Theorem lcfrlem6 34914

Description: Lemma for lcfr 34952. Closure of vector sum with colinear vectors. TODO: Move down N definition so top hypotheses can be shared. (Contributed by NM, 10-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrlem6.h	|- H = ( LHyp ` K )
lcfrlem6.o	|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
lcfrlem6.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
lcfrlem6.p	|- .+ = ( +g ` U )
lcfrlem6.n	|- N = ( LSpan ` U )
lcfrlem6.l	|- L = (LKer ` U )
lcfrlem6.d	|- D = (LDual ` U )
lcfrlem6.q	|- Q = ( LSubSp ` D )
lcfrlem6.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
lcfrlem6.g	|- ( ph -> G e. Q )
lcfrlem6.e	|- E = U_ g e. G ( ._|_ ` ( L ` g ) )
lcfrlem6.x	|- ( ph -> X e. E )
lcfrlem6.y	|- ( ph -> Y e. E )
lcfrlem6.en	|- ( ph -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem6	|- ( ph -> ( X .+ Y ) e. E )

Distinct variable groups:   .+ , g   U, g   g, X   g, Y   ph, g

Allowed substitution hints:   D( g)   Q( g)   E( g)   G( g)   H( g)   K( g)   L( g)   N( g)   ._|_ ( g)   W( g)

