Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem9 Structured version   Unicode version

Theorem lcfrlem9 35195
Description: Lemma for lcf1o 35196. (This part has undesirable $d's on  J and  ph that we remove in lcf1o 35196.) TODO: ugly proof; maybe have better subtheorems or abbreviate some  iota_
k expansions with  J `  z? TODO: Some redundant $d's? (Contributed by NM, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcf1o.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcf1o.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcf1o.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcf1o.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcf1o.a  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcf1o.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
lcf1o.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lcf1o.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lcf1o.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcf1o.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcf1o.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcf1o.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcf1o.q  |-  Q  =  ( 0g `  D
)
lcf1o.c  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
lcf1o.j  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
lcflo.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem9  |-  ( ph  ->  J : ( V 
\  {  .0.  }
)
-1-1-onto-> ( C  \  { Q } ) )
Distinct variable groups:    x, w,  ._|_    x,  .0. , v    v, V, x    x,  .x.    v, k, w, x,  .+    x, R    f,
k, v, w, x, 
.+    k, J, v, w, x    C, k, v, w, x    f, F    f, L, k, v, w, x    ._|_ , f, k, v    Q, k, v, w, x    R, f, k, v, w    S, k, v, w, x    .x. , f,
k, v, w    U, k, w, x    f, V, k, w    .0. , k,
v, w    ph, k, v, w, x
Allowed substitution hints:    ph( f)    C( f)    D( x, w, v, f, k)    Q( f)    S( f)    U( v, f)    F( x, w, v, k)    H( x, w, v, f, k)    J( f)    K( x, w, v, f, k)    W( x, w, v, f, k)    .0. ( f)

Proof of Theorem lcfrlem9
Dummy variables  y 
g  t  u  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcf1o.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  U
)
2 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( Base `  U )  e.  _V
31, 2eqeltri 2513 . . . . 5  |-  V  e. 
_V
43mptex 5948 . . . 4  |-  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  e.  _V
5 lcf1o.j . . . 4  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
64, 5fnmpti 5539 . . 3  |-  J  Fn  ( V  \  {  .0.  } )
76a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  J  Fn  ( V 
\  {  .0.  }
) )
8 fvelrnb 5739 . . . . 5  |-  ( J  Fn  ( V  \  {  .0.  } )  -> 
( g  e.  ran  J  <->  E. z  e.  ( V  \  {  .0.  }
) ( J `  z )  =  g ) )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ran  J  <->  E. z  e.  ( V  \  {  .0.  }
) ( J `  z )  =  g ) )
10 lcf1o.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
11 lcf1o.o . . . . . . . . 9  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
12 lcf1o.u . . . . . . . . 9  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
13 lcf1o.a . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +g  `  U )
14 lcf1o.t . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  ( .s `  U )
15 lcf1o.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  (Scalar `  U )
16 lcf1o.r . . . . . . . . 9  |-  R  =  ( Base `  S
)
17 lcf1o.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
18 lcf1o.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  (LFnl `  U )
19 lcf1o.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  (LKer `  U )
20 lcf1o.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  (LDual `  U )
21 lcf1o.q . . . . . . . . 9  |-  Q  =  ( 0g `  D
)
22 lcf1o.c . . . . . . . . 9  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
23 lcflo.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2423adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
25 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
2610, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 5, 24, 25lcfrlem8 35194 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( J `  z )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  z )
) ) ) )
27 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
z } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  z
) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  z )
) ) )
28 sneq 3887 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  z  ->  { y }  =  { z } )
2928fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  (  ._|_  `  { y } )  =  (  ._|_  `  { z } ) )
30 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  (
k  .x.  y )  =  ( k  .x.  z ) )
3130oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  z  ->  (
w  .+  ( k  .x.  y ) )  =  ( w  .+  (
k  .x.  z )
) )
3231eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  (
v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  y ) )  <->  v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )
3329, 32rexeqbidv 2932 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) )  <->  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )
3433riotabidv 6054 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  z  ->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  y ) ) )  =  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  z )
) ) )
3534mpteq2dv 4379 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  z  ->  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) )
3635eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) )  <->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
z } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  z
) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  z )
) ) ) ) )
3736rspcev 3073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
z } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  z
) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  z )
) ) ) )  ->  E. y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  z )
) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) ) )
3825, 27, 37sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  E. y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
z } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  z
) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) )
3938olcd 393 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (
( L `  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) )  =  V  \/  E. y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
z } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  z
) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )
4010, 11, 12, 1, 17, 13, 14, 18, 15, 16, 27, 24, 25dochflcl 35120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )  e.  F
)
4110, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 24, 40lcfl6 35145 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (
( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )  e.  C  <->  ( ( L `  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) )  =  V  \/  E. y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
z } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  z
) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) ) )
4239, 41mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )  e.  C
)
4310, 11, 12, 1, 17, 13, 14, 19, 15, 16, 27, 24, 25dochsnkr2cl 35119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  z  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
z } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  z
) ) ) ) ) )  \  {  .0.  } ) )
4410, 11, 12, 1, 17, 18, 19, 24, 40, 43dochsnkrlem3 35116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
z } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  z
) ) ) ) ) ) )  =  ( L `  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) ) )
4510, 11, 12, 1, 17, 18, 19, 24, 40, 43dochsnkrlem1 35114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
z } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  z
) ) ) ) ) ) )  =/= 
V )
4644, 45eqnetrrd 2628 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( L `  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
z } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  z
) ) ) ) )  =/=  V )
4710, 12, 23dvhlmod 34755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
4847adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  U  e.  LMod )
491, 18, 19, 20, 21, 48, 40lkr0f2 32806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (
( L `  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) )  =  V  <->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  z )
) ) )  =  Q ) )
5049necon3bid 2643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (
( L `  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) )  =/= 
V  <->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  z )
) ) )  =/= 
Q ) )
5146, 50mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )  =/=  Q
)
52 eldifsn 4000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )  e.  ( C  \  { Q } )  <->  ( (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )  e.  C  /\  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )  =/=  Q
) )
5342, 51, 52sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )  e.  ( C  \  { Q } ) )
5426, 53eqeltrd 2517 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( J `  z )  e.  ( C  \  { Q } ) )
55 eleq1 2503 . . . . . . 7  |-  ( ( J `  z )  =  g  ->  (
( J `  z
)  e.  ( C 
\  { Q }
)  <->  g  e.  ( C  \  { Q } ) ) )
5654, 55syl5ibcom 220 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (
( J `  z
)  =  g  -> 
g  e.  ( C 
\  { Q }
) ) )
5756rexlimdva 2841 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( J `
 z )  =  g  ->  g  e.  ( C  \  { Q } ) ) )
58 eldifsn 4000 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( C  \  { Q } )  <->  ( g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )
59 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )  -> 
g  e.  C )
6047adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  g  e.  C )  ->  U  e.  LMod )
6122lcfl1lem 35136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  e.  C  <->  ( g  e.  F  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )  =  ( L `  g ) ) )
6261simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  C  ->  g  e.  F )
6362adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  g  e.  C )  ->  g  e.  F )
641, 18, 19, 20, 21, 60, 63lkr0f2 32806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  C )  ->  (
( L `  g
)  =  V  <->  g  =  Q ) )
6564necon3bid 2643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  C )  ->  (
( L `  g
)  =/=  V  <->  g  =/=  Q ) )
6665biimprd 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  C )  ->  (
g  =/=  Q  -> 
( L `  g
)  =/=  V ) )
6766impr 619 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )  -> 
( L `  g
)  =/=  V )
6867neneqd 2624 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )  ->  -.  ( L `  g
)  =  V )
6923adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7062adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  e.  C  /\  g  =/=  Q )  -> 
g  e.  F )
7170adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )  -> 
g  e.  F )
7210, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 69, 71lcfl6 35145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )  -> 
( g  e.  C  <->  ( ( L `  g
)  =  V  \/  E. z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) g  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) ) ) )
7372biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )  /\  g  e.  C
)  ->  ( ( L `  g )  =  V  \/  E. z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) g  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) ) )
7473ord 377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )  /\  g  e.  C
)  ->  ( -.  ( L `  g )  =  V  ->  E. z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) g  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) ) )
75743impia 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )  /\  g  e.  C  /\  -.  ( L `  g )  =  V )  ->  E. z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) g  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) )
7659, 68, 75mpd3an23 1316 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )  ->  E. z  e.  ( V  \  {  .0.  }
) g  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) )
7758, 76sylan2b 475 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( C  \  { Q } ) )  ->  E. z  e.  ( V  \  {  .0.  }
) g  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) )
78 eqcom 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J `  z )  =  g  <->  g  =  ( J `  z ) )
7923ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  ( C  \  { Q } ) )  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
80 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  ( C  \  { Q } ) )  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
