Theorem lcfrlem6 35160

Description: Lemma for lcfr 35198. Closure of vector sum with colinear vectors. TODO: Move down N definition so top hypotheses can be shared. (Contributed by NM, 10-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrlem6.h	|- H = ( LHyp ` K )
lcfrlem6.o	|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
lcfrlem6.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
lcfrlem6.p	|- .+ = ( +g ` U )
lcfrlem6.n	|- N = ( LSpan ` U )
lcfrlem6.l	|- L = (LKer ` U )
lcfrlem6.d	|- D = (LDual ` U )
lcfrlem6.q	|- Q = ( LSubSp ` D )
lcfrlem6.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
lcfrlem6.g	|- ( ph -> G e. Q )
lcfrlem6.e	|- E = U_ g e. G ( ._|_ ` ( L ` g ) )
lcfrlem6.x	|- ( ph -> X e. E )
lcfrlem6.y	|- ( ph -> Y e. E )
lcfrlem6.en	|- ( ph -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem6	|- ( ph -> ( X .+ Y ) e. E )

Distinct variable groups:   .+ , g   U, g   g, X   g, Y   ph, g

Allowed substitution hints:   D( g)   Q( g)   E( g)   G( g)   H( g)   K( g)   L( g)   N( g)   ._|_ ( g)   W( g)

Proof of Theorem lcfrlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrlem6.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. E )
2		lcfrlem6.e	. . . . . 6 |- E = U_ g e. G ( ._|_ ` ( L ` g ) )
3	1, 2	syl6eleq 2550	. . . . 5 |- ( ph -> X e. U_ g e. G ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
4		eliun 4297	. . . . 5 |- ( X e. U_ g e. G ( ._|_ ` ( L ` g ) ) <-> E. g e. G X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
5	3, 4	sylib 201	. . . 4 |- ( ph -> E. g e. G X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
6		lcfrlem6.h	. . . . . . . . . 10 |- H = ( LHyp ` K )
7		lcfrlem6.u	. . . . . . . . . 10 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
8		lcfrlem6.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
9	6, 7, 8	dvhlmod 34723	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U e. LMod )
10	9	adantr 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> U e. LMod )
11	10	adantr 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ g e. G ) /\ X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) -> U e. LMod )
12	8	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
13		eqid 2462	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` U ) = ( Base ` U )
14		eqid 2462	. . . . . . . . . 10 |- (LFnl ` U ) = (LFnl ` U )
15		lcfrlem6.l	. . . . . . . . . 10 |- L = (LKer ` U )
16		lcfrlem6.g	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G e. Q )
17		eqid 2462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` D ) = ( Base ` D )
18		lcfrlem6.q	. . . . . . . . . . . . 13 |- Q = ( LSubSp ` D )
19	17, 18	lssel 18210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Q /\ g e. G ) -> g e. ( Base ` D ) )
20	16, 19	sylan 478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> g e. ( Base ` D ) )
21		lcfrlem6.d	. . . . . . . . . . . . 13 |- D = (LDual ` U )
22	14, 21, 17, 9	ldualvbase 32737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Base ` D ) = (LFnl ` U ) )
23	22	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( Base ` D ) = (LFnl ` U ) )
24	20, 23	eleqtrd 2542	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> g e. (LFnl ` U ) )
25	13, 14, 15, 10, 24	lkrssv 32707	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( L ` g ) C_ ( Base ` U ) )
26		eqid 2462	. . . . . . . . . 10 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
27		lcfrlem6.o	. . . . . . . . . 10 |- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
28	6, 7, 13, 26, 27	dochlss 34967	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( L ` g ) C_ ( Base ` U ) ) -> ( ._|_ ` ( L ` g ) ) e. ( LSubSp ` U ) )
29	12, 25, 28	syl2anc 671	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( ._|_ ` ( L ` g ) ) e. ( LSubSp ` U ) )
30	29	adantr 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ g e. G ) /\ X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) -> ( ._|_ ` ( L ` g ) ) e. ( LSubSp ` U ) )
31		simpr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ g e. G ) /\ X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) -> X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
32		lcfrlem6.en	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )
33	32	adantr 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )
34	33	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g e. G ) /\ ( N ` { X } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )
35		simpr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g e. G ) /\ ( N ` { X } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) -> ( N ` { X } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
36	34, 35	eqsstr3d 3479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g e. G ) /\ ( N ` { X } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) -> ( N ` { Y } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
37	36	ex 440	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( ( N ` { X } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) -> ( N ` { Y } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) )
38		lcfrlem6.n	. . . . . . . . . 10 |- N = ( LSpan ` U )
39	6, 27, 7, 13, 15, 21, 18, 2, 8, 16, 1	lcfrlem4 35158	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. ( Base ` U ) )
40	39	adantr 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> X e. ( Base ` U ) )
41	13, 26, 38, 10, 29, 40	lspsnel5 18267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) <-> ( N ` { X } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) )
42		lcfrlem6.y	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y e. E )
43	6, 27, 7, 13, 15, 21, 18, 2, 8, 16, 42	lcfrlem4 35158	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. ( Base ` U ) )
44	43	adantr 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> Y e. ( Base ` U ) )
45	13, 26, 38, 10, 29, 44	lspsnel5 18267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( Y e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) <-> ( N ` { Y } ) C_ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) )
46	37, 41, 45	3imtr4d 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) -> Y e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) )
47	46	imp 435	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ g e. G ) /\ X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) -> Y e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
48		lcfrlem6.p	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` U )
49	48, 26	lssvacl 18226	. . . . . . 7 |- ( ( ( U e. LMod /\ ( ._|_ ` ( L ` g ) ) e. ( LSubSp ` U ) ) /\ ( X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) /\ Y e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) ) -> ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
50	11, 30, 31, 47, 49	syl22anc 1277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ g e. G ) /\ X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) -> ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
51	50	ex 440	. . . . 5 |- ( ( ph /\ g e. G ) -> ( X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) -> ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) )
52	51	reximdva 2874	. . . 4 |- ( ph -> ( E. g e. G X e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) -> E. g e. G ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) ) )
53	5, 52	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> E. g e. G ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
54		eliun 4297	. . 3 |- ( ( X .+ Y ) e. U_ g e. G ( ._|_ ` ( L ` g ) ) <-> E. g e. G ( X .+ Y ) e. ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
55	53, 54	sylibr 217	. 2 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. U_ g e. G ( ._|_ ` ( L ` g ) ) )
56	55, 2	syl6eleqr 2551	1 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   = wceq 1455   e. wcel 1898   E.wrex 2750   C_ wss 3416   {csn 3980   U_ciun 4292   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   Basecbs 15170   +g cplusg 15239   LModclmod 18140   LSubSpclss 18204   LSpanclspn 18243  LFnlclfn 32668  LKerclk 32696  LDualcld 32734   HLchlt 32961   LHypclh 33594   DVecHcdvh 34691   ocHcoch 34960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-riotaBAD 32570