Proof of Theorem lcfrlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrlem6.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. E )
2		lcfrlem6.e	. . . . . 6 |- E = U_ g e. G ( ._|_ ` ( L ` g ) )
3	1, 2	syl6eleq 2531	. . . . 5 |- ( ph -> X e. U_ g e. G ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
4		eliun 4172	. . . . 5 |- ( X e. U_ g e. G ( ._|_ ` ( L ` g ) ) <-> E. g e. G X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
5	3, 4	sylib 196	. . . 4 |- ( ph -> E. g e. G X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
6		lcfrlem6.h	. . . . . . . . . 10 |- H = ( LHyp ` K )
7		lcfrlem6.u	. . . . . . . . . 10 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
8		lcfrlem6.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
9	6, 7, 8	dvhlmod 34477	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U e. LMod )
10	9	adantr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> U e. LMod )
11	10	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ g e. G ) /\ X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) -> U e. LMod )
12	8	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
13		eqid 2441	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` U ) = ( Base ` U )
14		eqid 2441	. . . . . . . . . 10 |- (LFnl ` U ) = (LFnl ` U )
15		lcfrlem6.l	. . . . . . . . . 10 |- L = (LKer ` U )
16		lcfrlem6.g	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G e. Q )
17		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` D ) = ( Base ` D )
18		lcfrlem6.q	. . . . . . . . . . . . 13 |- Q = ( LSubSp ` D )
19	17, 18	lssel 16997	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Q /\ g e. G ) -> g e. ( Base ` D ) )
20	16, 19	sylan 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> g e. ( Base ` D ) )
21		lcfrlem6.d	. . . . . . . . . . . . 13 |- D = (LDual ` U )
22	14, 21, 17, 9	ldualvbase 32493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Base ` D ) = (LFnl ` U ) )
23	22	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( Base ` D ) = (LFnl ` U ) )
24	20, 23	eleqtrd 2517	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> g e. (LFnl ` U ) )
25	13, 14, 15, 10, 24	lkrssv 32463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( L ` g ) C_ ( Base ` U ) )
26		eqid 2441	. . . . . . . . . 10 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
27		lcfrlem6.o	. . . . . . . . . 10 |- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
28	6, 7, 13, 26, 27	dochlss 34721	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( L ` g ) C_ ( Base ` U ) ) -> ( ._|_ ` ( L ` g ) ) e. ( LSubSp ` U ) )
29	12, 25, 28	syl2anc 656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( ._|_ ` ( L ` g ) ) e. ( LSubSp ` U ) )
30	29	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ g e. G ) /\ X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) -> ( ._|_ ` ( L ` g ) ) e. ( LSubSp ` U ) )
31		simpr 458	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ g e. G ) /\ X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) -> X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
32		lcfrlem6.en	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )
33	32	adantr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )
34	33	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g e. G ) /\ ( N ` { X } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )
35		simpr 458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g e. G ) /\ ( N ` { X } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) -> ( N ` { X } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
36	34, 35	eqsstr3d 3388	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g e. G ) /\ ( N ` { X } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) -> ( N ` { Y } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
37	36	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( ( N ` { X } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) -> ( N ` { Y } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) )
38		lcfrlem6.n	. . . . . . . . . 10 |- N = ( LSpan ` U )
39	6, 27, 7, 13, 15, 21, 18, 2, 8, 16, 1	lcfrlem4 34912	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. ( Base ` U ) )
40	39	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> X e. ( Base ` U ) )
41	13, 26, 38, 10, 29, 40	lspsnel5 17054	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) <-> ( N ` { X } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) )
42		lcfrlem6.y	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y e. E )
43	6, 27, 7, 13, 15, 21, 18, 2, 8, 16, 42	lcfrlem4 34912	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. ( Base ` U ) )
44	43	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> Y e. ( Base ` U ) )
45	13, 26, 38, 10, 29, 44	lspsnel5 17054	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( Y e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) <-> ( N ` { Y } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) )
46	37, 41, 45	3imtr4d 268	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) -> Y e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) )
47	46	imp 429	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ g e. G ) /\ X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) -> Y e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
48		lcfrlem6.p	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` U )
49	48, 26	lssvacl 17013	. . . . . . 7 |- ( ( ( U e. LMod /\ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) e. ( LSubSp ` U ) ) /\ ( X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) /\ Y e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) ) -> ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
50	11, 30, 31, 47, 49	syl22anc 1214	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ g e. G ) /\ X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) -> ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
51	50	ex 434	. . . . 5 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) -> ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) )
52	51	reximdva 2826	. . . 4 |- ( ph -> ( E. g e. G X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) -> E. g e. G ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) )
53	5, 52	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> E. g e. G ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
54		eliun 4172	. . 3 |- ( ( X .+ Y ) e. U_ g e. G ( ._|_ ` ( L ` g ) ) <-> E. g e. G ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
55	53, 54	sylibr 212	. 2 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. U_ g e. G ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
56	55, 2	syl6eleqr 2532	1 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   E.wrex 2714   C_ wss 3325   {csn 3874   U_ciun 4168   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   LModclmod 16928   LSubSpclss 16991   LSpanclspn 17030  LFnlclfn 32424  LKerclk 32452  LDualcld 32490   HLchlt 32717   LHypclh 33350   DVecHcdvh 34445   ocHcoch 34714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-riotaBAD 32326

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-tpos 6744  df-undef 6788  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-0g 14376  df-poset 15112  df-plt 15124  df-lub 15140  df-glb 15141  df-join 15142  df-meet 15143  df-p0 15205  df-p1 15206  df-lat 15212  df-clat 15274  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-subg 15671  df-cntz 15828  df-lsm 16128  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-dvr 16765  df-drng 16814  df-lmod 16930  df-lss 16992  df-lsp 17031  df-lvec 17162  df-lfl 32425  df-lkr 32453  df-ldual 32491  df-oposet 32543  df-ol 32545  df-oml 32546  df-covers 32633  df-ats 32634  df-atl 32665  df-cvlat 32689  df-hlat 32718  df-llines 32864  df-lplanes 32865  df-lvols 32866  df-lines 32867  df-psubsp 32869  df-pmap 32870  df-padd 33162  df-lhyp 33354  df-laut 33355  df-ldil 33470  df-ltrn 33471  df-trl 33525  df-tendo 34121  df-edring 34123  df-disoa 34396  df-dvech 34446  df-dib 34506  df-dic 34540  df-dih 34596  df-doch 34715

This theorem is referenced by:  lcfrlem41  34950