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Theorem lcfrlem9 36356
Description: Lemma for lcf1o 36357. (This part has undesirable $d's on  J and  ph that we remove in lcf1o 36357.) TODO: ugly proof; maybe have better subtheorems or abbreviate some  iota_
k expansions with  J `  z? TODO: Some redundant $d's? (Contributed by NM, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcf1o.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcf1o.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcf1o.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcf1o.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcf1o.a  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcf1o.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
lcf1o.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lcf1o.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lcf1o.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcf1o.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcf1o.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcf1o.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcf1o.q  |-  Q  =  ( 0g `  D
)
lcf1o.c  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
lcf1o.j  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
lcflo.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem9  |-  ( ph  ->  J : ( V 
\  {  .0.  }
)
-1-1-onto-> ( C  \  { Q } ) )
Distinct variable groups:    x, w,  ._|_    x,  .0. , v    v, V, x    x,  .x.    v, k, w, x,  .+    x, R    f,
k, v, w, x, 
.+    k, J, v, w, x    C, k, v, w, x    f, F    f, L, k, v, w, x    ._|_ , f, k, v    Q, k, v, w, x    R, f, k, v, w    S, k, v, w, x    .x. , f,
k, v, w    U, k, w, x    f, V, k, w    .0. , k,
v, w    ph, k, v, w, x
Allowed substitution hints:    ph( f)    C( f)    D( x, w, v, f, k)    Q( f)    S( f)    U( v, f)    F( x, w, v, k)    H( x, w, v, f, k)    J( f)    K( x, w, v, f, k)    W( x, w, v, f, k)    .0. ( f)

Proof of Theorem lcfrlem9
Dummy variables  y 
g  t  u  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcf1o.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  U
)
2 fvex 5875 . . . . . 6  |-  ( Base `  U )  e.  _V
31, 2eqeltri 2551 . . . . 5  |-  V  e. 
_V
43mptex 6130 . . . 4  |-  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  e.  _V
5 lcf1o.j . . . 4  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
64, 5fnmpti 5708 . . 3  |-  J  Fn  ( V  \  {  .0.  } )
76a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  J  Fn  ( V 
\  {  .0.  }
) )
8 fvelrnb 5914 . . . . 5  |-  ( J  Fn  ( V  \  {  .0.  } )  -> 
( g  e.  ran  J  <->  E. z  e.  ( V  \  {  .0.  }
) ( J `  z )  =  g ) )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ran  J  <->  E. z  e.  ( V  \  {  .0.  }
) ( J `  z )  =  g ) )
10 lcf1o.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
11 lcf1o.o . . . . . . . . 9  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
12 lcf1o.u . . . . . . . . 9  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
13 lcf1o.a . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +g  `  U )
14 lcf1o.t . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  ( .s `  U )
15 lcf1o.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  (Scalar `  U )
16 lcf1o.r . . . . . . . . 9  |-  R  =  ( Base `  S
)
17 lcf1o.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
18 lcf1o.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  (LFnl `  U )
19 lcf1o.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  (LKer `  U )
20 lcf1o.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  (LDual `  U )
21 lcf1o.q . . . . . . . . 9  |-  Q  =  ( 0g `  D
)
22 lcf1o.c . . . . . . . . 9  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
23 lcflo.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2423adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
25 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
2610, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 5, 24, 25lcfrlem8 36355 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( J `  z )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  z )
) ) ) )
27 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
z } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  z
) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  z )
) ) )
28 sneq 4037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  z  ->  { y }  =  { z } )
2928fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  (  ._|_  `  { y } )  =  (  ._|_  `  { z } ) )
30 oveq2 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  (
k  .x.  y )  =  ( k  .x.  z ) )
3130oveq2d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  z  ->  (
w  .+  ( k  .x.  y ) )  =  ( w  .+  (
k  .x.  z )
) )
3231eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  (
v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  y ) )  <->  v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )
3329, 32rexeqbidv 3073 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) )  <->  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )
3433riotabidv 6246 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  z  ->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  y ) ) )  =  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  z )
) ) )
3534mpteq2dv 4534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  z  ->  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) )
3635eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) )  <->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
z } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  z
) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  z )
) ) ) ) )
3736rspcev 3214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
z } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  z
) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  z )
) ) ) )  ->  E. y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  z )
) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) ) )
3825, 27, 37sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  E. y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
z } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  z
) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) )
3938olcd 393 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (
( L `  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) )  =  V  \/  E. y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
z } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  z
) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )
4010, 11, 12, 1, 17, 13, 14, 18, 15, 16, 27, 24, 25dochflcl 36281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )  e.  F
)
4110, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 24, 40lcfl6 36306 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (
( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )  e.  C  <->  ( ( L `  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) )  =  V  \/  E. y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
z } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  z
) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) ) )
4239, 41mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )  e.  C
)
4310, 11, 12, 1, 17, 13, 14, 19, 15, 16, 27, 24, 25dochsnkr2cl 36280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  z  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
z } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  z
) ) ) ) ) )  \  {  .0.  } ) )
4410, 11, 12, 1, 17, 18, 19, 24, 40, 43dochsnkrlem3 36277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
z } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  z
) ) ) ) ) ) )  =  ( L `  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) ) )
4510, 11, 12, 1, 17, 18, 19, 24, 40, 43dochsnkrlem1 36275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
z } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  z
) ) ) ) ) ) )  =/= 
V )
4644, 45eqnetrrd 2761 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( L `  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
z } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  z
) ) ) ) )  =/=  V )
4710, 12, 23dvhlmod 35916 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
4847adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  U  e.  LMod )
491, 18, 19, 20, 21, 48, 40lkr0f2 33967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (
( L `  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) )  =  V  <->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  z )
) ) )  =  Q ) )
5049necon3bid 2725 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (
( L `  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) )  =/= 
V  <->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  z )
) ) )  =/= 
Q ) )
5146, 50mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )  =/=  Q
)
52 eldifsn 4152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )  e.  ( C  \  { Q } )  <->  ( (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )  e.  C  /\  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )  =/=  Q
) )
5342, 51, 52sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) )  e.  ( C  \  { Q } ) )
5426, 53eqeltrd 2555 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( J `  z )  e.  ( C  \  { Q } ) )
55 eleq1 2539 . . . . . . 7  |-  ( ( J `  z )  =  g  ->  (
( J `  z
)  e.  ( C 
\  { Q }
)  <->  g  e.  ( C  \  { Q } ) ) )
5654, 55syl5ibcom 220 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (
( J `  z
)  =  g  -> 
g  e.  ( C 
\  { Q }
) ) )
5756rexlimdva 2955 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( J `
 z )  =  g  ->  g  e.  ( C  \  { Q } ) ) )
58 eldifsn 4152 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( C  \  { Q } )  <->  ( g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )
59 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )  -> 
g  e.  C )
6047adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  g  e.  C )  ->  U  e.  LMod )
6122lcfl1lem 36297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  e.  C  <->  ( g  e.  F  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )  =  ( L `  g ) ) )
6261simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  C  ->  g  e.  F )
6362adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  g  e.  C )  ->  g  e.  F )
641, 18, 19, 20, 21, 60, 63lkr0f2 33967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  C )  ->  (
( L `  g
)  =  V  <->  g  =  Q ) )
6564necon3bid 2725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  C )  ->  (
( L `  g
)  =/=  V  <->  g  =/=  Q ) )
6665biimprd 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  C )  ->  (
g  =/=  Q  -> 
( L `  g
)  =/=  V ) )
6766impr 619 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )  -> 
( L `  g
)  =/=  V )
6867neneqd 2669 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )  ->  -.  ( L `  g
)  =  V )
6923adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7062adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  e.  C  /\  g  =/=  Q )  -> 
g  e.  F )
7170adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )  -> 
g  e.  F )
7210, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 69, 71lcfl6 36306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )  -> 
( g  e.  C  <->  ( ( L `  g
)  =  V  \/  E. z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) g  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) ) ) )
7372biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )  /\  g  e.  C
)  ->  ( ( L `  g )  =  V  \/  E. z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) g  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) ) )
7473ord 377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )  /\  g  e.  C
)  ->  ( -.  ( L `  g )  =  V  ->  E. z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) g  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) ) )
75743impia 1193 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )  /\  g  e.  C  /\  -.  ( L `  g )  =  V )  ->  E. z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) g  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) )
7659, 68, 75mpd3an23 1326 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  C  /\  g  =/=  Q ) )  ->  E. z  e.  ( V  \  {  .0.  }
) g  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) )
7758, 76sylan2b 475 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( C  \  { Q } ) )  ->  E. z  e.  ( V  \  {  .0.  }
) g  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) )
78 eqcom 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J `  z )  =  g  <->  g  =  ( J `  z ) )
7923ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  ( C  \  { Q } ) )  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
80 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  ( C  \  { Q } ) )  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
