Theorem lcfrlem9 35162

Description: Lemma for lcf1o 35163. (This part has undesirable $d's on J and ph that we remove in lcf1o 35163.) TODO: ugly proof; maybe have better subtheorems or abbreviate some iota_ k expansions with J ` z? TODO: Some redundant $d's? (Contributed by NM, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcf1o.h	|- H = ( LHyp ` K )
lcf1o.o	|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
lcf1o.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
lcf1o.v	|- V = ( Base ` U )
lcf1o.a	|- .+ = ( +g ` U )
lcf1o.t	|- .x. = ( .s ` U )
lcf1o.s	|- S = (Scalar ` U )
lcf1o.r	|- R = ( Base ` S )
lcf1o.z	|- .0. = ( 0g ` U )
lcf1o.f	|- F = (LFnl ` U )
lcf1o.l	|- L = (LKer ` U )
lcf1o.d	|- D = (LDual ` U )
lcf1o.q	|- Q = ( 0g ` D )
lcf1o.c	|- C = { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) }
lcf1o.j	|- J = ( x e. ( V \ { .0. } ) |-> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) )
lcflo.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem9	|- ( ph -> J : ( V \ { .0. } ) -1-1-onto-> ( C \ { Q } ) )

Distinct variable groups:   x, w, ._|_   x, .0. , v   v, V, x   x, .x.   v, k, w, x, .+   x, R   f, k, v, w, x, .+   k, J, v, w, x   C, k, v, w, x   f, F   f, L, k, v, w, x   ._|_ , f, k, v   Q, k, v, w, x   R, f, k, v, w   S, k, v, w, x   .x. , f, k, v, w   U, k, w, x   f, V, k, w   .0. , k, v, w   ph, k, v, w, x

Allowed substitution hints:   ph( f)   C( f)   D( x, w, v, f, k)   Q( f)   S( f)   U( v, f)   F( x, w, v, k)   H( x, w, v, f, k)   J( f)   K( x, w, v, f, k)   W( x, w, v, f, k)   .0. ( f)

