Theorem lcfrlem9 35195

Description: Lemma for lcf1o 35196. (This part has undesirable $d's on J and ph that we remove in lcf1o 35196.) TODO: ugly proof; maybe have better subtheorems or abbreviate some iota_ k expansions with J ` z? TODO: Some redundant $d's? (Contributed by NM, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcf1o.h	|- H = ( LHyp ` K )
lcf1o.o	|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
lcf1o.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
lcf1o.v	|- V = ( Base ` U )
lcf1o.a	|- .+ = ( +g ` U )
lcf1o.t	|- .x. = ( .s ` U )
lcf1o.s	|- S = (Scalar ` U )
lcf1o.r	|- R = ( Base ` S )
lcf1o.z	|- .0. = ( 0g ` U )
lcf1o.f	|- F = (LFnl ` U )
lcf1o.l	|- L = (LKer ` U )
lcf1o.d	|- D = (LDual ` U )
lcf1o.q	|- Q = ( 0g ` D )
lcf1o.c	|- C = { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) }
lcf1o.j	|- J = ( x e. ( V \ { .0. } ) |-> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) )
lcflo.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem9	|- ( ph -> J : ( V \ { .0. } ) -1-1-onto-> ( C \ { Q } ) )

Distinct variable groups:   x, w, ._|_   x, .0. , v   v, V, x   x, .x.   v, k, w, x, .+   x, R   f, k, v, w, x, .+   k, J, v, w, x   C, k, v, w, x   f, F   f, L, k, v, w, x   ._|_ , f, k, v   Q, k, v, w, x   R, f, k, v, w   S, k, v, w, x   .x. , f, k, v, w   U, k, w, x   f, V, k, w   .0. , k, v, w   ph, k, v, w, x

Allowed substitution hints:   ph( f)   C( f)   D( x, w, v, f, k)   Q( f)   S( f)   U( v, f)   F( x, w, v, k)   H( x, w, v, f, k)   J( f)   K( x, w, v, f, k)   W( x, w, v, f, k)   .0. ( f)

