Theorem lcfrlem6 37726

Description: Lemma for lcfr 37764. Closure of vector sum with colinear vectors. TODO: Move down N definition so top hypotheses can be shared. (Contributed by NM, 10-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrlem6.h	|- H = ( LHyp ` K )
lcfrlem6.o	|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
lcfrlem6.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
lcfrlem6.p	|- .+ = ( +g ` U )
lcfrlem6.n	|- N = ( LSpan ` U )
lcfrlem6.l	|- L = (LKer ` U )
lcfrlem6.d	|- D = (LDual ` U )
lcfrlem6.q	|- Q = ( LSubSp ` D )
lcfrlem6.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
lcfrlem6.g	|- ( ph -> G e. Q )
lcfrlem6.e	|- E = U_ g e. G ( ._|_ ` ( L ` g ) )
lcfrlem6.x	|- ( ph -> X e. E )
lcfrlem6.y	|- ( ph -> Y e. E )
lcfrlem6.en	|- ( ph -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem6	|- ( ph -> ( X .+ Y ) e. E )

Distinct variable groups:   .+ , g   U, g   g, X   g, Y   ph, g

Allowed substitution hints:   D( g)   Q( g)   E( g)   G( g)   H( g)   K( g)   L( g)   N( g)   ._|_ ( g)   W( g)

Proof of Theorem lcfrlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrlem6.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. E )
2		lcfrlem6.e	. . . . . 6 |- E = U_ g e. G ( ._|_ ` ( L ` g ) )
3	1, 2	syl6eleq 2494	. . . . 5 |- ( ph -> X e. U_ g e. G ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
4		eliun 4265	. . . . 5 |- ( X e. U_ g e. G ( ._|_ ` ( L ` g ) ) <-> E. g e. G X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
5	3, 4	sylib 196	. . . 4 |- ( ph -> E. g e. G X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
6		lcfrlem6.h	. . . . . . . . . 10 |- H = ( LHyp ` K )
7		lcfrlem6.u	. . . . . . . . . 10 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
8		lcfrlem6.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
9	6, 7, 8	dvhlmod 37289	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U e. LMod )
10	9	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> U e. LMod )
11	10	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ g e. G ) /\ X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) -> U e. LMod )
12	8	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
13		eqid 2396	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` U ) = ( Base ` U )
14		eqid 2396	. . . . . . . . . 10 |- (LFnl ` U ) = (LFnl ` U )
15		lcfrlem6.l	. . . . . . . . . 10 |- L = (LKer ` U )
16		lcfrlem6.g	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G e. Q )
17		eqid 2396	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` D ) = ( Base ` D )
18		lcfrlem6.q	. . . . . . . . . . . . 13 |- Q = ( LSubSp ` D )
19	17, 18	lssel 17720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Q /\ g e. G ) -> g e. ( Base ` D ) )
20	16, 19	sylan 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> g e. ( Base ` D ) )
21		lcfrlem6.d	. . . . . . . . . . . . 13 |- D = (LDual ` U )
22	14, 21, 17, 9	ldualvbase 35303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Base ` D ) = (LFnl ` U ) )
23	22	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( Base ` D ) = (LFnl ` U ) )
24	20, 23	eleqtrd 2486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> g e. (LFnl ` U ) )
25	13, 14, 15, 10, 24	lkrssv 35273	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( L ` g ) C_ ( Base ` U ) )
26		eqid 2396	. . . . . . . . . 10 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
27		lcfrlem6.o	. . . . . . . . . 10 |- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
28	6, 7, 13, 26, 27	dochlss 37533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( L ` g ) C_ ( Base ` U ) ) -> ( ._|_ ` ( L ` g ) ) e. ( LSubSp ` U ) )
29	12, 25, 28	syl2anc 659	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( ._|_ ` ( L ` g ) ) e. ( LSubSp ` U ) )
30	29	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ g e. G ) /\ X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) -> ( ._|_ ` ( L ` g ) ) e. ( LSubSp ` U ) )
31		simpr 459	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ g e. G ) /\ X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) -> X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
32		lcfrlem6.en	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )
33	32	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )
34	33	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g e. G ) /\ ( N ` { X } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )
35		simpr 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g e. G ) /\ ( N ` { X } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) -> ( N ` { X } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
36	34, 35	eqsstr3d 3469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g e. G ) /\ ( N ` { X } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) -> ( N ` { Y } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
37	36	ex 432	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( ( N ` { X } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) -> ( N ` { Y } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) )
38		lcfrlem6.n	. . . . . . . . . 10 |- N = ( LSpan ` U )
39	6, 27, 7, 13, 15, 21, 18, 2, 8, 16, 1	lcfrlem4 37724	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. ( Base ` U ) )
40	39	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> X e. ( Base ` U ) )
41	13, 26, 38, 10, 29, 40	lspsnel5 17777	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) <-> ( N ` { X } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) )
42		lcfrlem6.y	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y e. E )
43	6, 27, 7, 13, 15, 21, 18, 2, 8, 16, 42	lcfrlem4 37724	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. ( Base ` U ) )
44	43	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> Y e. ( Base ` U ) )
45	13, 26, 38, 10, 29, 44	lspsnel5 17777	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( Y e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) <-> ( N ` { Y } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) )
46	37, 41, 45	3imtr4d 268	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) -> Y e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) )
47	46	imp 427	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ g e. G ) /\ X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) -> Y e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
48		lcfrlem6.p	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` U )
49	48, 26	lssvacl 17736	. . . . . . 7 |- ( ( ( U e. LMod /\ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) e. ( LSubSp ` U ) ) /\ ( X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) /\ Y e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) ) -> ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
50	11, 30, 31, 47, 49	syl22anc 1227	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ g e. G ) /\ X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) -> ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
51	50	ex 432	. . . . 5 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) -> ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) )
52	51	reximdva 2871	. . . 4 |- ( ph -> ( E. g e. G X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) -> E. g e. G ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) )
53	5, 52	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> E. g e. G ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
54		eliun 4265	. . 3 |- ( ( X .+ Y ) e. U_ g e. G ( ._|_ ` ( L ` g ) ) <-> E. g e. G ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
55	53, 54	sylibr 212	. 2 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. U_ g e. G ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
56	55, 2	syl6eleqr 2495	1 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1399   e. wcel 1836   E.wrex 2747   C_ wss 3406   {csn 3961   U_ciun 4260   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   Basecbs 14657   +g cplusg 14725   LModclmod 17648   LSubSpclss 17714   LSpanclspn 17753  LFnlclfn 35234  LKerclk 35262  LDualcld 35300   HLchlt 35527   LHypclh 36160   DVecHcdvh 37257   ocHcoch 37526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502  ax-riotaBAD 35136

