Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem6 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lcfrlem6 35160
Description: Lemma for lcfr 35198. Closure of vector sum with colinear vectors. TODO: Move down  N definition so top hypotheses can be shared. (Contributed by NM, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem6.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfrlem6.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfrlem6.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfrlem6.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfrlem6.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
lcfrlem6.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfrlem6.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcfrlem6.q  |-  Q  =  ( LSubSp `  D )
lcfrlem6.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfrlem6.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Q )
lcfrlem6.e  |-  E  = 
U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g ) )
lcfrlem6.x  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
lcfrlem6.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  E )
lcfrlem6.en  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem6  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  E )
Distinct variable groups:    .+ , g    U, g    g, X    g, Y    ph, g
Allowed substitution hints:    D( g)    Q( g)    E( g)    G( g)    H( g)    K( g)    L( g)    N( g)    ._|_ ( g)    W( g)

Proof of Theorem lcfrlem6
StepHypRef Expression
1 lcfrlem6.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
2 lcfrlem6.e . . . . . 6  |-  E  = 
U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g ) )
31, 2syl6eleq 2550 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g
) ) )
4 eliun 4297 . . . . 5  |-  ( X  e.  U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g )
)  <->  E. g  e.  G  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) ) )
53, 4sylib 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. g  e.  G  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) ) )
6 lcfrlem6.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 lcfrlem6.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
8 lcfrlem6.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
96, 7, 8dvhlmod 34723 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
109adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  U  e.  LMod )
1110adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  G )  /\  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )  ->  U  e.  LMod )
128adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 eqid 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
14 eqid 2462 . . . . . . . . . 10  |-  (LFnl `  U )  =  (LFnl `  U )
15 lcfrlem6.l . . . . . . . . . 10  |-  L  =  (LKer `  U )
16 lcfrlem6.g . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  Q )
17 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
18 lcfrlem6.q . . . . . . . . . . . . 13  |-  Q  =  ( LSubSp `  D )
1917, 18lssel 18210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Q  /\  g  e.  G )  ->  g  e.  ( Base `  D ) )
2016, 19sylan 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  g  e.  ( Base `  D
) )
21 lcfrlem6.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  =  (LDual `  U )
2214, 21, 17, 9ldualvbase 32737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Base `  D
)  =  (LFnl `  U ) )
2322adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  ( Base `  D )  =  (LFnl `  U )
)
2420, 23eleqtrd 2542 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  g  e.  (LFnl `  U )
)
2513, 14, 15, 10, 24lkrssv 32707 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  ( L `  g )  C_  ( Base `  U
) )
26 eqid 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
27 lcfrlem6.o . . . . . . . . . 10  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
286, 7, 13, 26, 27dochlss 34967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( L `  g )  C_  ( Base `  U ) )  ->  (  ._|_  `  ( L `  g )
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
2912, 25, 28syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  (  ._|_  `  ( L `  g ) )  e.  ( LSubSp `  U )
)
3029adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  G )  /\  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )  ->  (  ._|_  `  ( L `  g ) )  e.  ( LSubSp `  U )
)
31 simpr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  G )  /\  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )  ->  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )
32 lcfrlem6.en . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )
3332adantr 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )
3433adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  G )  /\  ( N `  { X } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  g ) ) )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )
35 simpr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  G )  /\  ( N `  { X } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  g ) ) )  ->  ( N `  { X } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  g ) ) )
3634, 35eqsstr3d 3479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  G )  /\  ( N `  { X } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  g ) ) )  ->  ( N `  { Y } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  g ) ) )
3736ex 440 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  (
( N `  { X } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  g ) )  -> 
( N `  { Y } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  g ) ) ) )
38 lcfrlem6.n . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( LSpan `  U )
396, 27, 7, 13, 15, 21, 18, 2, 8, 16, 1lcfrlem4 35158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  U ) )
4039adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  X  e.  ( Base `  U
) )
4113, 26, 38, 10, 29, 40lspsnel5 18267 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  ( X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) )  <->  ( N `  { X } ) 
C_  (  ._|_  `  ( L `  g )
) ) )
42 lcfrlem6.y . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  E )
436, 27, 7, 13, 15, 21, 18, 2, 8, 16, 42lcfrlem4 35158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Base `  U ) )
4443adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  Y  e.  ( Base `  U
) )
4513, 26, 38, 10, 29, 44lspsnel5 18267 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  ( Y  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) )  <->  ( N `  { Y } ) 
C_  (  ._|_  `  ( L `  g )
) ) )
4637, 41, 453imtr4d 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  ( X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) )  ->  Y  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) ) )
4746imp 435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  G )  /\  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )  ->  Y  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )
48 lcfrlem6.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  U )
4948, 26lssvacl 18226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  LMod  /\  (  ._|_  `  ( L `
 g ) )  e.  ( LSubSp `  U
) )  /\  ( X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) )  /\  Y  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) ) )  -> 
( X  .+  Y
)  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) ) )
5011, 30, 31, 47, 49syl22anc 1277 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  G )  /\  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `
 g ) ) )
5150ex 440 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  ( X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `
 g ) ) ) )
5251reximdva 2874 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. g  e.  G  X  e.  ( 
._|_  `  ( L `  g ) )  ->  E. g  e.  G  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) ) )
535, 52mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  E. g  e.  G  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )
54 eliun 4297 . . 3  |-  ( ( X  .+  Y )  e.  U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g )
)  <->  E. g  e.  G  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )
5553, 54sylibr 217 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g
) ) )
5655, 2syl6eleqr 2551 1  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898   E.wrex 2750    C_ wss 3416   {csn 3980   U_ciun 4292   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   Basecbs 15170   +g cplusg 15239   LModclmod 18140   LSubSpclss 18204   LSpanclspn 18243  LFnlclfn 32668  LKerclk 32696  LDualcld 32734   HLchlt 32961   LHypclh 33594   DVecHcdvh 34691   ocHcoch 34960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-riotaBAD 32570
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-of 6558  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-tpos 6999  df-undef 7046  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-struct 15172  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-mulr 15253  df-sca 15255  df-vsca 15256  df-0g 15389  df-preset 16222  df-poset 16240  df-plt 16253  df-lub 16269  df-glb 16270  df-join 16271  df-meet 16272  df-p0 16334  df-p1 16335  df-lat 16341  df-clat 16403  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-submnd 16632  df-grp 16722  df-minusg 16723  df-sbg 16724  df-subg 16863  df-cntz 17020  df-lsm 17337  df-cmn 17481  df-abl 17482  df-mgp 17773  df-ur 17785  df-ring 17831  df-oppr 17900  df-dvdsr 17918  df-unit 17919  df-invr 17949  df-dvr 17960  df-drng 18026  df-lmod 18142  df-lss 18205  df-lsp 18244  df-lvec 18375  df-lfl 32669  df-lkr 32697  df-ldual 32735  df-oposet 32787  df-ol 32789  df-oml 32790  df-covers 32877  df-ats 32878  df-atl 32909  df-cvlat 32933  df-hlat 32962  df-llines 33108  df-lplanes 33109  df-lvols 33110  df-lines 33111  df-psubsp 33113  df-pmap 33114  df-padd 33406  df-lhyp 33598  df-laut 33599  df-ldil 33714  df-ltrn 33715  df-trl 33770  df-tendo 34367  df-edring 34369  df-disoa 34642  df-dvech 34692  df-dib 34752  df-dic 34786  df-dih 34842  df-doch 34961
This theorem is referenced by:  lcfrlem41  35196
  Copyright terms: Public domain W3C validator