Theorem lcfrlem9 37399

Description: Lemma for lcf1o 37400. (This part has undesirable $d's on J and ph that we remove in lcf1o 37400.) TODO: ugly proof; maybe have better subtheorems or abbreviate some iota_ k expansions with J ` z? TODO: Some redundant $d's? (Contributed by NM, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcf1o.h	|- H = ( LHyp ` K )
lcf1o.o	|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
lcf1o.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
lcf1o.v	|- V = ( Base ` U )
lcf1o.a	|- .+ = ( +g ` U )
lcf1o.t	|- .x. = ( .s ` U )
lcf1o.s	|- S = (Scalar ` U )
lcf1o.r	|- R = ( Base ` S )
lcf1o.z	|- .0. = ( 0g ` U )
lcf1o.f	|- F = (LFnl ` U )
lcf1o.l	|- L = (LKer ` U )
lcf1o.d	|- D = (LDual ` U )
lcf1o.q	|- Q = ( 0g ` D )
lcf1o.c	|- C = { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) }
lcf1o.j	|- J = ( x e. ( V \ { .0. } ) |-> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) )
lcflo.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem9	|- ( ph -> J : ( V \ { .0. } ) -1-1-onto-> ( C \ { Q } ) )

Distinct variable groups:   x, w, ._|_   x, .0. , v   v, V, x   x, .x.   v, k, w, x, .+   x, R   f, k, v, w, x, .+   k, J, v, w, x   C, k, v, w, x   f, F   f, L, k, v, w, x   ._|_ , f, k, v   Q, k, v, w, x   R, f, k, v, w   S, k, v, w, x   .x. , f, k, v, w   U, k, w, x   f, V, k, w   .0. , k, v, w   ph, k, v, w, x

Allowed substitution hints:   ph( f)   C( f)   D( x, w, v, f, k)   Q( f)   S( f)   U( v, f)   F( x, w, v, k)   H( x, w, v, f, k)   J( f)   K( x, w, v, f, k)   W( x, w, v, f, k)   .0. ( f)

