( Base ` S ) )
33	10, 20, 30, 32	syl3anc 1226	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) e. ( Base ` S ) )
34		lclkrlem2m.t	. . . . . 6 |- .x. = ( .s ` U )
35	18, 8, 34, 17	lmodvscl 17724	. . . . 5 |- ( ( U e. LMod /\ ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) e. ( Base ` S ) /\ Y e. V ) -> ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) e. V )
36	4, 33, 23, 35	syl3anc 1226	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) e. V )
37		lclkrlem2m.m	. . . . 5 |- .- = ( -g ` U )
38	18, 37	grpsubcl 16317	. . . 4 |- ( ( U e. Grp /\ X e. V /\ ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) e. V ) -> ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) e. V )
39	6, 7, 36, 38	syl3anc 1226	. . 3 |- ( ph -> ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) e. V )
40	1, 39	syl5eqel 2546	. 2 |- ( ph -> B e. V )
41	1	fveq2i 5851	. . 3 |- ( ( E .+ G ) ` B ) = ( ( E .+ G ) ` ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) )
42		eqid 2454	. . . . . 6 |- ( -g ` S ) = ( -g ` S )
43	8, 42, 18, 37, 11	lflsub 35189	. . . . 5 |- ( ( U e. LMod /\ ( E .+ G ) e. F /\ ( X e. V /\ ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) e. V ) ) -> ( ( E .+ G ) ` ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) ) = ( ( ( E .+ G ) ` X ) ( -g ` S ) ( ( E .+ G ) ` ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) ) )
44	4, 16, 7, 36, 43	syl112anc 1230	. . . 4 |- ( ph -> ( ( E .+ G ) ` ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) ) = ( ( ( E .+ G ) ` X ) ( -g ` S ) ( ( E .+ G ) ` ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) ) )
45	8, 17, 31, 18, 34, 11	lflmul 35190	. . . . . . 7 |- ( ( U e. LMod /\ ( E .+ G ) e. F /\ ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) e. ( Base ` S ) /\ Y e. V ) ) -> ( ( E .+ G ) ` ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) = ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .X. ( ( E .+ G ) ` Y ) ) )
46	4, 16, 33, 23, 45	syl112anc 1230	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E .+ G ) ` ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) = ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .X. ( ( E .+ G ) ` Y ) ) )
47	17, 31	ringass 17410	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. Ring /\ ( ( ( E .+ G ) ` X ) e. ( Base ` S ) /\ ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) e. ( Base ` S ) /\ ( ( E .+ G ) ` Y ) e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .X. ( ( E .+ G ) ` Y ) ) = ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) .X. ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) )
48	10, 20, 30, 25, 47	syl13anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .X. ( ( E .+ G ) ` Y ) ) = ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) .X. ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) )
49		eqid 2454	. . . . . . . . . 10 |- ( 1r ` S ) = ( 1r ` S )
50	17, 27, 31, 49, 28	drnginvrl 17610	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. DivRing /\ ( ( E .+ G ) ` Y ) e. ( Base ` S ) /\ ( ( E .+ G ) ` Y ) =/= .0. ) -> ( ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) .X. ( ( E .+ G ) ` Y ) ) = ( 1r ` S ) )
51	22, 25, 26, 50	syl3anc 1226	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) .X. ( ( E .+ G ) ` Y ) ) = ( 1r ` S ) )
52	51	oveq2d 6286	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) .X. ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) = ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( 1r ` S ) ) )
53	48, 52	eqtrd 2495	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .X. ( ( E .+ G ) ` Y ) ) = ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( 1r ` S ) ) )
54	17, 31, 49	ringridm 17418	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Ring /\ ( ( E .+ G ) ` X ) e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( 1r ` S ) ) = ( ( E .+ G ) ` X ) )
55	10, 20, 54	syl2anc 659	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( 1r ` S ) ) = ( ( E .+ G ) ` X ) )
56	46, 53, 55	3eqtrd 2499	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E .+ G ) ` ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) = ( ( E .+ G ) ` X ) )
57	56	oveq2d 6286	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( E .+ G ) ` X ) ( -g ` S ) ( ( E .+ G ) ` ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) ) = ( ( ( E .+ G ) ` X ) ( -g ` S ) ( ( E .+ G ) ` X ) ) )
58		ringgrp 17398	. . . . . 6 |- ( S e. Ring -> S e. Grp )
59	10, 58	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> S e. Grp )
60	17, 27, 42	grpsubid 16321	. . . . 5 |- ( ( S e. Grp /\ ( ( E .+ G ) ` X ) e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( E .+ G ) ` X ) ( -g ` S ) ( ( E .+ G ) ` X ) ) = .0. )
61	59, 20, 60	syl2anc 659	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( E .+ G ) ` X ) ( -g ` S ) ( ( E .+ G ) ` X ) ) = .0. )
62	44, 57, 61	3eqtrd 2499	. . 3 |- ( ph -> ( ( E .+ G ) ` ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) ) = .0. )
63	41, 62	syl5eq 2507	. 2 |- ( ph -> ( ( E .+ G ) ` B ) = .0. )
64	40, 63	jca 530	1 |- ( ph -> ( B e. V /\ ( ( E .+ G ) ` B ) = .0. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   +g cplusg 14784   .rcmulr 14785  Scalarcsca 14787   .scvsca 14788   0gc0g 14929   Grpcgrp 16252   -gcsg 16254   1rcur 17348   Ringcrg 17393   invrcinvr 17515   DivRingcdr 17591   LModclmod 17707   LVecclvec 17943  LFnlclfn 35179  LDualcld 35245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-0g 14931  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-oppr 17467  df-dvdsr 17485  df-unit 17486  df-invr 17516  df-drng 17593  df-lmod 17709  df-lvec 17944  df-lfl 35180  df-ldual 35246

This theorem is referenced by:  lclkrlem2o  37645  lclkrlem2q  37647