Theorem lcfrlem6 35211

Description: Lemma for lcfr 35249. Closure of vector sum with colinear vectors. TODO: Move down N definition so top hypotheses can be shared. (Contributed by NM, 10-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrlem6.h	|- H = ( LHyp ` K )
lcfrlem6.o	|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
lcfrlem6.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
lcfrlem6.p	|- .+ = ( +g ` U )
lcfrlem6.n	|- N = ( LSpan ` U )
lcfrlem6.l	|- L = (LKer ` U )
lcfrlem6.d	|- D = (LDual ` U )
lcfrlem6.q	|- Q = ( LSubSp ` D )
lcfrlem6.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
lcfrlem6.g	|- ( ph -> G e. Q )
lcfrlem6.e	|- E = U_ g e. G ( ._|_ ` ( L ` g ) )
lcfrlem6.x	|- ( ph -> X e. E )
lcfrlem6.y	|- ( ph -> Y e. E )
lcfrlem6.en	|- ( ph -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem6	|- ( ph -> ( X .+ Y ) e. E )

Distinct variable groups:   .+ , g   U, g   g, X   g, Y   ph, g

Allowed substitution hints:   D( g)   Q( g)   E( g)   G( g)   H( g)   K( g)   L( g)   N( g)   ._|_ ( g)   W( g)

Proof of Theorem lcfrlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrlem6.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. E )
2		lcfrlem6.e	. . . . . 6 |- E = U_ g e. G ( ._|_ ` ( L ` g ) )
3	1, 2	syl6eleq 2533	. . . . 5 |- ( ph -> X e. U_ g e. G ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
4		eliun 4190	. . . . 5 |- ( X e. U_ g e. G ( ._|_ ` ( L ` g ) ) <-> E. g e. G X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
5	3, 4	sylib 196	. . . 4 |- ( ph -> E. g e. G X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
6		lcfrlem6.h	. . . . . . . . . 10 |- H = ( LHyp ` K )
7		lcfrlem6.u	. . . . . . . . . 10 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
8		lcfrlem6.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
9	6, 7, 8	dvhlmod 34774	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U e. LMod )
10	9	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> U e. LMod )
11	10	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ g e. G ) /\ X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) -> U e. LMod )
12	8	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
13		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` U ) = ( Base ` U )
14		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- (LFnl ` U ) = (LFnl ` U )
15		lcfrlem6.l	. . . . . . . . . 10 |- L = (LKer ` U )
16		lcfrlem6.g	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G e. Q )
17		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` D ) = ( Base ` D )
18		lcfrlem6.q	. . . . . . . . . . . . 13 |- Q = ( LSubSp ` D )
19	17, 18	lssel 17034	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Q /\ g e. G ) -> g e. ( Base ` D ) )
20	16, 19	sylan 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> g e. ( Base ` D ) )
21		lcfrlem6.d	. . . . . . . . . . . . 13 |- D = (LDual ` U )
22	14, 21, 17, 9	ldualvbase 32790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Base ` D ) = (LFnl ` U ) )
23	22	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( Base ` D ) = (LFnl ` U ) )
24	20, 23	eleqtrd 2519	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> g e. (LFnl ` U ) )
25	13, 14, 15, 10, 24	lkrssv 32760	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( L ` g ) C_ ( Base ` U ) )
26		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
27		lcfrlem6.o	. . . . . . . . . 10 |- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
28	6, 7, 13, 26, 27	dochlss 35018	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( L ` g ) C_ ( Base ` U ) ) -> ( ._|_ ` ( L ` g ) ) e. ( LSubSp ` U ) )
29	12, 25, 28	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( ._|_ ` ( L ` g ) ) e. ( LSubSp ` U ) )
30	29	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ g e. G ) /\ X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) -> ( ._|_ ` ( L ` g ) ) e. ( LSubSp ` U ) )
31		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ g e. G ) /\ X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) -> X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
32		lcfrlem6.en	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )
33	32	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )
34	33	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g e. G ) /\ ( N ` { X } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )
35		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g e. G ) /\ ( N ` { X } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) -> ( N ` { X } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
36	34, 35	eqsstr3d 3406	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g e. G ) /\ ( N ` { X } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) -> ( N ` { Y } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
37	36	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( ( N ` { X } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) -> ( N ` { Y } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) )
38		lcfrlem6.n	. . . . . . . . . 10 |- N = ( LSpan ` U )
39	6, 27, 7, 13, 15, 21, 18, 2, 8, 16, 1	lcfrlem4 35209	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. ( Base ` U ) )
40	39	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> X e. ( Base ` U ) )
41	13, 26, 38, 10, 29, 40	lspsnel5 17091	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) <-> ( N ` { X } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) )
42		lcfrlem6.y	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y e. E )
43	6, 27, 7, 13, 15, 21, 18, 2, 8, 16, 42	lcfrlem4 35209	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. ( Base ` U ) )
44	43	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> Y e. ( Base ` U ) )
45	13, 26, 38, 10, 29, 44	lspsnel5 17091	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( Y e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) <-> ( N ` { Y } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) )
46	37, 41, 45	3imtr4d 268	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) -> Y e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) )
47	46	imp 429	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ g e. G ) /\ X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) -> Y e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
48		lcfrlem6.p	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` U )
49	48, 26	lssvacl 17050	. . . . . . 7 |- ( ( ( U e. LMod /\ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) e. ( LSubSp ` U ) ) /\ ( X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) /\ Y e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) ) -> ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
50	11, 30, 31, 47, 49	syl22anc 1219	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ g e. G ) /\ X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) -> ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
51	50	ex 434	. . . . 5 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) -> ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) )
52	51	reximdva 2843	. . . 4 |- ( ph -> ( E. g e. G X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) -> E. g e. G ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) )
53	5, 52	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> E. g e. G ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
54		eliun 4190	. . 3 |- ( ( X .+ Y ) e. U_ g e. G ( ._|_ ` ( L ` g ) ) <-> E. g e. G ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
55	53, 54	sylibr 212	. 2 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. U_ g e. G ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
56	55, 2	syl6eleqr 2534	1 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   E.wrex 2731   C_ wss 3343   {csn 3892   U_ciun 4186   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   Basecbs 14189   +g cplusg 14253   LModclmod 16963   LSubSpclss 17028   LSpanclspn 17067  LFnlclfn 32721  LKerclk 32749  LDualcld 32787   HLchlt 33014   LHypclh 33647   DVecHcdvh 34742   ocHcoch 35011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-riotaBAD 32623

