Theorem lcfrlem9 35030

Description: Lemma for lcf1o 35031. (This part has undesirable $d's on J and ph that we remove in lcf1o 35031.) TODO: ugly proof; maybe have better subtheorems or abbreviate some iota_ k expansions with J ` z? TODO: Some redundant $d's? (Contributed by NM, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcf1o.h	|- H = ( LHyp ` K )
lcf1o.o	|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
lcf1o.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
lcf1o.v	|- V = ( Base ` U )
lcf1o.a	|- .+ = ( +g ` U )
lcf1o.t	|- .x. = ( .s ` U )
lcf1o.s	|- S = (Scalar ` U )
lcf1o.r	|- R = ( Base ` S )
lcf1o.z	|- .0. = ( 0g ` U )
lcf1o.f	|- F = (LFnl ` U )
lcf1o.l	|- L = (LKer ` U )
lcf1o.d	|- D = (LDual ` U )
lcf1o.q	|- Q = ( 0g ` D )
lcf1o.c	|- C = { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) }
lcf1o.j	|- J = ( x e. ( V \ { .0. } ) |-> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) )
lcflo.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem9	|- ( ph -> J : ( V \ { .0. } ) -1-1-onto-> ( C \ { Q } ) )

Distinct variable groups:   x, w, ._|_   x, .0. , v   v, V, x   x, .x.   v, k, w, x, .+   x, R   f, k, v, w, x, .+   k, J, v, w, x   C, k, v, w, x   f, F   f, L, k, v, w, x   ._|_ , f, k, v   Q, k, v, w, x   R, f, k, v, w   S, k, v, w, x   .x. , f, k, v, w   U, k, w, x   f, V, k, w   .0. , k, v, w   ph, k, v, w, x

Allowed substitution hints:   ph( f)   C( f)   D( x, w, v, f, k)   Q( f)   S( f)   U( v, f)   F( x, w, v, k)   H( x, w, v, f, k)   J( f)   K( x, w, v, f, k)   W( x, w, v, f, k)   .0. ( f)

