Theorem lcfrlem9 36356

Description: Lemma for lcf1o 36357. (This part has undesirable $d's on J and ph that we remove in lcf1o 36357.) TODO: ugly proof; maybe have better subtheorems or abbreviate some iota_ k expansions with J ` z? TODO: Some redundant $d's? (Contributed by NM, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcf1o.h	|- H = ( LHyp ` K )
lcf1o.o	|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
lcf1o.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
lcf1o.v	|- V = ( Base ` U )
lcf1o.a	|- .+ = ( +g ` U )
lcf1o.t	|- .x. = ( .s ` U )
lcf1o.s	|- S = (Scalar ` U )
lcf1o.r	|- R = ( Base ` S )
lcf1o.z	|- .0. = ( 0g ` U )
lcf1o.f	|- F = (LFnl ` U )
lcf1o.l	|- L = (LKer ` U )
lcf1o.d	|- D = (LDual ` U )
lcf1o.q	|- Q = ( 0g ` D )
lcf1o.c	|- C = { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) }
lcf1o.j	|- J = ( x e. ( V \ { .0. } ) |-> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) )
lcflo.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem9	|- ( ph -> J : ( V \ { .0. } ) -1-1-onto-> ( C \ { Q } ) )

Distinct variable groups:   x, w, ._|_   x, .0. , v   v, V, x   x, .x.   v, k, w, x, .+   x, R   f, k, v, w, x, .+   k, J, v, w, x   C, k, v, w, x   f, F   f, L, k, v, w, x   ._|_ , f, k, v   Q, k, v, w, x   R, f, k, v, w   S, k, v, w, x   .x. , f, k, v, w   U, k, w, x   f, V, k, w   .0. , k, v, w   ph, k, v, w, x

Allowed substitution hints:   ph( f)   C( f)   D( x, w, v, f, k)   Q( f)   S( f)   U( v, f)   F( x, w, v, k)   H( x, w, v, f, k)   J( f)   K( x, w, v, f, k)   W( x, w, v, f, k)   .0. ( f)