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-iin 4189  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-of 6335  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-tpos 6760  df-undef 6807  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-oadd 6939  df-er 7116  df-map 7231  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-4 10397  df-5 10398  df-6 10399  df-n0 10595  df-z 10662  df-uz 10877  df-fz 11453  df-struct 14191  df-ndx 14192  df-slot 14193  df-base 14194  df-sets 14195  df-ress 14196  df-plusg 14266  df-mulr 14267  df-sca 14269  df-vsca 14270  df-0g 14395  df-poset 15131  df-plt 15143  df-lub 15159  df-glb 15160  df-join 15161  df-meet 15162  df-p0 15224  df-p1 15225  df-lat 15231  df-clat 15293  df-mnd 15430  df-submnd 15480  df-grp 15560  df-minusg 15561  df-sbg 15562  df-subg 15693  df-cntz 15850  df-lsm 16150  df-cmn 16294  df-abl 16295  df-mgp 16607  df-ur 16619  df-rng 16662  df-oppr 16730  df-dvdsr 16748  df-unit 16749  df-invr 16779  df-dvr 16790  df-drng 16849  df-lmod 16965  df-lss 17029  df-lsp 17068  df-lvec 17199  df-lfl 32722  df-lkr 32750  df-ldual 32788  df-oposet 32840  df-ol 32842  df-oml 32843  df-covers 32930  df-ats 32931  df-atl 32962  df-cvlat 32986  df-hlat 33015  df-llines 33161  df-lplanes 33162  df-lvols 33163  df-lines 33164  df-psubsp 33166  df-pmap 33167  df-padd 33459  df-lhyp 33651  df-laut 33652  df-ldil 33767  df-ltrn 33768  df-trl 33822  df-tendo 34418  df-edring 34420  df-disoa 34693  df-dvech 34743  df-dib 34803  df-dic 34837  df-dih 34893  df-doch 35012

This theorem is referenced by:  lcfrlem41  35247