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-of 6558  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-tpos 6999  df-undef 7046  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-struct 15172  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-mulr 15253  df-sca 15255  df-vsca 15256  df-0g 15389  df-preset 16222  df-poset 16240  df-plt 16253  df-lub 16269  df-glb 16270  df-join 16271  df-meet 16272  df-p0 16334  df-p1 16335  df-lat 16341  df-clat 16403  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-submnd 16632  df-grp 16722  df-minusg 16723  df-sbg 16724  df-subg 16863  df-cntz 17020  df-lsm 17337  df-cmn 17481  df-abl 17482  df-mgp 17773  df-ur 17785  df-ring 17831  df-oppr 17900  df-dvdsr 17918  df-unit 17919  df-invr 17949  df-dvr 17960  df-drng 18026  df-lmod 18142  df-lss 18205  df-lsp 18244  df-lvec 18375  df-lfl 32669  df-lkr 32697  df-ldual 32735  df-oposet 32787  df-ol 32789  df-oml 32790  df-covers 32877  df-ats 32878  df-atl 32909  df-cvlat 32933  df-hlat 32962  df-llines 33108  df-lplanes 33109  df-lvols 33110  df-lines 33111  df-psubsp 33113  df-pmap 33114  df-padd 33406  df-lhyp 33598  df-laut 33599  df-ldil 33714  df-ltrn 33715  df-trl 33770  df-tendo 34367  df-edring 34369  df-disoa 34642  df-dvech 34692  df-dib 34752  df-dic 34786  df-dih 34842  df-doch 34961

This theorem is referenced by:  lcfrlem41  35196