Proof of Theorem lcfrlem9

Dummy variables y g t u z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcf1o.v	. . . . . 6 |- V = ( Base ` U )
2		fvex 5882	. . . . . 6 |- ( Base ` U ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2541	. . . . 5 |- V e. _V
4	3	mptex 6144	. . . 4 |- ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) e. _V
5		lcf1o.j	. . . 4 |- J = ( x e. ( V \ { .0. } ) |-> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) )
6	4, 5	fnmpti 5715	. . 3 |- J Fn ( V \ { .0. } )
7	6	a1i 11	. 2 |- ( ph -> J Fn ( V \ { .0. } ) )
8		fvelrnb 5920	. . . . 5 |- ( J Fn ( V \ { .0. } ) -> ( g e. ran J <-> E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g ) )
9	7, 8	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( g e. ran J <-> E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g ) )
10		lcf1o.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( LHyp ` K )
11		lcf1o.o	. . . . . . . . 9 |- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
12		lcf1o.u	. . . . . . . . 9 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
13		lcf1o.a	. . . . . . . . 9 |- .+ = ( +g ` U )
14		lcf1o.t	. . . . . . . . 9 |- .x. = ( .s ` U )
15		lcf1o.s	. . . . . . . . 9 |- S = (Scalar ` U )
16		lcf1o.r	. . . . . . . . 9 |- R = ( Base ` S )
17		lcf1o.z	. . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` U )
18		lcf1o.f	. . . . . . . . 9 |- F = (LFnl ` U )
19		lcf1o.l	. . . . . . . . 9 |- L = (LKer ` U )
20		lcf1o.d	. . . . . . . . 9 |- D = (LDual ` U )
21		lcf1o.q	. . . . . . . . 9 |- Q = ( 0g ` D )
22		lcf1o.c	. . . . . . . . 9 |- C = { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) }
23		lcflo.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
24	23	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
25		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> z e. ( V \ { .0. } ) )
26	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 5, 24, 25	lcfrlem8 37398	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( J ` z ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) )
27		eqid 2457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) )
28		sneq 4042	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = z -> { y } = { z } )
29	28	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = z -> ( ._|_ ` { y } ) = ( ._|_ ` { z } ) )
30		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = z -> ( k .x. y ) = ( k .x. z ) )
31	30	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = z -> ( w .+ ( k .x. y ) ) = ( w .+ ( k .x. z ) ) )
32	31	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = z -> ( v = ( w .+ ( k .x. y ) ) <-> v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) )
33	29, 32	rexeqbidv 3069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = z -> ( E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) <-> E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) )
34	33	riotabidv 6260	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = z -> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) = ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) )
35	34	mpteq2dv 4544	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = z -> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) )
36	35	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = z -> ( ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) <-> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
37	36	rspcev 3210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ( V \ { .0. } ) /\ ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) -> E. y e. ( V \ { .0. } ) ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) )
38	25, 27, 37	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> E. y e. ( V \ { .0. } ) ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) )
39	38	olcd 393	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) = V \/ E. y e. ( V \ { .0. } ) ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) ) )
40	10, 11, 12, 1, 17, 13, 14, 18, 15, 16, 27, 24, 25	dochflcl 37324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) e. F )
41	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 24, 40	lcfl6 37349	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) e. C <-> ( ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) = V \/ E. y e. ( V \ { .0. } ) ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) ) ) )
42	39, 41	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) e. C )
43	10, 11, 12, 1, 17, 13, 14, 19, 15, 16, 27, 24, 25	dochsnkr2cl 37323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> z e. ( ( ._|_ ` ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) ) \ { .0. } ) )
44	10, 11, 12, 1, 17, 18, 19, 24, 40, 43	dochsnkrlem3 37320	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) ) ) = ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
45	10, 11, 12, 1, 17, 18, 19, 24, 40, 43	dochsnkrlem1 37318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) ) ) =/= V )
46	44, 45	eqnetrrd 2751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) =/= V )
47	10, 12, 23	dvhlmod 36959	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U e. LMod )
48	47	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> U e. LMod )
49	1, 18, 19, 20, 21, 48, 40	lkr0f2 35008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) = V <-> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = Q ) )
50	49	necon3bid 2715	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) =/= V <-> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) =/= Q ) )
51	46, 50	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) =/= Q )
52		eldifsn 4157	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) e. ( C \ { Q } ) <-> ( ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) e. C /\ ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) =/= Q ) )
53	42, 51, 52	sylanbrc 664	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) e. ( C \ { Q } ) )
54	26, 53	eqeltrd 2545	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( J ` z ) e. ( C \ { Q } ) )
55		eleq1 2529	. . . . . . 7 |- ( ( J ` z ) = g -> ( ( J ` z ) e. ( C \ { Q } ) <-> g e. ( C \ { Q } ) ) )
56	54, 55	syl5ibcom 220	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( J ` z ) = g -> g e. ( C \ { Q } ) ) )
57	56	rexlimdva 2949	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g -> g e. ( C \ { Q } ) ) )
58		eldifsn 4157	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( C \ { Q } ) <-> ( g e. C /\ g =/= Q ) )
59		simprl 756	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> g e. C )
60	47	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ g e. C ) -> U e. LMod )
61	22	lcfl1lem 37340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g e. C <-> ( g e. F /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) = ( L ` g ) ) )
62	61	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g e. C -> g e. F )
63	62	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ g e. C ) -> g e. F )
