Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2 Structured version   Unicode version

Theorem lclkrlem2 35013
Description: The set of functionals having closed kernels is closed under vector (functional) addition. Lemmas lclkrlem2a 34988 through lclkrlem2y 35012 are used for the proof. Here we express lclkrlem2y 35012 in terms of membership in the set  C of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lclkrlem2.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lclkrlem2.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lclkrlem2.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lclkrlem2.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lclkrlem2.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lclkrlem2.p  |-  .+  =  ( +g  `  D )
lclkrlem2.c  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
lclkrlem2.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lclkrlem2.e  |-  ( ph  ->  E  e.  C )
lclkrlem2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  C )
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2  |-  ( ph  ->  ( E  .+  G
)  e.  C )
Distinct variable groups:    f, E    f, F    f, G    f, L   
._|_ , f    .+ , f
Allowed substitution hints:    ph( f)    C( f)    D( f)    U( f)    H( f)    K( f)    W( f)

Proof of Theorem lclkrlem2
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2.l . . 3  |-  L  =  (LKer `  U )
2 lclkrlem2.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 lclkrlem2.o . . 3  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
4 lclkrlem2.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 lclkrlem2.f . . 3  |-  F  =  (LFnl `  U )
6 lclkrlem2.d . . 3  |-  D  =  (LDual `  U )
7 lclkrlem2.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  D )
8 lclkrlem2.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9 lclkrlem2.e . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  C )
10 lclkrlem2.c . . . . . 6  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
1110lcfl1lem 34972 . . . . 5  |-  ( E  e.  C  <->  ( E  e.  F  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  E )
) )  =  ( L `  E ) ) )
1211simplbi 461 . . . 4  |-  ( E  e.  C  ->  E  e.  F )
139, 12syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  F )
14 lclkrlem2.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  C )
1510lcfl1lem 34972 . . . . 5  |-  ( G  e.  C  <->  ( G  e.  F  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G ) ) )
1615simplbi 461 . . . 4  |-  ( G  e.  C  ->  G  e.  F )
1714, 16syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
1810, 13lcfl1 34973 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  e.  C  <->  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  E )
) )  =  ( L `  E ) ) )
199, 18mpbid 213 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  E
) ) )  =  ( L `  E
) )
2010, 17lcfl1 34973 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G ) ) )
2114, 20mpbid 213 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
) )
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 17, 19, 21lclkrlem2y 35012 . 2  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  ( E  .+  G ) ) ) )  =  ( L `  ( E 
.+  G ) ) )
232, 4, 8dvhlmod 34591 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
245, 6, 7, 23, 13, 17ldualvaddcl 32609 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E  .+  G
)  e.  F )
2510, 24lcfl1 34973 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E  .+  G )  e.  C  <->  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  ( E  .+  G ) ) ) )  =  ( L `
 ( E  .+  G ) ) ) )
2622, 25mpbird 235 1  |-  ( ph  ->  ( E  .+  G
)  e.  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   {crab 2777   ` cfv 5593  (class class class)co 6297   +g cplusg 15168  LFnlclfn 32536  LKerclk 32564  LDualcld 32602   HLchlt 32829   LHypclh 33462   DVecHcdvh 34559   ocHcoch 34828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4530  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589  ax-cnex 9591  ax-resscn 9592  ax-1cn 9593  ax-icn 9594  ax-addcl 9595  ax-addrcl 9596  ax-mulcl 9597  ax-mulrcl 9598  ax-mulcom 9599  ax-addass 9600  ax-mulass 9601  ax-distr 9602  ax-i2m1 9603  ax-1ne0 9604  ax-1rid 9605  ax-rnegex 9606  ax-rrecex 9607  ax-cnre 9608  ax-pre-lttri 9609  ax-pre-lttrn 9610  ax-pre-ltadd 9611  ax-pre-mulgt0 9612  ax-riotaBAD 32438
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-tr 4513  df-eprel 4757  df-id 4761  df-po 4767  df-so 4768  df-fr 4805  df-we 4807  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-pred 5391  df-ord 5437  df-on 5438  df-lim 5439  df-suc 5440  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6259  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-mpt2 6302  df-of 6537  df-om 6699  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-undef 7020  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-pnf 9673  df-mnf 9674  df-xr 9675  df-ltxr 9676  df-le 9677  df-sub 9858  df-neg 9859  df-nn 10606  df-2 10664  df-3 10665  df-4 10666  df-5 10667  df-6 10668  df-n0 10866  df-z 10934  df-uz 11156  df-fz 11779  df-struct 15101  df-ndx 15102  df-slot 15103  df-base 15104  df-sets 15105  df-ress 15106  df-plusg 15181  df-mulr 15182  df-sca 15184  df-vsca 15185  df-0g 15318  df-mre 15470  df-mrc 15471  df-acs 15473  df-preset 16151  df-poset 16169  df-plt 16182  df-lub 16198  df-glb 16199  df-join 16200  df-meet 16201  df-p0 16263  df-p1 16264  df-lat 16270  df-clat 16332  df-mgm 16466  df-sgrp 16505  df-mnd 16515  df-submnd 16561  df-grp 16651  df-minusg 16652  df-sbg 16653  df-subg 16792  df-cntz 16949  df-oppg 16975  df-lsm 17266  df-cmn 17410  df-abl 17411  df-mgp 17702  df-ur 17714  df-ring 17760  df-oppr 17829  df-dvdsr 17847  df-unit 17848  df-invr 17878  df-dvr 17889  df-drng 17955  df-lmod 18071  df-lss 18134  df-lsp 18173  df-lvec 18304  df-lsatoms 32455  df-lshyp 32456  df-lcv 32498  df-lfl 32537  df-lkr 32565  df-ldual 32603  df-oposet 32655  df-ol 32657  df-oml 32658  df-covers 32745  df-ats 32746  df-atl 32777  df-cvlat 32801  df-hlat 32830  df-llines 32976  df-lplanes 32977  df-lvols 32978  df-lines 32979  df-psubsp 32981  df-pmap 32982  df-padd 33274  df-lhyp 33466  df-laut 33467  df-ldil 33582  df-ltrn 33583  df-trl 33638  df-tgrp 34223  df-tendo 34235  df-edring 34237  df-dveca 34483  df-disoa 34510  df-dvech 34560  df-dib 34620  df-dic 34654  df-dih 34710  df-doch 34829  df-djh 34876
This theorem is referenced by:  lclkr  35014  lclkrslem2  35019
  Copyright terms: Public domain W3C validator