Theorem lcfrvalsnN 35121

Description: Reconstruction from the dual space span of a singleton. (Contributed by NM, 19-Feb-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrvalsn.h	|- H = ( LHyp ` K )
lcfrvalsn.o	|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
lcfrvalsn.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
lcfrvalsn.f	|- F = (LFnl ` U )
lcfrvalsn.l	|- L = (LKer ` U )
lcfrvalsn.d	|- D = (LDual ` U )
lcfrvalsn.n	|- N = ( LSpan ` D )
lcfrvalsn.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
lcfrvalsn.g	|- ( ph -> G e. F )
lcfrvalsn.q	|- Q = U_ f e. R ( ._|_ ` ( L ` f ) )
lcfrvalsn.r	|- R = ( N ` { G } )

Assertion

Ref	Expression
lcfrvalsnN	|- ( ph -> Q = ( ._|_ ` ( L ` G ) ) )

Distinct variable groups:   ._|_ , f   f, G   R, f   f, L   ph, f

Allowed substitution hints:   D( f)   Q( f)   U( f)   F( f)   H( f)   K( f)   N( f)   W( f)

Proof of Theorem lcfrvalsnN

Dummy variables x k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrvalsn.q	. 2 |- Q = U_ f e. R ( ._|_ ` ( L ` f ) )
2		eliun 4286	. . . 4 |- ( x e. U_ f e. R ( ._|_ ` ( L ` f ) ) <-> E. f e. R x e. ( ._|_ ` ( L ` f ) ) )
3		lcfrvalsn.r	. . . . . . . 8 |- R = ( N ` { G } )
4	3	eleq2i 2523	. . . . . . 7 |- ( f e. R <-> f e. ( N ` { G } ) )
5		lcfrvalsn.k	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
6	5	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. ( N ` { G } ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
7		eqid 2453	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` U ) = ( Base ` U )
8		lcfrvalsn.f	. . . . . . . . . . 11 |- F = (LFnl ` U )
9		lcfrvalsn.l	. . . . . . . . . . 11 |- L = (LKer ` U )
10		lcfrvalsn.h	. . . . . . . . . . . . 13 |- H = ( LHyp ` K )
11		lcfrvalsn.u	. . . . . . . . . . . . 13 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
12	10, 11, 5	dvhlmod 34690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U e. LMod )
13	12	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. ( N ` { G } ) ) -> U e. LMod )
14		lcfrvalsn.d	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- D = (LDual ` U )
15	14, 12	lduallmod 32731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> D e. LMod )
16		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` D ) = ( Base ` D )
17		lcfrvalsn.g	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> G e. F )
18	8, 14, 16, 12, 17	ldualelvbase 32705	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> G e. ( Base ` D ) )
19		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( LSubSp ` D ) = ( LSubSp ` D )
20		lcfrvalsn.n	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- N = ( LSpan ` D )
21	16, 19, 20	lspsncl 18212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D e. LMod /\ G e. ( Base ` D ) ) -> ( N ` { G } ) e. ( LSubSp ` D ) )
22	15, 18, 21	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N ` { G } ) e. ( LSubSp ` D ) )
23	16, 19	lssel 18173	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N ` { G } ) e. ( LSubSp ` D ) /\ f e. ( N ` { G } ) ) -> f e. ( Base ` D ) )
24	22, 23	sylan 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. ( N ` { G } ) ) -> f e. ( Base ` D ) )
25	8, 14, 16, 12	ldualvbase 32704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Base ` D ) = F )
26	25	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. ( N ` { G } ) ) -> ( Base ` D ) = F )
27	24, 26	eleqtrd 2533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. ( N ` { G } ) ) -> f e. F )
28	7, 8, 9, 13, 27	lkrssv 32674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. ( N ` { G } ) ) -> ( L ` f ) C_ ( Base ` U ) )
29		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Scalar ` D ) = (Scalar ` D )
30		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` (Scalar ` D ) ) = ( Base ` (Scalar ` D ) )
31		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( .s ` D ) = ( .s ` D )
32	29, 30, 16, 31, 20	lspsnel 18238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D e. LMod /\ G e. ( Base ` D ) ) -> ( f e. ( N ` { G } ) <-> E. k e. ( Base ` (Scalar ` D ) ) f = ( k ( .s ` D ) G ) ) )
33	15, 18, 32	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( f e. ( N ` { G } ) <-> E. k e. ( Base ` (Scalar ` D ) ) f = ( k ( .s ` D ) G ) ) )
34		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Scalar ` U ) = (Scalar ` U )
35		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` (Scalar ` U ) ) = ( Base ` (Scalar ` U ) )
36	34, 35, 14, 29, 30, 12	ldualsbase 32711	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( Base ` (Scalar ` D ) ) = ( Base ` (Scalar ` U ) ) )
37	36	rexeqdv 2996	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( E. k e. ( Base ` (Scalar ` D ) ) f = ( k ( .s ` D ) G ) <-> E. k e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) f = ( k ( .s ` D ) G ) ) )
38	33, 37	bitrd 257	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( f e. ( N ` { G } ) <-> E. k e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) f = ( k ( .s ` D ) G ) ) )
39	38	biimpa 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. ( N ` { G } ) ) -> E. k e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) f = ( k ( .s ` D ) G ) )
40	10, 11, 5	dvhlvec 34689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U e. LVec )
41	40	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. ( N ` { G } ) ) -> U e. LVec )
42	17	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. ( N ` { G } ) ) -> G e. F )
43	34, 35, 8, 9, 14, 31, 41, 42, 27	lkrss2N 32747	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. ( N ` { G } ) ) -> ( ( L ` G ) C_ ( L ` f ) <-> E. k e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) f = ( k ( .s ` D ) G ) ) )
44	39, 43	mpbird 236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. ( N ` { G } ) ) -> ( L ` G ) C_ ( L ` f ) )
45		lcfrvalsn.o	. . . . . . . . . . 11 |- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
46	10, 11, 7, 45	dochss 34945	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( L ` f ) C_ ( Base ` U ) /\ ( L ` G ) C_ ( L ` f ) ) -> ( ._|_ ` ( L ` f ) ) C_ ( ._|_ ` ( L ` G ) ) )
47	6, 28, 44, 46	syl3anc 1269	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. ( N ` { G } ) ) -> ( ._|_ ` ( L ` f ) ) C_ ( ._|_ ` ( L ` G ) ) )
48	47	sseld 3433	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. ( N ` { G } ) ) -> ( x e. ( ._|_ ` ( L ` f ) ) -> x e. ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) )
49	48	ex 436	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( f e. ( N ` { G } ) -> ( x e. ( ._|_ ` ( L ` f ) ) -> x e. ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) ) )
50	4, 49	syl5bi 221	. . . . . 6 |- ( ph -> ( f e. R -> ( x e. ( ._|_ ` ( L ` f ) ) -> x e. ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) ) )
51	50	rexlimdv 2879	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. f e. R x e. ( ._|_ ` ( L ` f ) ) -> x e. ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) )
52	16, 20	lspsnid 18228	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. LMod /\ G e. ( Base ` D ) ) -> G e. ( N ` { G } ) )
53	15, 18, 52	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. ( N ` { G } ) )
54	53, 3	syl6eleqr 2542	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. R )
55		fveq2 5870	. . . . . . . . . 10 |- ( f = G -> ( L ` f ) = ( L ` G ) )
56	55	fveq2d 5874	. . . . . . . . 9 |- ( f = G -> ( ._|_ ` ( L ` f ) ) = ( ._|_ ` ( L ` G ) ) )
57	56	eleq2d 2516	. . . . . . . 8 |- ( f = G -> ( x e. ( ._|_ ` ( L ` f ) ) <-> x e. ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) )
58	57	rspcev 3152	. . . . . . 7 |- ( ( G e. R /\ x e. ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) -> E. f e. R x e. ( ._|_ ` ( L ` f ) ) )
59	54, 58	sylan 474	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) -> E. f e. R x e. ( ._|_ ` ( L ` f ) ) )
60	59	ex 436	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( ._|_ ` ( L ` G ) ) -> E. f e. R x e. ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) )
61	51, 60	impbid 194	. . . 4 |- ( ph -> ( E. f e. R x e. ( ._|_ ` ( L ` f ) ) <-> x e. ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) )
62	2, 61	syl5bb 261	. . 3 |- ( ph -> ( x e. U_ f e. R ( ._|_ ` ( L ` f ) ) <-> x e. ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) )
63	62	eqrdv 2451	. 2 |- ( ph -> U_ f e. R ( ._|_ ` ( L ` f ) ) = ( ._|_ ` ( L ` G ) ) )
64	1, 63	syl5eq 2499	1 |- ( ph -> Q = ( ._|_ ` ( L ` G ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   E.wrex 2740   C_ wss 3406   {csn 3970   U_ciun 4281   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   Basecbs 15133  Scalarcsca 15205   .scvsca 15206   LModclmod 18103   LSubSpclss 18167   LSpanclspn 18206   LVecclvec 18337  LFnlclfn 32635  LKerclk 32663  LDualcld 32701   HLchlt 32928   LHypclh 33561   DVecHcdvh 34658   ocHcoch 34927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-riotaBAD 32537

