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Theorem lcfrlem9 35030
Description: Lemma for lcf1o 35031. (This part has undesirable $d's on  J and  ph that we remove in lcf1o 35031.) TODO: ugly proof; maybe have better subtheorems or abbreviate some  iota_
k expansions with  J `  z? TODO: Some redundant $d's? (Contributed by NM, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcf1o.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcf1o.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcf1o.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcf1o.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcf1o.a  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcf1o.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
lcf1o.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lcf1o.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lcf1o.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcf1o.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcf1o.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcf1o.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcf1o.q  |-  Q  =  ( 0g `  D
)
lcf1o.c  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
lcf1o.j  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
lcflo.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem9  |-  ( ph  ->  J : ( V 
\  {  .0.  }
)
-1-1-onto-> ( C  \  { Q } ) )
Distinct variable groups:    x, w,  ._|_    x,  .0. , v    v, V, x    x,  .x.    v, k, w, x,  .+    x, R    f,
k, v, w, x, 
.+    k, J, v, w, x    C, k, v, w, x    f, F    f, L, k, v, w, x    ._|_ , f, k, v    Q, k, v, w, x    R, f, k, v, w    S, k, v, w, x    .x. , f,
k, v, w    U, k, w, x    f, V, k, w    .0. , k,
v, w    ph, k, v, w, x
Allowed substitution hints:    ph( f)    C( f)    D( x, w, v, f, k)    Q( f)    S( f)    U( v, f)    F( x, w, v, k)    H( x, w, v, f, k)    J( f)    K( x, w, v, f, k)    W( x, w, v, f, k)    .0. ( f)

Proof of Theorem lcfrlem9
Dummy variables  y 
g  t  u  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcf1o.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  U
)
2 fvex 5835 . . . . . 6  |-  ( Base `  U )  e.  _V
31, 2eqeltri 2502 . . . . 5  |-  V  e. 
_V
43mptex 6095 . . . 4  |-  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  e.  _V
5 lcf1o.j . . . 4  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
64, 5fnmpti 5667 . . 3  |-  J  Fn  ( V  \  {  .0.  } )
76a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  J  Fn  ( V 
\  {  .0.  }
) )
8 fvelrnb 5872 . . . . 5  |-  ( J  Fn  ( V  \  {  .0.  } )  -> 
( g  e.  ran  J  <->  E. z  e.  ( V  \  {  .0.  }
) ( J `  z )  =  g ) )
97, 8syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ran  J  <->  E. z  e.  ( V  \  {  .0.  }
) ( J `  z )  =  g ) )
10 lcf1o.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
11 lcf1o.o . . . . . . . . 9  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
12 lcf1o.u . . . . . . . . 9  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
13 lcf1o.a . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +g  `  U )
14 lcf1o.t . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  ( .s `  U )
15 lcf1o.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  (Scalar `  U )
16 lcf1o.r . . . . . . . . 9  |-  R  =  ( Base `  S
)
17 lcf1o.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
18 lcf1o.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  (LFnl `  U )
19 lcf1o.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  (LKer `  U )
20 lcf1o.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  (LDual `  U )
21 lcf1o.q . . . . . . . . 9  |-  Q  =  ( 0g `  D
)
22 lcf1o.c . . . . . . . . 9  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
23 lcflo.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2423adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
25 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
2610, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 5, 24, 25lcfrlem8 35029 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( J `  z )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  z )
) ) ) )
27 eqid 2428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
z } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  z
) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  z )
) ) )
28 sneq 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  z  ->  { y }  =  { z } )
2928fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  (  ._|_  `  { y } )  =  (  ._|_  `  { z } ) )
30 oveq2 6257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  (
k  .x.  y )  =  ( k  .x.  z ) )
3130oveq2d 6265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  z  ->  (
w  .+  ( k  .x.  y ) )  =  ( w  .+  (
k  .x.  z )
) )
3231eqeq2d 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  (
v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  y ) )  <->  v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )
3329, 32rexeqbidv 2979 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) )  <->  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )
3433riotabidv 6213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  z  ->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  y ) ) )  =  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  z )
) ) )
3534mpteq2dv 4454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  z  ->  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) )
3635eqeq2d 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) )  <->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
z } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  z
) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  z )
) ) ) ) )
3736rspcev 3125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
z } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  z
) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  z )
) ) ) )  ->  E. y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  z )
) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) ) )
3825, 27, 37sylancl 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  E. y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
z } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  z
) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) )
3938olcd 394 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (
( L `  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) )  =  V  \/  E. y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
z } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  z
) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )
4010, 11, 12, 1, 17, 13, 14, 18, 15, 16, 27, 24, 25dochflcl 34955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )  e.  F
)
4110, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 24, 40lcfl6 34980 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (
( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )  e.  C  <->  ( ( L `  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) )  =  V  \/  E. y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
z } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  z
) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) ) )
4239, 41mpbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )  e.  C
)
4310, 11, 12, 1, 17, 13, 14, 19, 15, 16, 27, 24, 25dochsnkr2cl 34954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  z  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
z } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  z
) ) ) ) ) )  \  {  .0.  } ) )
4410, 11, 12, 1, 17, 18, 19, 24, 40, 43dochsnkrlem3 34951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
z } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  z
) ) ) ) ) ) )  =  ( L `  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) ) )
4510, 11, 12, 1, 17, 18, 19, 24, 40, 43dochsnkrlem1 34949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
z } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  z
) ) ) ) ) ) )  =/= 
V )
4644, 45eqnetrrd 2669 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( L `  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
z } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  z
) ) ) ) )  =/=  V )
4710, 12, 23dvhlmod 34590 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
4847adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  U  e.  LMod )
491, 18, 19, 20, 21, 48, 40lkr0f2 32639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (
( L `  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) )  =  V  <->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  z )
) ) )  =  Q ) )
5049necon3bid 2645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (
( L `  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) )  =/= 
V  <->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  z )
) ) )  =/= 
Q ) )
5146, 50mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )  =/=  Q
)
52 eldifsn 4068 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )  e.  ( C  \  { Q } )  <->  ( (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )  e.  C  /\  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )  =/=  Q
) )
5342, 51, 52sylanbrc 668 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )  e.  ( C  \  { Q } ) )
5426, 53eqeltrd 2506 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( J `  z )  e.  ( C  \  { Q } ) )
55 eleq1 2494 . . . . . . 7  |-  ( ( J `  z )  =  g  ->  (
( J `  z
)  e.  ( C 
\  { Q }
)  <->  g  e.  ( C  \  { Q } ) ) )
5654, 55syl5ibcom 223 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (
( J `  z
)  =  g  -> 
g  e.  ( C 
\  { Q }
) ) )
5756rexlimdva 2856 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( J `
 z )  =  g  ->  g  e.  ( C  \  { Q } ) ) )
58 eldifsn 4068 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( C  \  { Q } )  <->  ( g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )
59 simprl 762 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )  -> 
g  e.  C )
6047adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  g  e.  C )  ->  U  e.  LMod )
6122lcfl1lem 34971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  e.  C  <->  ( g  e.  F  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )  =  ( L `  g ) ) )
6261simplbi 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  C  ->  g  e.  F )
6362adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  g  e.  C )  ->  g  e.  F )
641, 18, 19, 20, 21, 60, 63lkr0f2 32639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  C )  ->  (
( L `  g
)  =  V  <->  g  =  Q ) )
6564necon3bid 2645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  C )  ->  (
( L `  g
)  =/=  V  <->  g  =/=  Q ) )
6665biimprd 226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  C )  ->  (
g  =/=  Q  -> 
( L `  g
)  =/=  V ) )
6766impr 623 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )  -> 
( L `  g
)  =/=  V )
6867neneqd 2606 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )  ->  -.  ( L `  g
)  =  V )
6923adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7062adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  e.  C  /\  g  =/=  Q )  -> 
g  e.  F )
7170adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )  -> 
g  e.  F )
7210, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 69, 71lcfl6 34980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )  -> 
( g  e.  C  <->  ( ( L `  g
)  =  V  \/  E. z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) g  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) ) ) )
7372biimpa 486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )  /\  g  e.  C
)  ->  ( ( L `  g )  =  V  \/  E. z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) g  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) ) )
7473ord 378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )  /\  g  e.  C
)  ->  ( -.  ( L `  g )  =  V  ->  E. z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) g  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) ) )
75743impia 1202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )  /\  g  e.  C  /\  -.  ( L `  g )  =  V )  ->  E. z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) g  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) )
7659, 68, 75mpd3an23 1362 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )  ->  E. z  e.  ( V  \  {  .0.  }
) g  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) )
7758, 76sylan2b 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( C  \  { Q } ) )  ->  E. z  e.  ( V  \  {  .0.  }
) g  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) )
78 eqcom 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J `  z )  =  g  <->  g  =  ( J `  z ) )
7923ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  ( C  \  { Q } ) )  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
80 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  ( C  \  { Q } ) )  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