64	1, 18, 19, 20, 21, 60, 63	lkr0f2 35008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ g e. C ) -> ( ( L ` g ) = V <-> g = Q ) )
65	64	necon3bid 2715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ g e. C ) -> ( ( L ` g ) =/= V <-> g =/= Q ) )
66	65	biimprd 223	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. C ) -> ( g =/= Q -> ( L ` g ) =/= V ) )
67	66	impr 619	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> ( L ` g ) =/= V )
68	67	neneqd 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> -. ( L ` g ) = V )
69	23	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
70	62	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g e. C /\ g =/= Q ) -> g e. F )
71	70	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> g e. F )
72	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 69, 71	lcfl6 37349	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> ( g e. C <-> ( ( L ` g ) = V \/ E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) ) )
73	72	biimpa 484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) /\ g e. C ) -> ( ( L ` g ) = V \/ E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
74	73	ord 377	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) /\ g e. C ) -> ( -. ( L ` g ) = V -> E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
75	74	3impia 1193	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) /\ g e. C /\ -. ( L ` g ) = V ) -> E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) )
76	59, 68, 75	mpd3an23 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) )
77	58, 76	sylan2b 475	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) -> E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) )
78		eqcom 2466	. . . . . . . . 9 |- ( ( J ` z ) = g <-> g = ( J ` z ) )
79	23	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
80		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> z e. ( V \ { .0. } ) )
81	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 5, 79, 80	lcfrlem8 37398	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( J ` z ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) )
82	81	eqeq2d 2471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( g = ( J ` z ) <-> g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
83	78, 82	syl5bb 257	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( J ` z ) = g <-> g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
84	83	rexbidva 2965	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) -> ( E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g <-> E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
85	77, 84	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) -> E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g )
86	85	ex 434	. . . . 5 |- ( ph -> ( g e. ( C \ { Q } ) -> E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g ) )
87	57, 86	impbid 191	. . . 4 |- ( ph -> ( E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g <-> g e. ( C \ { Q } ) ) )
88	9, 87	bitrd 253	. . 3 |- ( ph -> ( g e. ran J <-> g e. ( C \ { Q } ) ) )
89	88	eqrdv 2454	. 2 |- ( ph -> ran J = ( C \ { Q } ) )
90	23	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
91		eqid 2457	. . . . 5 |- ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { t } ) v = ( w .+ ( k .x. t ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { t } ) v = ( w .+ ( k .x. t ) ) ) )
92		eqid 2457	. . . . 5 |- ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { u } ) v = ( w .+ ( k .x. u ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { u } ) v = ( w .+ ( k .x. u ) ) ) )
93		simplrl 761	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> t e. ( V \ { .0. } ) )
94		simplrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> u e. ( V \ { .0. } ) )
95		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> ( J ` t ) = ( J ` u ) )
96	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 5, 90, 93	lcfrlem8 37398	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> ( J ` t ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { t } ) v = ( w .+ ( k .x. t ) ) ) ) )
97	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 5, 90, 94	lcfrlem8 37398	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> ( J ` u ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { u } ) v = ( w .+ ( k .x. u ) ) ) ) )
98	95, 96, 97	3eqtr3d 2506	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { t } ) v = ( w .+ ( k .x. t ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { u } ) v = ( w .+ ( k .x. u ) ) ) ) )
99	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 90, 91, 92, 93, 94, 98	lcfl7lem 37348	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> t = u )
100	99	ex 434	. . 3 |- ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) -> ( ( J ` t ) = ( J ` u ) -> t = u ) )
101	100	ralrimivva 2878	. 2 |- ( ph -> A. t e. ( V \ { .0. } ) A. u e. ( V \ { .0. } ) ( ( J ` t ) = ( J ` u ) -> t = u ) )
102		dff1o6 6182	. 2 |- ( J : ( V \ { .0. } ) -1-1-onto-> ( C \ { Q } ) <-> ( J Fn ( V \ { .0. } ) /\ ran J = ( C \ { Q } ) /\ A. t e. ( V \ { .0. } ) A. u e. ( V \ { .0. } ) ( ( J ` t ) = ( J ` u ) -> t = u ) ) )
103	7, 89, 101, 102	syl3anbrc 1180	1 |- ( ph -> J : ( V \ { .0. } ) -1-1-onto-> ( C \ { Q } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109   \ cdif 3468   {csn 4032   |-> cmpt 4515   ran crn 5009   Fn wfn 5589   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594   iota_crio 6257  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   +g cplusg 14712  Scalarcsca 14715   .scvsca 14716   0gc0g 14857   LModclmod 17639  LFnlclfn 34904  LKerclk 34932  LDualcld 34970   HLchlt 35197   LHypclh 35830   DVecHcdvh 36927   ocHcoch 37196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-riotaBAD 34806

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-undef 7020  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-0g 14859  df-preset 15684  df-poset 15702  df-plt 15715  df-lub 15731  df-glb 15732  df-join 15733  df-meet 15734  df-p0 15796  df-p1 15797  df-lat 15803  df-clat 15865  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-subg 16325  df-cntz 16482  df-lsm 16783  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-dvr 17459  df-drng 17525  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-lvec 17876  df-lsatoms 34823  df-lshyp 34824  df-lfl 34905  df-lkr 34933  df-ldual 34971  df-oposet 35023  df-ol 35025  df-oml 35026  df-covers 35113  df-ats 35114  df-atl 35145  df-cvlat 35169  df-hlat 35198  df-llines 35344  df-lplanes 35345  df-lvols 35346  df-lines 35347  df-psubsp 35349  df-pmap 35350  df-padd 35642  df-lhyp 35834  df-laut 35835  df-ldil 35950  df-ltrn 35951  df-trl 36006  df-tgrp 36591  df-tendo 36603  df-edring 36605  df-dveca 36851  df-disoa 36878  df-dvech 36928  df-dib 36988  df-dic 37022  df-dih 37078  df-doch 37197  df-djh 37244

This theorem is referenced by:  lcf1o  37400