Proof of Theorem lcfrlem9

Dummy variables y g t u z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcf1o.v	. . . . . 6 |- V = ( Base ` U )
2		fvex 5875	. . . . . 6 |- ( Base ` U ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2551	. . . . 5 |- V e. _V
4	3	mptex 6130	. . . 4 |- ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) e. _V
5		lcf1o.j	. . . 4 |- J = ( x e. ( V \ { .0. } ) |-> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) )
6	4, 5	fnmpti 5708	. . 3 |- J Fn ( V \ { .0. } )
7	6	a1i 11	. 2 |- ( ph -> J Fn ( V \ { .0. } ) )
8		fvelrnb 5914	. . . . 5 |- ( J Fn ( V \ { .0. } ) -> ( g e. ran J <-> E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g ) )
9	7, 8	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( g e. ran J <-> E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g ) )
10		lcf1o.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( LHyp ` K )
11		lcf1o.o	. . . . . . . . 9 |- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
12		lcf1o.u	. . . . . . . . 9 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
13		lcf1o.a	. . . . . . . . 9 |- .+ = ( +g ` U )
14		lcf1o.t	. . . . . . . . 9 |- .x. = ( .s ` U )
15		lcf1o.s	. . . . . . . . 9 |- S = (Scalar ` U )
16		lcf1o.r	. . . . . . . . 9 |- R = ( Base ` S )
17		lcf1o.z	. . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` U )
18		lcf1o.f	. . . . . . . . 9 |- F = (LFnl ` U )
19		lcf1o.l	. . . . . . . . 9 |- L = (LKer ` U )
20		lcf1o.d	. . . . . . . . 9 |- D = (LDual ` U )
21		lcf1o.q	. . . . . . . . 9 |- Q = ( 0g ` D )
22		lcf1o.c	. . . . . . . . 9 |- C = { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) }
23		lcflo.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
24	23	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
25		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> z e. ( V \ { .0. } ) )
26	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 5, 24, 25	lcfrlem8 36355	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( J ` z ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) )
27		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) )
28		sneq 4037	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = z -> { y } = { z } )
29	28	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = z -> ( ._|_ ` { y } ) = ( ._|_ ` { z } ) )
30		oveq2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = z -> ( k .x. y ) = ( k .x. z ) )
31	30	oveq2d 6299	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = z -> ( w .+ ( k .x. y ) ) = ( w .+ ( k .x. z ) ) )
32	31	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = z -> ( v = ( w .+ ( k .x. y ) ) <-> v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) )
33	29, 32	rexeqbidv 3073	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = z -> ( E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) <-> E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) )
34	33	riotabidv 6246	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = z -> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) = ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) )
35	34	mpteq2dv 4534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = z -> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) )
36	35	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = z -> ( ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) <-> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
37	36	rspcev 3214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ( V \ { .0. } ) /\ ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) -> E. y e. ( V \ { .0. } ) ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) )
38	25, 27, 37	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> E. y e. ( V \ { .0. } ) ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) )
39	38	olcd 393	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) = V \/ E. y e. ( V \ { .0. } ) ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) ) )
40	10, 11, 12, 1, 17, 13, 14, 18, 15, 16, 27, 24, 25	dochflcl 36281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) e. F )
41	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 24, 40	lcfl6 36306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) e. C <-> ( ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) = V \/ E. y e. ( V \ { .0. } ) ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) ) ) )
42	39, 41	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) e. C )
43	10, 11, 12, 1, 17, 13, 14, 19, 15, 16, 27, 24, 25	dochsnkr2cl 36280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> z e. ( ( ._|_ ` ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) ) \ { .0. } ) )
44	10, 11, 12, 1, 17, 18, 19, 24, 40, 43	dochsnkrlem3 36277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) ) ) = ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
45	10, 11, 12, 1, 17, 18, 19, 24, 40, 43	dochsnkrlem1 36275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) ) ) =/= V )
46	44, 45	eqnetrrd 2761	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) =/= V )
47	10, 12, 23	dvhlmod 35916	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U e. LMod )
48	47	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> U e. LMod )
49	1, 18, 19, 20, 21, 48, 40	lkr0f2 33967	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) = V <-> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = Q ) )
50	49	necon3bid 2725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) =/= V <-> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) =/= Q ) )
51	46, 50	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) =/= Q )
52		eldifsn 4152	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) e. ( C \ { Q } ) <-> ( ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) e. C /\ ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) =/= Q ) )
53	42, 51, 52	sylanbrc 664	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) e. ( C \ { Q } ) )
54	26, 53	eqeltrd 2555	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( J ` z ) e. ( C \ { Q } ) )
55		eleq1 2539	. . . . . . 7 |- ( ( J ` z ) = g -> ( ( J ` z ) e. ( C \ { Q } ) <-> g e. ( C \ { Q } ) ) )
56	54, 55	syl5ibcom 220	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( J ` z ) = g -> g e. ( C \ { Q } ) ) )
57	56	rexlimdva 2955	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g -> g e. ( C \ { Q } ) ) )
58		eldifsn 4152	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( C \ { Q } ) <-> ( g e. C /\ g =/= Q ) )
59		simprl 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> g e. C )
60	47	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ g e. C ) -> U e. LMod )
61	22	lcfl1lem 36297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g e. C <-> ( g e. F /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) = ( L ` g ) ) )
62	61	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g e. C -> g e. F )
63	62	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ g e. C ) -> g e. F )
64	1, 18, 19, 20, 21, 60, 63	lkr0f2 33967	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ g e. C ) -> ( ( L ` g ) = V <-> g = Q ) )
65	64	necon3bid 2725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ g e. C ) -> ( ( L ` g ) =/= V <-> g =/= Q ) )
66	65	biimprd 223	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. C ) -> ( g =/= Q -> ( L ` g ) =/= V ) )
67	66	impr 619	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> ( L ` g ) =/= V )
68	67	neneqd 2669	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> -. ( L ` g ) = V )
69	23	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
70	62	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g e. C /\ g =/= Q ) -> g e. F )
71	70	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> g e. F )
72	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 69, 71	lcfl6 36306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> ( g e. C <-> ( ( L ` g ) = V \/ E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) ) )
73	72	biimpa 484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) /\ g e. C ) -> ( ( L ` g ) = V \/ E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
74	73	ord 377	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) /\ g e. C ) -> ( -. ( L ` g ) = V -> E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
75	74	3impia 1193	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) /\ g e. C /\ -. ( L ` g ) = V ) -> E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) )
76	59, 68, 75	mpd3an23 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) )
77	58, 76	sylan2b 475	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) -> E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) )
78		eqcom 2476	. . . . . . . . 9 |- ( ( J ` z ) = g <-> g = ( J ` z ) )
79	23	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
80		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> z e. ( V \ { .0. } ) )
81	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 5, 79, 80	lcfrlem8 36355	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( J ` z ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) )
82	81	eqeq2d 2481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( g = ( J ` z ) <-> g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
83	78, 82	syl5bb 257	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( J ` z ) = g <-> g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
84	83	rexbidva 2970	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) -> ( E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g <-> E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
85	77, 84	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) -> E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g )
86	85	ex 434	. . . . 5 |- ( ph -> ( g e. ( C \ { Q } ) -> E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g ) )
87	57, 86	impbid 191	. . . 4 |- ( ph -> ( E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g <-> g e. ( C \ { Q } ) ) )
88	9, 87	bitrd 253	. . 3 |- ( ph -> ( g e. ran J <-> g e. ( C \ { Q } ) ) )
89	88	eqrdv 2464	. 2 |- ( ph -> ran J = ( C \ { Q } ) )
90	23	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
91		eqid 2467	. . . . 5 |- ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { t } ) v = ( w .+ ( k .x. t ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { t } ) v = ( w .+ ( k .x. t ) ) ) )
92		eqid 2467	. . . . 5 |- ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { u } ) v = ( w .+ ( k .x. u ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { u } ) v = ( w .+ ( k .x. u ) ) ) )
93		simplrl 759	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> t e. ( V \ { .0. } ) )
94		simplrr 760	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> u e. ( V \ { .0. } ) )
95		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> ( J ` t ) = ( J ` u ) )
96	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 5, 90, 93	lcfrlem8 36355	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> ( J ` t ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { t } ) v = ( w .+ ( k .x. t ) ) ) ) )
97	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 5, 90, 94	lcfrlem8 36355	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> ( J ` u ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { u } ) v = ( w .+ ( k .x. u ) ) ) ) )
98	95, 96, 97	3eqtr3d 2516	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { t } ) v = ( w .+ ( k .x. t ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { u } ) v = ( w .+ ( k .x. u ) ) ) ) )
99	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 90, 91, 92, 93, 94, 98	lcfl7lem 36305	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> t = u )
100	99	ex 434	. . 3 |- ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) -> ( ( J ` t ) = ( J ` u ) -> t = u ) )
101	100	ralrimivva 2885	. 2 |- ( ph -> A. t e. ( V \ { .0. } ) A. u e. ( V \ { .0. } ) ( ( J ` t ) = ( J ` u ) -> t = u ) )
102		dff1o6 6168	. 2 |- ( J : ( V \ { .0. } ) -1-1-onto-> ( C \ { Q } ) <-> ( J Fn ( V \ { .0. } ) /\ ran J = ( C \ { Q } ) /\ A. t e. ( V \ { .0. } ) A. u e. ( V \ { .0. } ) ( ( J ` t ) = ( J ` u ) -> t = u ) ) )
103	7, 89, 101, 102	syl3anbrc 1180	1 |- ( ph -> J : ( V \ { .0. } ) -1-1-onto-> ( C \ { Q } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   {csn 4027   |-> cmpt 4505   ran crn 5000   Fn wfn 5582   -1-1-onto->wf1o 5586   ` cfv 5587   iota_crio 6243  (class class class)co 6283   Basecbs 14489   +g cplusg 14554  Scalarcsca 14557   .scvsca 14558   0gc0g 14694   LModclmod 17307  LFnlclfn 33863  LKerclk 33891  LDualcld 33929   HLchlt 34156   LHypclh 34789   DVecHcdvh 35884   ocHcoch 36153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-riotaBAD 33765