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-tpos 6978  df-undef 7025  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-0g 15352  df-preset 16185  df-poset 16203  df-plt 16216  df-lub 16232  df-glb 16233  df-join 16234  df-meet 16235  df-p0 16297  df-p1 16298  df-lat 16304  df-clat 16366  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-sbg 16687  df-subg 16826  df-cntz 16983  df-lsm 17300  df-cmn 17444  df-abl 17445  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-oppr 17863  df-dvdsr 17881  df-unit 17882  df-invr 17912  df-dvr 17923  df-drng 17989  df-lmod 18105  df-lss 18168  df-lsp 18207  df-lvec 18338  df-lshyp 32555  df-lfl 32636  df-lkr 32664  df-ldual 32702  df-oposet 32754  df-ol 32756  df-oml 32757  df-covers 32844  df-ats 32845  df-atl 32876  df-cvlat 32900  df-hlat 32929  df-llines 33075  df-lplanes 33076  df-lvols 33077  df-lines 33078  df-psubsp 33080  df-pmap 33081  df-padd 33373  df-lhyp 33565  df-laut 33566  df-ldil 33681  df-ltrn 33682  df-trl 33737  df-tendo 34334  df-edring 34336  df-disoa 34609  df-dvech 34659  df-dib 34719  df-dic 34753  df-dih 34809  df-doch 34928

This theorem is referenced by: (None)