Proof of Theorem lcfrlem9

Dummy variables y g t u z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcf1o.v	. . . . . 6 |- V = ( Base ` U )
2		fvex 5701	. . . . . 6 |- ( Base ` U ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2513	. . . . 5 |- V e. _V
4	3	mptex 5948	. . . 4 |- ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) e. _V
5		lcf1o.j	. . . 4 |- J = ( x e. ( V \ { .0. } ) |-> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) )
6	4, 5	fnmpti 5539	. . 3 |- J Fn ( V \ { .0. } )
7	6	a1i 11	. 2 |- ( ph -> J Fn ( V \ { .0. } ) )
8		fvelrnb 5739	. . . . 5 |- ( J Fn ( V \ { .0. } ) -> ( g e. ran J <-> E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g ) )
9	7, 8	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( g e. ran J <-> E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g ) )
10		lcf1o.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( LHyp ` K )
11		lcf1o.o	. . . . . . . . 9 |- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
12		lcf1o.u	. . . . . . . . 9 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
13		lcf1o.a	. . . . . . . . 9 |- .+ = ( +g ` U )
14		lcf1o.t	. . . . . . . . 9 |- .x. = ( .s ` U )
15		lcf1o.s	. . . . . . . . 9 |- S = (Scalar ` U )
16		lcf1o.r	. . . . . . . . 9 |- R = ( Base ` S )
17		lcf1o.z	. . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` U )
18		lcf1o.f	. . . . . . . . 9 |- F = (LFnl ` U )
19		lcf1o.l	. . . . . . . . 9 |- L = (LKer ` U )
20		lcf1o.d	. . . . . . . . 9 |- D = (LDual ` U )
21		lcf1o.q	. . . . . . . . 9 |- Q = ( 0g ` D )
22		lcf1o.c	. . . . . . . . 9 |- C = { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) }
23		lcflo.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
24	23	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
25		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> z e. ( V \ { .0. } ) )
26	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 5, 24, 25	lcfrlem8 35194	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( J ` z ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) )
27		eqid 2443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) )
28		sneq 3887	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = z -> { y } = { z } )
29	28	fveq2d 5695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = z -> ( ._|_ ` { y } ) = ( ._|_ ` { z } ) )
30		oveq2 6099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = z -> ( k .x. y ) = ( k .x. z ) )
31	30	oveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = z -> ( w .+ ( k .x. y ) ) = ( w .+ ( k .x. z ) ) )
32	31	eqeq2d 2454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = z -> ( v = ( w .+ ( k .x. y ) ) <-> v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) )
33	29, 32	rexeqbidv 2932	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = z -> ( E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) <-> E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) )
34	33	riotabidv 6054	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = z -> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) = ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) )
35	34	mpteq2dv 4379	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = z -> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) )
36	35	eqeq2d 2454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = z -> ( ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) <-> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
37	36	rspcev 3073	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ( V \ { .0. } ) /\ ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) -> E. y e. ( V \ { .0. } ) ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) )
38	25, 27, 37	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> E. y e. ( V \ { .0. } ) ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) )
39	38	olcd 393	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) = V \/ E. y e. ( V \ { .0. } ) ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) ) )
40	10, 11, 12, 1, 17, 13, 14, 18, 15, 16, 27, 24, 25	dochflcl 35120	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) e. F )
41	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 24, 40	lcfl6 35145	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) e. C <-> ( ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) = V \/ E. y e. ( V \ { .0. } ) ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) ) ) )
42	39, 41	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) e. C )
43	10, 11, 12, 1, 17, 13, 14, 19, 15, 16, 27, 24, 25	dochsnkr2cl 35119	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> z e. ( ( ._|_ ` ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) ) \ { .0. } ) )
44	10, 11, 12, 1, 17, 18, 19, 24, 40, 43	dochsnkrlem3 35116	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) ) ) = ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
45	10, 11, 12, 1, 17, 18, 19, 24, 40, 43	dochsnkrlem1 35114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) ) ) =/= V )
46	44, 45	eqnetrrd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) =/= V )
47	10, 12, 23	dvhlmod 34755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U e. LMod )
48	47	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> U e. LMod )
49	1, 18, 19, 20, 21, 48, 40	lkr0f2 32806	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) = V <-> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = Q ) )
50	49	necon3bid 2643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) =/= V <-> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) =/= Q ) )
51	46, 50	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) =/= Q )
52		eldifsn 4000	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) e. ( C \ { Q } ) <-> ( ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) e. C /\ ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) =/= Q ) )
53	42, 51, 52	sylanbrc 664	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) e. ( C \ { Q } ) )
54	26, 53	eqeltrd 2517	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( J ` z ) e. ( C \ { Q } ) )
55		eleq1 2503	. . . . . . 7 |- ( ( J ` z ) = g -> ( ( J ` z ) e. ( C \ { Q } ) <-> g e. ( C \ { Q } ) ) )
56	54, 55	syl5ibcom 220	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( J ` z ) = g -> g e. ( C \ { Q } ) ) )
57	56	rexlimdva 2841	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g -> g e. ( C \ { Q } ) ) )
58		eldifsn 4000	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( C \ { Q } ) <-> ( g e. C /\ g =/= Q ) )
59		simprl 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> g e. C )
60	47	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ g e. C ) -> U e. LMod )
61	22	lcfl1lem 35136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g e. C <-> ( g e. F /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) = ( L ` g ) ) )
62	61	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g e. C -> g e. F )
63	62	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ g e. C ) -> g e. F )
64	1, 18, 19, 20, 21, 60, 63	lkr0f2 32806	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ g e. C ) -> ( ( L ` g ) = V <-> g = Q ) )
65	64	necon3bid 2643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ g e. C ) -> ( ( L ` g ) =/= V <-> g =/= Q ) )
66	65	biimprd 223	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. C ) -> ( g =/= Q -> ( L ` g ) =/= V ) )
67	66	impr 619	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> ( L ` g ) =/= V )
68	67	neneqd 2624	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> -. ( L ` g ) = V )
69	23	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
70	62	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g e. C /\ g =/= Q ) -> g e. F )
71	70	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> g e. F )
72	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 69, 71	lcfl6 35145	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> ( g e. C <-> ( ( L ` g ) = V \/ E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) ) )
73	72	biimpa 484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) /\ g e. C ) -> ( ( L ` g ) = V \/ E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
74	73	ord 377	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) /\ g e. C ) -> ( -. ( L ` g ) = V -> E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
75	74	3impia 1184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) /\ g e. C /\ -. ( L ` g ) = V ) -> E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) )
76	59, 68, 75	mpd3an23 1316	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) )
77	58, 76	sylan2b 475	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) -> E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) )
78		eqcom 2445	. . . . . . . . 9 |- ( ( J ` z ) = g <-> g = ( J ` z ) )
79	23	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
80		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> z e. ( V \ { .0. } ) )
81	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 5, 79, 80	lcfrlem8 35194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( J ` z ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) )
82	81	eqeq2d 2454	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( g = ( J ` z ) <-> g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
83	78, 82	syl5bb 257	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( J ` z ) = g <-> g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
84	83	rexbidva 2732	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) -> ( E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g <-> E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
85	77, 84	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) -> E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g )
86	85	ex 434	. . . . 5 |- ( ph -> ( g e. ( C \ { Q } ) -> E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g ) )
87	57, 86	impbid 191	. . . 4 |- ( ph -> ( E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g <-> g e. ( C \ { Q } ) ) )
88	9, 87	bitrd 253	. . 3 |- ( ph -> ( g e. ran J <-> g e. ( C \ { Q } ) ) )
89	88	eqrdv 2441	. 2 |- ( ph -> ran J = ( C \ { Q } ) )
90	23	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
91		eqid 2443	. . . . 5 |- ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { t } ) v = ( w .+ ( k .x. t ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { t } ) v = ( w .+ ( k .x. t ) ) ) )
92		eqid 2443	. . . . 5 |- ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { u } ) v = ( w .+ ( k .x. u ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { u } ) v = ( w .+ ( k .x. u ) ) ) )
93		simplrl 759	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> t e. ( V \ { .0. } ) )
94		simplrr 760	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> u e. ( V \ { .0. } ) )
95		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> ( J ` t ) = ( J ` u ) )
96	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 5, 90, 93	lcfrlem8 35194	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> ( J ` t ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { t } ) v = ( w .+ ( k .x. t ) ) ) ) )
97	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 5, 90, 94	lcfrlem8 35194	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> ( J ` u ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { u } ) v = ( w .+ ( k .x. u ) ) ) ) )
98	95, 96, 97	3eqtr3d 2483	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { t } ) v = ( w .+ ( k .x. t ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { u } ) v = ( w .+ ( k .x. u ) ) ) ) )
99	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 90, 91, 92, 93, 94, 98	lcfl7lem 35144	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> t = u )
100	99	ex 434	. . 3 |- ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) -> ( ( J ` t ) = ( J ` u ) -> t = u ) )
101	100	ralrimivva 2808	. 2 |- ( ph -> A. t e. ( V \ { .0. } ) A. u e. ( V \ { .0. } ) ( ( J ` t ) = ( J ` u ) -> t = u ) )
102		dff1o6 5982	. 2 |- ( J : ( V \ { .0. } ) -1-1-onto-> ( C \ { Q } ) <-> ( J Fn ( V \ { .0. } ) /\ ran J = ( C \ { Q } ) /\ A. t e. ( V \ { .0. } ) A. u e. ( V \ { .0. } ) ( ( J ` t ) = ( J ` u ) -> t = u ) ) )
103	7, 89, 101, 102	syl3anbrc 1172	1 |- ( ph -> J : ( V \ { .0. } ) -1-1-onto-> ( C \ { Q } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716   {crab 2719   _Vcvv 2972   \ cdif 3325   {csn 3877   e. cmpt 4350   ran crn 4841   Fn wfn 5413   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418   iota_crio 6051  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   +g cplusg 14238  Scalarcsca 14241   .scvsca 14242   0gc0g 14378   LModclmod 16948  LFnlclfn 32702  LKerclk 32730  LDualcld 32768   HLchlt 32995   LHypclh 33628   DVecHcdvh 34723   ocHcoch 34992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-riotaBAD 32604