8110, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 5, 79, 80lcfrlem8 35194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  ( C  \  { Q } ) )  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( J `  z )  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) )
8281eqeq2d 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  ( C  \  { Q } ) )  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( g  =  ( J `  z )  <->  g  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) ) )
8378, 82syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  ( C  \  { Q } ) )  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( ( J `  z )  =  g  <->  g  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) ) )
8483rexbidva 2732 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( C  \  { Q } ) )  -> 
( E. z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( J `
 z )  =  g  <->  E. z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) g  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) ) )
8577, 84mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( C  \  { Q } ) )  ->  E. z  e.  ( V  \  {  .0.  }
) ( J `  z )  =  g )
8685ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ( C  \  { Q } )  ->  E. z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( J `
 z )  =  g ) )
8757, 86impbid 191 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( J `
 z )  =  g  <->  g  e.  ( C  \  { Q } ) ) )
889, 87bitrd 253 . . 3  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ran  J  <-> 
g  e.  ( C 
\  { Q }
) ) )
8988eqrdv 2441 . 2  |-  ( ph  ->  ran  J  =  ( C  \  { Q } ) )
9023ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( J `  t )  =  ( J `  u ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
91 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
t } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  t
) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { t } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  t )
) ) )
92 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
u } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  u
) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { u } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  u )
) ) )
93 simplrl 759 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( J `  t )  =  ( J `  u ) )  -> 
t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
94 simplrr 760 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( J `  t )  =  ( J `  u ) )  ->  u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
95 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( J `  t )  =  ( J `  u ) )  -> 
( J `  t
)  =  ( J `
 u ) )
9610, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 5, 90, 93lcfrlem8 35194 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( J `  t )  =  ( J `  u ) )  -> 
( J `  t
)  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
t } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  t
) ) ) ) )
9710, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 5, 90, 94lcfrlem8 35194 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( J `  t )  =  ( J `  u ) )  -> 
( J `  u
)  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
u } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  u
) ) ) ) )
9895, 96, 973eqtr3d 2483 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( J `  t )  =  ( J `  u ) )  -> 
( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { t } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  t ) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { u }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  u ) ) ) ) )
9910, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 90, 91, 92, 93, 94, 98lcfl7lem 35144 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( J `  t )  =  ( J `  u ) )  -> 
t  =  u )
10099ex 434 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( ( J `
 t )  =  ( J `  u
)  ->  t  =  u ) )
101100ralrimivva 2808 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( V  \  {  .0.  } ) A. u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( ( J `  t )  =  ( J `  u )  ->  t  =  u ) )
102 dff1o6 5982 . 2  |-  ( J : ( V  \  {  .0.  } ) -1-1-onto-> ( C 
\  { Q }
)  <->  ( J  Fn  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ran  J  =  ( C  \  { Q } )  /\  A. t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) A. u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( ( J `  t )  =  ( J `  u )  ->  t  =  u ) ) )
1037, 89, 101, 102syl3anbrc 1172 1  |-  ( ph  ->  J : ( V 
\  {  .0.  }
)
-1-1-onto-> ( C  \  { Q } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716   {crab 2719   _Vcvv 2972    \ cdif 3325   {csn 3877    e. cmpt 4350   ran crn 4841    Fn wfn 5413   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418   iota_crio 6051  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   +g cplusg 14238  Scalarcsca 14241   .scvsca 14242   0gc0g 14378   LModclmod 16948  LFnlclfn 32702  LKerclk 32730  LDualcld 32768   HLchlt 32995   LHypclh 33628   DVecHcdvh 34723   ocHcoch 34992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-riotaBAD 32604
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-tpos 6745  df-undef 6792  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-0g 14380  df-poset 15116  df-plt 15128  df-lub 15144  df-glb 15145  df-join 15146  df-meet 15147  df-p0 15209  df-p1 15210  df-lat 15216  df-clat 15278  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-subg 15678  df-cntz 15835  df-lsm 16135  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-oppr 16715  df-dvdsr 16733  df-unit 16734  df-invr 16764  df-dvr 16775  df-drng 16834  df-lmod 16950  df-lss 17014  df-lsp 17053  df-lvec 17184  df-lsatoms 32621  df-lshyp 32622  df-lfl 32703  df-lkr 32731  df-ldual 32769  df-oposet 32821  df-ol 32823  df-oml 32824  df-covers 32911  df-ats 32912  df-atl 32943  df-cvlat 32967  df-hlat 32996  df-llines 33142  df-lplanes 33143  df-lvols 33144  df-lines 33145  df-psubsp 33147  df-pmap 33148  df-padd 33440  df-lhyp 33632  df-laut 33633  df-ldil 33748  df-ltrn 33749  df-trl 33803  df-tgrp 34387  df-tendo 34399  df-edring 34401  df-dveca 34647  df-disoa 34674  df-dvech 34724  df-dib 34784  df-dic 34818  df-dih 34874  df-doch 34993  df-djh 35040
This theorem is referenced by:  lcf1o  35196
  Copyright terms: Public domain W3C validator