Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem6 Structured version   Unicode version

Theorem lcfrlem6 35211
Description: Lemma for lcfr 35249. Closure of vector sum with colinear vectors. TODO: Move down  N definition so top hypotheses can be shared. (Contributed by NM, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem6.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfrlem6.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfrlem6.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfrlem6.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfrlem6.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
lcfrlem6.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfrlem6.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcfrlem6.q  |-  Q  =  ( LSubSp `  D )
lcfrlem6.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfrlem6.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Q )
lcfrlem6.e  |-  E  = 
U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g ) )
lcfrlem6.x  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
lcfrlem6.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  E )
lcfrlem6.en  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem6  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  E )
Distinct variable groups:    .+ , g    U, g    g, X    g, Y    ph, g
Allowed substitution hints:    D( g)    Q( g)    E( g)    G( g)    H( g)    K( g)    L( g)    N( g)    ._|_ ( g)    W( g)

Proof of Theorem lcfrlem6
StepHypRef Expression
1 lcfrlem6.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
2 lcfrlem6.e . . . . . 6  |-  E  = 
U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g ) )
31, 2syl6eleq 2533 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g
) ) )
4 eliun 4190 . . . . 5  |-  ( X  e.  U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g )
)  <->  E. g  e.  G  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) ) )
53, 4sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. g  e.  G  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) ) )
6 lcfrlem6.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 lcfrlem6.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
8 lcfrlem6.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
96, 7, 8dvhlmod 34774 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
109adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  U  e.  LMod )
1110adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  G )  /\  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )  ->  U  e.  LMod )
128adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
14 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  (LFnl `  U )  =  (LFnl `  U )
15 lcfrlem6.l . . . . . . . . . 10  |-  L  =  (LKer `  U )
16 lcfrlem6.g . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  Q )
17 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
18 lcfrlem6.q . . . . . . . . . . . . 13  |-  Q  =  ( LSubSp `  D )
1917, 18lssel 17034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Q  /\  g  e.  G )  ->  g  e.  ( Base `  D ) )
2016, 19sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  g  e.  ( Base `  D
) )
21 lcfrlem6.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  =  (LDual `  U )
2214, 21, 17, 9ldualvbase 32790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Base `  D
)  =  (LFnl `  U ) )
2322adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  ( Base `  D )  =  (LFnl `  U )
)
2420, 23eleqtrd 2519 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  g  e.  (LFnl `  U )
)
2513, 14, 15, 10, 24lkrssv 32760 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  ( L `  g )  C_  ( Base `  U
) )
26 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
27 lcfrlem6.o . . . . . . . . . 10  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
286, 7, 13, 26, 27dochlss 35018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( L `  g )  C_  ( Base `  U ) )  ->  (  ._|_  `  ( L `  g )
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
2912, 25, 28syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  (  ._|_  `  ( L `  g ) )  e.  ( LSubSp `  U )
)
3029adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  G )  /\  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )  ->  (  ._|_  `  ( L `  g ) )  e.  ( LSubSp `  U )
)
31 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  G )  /\  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )  ->  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )
32 lcfrlem6.en . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )
3332adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )
3433adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  G )  /\  ( N `  { X } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  g ) ) )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )
35 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  G )  /\  ( N `  { X } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  g ) ) )  ->  ( N `  { X } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  g ) ) )