8110, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 5, 79, 80lcfrlem8 36355 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  ( C  \  { Q } ) )  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( J `  z )  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) )
8281eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  ( C  \  { Q } ) )  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( g  =  ( J `  z )  <->  g  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) ) )
8378, 82syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  ( C  \  { Q } ) )  /\  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( ( J `  z )  =  g  <->  g  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) ) )
8483rexbidva 2970 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( C  \  { Q } ) )  -> 
( E. z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( J `
 z )  =  g  <->  E. z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) g  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { z } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  z ) ) ) ) ) )
8577, 84mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( C  \  { Q } ) )  ->  E. z  e.  ( V  \  {  .0.  }
) ( J `  z )  =  g )
8685ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ( C  \  { Q } )  ->  E. z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( J `
 z )  =  g ) )
8757, 86impbid 191 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( J `
 z )  =  g  <->  g  e.  ( C  \  { Q } ) ) )
889, 87bitrd 253 . . 3  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ran  J  <-> 
g  e.  ( C 
\  { Q }
) ) )
8988eqrdv 2464 . 2  |-  ( ph  ->  ran  J  =  ( C  \  { Q } ) )
9023ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( J `  t )  =  ( J `  u ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
91 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
t } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  t
) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { t } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  t )
) ) )
92 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
u } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  u
) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { u } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  u )
) ) )
93 simplrl 759 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( J `  t )  =  ( J `  u ) )  -> 
t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
94 simplrr 760 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( J `  t )  =  ( J `  u ) )  ->  u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
95 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( J `  t )  =  ( J `  u ) )  -> 
( J `  t
)  =  ( J `
 u ) )
9610, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 5, 90, 93lcfrlem8 36355 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( J `  t )  =  ( J `  u ) )  -> 
( J `  t
)  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
t } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  t
) ) ) ) )
9710, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 5, 90, 94lcfrlem8 36355 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( J `  t )  =  ( J `  u ) )  -> 
( J `  u
)  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
u } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  u
) ) ) ) )
9895, 96, 973eqtr3d 2516 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( J `  t )  =  ( J `  u ) )  -> 
( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { t } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  t ) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { u }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  u ) ) ) ) )
9910, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 90, 91, 92, 93, 94, 98lcfl7lem 36305 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( J `  t )  =  ( J `  u ) )  -> 
t  =  u )
10099ex 434 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( ( J `
 t )  =  ( J `  u
)  ->  t  =  u ) )
101100ralrimivva 2885 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( V  \  {  .0.  } ) A. u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( ( J `  t )  =  ( J `  u )  ->  t  =  u ) )
102 dff1o6 6168 . 2  |-  ( J : ( V  \  {  .0.  } ) -1-1-onto-> ( C 
\  { Q }
)  <->  ( J  Fn  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ran  J  =  ( C  \  { Q } )  /\  A. t  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) A. u  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( ( J `  t )  =  ( J `  u )  ->  t  =  u ) ) )
1037, 89, 101, 102syl3anbrc 1180 1  |-  ( ph  ->  J : ( V 
\  {  .0.  }
)
-1-1-onto-> ( C  \  { Q } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473   {csn 4027    |-> cmpt 4505   ran crn 5000    Fn wfn 5582   -1-1-onto->wf1o 5586   ` cfv 5587   iota_crio 6243  (class class class)co 6283   Basecbs 14489   +g cplusg 14554  Scalarcsca 14557   .scvsca 14558   0gc0g 14694   LModclmod 17307  LFnlclfn 33863  LKerclk 33891  LDualcld 33929   HLchlt 34156   LHypclh 34789   DVecHcdvh 35884   ocHcoch 36153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-riotaBAD 33765
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6955  df-undef 7002  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-0g 14696  df-poset 15432  df-plt 15444  df-lub 15460  df-glb 15461  df-join 15462  df-meet 15463  df-p0 15525  df-p1 15526  df-lat 15532  df-clat 15594  df-mnd 15731  df-submnd 15784  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-sbg 15866  df-subg 16000  df-cntz 16157  df-lsm 16459  df-cmn 16603  df-abl 16604  df-mgp 16941  df-ur 16953  df-rng 16997  df-oppr 17068  df-dvdsr 17086  df-unit 17087  df-invr 17117  df-dvr 17128  df-drng 17193  df-lmod 17309  df-lss 17374  df-lsp 17413  df-lvec 17544  df-lsatoms 33782  df-lshyp 33783  df-lfl 33864  df-lkr 33892  df-ldual 33930  df-oposet 33982  df-ol 33984  df-oml 33985  df-covers 34072  df-ats 34073  df-atl 34104  df-cvlat 34128  df-hlat 34157  df-llines 34303  df-lplanes 34304  df-lvols 34305  df-lines 34306  df-psubsp 34308  df-pmap 34309  df-padd 34601  df-lhyp 34793  df-laut 34794  df-ldil 34909  df-ltrn 34910  df-trl 34964  df-tgrp 35548  df-tendo 35560  df-edring 35562  df-dveca 35808  df-disoa 35835  df-dvech 35885  df-dib 35945  df-dic 35979  df-dih 36035  df-doch 36154  df-djh 36201
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