Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem7 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lcfrlem7 35161
Description: Lemma for lcfr 35198. Closure of vector sum when one vector is zero. TODO: share hypotheses with others. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem7.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfrlem7.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfrlem7.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfrlem7.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfrlem7.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfrlem7.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcfrlem7.q  |-  Q  =  ( LSubSp `  D )
lcfrlem7.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfrlem7.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Q )
lcfrlem7.e  |-  E  = 
U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g ) )
lcfrlem7.x  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
lcfrlem7.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcfrlem7.y  |-  ( ph  ->  Y  =  .0.  )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem7  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  E )
Distinct variable groups:    U, g    ph, g
Allowed substitution hints:    D( g)    .+ ( g)    Q( g)    E( g)    G( g)    H( g)    K( g)    L( g)   
._|_ ( g)    W( g)    X( g)    Y( g)    .0. ( g)

Proof of Theorem lcfrlem7
StepHypRef Expression
1 lcfrlem7.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  =  .0.  )
21oveq2d 6331 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  =  ( X 
.+  .0.  ) )
3 lcfrlem7.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 lcfrlem7.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 lcfrlem7.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
63, 4, 5dvhlmod 34723 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
7 lcfrlem7.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
8 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
9 lcfrlem7.l . . . . 5  |-  L  =  (LKer `  U )
10 lcfrlem7.d . . . . 5  |-  D  =  (LDual `  U )
11 lcfrlem7.q . . . . 5  |-  Q  =  ( LSubSp `  D )
12 lcfrlem7.e . . . . 5  |-  E  = 
U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g ) )
13 lcfrlem7.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  Q )
14 lcfrlem7.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
153, 7, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 5, 13, 14lcfrlem4 35158 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  U ) )
16 lcfrlem7.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  U )
17 lcfrlem7.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
188, 16, 17lmod0vrid 18171 . . . 4  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  ( Base `  U
) )  ->  ( X  .+  .0.  )  =  X )
196, 15, 18syl2anc 671 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .+  .0.  )  =  X )
202, 19eqtrd 2496 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  =  X )
2120, 14eqeltrd 2540 1  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898   U_ciun 4292   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   Basecbs 15170   +g cplusg 15239   0gc0g 15387   LModclmod 18140   LSubSpclss 18204  LKerclk 32696  LDualcld 32734   HLchlt 32961   LHypclh 33594   DVecHcdvh 34691   ocHcoch 34960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-riotaBAD 32570
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-of 6558  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-tpos 6999  df-undef 7046  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-struct 15172  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-mulr 15253  df-sca 15255  df-vsca 15256  df-0g 15389  df-preset 16222  df-poset 16240  df-plt 16253  df-lub 16269  df-glb 16270  df-join 16271  df-meet 16272  df-p0 16334  df-p1 16335  df-lat 16341  df-clat 16403  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-submnd 16632  df-grp 16722  df-minusg 16723  df-sbg 16724  df-subg 16863  df-cntz 17020  df-lsm 17337  df-cmn 17481  df-abl 17482  df-mgp 17773  df-ur 17785  df-ring 17831  df-oppr 17900  df-dvdsr 17918  df-unit 17919  df-invr 17949  df-dvr 17960  df-drng 18026  df-lmod 18142  df-lss 18205  df-lsp 18244  df-lvec 18375  df-lfl 32669  df-lkr 32697  df-ldual 32735  df-oposet 32787  df-ol 32789  df-oml 32790  df-covers 32877  df-ats 32878  df-atl 32909  df-cvlat 32933  df-hlat 32962  df-llines 33108  df-lplanes 33109  df-lvols 33110  df-lines 33111  df-psubsp 33113  df-pmap 33114  df-padd 33406  df-lhyp 33598  df-laut 33599  df-ldil 33714  df-ltrn 33715  df-trl 33770  df-tendo 34367  df-edring 34369  df-disoa 34642  df-dvech 34692  df-dib 34752  df-dic 34786  df-dih 34842  df-doch 34961
This theorem is referenced by:  lcfrlem42  35197
  Copyright terms: Public domain W3C validator