Proof of Theorem lcfrlem9

Dummy variables y g t u z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcf1o.v	. . . . . 6 |- V = ( Base ` U )
2		fvex 5835	. . . . . 6 |- ( Base ` U ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2502	. . . . 5 |- V e. _V
4	3	mptex 6095	. . . 4 |- ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) e. _V
5		lcf1o.j	. . . 4 |- J = ( x e. ( V \ { .0. } ) |-> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) )
6	4, 5	fnmpti 5667	. . 3 |- J Fn ( V \ { .0. } )
7	6	a1i 11	. 2 |- ( ph -> J Fn ( V \ { .0. } ) )
8		fvelrnb 5872	. . . . 5 |- ( J Fn ( V \ { .0. } ) -> ( g e. ran J <-> E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g ) )
9	7, 8	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( g e. ran J <-> E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g ) )
10		lcf1o.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( LHyp ` K )
11		lcf1o.o	. . . . . . . . 9 |- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
12		lcf1o.u	. . . . . . . . 9 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
13		lcf1o.a	. . . . . . . . 9 |- .+ = ( +g ` U )
14		lcf1o.t	. . . . . . . . 9 |- .x. = ( .s ` U )
15		lcf1o.s	. . . . . . . . 9 |- S = (Scalar ` U )
16		lcf1o.r	. . . . . . . . 9 |- R = ( Base ` S )
17		lcf1o.z	. . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` U )
18		lcf1o.f	. . . . . . . . 9 |- F = (LFnl ` U )
19		lcf1o.l	. . . . . . . . 9 |- L = (LKer ` U )
20		lcf1o.d	. . . . . . . . 9 |- D = (LDual ` U )
21		lcf1o.q	. . . . . . . . 9 |- Q = ( 0g ` D )
22		lcf1o.c	. . . . . . . . 9 |- C = { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) }
23		lcflo.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
24	23	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
25		simpr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> z e. ( V \ { .0. } ) )
26	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 5, 24, 25	lcfrlem8 35029	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( J ` z ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) )
27		eqid 2428	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) )
28		sneq 3951	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = z -> { y } = { z } )
29	28	fveq2d 5829	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = z -> ( ._|_ ` { y } ) = ( ._|_ ` { z } ) )
30		oveq2 6257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = z -> ( k .x. y ) = ( k .x. z ) )
31	30	oveq2d 6265	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = z -> ( w .+ ( k .x. y ) ) = ( w .+ ( k .x. z ) ) )
32	31	eqeq2d 2438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = z -> ( v = ( w .+ ( k .x. y ) ) <-> v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) )
33	29, 32	rexeqbidv 2979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = z -> ( E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) <-> E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) )
34	33	riotabidv 6213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = z -> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) = ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) )
35	34	mpteq2dv 4454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = z -> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) )
36	35	eqeq2d 2438	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = z -> ( ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) <-> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
37	36	rspcev 3125	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ( V \ { .0. } ) /\ ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) -> E. y e. ( V \ { .0. } ) ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) )
38	25, 27, 37	sylancl 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> E. y e. ( V \ { .0. } ) ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) )
39	38	olcd 394	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) = V \/ E. y e. ( V \ { .0. } ) ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) ) )
40	10, 11, 12, 1, 17, 13, 14, 18, 15, 16, 27, 24, 25	dochflcl 34955	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) e. F )
41	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 24, 40	lcfl6 34980	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) e. C <-> ( ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) = V \/ E. y e. ( V \ { .0. } ) ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) ) ) )
42	39, 41	mpbird 235	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) e. C )
43	10, 11, 12, 1, 17, 13, 14, 19, 15, 16, 27, 24, 25	dochsnkr2cl 34954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> z e. ( ( ._|_ ` ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) ) \ { .0. } ) )
44	10, 11, 12, 1, 17, 18, 19, 24, 40, 43	dochsnkrlem3 34951	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) ) ) = ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
45	10, 11, 12, 1, 17, 18, 19, 24, 40, 43	dochsnkrlem1 34949	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) ) ) =/= V )
46	44, 45	eqnetrrd 2669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) =/= V )
47	10, 12, 23	dvhlmod 34590	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U e. LMod )
48	47	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> U e. LMod )
49	1, 18, 19, 20, 21, 48, 40	lkr0f2 32639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) = V <-> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = Q ) )
50	49	necon3bid 2645	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) =/= V <-> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) =/= Q ) )
51	46, 50	mpbid 213	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) =/= Q )
52		eldifsn 4068	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) e. ( C \ { Q } ) <-> ( ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) e. C /\ ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) =/= Q ) )
53	42, 51, 52	sylanbrc 668	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) e. ( C \ { Q } ) )
54	26, 53	eqeltrd 2506	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( J ` z ) e. ( C \ { Q } ) )
55		eleq1 2494	. . . . . . 7 |- ( ( J ` z ) = g -> ( ( J ` z ) e. ( C \ { Q } ) <-> g e. ( C \ { Q } ) ) )
56	54, 55	syl5ibcom 223	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( J ` z ) = g -> g e. ( C \ { Q } ) ) )
57	56	rexlimdva 2856	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g -> g e. ( C \ { Q } ) ) )
58		eldifsn 4068	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( C \ { Q } ) <-> ( g e. C /\ g =/= Q ) )
59		simprl 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> g e. C )
60	47	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ g e. C ) -> U e. LMod )
61	22	lcfl1lem 34971	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g e. C <-> ( g e. F /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) = ( L ` g ) ) )
62	61	simplbi 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g e. C -> g e. F )
63	62	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ g e. C ) -> g e. F )
64	1, 18, 19, 20, 21, 60, 63	lkr0f2 32639	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ g e. C ) -> ( ( L ` g ) = V <-> g = Q ) )
65	64	necon3bid 2645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ g e. C ) -> ( ( L ` g ) =/= V <-> g =/= Q ) )
66	65	biimprd 226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. C ) -> ( g =/= Q -> ( L ` g ) =/= V ) )
67	66	impr 623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> ( L ` g ) =/= V )
68	67	neneqd 2606	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> -. ( L ` g ) = V )
69	23	adantr 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
70	62	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g e. C /\ g =/= Q ) -> g e. F )
71	70	adantl 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> g e. F )
72	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 69, 71	lcfl6 34980	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> ( g e. C <-> ( ( L ` g ) = V \/ E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) ) )
73	72	biimpa 486	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) /\ g e. C ) -> ( ( L ` g ) = V \/ E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
74	73	ord 378	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) /\ g e. C ) -> ( -. ( L ` g ) = V -> E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
75	74	3impia 1202	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) /\ g e. C /\ -. ( L ` g ) = V ) -> E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) )
76	59, 68, 75	mpd3an23 1362	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) )
77	58, 76	sylan2b 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) -> E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) )
78		eqcom 2435	. . . . . . . . 9 |- ( ( J ` z ) = g <-> g = ( J ` z ) )
79	23	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
80		simpr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> z e. ( V \ { .0. } ) )
81	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 5, 79, 80	lcfrlem8 35029	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( J ` z ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) )
82	81	eqeq2d 2438	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( g = ( J ` z ) <-> g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
83	78, 82	syl5bb 260	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( J ` z ) = g <-> g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
84	83	rexbidva 2875	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) -> ( E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g <-> E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
85	77, 84	mpbird 235	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) -> E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g )
86	85	ex 435	. . . . 5 |- ( ph -> ( g e. ( C \ { Q } ) -> E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g ) )
87	57, 86	impbid 193	. . . 4 |- ( ph -> ( E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g <-> g e. ( C \ { Q } ) ) )
88	9, 87	bitrd 256	. . 3 |- ( ph -> ( g e. ran J <-> g e. ( C \ { Q } ) ) )
89	88	eqrdv 2426	. 2 |- ( ph -> ran J = ( C \ { Q } ) )
90	23	ad2antrr 730	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
91		eqid 2428	. . . . 5 |- ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { t } ) v = ( w .+ ( k .x. t ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { t } ) v = ( w .+ ( k .x. t ) ) ) )
92		eqid 2428	. . . . 5 |- ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { u } ) v = ( w .+ ( k .x. u ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { u } ) v = ( w .+ ( k .x. u ) ) ) )
93		simplrl 768	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> t e. ( V \ { .0. } ) )
94		simplrr 769	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> u e. ( V \ { .0. } ) )
95		simpr 462	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> ( J ` t ) = ( J ` u ) )
96	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 5, 90, 93	lcfrlem8 35029	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> ( J ` t ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { t } ) v = ( w .+ ( k .x. t ) ) ) ) )
97	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 5, 90, 94	lcfrlem8 35029	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> ( J ` u ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { u } ) v = ( w .+ ( k .x. u ) ) ) ) )
98	95, 96, 97	3eqtr3d 2470	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { t } ) v = ( w .+ ( k .x. t ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { u } ) v = ( w .+ ( k .x. u ) ) ) ) )
99	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 90, 91, 92, 93, 94, 98	lcfl7lem 34979	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> t = u )
100	99	ex 435	. . 3 |- ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) -> ( ( J ` t ) = ( J ` u ) -> t = u ) )
101	100	ralrimivva 2786	. 2 |- ( ph -> A. t e. ( V \ { .0. } ) A. u e. ( V \ { .0. } ) ( ( J ` t ) = ( J ` u ) -> t = u ) )
102		dff1o6 6133	. 2 |- ( J : ( V \ { .0. } ) -1-1-onto-> ( C \ { Q } ) <-> ( J Fn ( V \ { .0. } ) /\ ran J = ( C \ { Q } ) /\ A. t e. ( V \ { .0. } ) A. u e. ( V \ { .0. } ) ( ( J ` t ) = ( J ` u ) -> t = u ) ) )
103	7, 89, 101, 102	syl3anbrc 1189	1 |- ( ph -> J : ( V \ { .0. } ) -1-1-onto-> ( C \ { Q } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   \/ wo 369   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1872   =/= wne 2599   A.wral 2714   E.wrex 2715   {crab 2718   _Vcvv 3022   \ cdif 3376   {csn 3941   |-> cmpt 4425   ran crn 4797   Fn wfn 5539   -1-1-onto->wf1o 5543   ` cfv 5544   iota_crio 6210  (class class class)co 6249   Basecbs 15064   +g cplusg 15133  Scalarcsca 15136   .scvsca 15137   0gc0g 15281   LModclmod 18034  LFnlclfn 32535  LKerclk 32563  LDualcld 32601   HLchlt 32828   LHypclh 33461   DVecHcdvh 34558   ocHcoch 34827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-riotaBAD 32437