Proof of Theorem lcfrlem9

Dummy variables y g t u z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcf1o.v	. . . . . 6 |- V = ( Base ` U )
2		fvex 5897	. . . . . 6 |- ( Base ` U ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2535	. . . . 5 |- V e. _V
4	3	mptex 6160	. . . 4 |- ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) e. _V
5		lcf1o.j	. . . 4 |- J = ( x e. ( V \ { .0. } ) |-> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { x } ) v = ( w .+ ( k .x. x ) ) ) ) )
6	4, 5	fnmpti 5727	. . 3 |- J Fn ( V \ { .0. } )
7	6	a1i 11	. 2 |- ( ph -> J Fn ( V \ { .0. } ) )
8		fvelrnb 5934	. . . . 5 |- ( J Fn ( V \ { .0. } ) -> ( g e. ran J <-> E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g ) )
9	7, 8	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( g e. ran J <-> E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g ) )
10		lcf1o.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( LHyp ` K )
11		lcf1o.o	. . . . . . . . 9 |- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
12		lcf1o.u	. . . . . . . . 9 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
13		lcf1o.a	. . . . . . . . 9 |- .+ = ( +g ` U )
14		lcf1o.t	. . . . . . . . 9 |- .x. = ( .s ` U )
15		lcf1o.s	. . . . . . . . 9 |- S = (Scalar ` U )
16		lcf1o.r	. . . . . . . . 9 |- R = ( Base ` S )
17		lcf1o.z	. . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` U )
18		lcf1o.f	. . . . . . . . 9 |- F = (LFnl ` U )
19		lcf1o.l	. . . . . . . . 9 |- L = (LKer ` U )
20		lcf1o.d	. . . . . . . . 9 |- D = (LDual ` U )
21		lcf1o.q	. . . . . . . . 9 |- Q = ( 0g ` D )
22		lcf1o.c	. . . . . . . . 9 |- C = { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) }
23		lcflo.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
24	23	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
25		simpr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> z e. ( V \ { .0. } ) )
26	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 5, 24, 25	lcfrlem8 35161	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( J ` z ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) )
27		eqid 2461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) )
28		sneq 3989	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = z -> { y } = { z } )
29	28	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = z -> ( ._|_ ` { y } ) = ( ._|_ ` { z } ) )
30		oveq2 6322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = z -> ( k .x. y ) = ( k .x. z ) )
31	30	oveq2d 6330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = z -> ( w .+ ( k .x. y ) ) = ( w .+ ( k .x. z ) ) )
32	31	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = z -> ( v = ( w .+ ( k .x. y ) ) <-> v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) )
33	29, 32	rexeqbidv 3013	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = z -> ( E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) <-> E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) )
34	33	riotabidv 6278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = z -> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) = ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) )
35	34	mpteq2dv 4503	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = z -> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) )
36	35	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = z -> ( ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) <-> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
37	36	rspcev 3161	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ( V \ { .0. } ) /\ ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) -> E. y e. ( V \ { .0. } ) ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) )
38	25, 27, 37	sylancl 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> E. y e. ( V \ { .0. } ) ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) )
39	38	olcd 399	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) = V \/ E. y e. ( V \ { .0. } ) ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) ) )
40	10, 11, 12, 1, 17, 13, 14, 18, 15, 16, 27, 24, 25	dochflcl 35087	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) e. F )
41	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 24, 40	lcfl6 35112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) e. C <-> ( ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) = V \/ E. y e. ( V \ { .0. } ) ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { y } ) v = ( w .+ ( k .x. y ) ) ) ) ) ) )
42	39, 41	mpbird 240	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) e. C )
43	10, 11, 12, 1, 17, 13, 14, 19, 15, 16, 27, 24, 25	dochsnkr2cl 35086	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> z e. ( ( ._|_ ` ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) ) \ { .0. } ) )
44	10, 11, 12, 1, 17, 18, 19, 24, 40, 43	dochsnkrlem3 35083	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) ) ) = ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
45	10, 11, 12, 1, 17, 18, 19, 24, 40, 43	dochsnkrlem1 35081	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) ) ) =/= V )
46	44, 45	eqnetrrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) =/= V )
47	10, 12, 23	dvhlmod 34722	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U e. LMod )
48	47	adantr 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> U e. LMod )
49	1, 18, 19, 20, 21, 48, 40	lkr0f2 32771	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) = V <-> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) = Q ) )
50	49	necon3bid 2679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( L ` ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) =/= V <-> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) =/= Q ) )
51	46, 50	mpbid 215	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) =/= Q )
52		eldifsn 4109	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) e. ( C \ { Q } ) <-> ( ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) e. C /\ ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) =/= Q ) )
53	42, 51, 52	sylanbrc 675	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) e. ( C \ { Q } ) )
54	26, 53	eqeltrd 2539	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( J ` z ) e. ( C \ { Q } ) )
55		eleq1 2527	. . . . . . 7 |- ( ( J ` z ) = g -> ( ( J ` z ) e. ( C \ { Q } ) <-> g e. ( C \ { Q } ) ) )
56	54, 55	syl5ibcom 228	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( J ` z ) = g -> g e. ( C \ { Q } ) ) )
57	56	rexlimdva 2890	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g -> g e. ( C \ { Q } ) ) )
58		eldifsn 4109	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( C \ { Q } ) <-> ( g e. C /\ g =/= Q ) )
59		simprl 769	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> g e. C )
60	47	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ g e. C ) -> U e. LMod )
61	22	lcfl1lem 35103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g e. C <-> ( g e. F /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) = ( L ` g ) ) )
62	61	simplbi 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g e. C -> g e. F )
63	62	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ g e. C ) -> g e. F )
64	1, 18, 19, 20, 21, 60, 63	lkr0f2 32771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ g e. C ) -> ( ( L ` g ) = V <-> g = Q ) )
65	64	necon3bid 2679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ g e. C ) -> ( ( L ` g ) =/= V <-> g =/= Q ) )
66	65	biimprd 231	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. C ) -> ( g =/= Q -> ( L ` g ) =/= V ) )
67	66	impr 629	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> ( L ` g ) =/= V )
68	67	neneqd 2639	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> -. ( L ` g ) = V )
69	23	adantr 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
70	62	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g e. C /\ g =/= Q ) -> g e. F )
71	70	adantl 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> g e. F )
72	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 69, 71	lcfl6 35112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> ( g e. C <-> ( ( L ` g ) = V \/ E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) ) )
73	72	biimpa 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) /\ g e. C ) -> ( ( L ` g ) = V \/ E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
74	73	ord 383	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) /\ g e. C ) -> ( -. ( L ` g ) = V -> E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
75	74	3impia 1212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) /\ g e. C /\ -. ( L ` g ) = V ) -> E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) )
76	59, 68, 75	mpd3an23 1375	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( g e. C /\ g =/= Q ) ) -> E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) )
77	58, 76	sylan2b 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) -> E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) )
78		eqcom 2468	. . . . . . . . 9 |- ( ( J ` z ) = g <-> g = ( J ` z ) )
79	23	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
80		simpr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> z e. ( V \ { .0. } ) )
81	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 5, 79, 80	lcfrlem8 35161	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( J ` z ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) )
82	81	eqeq2d 2471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( g = ( J ` z ) <-> g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
83	78, 82	syl5bb 265	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) /\ z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( J ` z ) = g <-> g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
84	83	rexbidva 2909	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) -> ( E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g <-> E. z e. ( V \ { .0. } ) g = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { z } ) v = ( w .+ ( k .x. z ) ) ) ) ) )
85	77, 84	mpbird 240	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. ( C \ { Q } ) ) -> E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g )
86	85	ex 440	. . . . 5 |- ( ph -> ( g e. ( C \ { Q } ) -> E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g ) )
87	57, 86	impbid 195	. . . 4 |- ( ph -> ( E. z e. ( V \ { .0. } ) ( J ` z ) = g <-> g e. ( C \ { Q } ) ) )
88	9, 87	bitrd 261	. . 3 |- ( ph -> ( g e. ran J <-> g e. ( C \ { Q } ) ) )
89	88	eqrdv 2459	. 2 |- ( ph -> ran J = ( C \ { Q } ) )
90	23	ad2antrr 737	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
91		eqid 2461	. . . . 5 |- ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { t } ) v = ( w .+ ( k .x. t ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { t } ) v = ( w .+ ( k .x. t ) ) ) )
92		eqid 2461	. . . . 5 |- ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { u } ) v = ( w .+ ( k .x. u ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { u } ) v = ( w .+ ( k .x. u ) ) ) )
93		simplrl 775	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> t e. ( V \ { .0. } ) )
94		simplrr 776	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> u e. ( V \ { .0. } ) )
95		simpr 467	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> ( J ` t ) = ( J ` u ) )
96	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 5, 90, 93	lcfrlem8 35161	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> ( J ` t ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { t } ) v = ( w .+ ( k .x. t ) ) ) ) )
97	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 5, 90, 94	lcfrlem8 35161	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> ( J ` u ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { u } ) v = ( w .+ ( k .x. u ) ) ) ) )
98	95, 96, 97	3eqtr3d 2503	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { t } ) v = ( w .+ ( k .x. t ) ) ) ) = ( v e. V |-> ( iota_ k e. R E. w e. ( ._|_ ` { u } ) v = ( w .+ ( k .x. u ) ) ) ) )
99	10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 90, 91, 92, 93, 94, 98	lcfl7lem 35111	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) /\ ( J ` t ) = ( J ` u ) ) -> t = u )
100	99	ex 440	. . 3 |- ( ( ph /\ ( t e. ( V \ { .0. } ) /\ u e. ( V \ { .0. } ) ) ) -> ( ( J ` t ) = ( J ` u ) -> t = u ) )
101	100	ralrimivva 2820	. 2 |- ( ph -> A. t e. ( V \ { .0. } ) A. u e. ( V \ { .0. } ) ( ( J ` t ) = ( J ` u ) -> t = u ) )
102		dff1o6 6198	. 2 |- ( J : ( V \ { .0. } ) -1-1-onto-> ( C \ { Q } ) <-> ( J Fn ( V \ { .0. } ) /\ ran J = ( C \ { Q } ) /\ A. t e. ( V \ { .0. } ) A. u e. ( V \ { .0. } ) ( ( J ` t ) = ( J ` u ) -> t = u ) ) )
103	7, 89, 101, 102	syl3anbrc 1198	1 |- ( ph -> J : ( V \ { .0. } ) -1-1-onto-> ( C \ { Q } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 374   /\ wa 375   = wceq 1454   e. wcel 1897   =/= wne 2632   A.wral 2748   E.wrex 2749   {crab 2752   _Vcvv 3056   \ cdif 3412   {csn 3979   |-> cmpt 4474   ran crn 4853   Fn wfn 5595   -1-1-onto->wf1o 5599   ` cfv 5600   iota_crio 6275  (class class class)co 6314   Basecbs 15169   +g cplusg 15238  Scalarcsca 15241   .scvsca 15242   0gc0g 15386   LModclmod 18139  LFnlclfn 32667  LKerclk 32695  LDualcld 32733   HLchlt 32960   LHypclh 33593   DVecHcdvh 34690   ocHcoch 34959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-riotaBAD 32569