3634, 35eqsstr3d 3406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  G )  /\  ( N `  { X } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  g ) ) )  ->  ( N `  { Y } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  g ) ) )
3736ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  (
( N `  { X } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  g ) )  -> 
( N `  { Y } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  g ) ) ) )
38 lcfrlem6.n . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( LSpan `  U )
396, 27, 7, 13, 15, 21, 18, 2, 8, 16, 1lcfrlem4 35209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  U ) )
4039adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  X  e.  ( Base `  U
) )
4113, 26, 38, 10, 29, 40lspsnel5 17091 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  ( X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) )  <->  ( N `  { X } ) 
C_  (  ._|_  `  ( L `  g )
) ) )
42 lcfrlem6.y . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  E )
436, 27, 7, 13, 15, 21, 18, 2, 8, 16, 42lcfrlem4 35209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Base `  U ) )
4443adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  Y  e.  ( Base `  U
) )
4513, 26, 38, 10, 29, 44lspsnel5 17091 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  ( Y  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) )  <->  ( N `  { Y } ) 
C_  (  ._|_  `  ( L `  g )
) ) )
4637, 41, 453imtr4d 268 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  ( X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) )  ->  Y  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) ) )
4746imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  G )  /\  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )  ->  Y  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )
48 lcfrlem6.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  U )
4948, 26lssvacl 17050 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  LMod  /\  (  ._|_  `  ( L `
 g ) )  e.  ( LSubSp `  U
) )  /\  ( X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) )  /\  Y  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) ) )  -> 
( X  .+  Y
)  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) ) )
5011, 30, 31, 47, 49syl22anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  G )  /\  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `
 g ) ) )
5150ex 434 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  ( X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `
 g ) ) ) )
5251reximdva 2843 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. g  e.  G  X  e.  ( 
._|_  `  ( L `  g ) )  ->  E. g  e.  G  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) ) )
535, 52mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  E. g  e.  G  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )
54 eliun 4190 . . 3  |-  ( ( X  .+  Y )  e.  U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g )
)  <->  E. g  e.  G  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )
5553, 54sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g
) ) )
5655, 2syl6eleqr 2534 1  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2731    C_ wss 3343   {csn 3892   U_ciun 4186   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   Basecbs 14189   +g cplusg 14253   LModclmod 16963   LSubSpclss 17028   LSpanclspn 17067  LFnlclfn 32721  LKerclk 32749  LDualcld 32787   HLchlt 33014   LHypclh 33647   DVecHcdvh 34742   ocHcoch 35011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-riotaBAD 32623
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-iin 4189  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-of 6335  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-tpos 6760  df-undef 6807  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-oadd 6939  df-er 7116  df-map 7231  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-4 10397  df-5 10398  df-6 10399  df-n0 10595  df-z 10662  df-uz 10877  df-fz 11453  df-struct 14191  df-ndx 14192  df-slot 14193  df-base 14194  df-sets 14195  df-ress 14196  df-plusg 14266  df-mulr 14267  df-sca 14269  df-vsca 14270  df-0g 14395  df-poset 15131  df-plt 15143  df-lub 15159  df-glb 15160  df-join 15161  df-meet 15162  df-p0 15224  df-p1 15225  df-lat 15231  df-clat 15293  df-mnd 15430  df-submnd 15480  df-grp 15560  df-minusg 15561  df-sbg 15562  df-subg 15693  df-cntz 15850  df-lsm 16150  df-cmn 16294  df-abl 16295  df-mgp 16607  df-ur 16619  df-rng 16662  df-oppr 16730  df-dvdsr 16748  df-unit 16749  df-invr 16779  df-dvr 16790  df-drng 16849  df-lmod 16965  df-lss 17029  df-lsp 17068  df-lvec 17199  df-lfl 32722  df-lkr 32750  df-ldual 32788  df-oposet 32840  df-ol 32842  df-oml 32843  df-covers 32930  df-ats 32931  df-atl 32962  df-cvlat 32986  df-hlat 33015  df-llines 33161  df-lplanes 33162  df-lvols 33163  df-lines 33164  df-psubsp 33166  df-pmap 33167  df-padd 33459  df-lhyp 33651  df-laut 33652  df-ldil 33767  df-ltrn 33768  df-trl 33822  df-tendo 34418  df-edring 34420  df-disoa 34693  df-dvech 34743  df-dib 34803  df-dic 34837  df-dih 34893  df-doch 35012
This theorem is referenced by:  lcfrlem41  35247
  Copyright terms: Public domain W3C validator