8110, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 5, 79, 80lcfrlem8 35029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  ( C  \  { Q } ) )  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( J `  z )  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) )
8281eqeq2d 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  ( C  \  { Q } ) )  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( g  =  ( J `  z )  <->  g  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) ) )
8378, 82syl5bb 260 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  ( C  \  { Q } ) )  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( ( J `  z )  =  g  <->  g  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) ) )
8483rexbidva 2875 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( C  \  { Q } ) )  -> 
( E. z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( J `
 z )  =  g  <->  E. z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) g  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) ) )
8577, 84mpbird 235 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( C  \  { Q } ) )  ->  E. z  e.  ( V  \  {  .0.  }
) ( J `  z )  =  g )
8685ex 435 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ( C  \  { Q } )  ->  E. z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( J `
 z )  =  g ) )
8757, 86impbid 193 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( J `
 z )  =  g  <->  g  e.  ( C  \  { Q } ) ) )
889, 87bitrd 256 . . 3  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ran  J  <-> 
g  e.  ( C 
\  { Q }
) ) )
8988eqrdv 2426 . 2  |-  ( ph  ->  ran  J  =  ( C  \  { Q } ) )
9023ad2antrr 730 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( J `  t )  =  ( J `  u ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
91 eqid 2428 . . . . 5  |-  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
t } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  t
) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { t } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  t )
) ) )
92 eqid 2428 . . . . 5  |-  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
u } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  u
) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { u } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  u )
) ) )
93 simplrl 768 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( J `  t )  =  ( J `  u ) )  -> 
t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
94 simplrr 769 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( J `  t )  =  ( J `  u ) )  ->  u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
95 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( J `  t )  =  ( J `  u ) )  -> 
( J `  t
)  =  ( J `
 u ) )
9610, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 5, 90, 93lcfrlem8 35029 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( J `  t )  =  ( J `  u ) )  -> 
( J `  t
)  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
t } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  t
) ) ) ) )
9710, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 5, 90, 94lcfrlem8 35029 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( J `  t )  =  ( J `  u ) )  -> 
( J `  u
)  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
u } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  u
) ) ) ) )
9895, 96, 973eqtr3d 2470 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( J `  t )  =  ( J `  u ) )  -> 
( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { t } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  t ) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { u }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  u ) ) ) ) )
9910, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 90, 91, 92, 93, 94, 98lcfl7lem 34979 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( J `  t )  =  ( J `  u ) )  -> 
t  =  u )
10099ex 435 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( ( J `
 t )  =  ( J `  u
)  ->  t  =  u ) )
101100ralrimivva 2786 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( V  \  {  .0.  } ) A. u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( ( J `  t )  =  ( J `  u )  ->  t  =  u ) )
102 dff1o6 6133 . 2  |-  ( J : ( V  \  {  .0.  } ) -1-1-onto-> ( C 
\  { Q }
)  <->  ( J  Fn  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ran  J  =  ( C  \  { Q } )  /\  A. t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) A. u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( ( J `  t )  =  ( J `  u )  ->  t  =  u ) ) )
1037, 89, 101, 102syl3anbrc 1189 1  |-  ( ph  ->  J : ( V 
\  {  .0.  }
)
-1-1-onto-> ( C  \  { Q } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   A.wral 2714   E.wrex 2715   {crab 2718   _Vcvv 3022    \ cdif 3376   {csn 3941    |-> cmpt 4425   ran crn 4797    Fn wfn 5539   -1-1-onto->wf1o 5543   ` cfv 5544   iota_crio 6210  (class class class)co 6249   Basecbs 15064   +g cplusg 15133  Scalarcsca 15136   .scvsca 15137   0gc0g 15281   LModclmod 18034  LFnlclfn 32535  LKerclk 32563  LDualcld 32601   HLchlt 32828   LHypclh 33461   DVecHcdvh 34558   ocHcoch 34827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-riotaBAD 32437
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-tpos 6928  df-undef 6975  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-fz 11736  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-0g 15283  df-preset 16116  df-poset 16134  df-plt 16147  df-lub 16163  df-glb 16164  df-join 16165  df-meet 16166  df-p0 16228  df-p1 16229  df-lat 16235  df-clat 16297  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-submnd 16526  df-grp 16616  df-minusg 16617  df-sbg 16618  df-subg 16757  df-cntz 16914  df-lsm 17231  df-cmn 17375  df-abl 17376  df-mgp 17667  df-ur 17679  df-ring 17725  df-oppr 17794  df-dvdsr 17812  df-unit 17813  df-invr 17843  df-dvr 17854  df-drng 17920  df-lmod 18036  df-lss 18099  df-lsp 18138  df-lvec 18269  df-lsatoms 32454  df-lshyp 32455  df-lfl 32536  df-lkr 32564  df-ldual 32602  df-oposet 32654  df-ol 32656  df-oml 32657  df-covers 32744  df-ats 32745  df-atl 32776  df-cvlat 32800  df-hlat 32829  df-llines 32975  df-lplanes 32976  df-lvols 32977  df-lines 32978  df-psubsp 32980  df-pmap 32981  df-padd 33273  df-lhyp 33465  df-laut 33466  df-ldil 33581  df-ltrn 33582  df-trl 33637  df-tgrp 34222  df-tendo 34234  df-edring 34236  df-dveca 34482  df-disoa 34509  df-dvech 34559  df-dib 34619  df-dic 34653  df-dih 34709  df-doch 34828  df-djh 34875
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