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6955  df-undef 7002  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-0g 14696  df-poset 15432  df-plt 15444  df-lub 15460  df-glb 15461  df-join 15462  df-meet 15463  df-p0 15525  df-p1 15526  df-lat 15532  df-clat 15594  df-mnd 15731  df-submnd 15784  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-sbg 15866  df-subg 16000  df-cntz 16157  df-lsm 16459  df-cmn 16603  df-abl 16604  df-mgp 16941  df-ur 16953  df-rng 16997  df-oppr 17068  df-dvdsr 17086  df-unit 17087  df-invr 17117  df-dvr 17128  df-drng 17193  df-lmod 17309  df-lss 17374  df-lsp 17413  df-lvec 17544  df-lsatoms 33782  df-lshyp 33783  df-lfl 33864  df-lkr 33892  df-ldual 33930  df-oposet 33982  df-ol 33984  df-oml 33985  df-covers 34072  df-ats 34073  df-atl 34104  df-cvlat 34128  df-hlat 34157  df-llines 34303  df-lplanes 34304  df-lvols 34305  df-lines 34306  df-psubsp 34308  df-pmap 34309  df-padd 34601  df-lhyp 34793  df-laut 34794  df-ldil 34909  df-ltrn 34910  df-trl 34964  df-tgrp 35548  df-tendo 35560  df-edring 35562  df-dveca 35808  df-disoa 35835  df-dvech 35885  df-dib 35945  df-dic 35979  df-dih 36035  df-doch 36154  df-djh 36201

This theorem is referenced by:  lcf1o  36357