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-iin 4263  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-of 6461  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-tpos 6895  df-undef 6942  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-1o 7070  df-oadd 7074  df-er 7251  df-map 7362  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-fin 7461  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-4 10535  df-5 10536  df-6 10537  df-n0 10735  df-z 10804  df-uz 11024  df-fz 11616  df-struct 14659  df-ndx 14660  df-slot 14661  df-base 14662  df-sets 14663  df-ress 14664  df-plusg 14738  df-mulr 14739  df-sca 14741  df-vsca 14742  df-0g 14872  df-preset 15697  df-poset 15715  df-plt 15728  df-lub 15744  df-glb 15745  df-join 15746  df-meet 15747  df-p0 15809  df-p1 15810  df-lat 15816  df-clat 15878  df-mgm 16012  df-sgrp 16051  df-mnd 16061  df-submnd 16107  df-grp 16197  df-minusg 16198  df-sbg 16199  df-subg 16338  df-cntz 16495  df-lsm 16796  df-cmn 16940  df-abl 16941  df-mgp 17278  df-ur 17290  df-ring 17336  df-oppr 17408  df-dvdsr 17426  df-unit 17427  df-invr 17457  df-dvr 17468  df-drng 17534  df-lmod 17650  df-lss 17715  df-lsp 17754  df-lvec 17885  df-lfl 35235  df-lkr 35263  df-ldual 35301  df-oposet 35353  df-ol 35355  df-oml 35356  df-covers 35443  df-ats 35444  df-atl 35475  df-cvlat 35499  df-hlat 35528  df-llines 35674  df-lplanes 35675  df-lvols 35676  df-lines 35677  df-psubsp 35679  df-pmap 35680  df-padd 35972  df-lhyp 36164  df-laut 36165  df-ldil 36280  df-ltrn 36281  df-trl 36336  df-tendo 36933  df-edring 36935  df-disoa 37208  df-dvech 37258  df-dib 37318  df-dic 37352  df-dih 37408  df-doch 37527

This theorem is referenced by:  lcfrlem41  37762