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-iin 4294  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-tpos 6998  df-undef 7045  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-fz 11813  df-struct 15171  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-mulr 15252  df-sca 15254  df-vsca 15255  df-0g 15388  df-preset 16221  df-poset 16239  df-plt 16252  df-lub 16268  df-glb 16269  df-join 16270  df-meet 16271  df-p0 16333  df-p1 16334  df-lat 16340  df-clat 16402  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-submnd 16631  df-grp 16721  df-minusg 16722  df-sbg 16723  df-subg 16862  df-cntz 17019  df-lsm 17336  df-cmn 17480  df-abl 17481  df-mgp 17772  df-ur 17784  df-ring 17830  df-oppr 17899  df-dvdsr 17917  df-unit 17918  df-invr 17948  df-dvr 17959  df-drng 18025  df-lmod 18141  df-lss 18204  df-lsp 18243  df-lvec 18374  df-lsatoms 32586  df-lshyp 32587  df-lfl 32668  df-lkr 32696  df-ldual 32734  df-oposet 32786  df-ol 32788  df-oml 32789  df-covers 32876  df-ats 32877  df-atl 32908  df-cvlat 32932  df-hlat 32961  df-llines 33107  df-lplanes 33108  df-lvols 33109  df-lines 33110  df-psubsp 33112  df-pmap 33113  df-padd 33405  df-lhyp 33597  df-laut 33598  df-ldil 33713  df-ltrn 33714  df-trl 33769  df-tgrp 34354  df-tendo 34366  df-edring 34368  df-dveca 34614  df-disoa 34641  df-dvech 34691  df-dib 34751  df-dic 34785  df-dih 34841  df-doch 34960  df-djh 35007

This theorem is referenced by:  lcf1o  35163