Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem6 Unicode version

Theorem lcfrlem6 32030
Description: Lemma for lcfr 32068. Closure of vector sum with colinear vectors. TODO: Move down  N definition so top hypotheses can be shared. (Contributed by NM, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem6.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfrlem6.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfrlem6.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfrlem6.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfrlem6.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
lcfrlem6.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfrlem6.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcfrlem6.q  |-  Q  =  ( LSubSp `  D )
lcfrlem6.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfrlem6.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Q )
lcfrlem6.e  |-  E  = 
U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g ) )
lcfrlem6.x  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
lcfrlem6.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  E )
lcfrlem6.en  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem6  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  E )
Distinct variable groups:    .+ , g    U, g    g, X    g, Y    ph, g
Allowed substitution hints:    D( g)    Q( g)    E( g)    G( g)    H( g)    K( g)    L( g)    N( g)    ._|_ ( g)    W( g)

Proof of Theorem lcfrlem6
StepHypRef Expression
1 lcfrlem6.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
2 lcfrlem6.e . . . . . 6  |-  E  = 
U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g ) )
31, 2syl6eleq 2494 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g
) ) )
4 eliun 4057 . . . . 5  |-  ( X  e.  U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g )
)  <->  E. g  e.  G  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) ) )
53, 4sylib 189 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. g  e.  G  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) ) )
6 lcfrlem6.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 lcfrlem6.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
8 lcfrlem6.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
96, 7, 8dvhlmod 31593 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
109adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  U  e.  LMod )
1110adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  G )  /\  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )  ->  U  e.  LMod )
128adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
14 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  (LFnl `  U )  =  (LFnl `  U )
15 lcfrlem6.l . . . . . . . . . 10  |-  L  =  (LKer `  U )
16 lcfrlem6.g . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  Q )
17 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
18 lcfrlem6.q . . . . . . . . . . . . 13  |-  Q  =  ( LSubSp `  D )
1917, 18lssel 15969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Q  /\  g  e.  G )  ->  g  e.  ( Base `  D ) )
2016, 19sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  g  e.  ( Base `  D
) )
21 lcfrlem6.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  =  (LDual `  U )
2214, 21, 17, 9ldualvbase 29609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Base `  D
)  =  (LFnl `  U ) )
2322adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  ( Base `  D )  =  (LFnl `  U )
)
2420, 23eleqtrd 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  g  e.  (LFnl `  U )
)
2513, 14, 15, 10, 24lkrssv 29579 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  ( L `  g )  C_  ( Base `  U
) )
26 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
27 lcfrlem6.o . . . . . . . . . 10  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
286, 7, 13, 26, 27dochlss 31837 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( L `  g )  C_  ( Base `  U ) )  ->  (  ._|_  `  ( L `  g )
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
2912, 25, 28syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  (  ._|_  `  ( L `  g ) )  e.  ( LSubSp `  U )
)
3029adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  G )  /\  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )  ->  (  ._|_  `  ( L `  g ) )  e.  ( LSubSp `  U )
)
31 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  G )  /\  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )  ->  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )
32 lcfrlem6.en . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )
3332adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )
3433adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  G )  /\  ( N `  { X } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  g ) ) )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )
35 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  G )  /\  ( N `  { X } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  g ) ) )  ->  ( N `  { X } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  g ) ) )
3634, 35eqsstr3d 3343 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  G )  /\  ( N `  { X } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  g ) ) )  ->  ( N `  { Y } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  g ) ) )
3736ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  (
( N `  { X } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  g ) )  -> 
( N `  { Y } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  g ) ) ) )
38 lcfrlem6.n . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( LSpan `  U )
396, 27, 7, 13, 15, 21, 18, 2, 8, 16, 1lcfrlem4 32028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  U ) )
4039adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  X  e.  ( Base `  U
) )
4113, 26, 38, 10, 29, 40lspsnel5 16026 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  ( X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) )  <->  ( N `  { X } ) 
C_  (  ._|_  `  ( L `  g )
) ) )
42 lcfrlem6.y . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  E )
436, 27, 7, 13, 15, 21, 18, 2, 8, 16, 42lcfrlem4 32028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Base `  U ) )
4443adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  Y  e.  ( Base `  U
) )
4513, 26, 38, 10, 29, 44lspsnel5 16026 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  ( Y  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) )  <->  ( N `  { Y } ) 
C_  (  ._|_  `  ( L `  g )
) ) )
4637, 41, 453imtr4d 260 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  ( X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) )  ->  Y  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) ) )
4746imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  G )  /\  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )  ->  Y  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )
48 lcfrlem6.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  U )
4948, 26lssvacl 15985 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  LMod  /\  (  ._|_  `  ( L `
 g ) )  e.  ( LSubSp `  U
) )  /\  ( X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) )  /\  Y  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) ) )  -> 
( X  .+  Y
)  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) ) )
5011, 30, 31, 47, 49syl22anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  G )  /\  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `
 g ) ) )
5150ex 424 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  ( X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `
 g ) ) ) )
5251reximdva 2778 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. g  e.  G  X  e.  ( 
._|_  `  ( L `  g ) )  ->  E. g  e.  G  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) ) )
535, 52mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  E. g  e.  G  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )
54 eliun 4057 . . 3  |-  ( ( X  .+  Y )  e.  U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g )
)  <->  E. g  e.  G  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )
5553, 54sylibr 204 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g
) ) )
5655, 2syl6eleqr 2495 1  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667    C_ wss 3280   {csn 3774   U_ciun 4053   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   LModclmod 15905   LSubSpclss 15963   LSpanclspn 16002  LFnlclfn 29540  LKerclk 29568  LDualcld 29606   HLchlt 29833   LHypclh 30466   DVecHcdvh 31561   ocHcoch 31830
This theorem is referenced by:  lcfrlem41  32066
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-undef 6502  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-0g 13682  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-subg 14896  df-cntz 15071  df-lsm 15225  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-drng 15792  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-lvec 16130  df-lfl 29541  df-lkr 29569  df-ldual 29607  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982  df-lines 29983  df-psubsp 29985  df-pmap 29986  df-padd 30278  df-lhyp 30470  df-laut 30471  df-ldil 30586  df-ltrn 30587  df-trl 30641  df-tendo 31237  df-edring 31239  df-disoa 31512  df-dvech 31562  df-dib 31622  df-dic 31656  df-dih 31712  df-doch 31831
  Copyright terms: Public domain W3C validator