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-tpos 6928  df-undef 6975  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-fz 11736  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-0g 15283  df-preset 16116  df-poset 16134  df-plt 16147  df-lub 16163  df-glb 16164  df-join 16165  df-meet 16166  df-p0 16228  df-p1 16229  df-lat 16235  df-clat 16297  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-submnd 16526  df-grp 16616  df-minusg 16617  df-sbg 16618  df-subg 16757  df-cntz 16914  df-lsm 17231  df-cmn 17375  df-abl 17376  df-mgp 17667  df-ur 17679  df-ring 17725  df-oppr 17794  df-dvdsr 17812  df-unit 17813  df-invr 17843  df-dvr 17854  df-drng 17920  df-lmod 18036  df-lss 18099  df-lsp 18138  df-lvec 18269  df-lsatoms 32454  df-lshyp 32455  df-lfl 32536  df-lkr 32564  df-ldual 32602  df-oposet 32654  df-ol 32656  df-oml 32657  df-covers 32744  df-ats 32745  df-atl 32776  df-cvlat 32800  df-hlat 32829  df-llines 32975  df-lplanes 32976  df-lvols 32977  df-lines 32978  df-psubsp 32980  df-pmap 32981  df-padd 33273  df-lhyp 33465  df-laut 33466  df-ldil 33581  df-ltrn 33582  df-trl 33637  df-tgrp 34222  df-tendo 34234  df-edring 34236  df-dveca 34482  df-disoa 34509  df-dvech 34559  df-dib 34619  df-dic 34653  df-dih 34709  df-doch 34828  df-djh 34875

This theorem is referenced by:  lcf1o  35031