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-tpos 6745  df-undef 6792  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-0g 14380  df-poset 15116  df-plt 15128  df-lub 15144  df-glb 15145  df-join 15146  df-meet 15147  df-p0 15209  df-p1 15210  df-lat 15216  df-clat 15278  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-subg 15678  df-cntz 15835  df-lsm 16135  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-oppr 16715  df-dvdsr 16733  df-unit 16734  df-invr 16764  df-dvr 16775  df-drng 16834  df-lmod 16950  df-lss 17014  df-lsp 17053  df-lvec 17184  df-lsatoms 32621  df-lshyp 32622  df-lfl 32703  df-lkr 32731  df-ldual 32769  df-oposet 32821  df-ol 32823  df-oml 32824  df-covers 32911  df-ats 32912  df-atl 32943  df-cvlat 32967  df-hlat 32996  df-llines 33142  df-lplanes 33143  df-lvols 33144  df-lines 33145  df-psubsp 33147  df-pmap 33148  df-padd 33440  df-lhyp 33632  df-laut 33633  df-ldil 33748  df-ltrn 33749  df-trl 33803  df-tgrp 34387  df-tendo 34399  df-edring 34401  df-dveca 34647  df-disoa 34674  df-dvech 34724  df-dib 34784  df-dic 34818  df-dih 34874  df-doch 34993  df-djh 35040

This theorem is referenced by:  lcf1o  35196