Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem6 Structured version   Unicode version

Theorem lcfrlem6 34914
Description: Lemma for lcfr 34952. Closure of vector sum with colinear vectors. TODO: Move down  N definition so top hypotheses can be shared. (Contributed by NM, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem6.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfrlem6.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfrlem6.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfrlem6.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfrlem6.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
lcfrlem6.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfrlem6.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcfrlem6.q  |-  Q  =  ( LSubSp `  D )
lcfrlem6.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfrlem6.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Q )
lcfrlem6.e  |-  E  = 
U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g ) )
lcfrlem6.x  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
lcfrlem6.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  E )
lcfrlem6.en  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem6  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  E )
Distinct variable groups:    .+ , g    U, g    g, X    g, Y    ph, g
Allowed substitution hints:    D( g)    Q( g)    E( g)    G( g)    H( g)    K( g)    L( g)    N( g)    ._|_ ( g)    W( g)

Proof of Theorem lcfrlem6
StepHypRef Expression
1 lcfrlem6.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
2 lcfrlem6.e . . . . . 6  |-  E  = 
U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g ) )
31, 2syl6eleq 2531 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g
) ) )
4 eliun 4172 . . . . 5  |-  ( X  e.  U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g )
)  <->  E. g  e.  G  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) ) )
53, 4sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. g  e.  G  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) ) )
6 lcfrlem6.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 lcfrlem6.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
8 lcfrlem6.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
96, 7, 8dvhlmod 34477 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
109adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  U  e.  LMod )
1110adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  G )  /\  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )  ->  U  e.  LMod )
128adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
14 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  (LFnl `  U )  =  (LFnl `  U )
15 lcfrlem6.l . . . . . . . . . 10  |-  L  =  (LKer `  U )
16 lcfrlem6.g . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  Q )
17 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
18 lcfrlem6.q . . . . . . . . . . . . 13  |-  Q  =  ( LSubSp `  D )
1917, 18lssel 16997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Q  /\  g  e.  G )  ->  g  e.  ( Base `  D ) )
2016, 19sylan 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  g  e.  ( Base `  D
) )
21 lcfrlem6.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  =  (LDual `  U )
2214, 21, 17, 9ldualvbase 32493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Base `  D
)  =  (LFnl `  U ) )
2322adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  ( Base `  D )  =  (LFnl `  U )
)
2420, 23eleqtrd 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  g  e.  (LFnl `  U )
)
2513, 14, 15, 10, 24lkrssv 32463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  ( L `  g )  C_  ( Base `  U
) )
26 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
27 lcfrlem6.o . . . . . . . . . 10  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
286, 7, 13, 26, 27dochlss 34721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( L `  g )  C_  ( Base `  U ) )  ->  (  ._|_  `  ( L `  g )
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
2912, 25, 28syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  (  ._|_  `  ( L `  g ) )  e.  ( LSubSp `  U )
)
3029adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  G )  /\  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )  ->  (  ._|_  `  ( L `  g ) )  e.  ( LSubSp `  U )
)
31 simpr 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  G )  /\  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )  ->  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )
32 lcfrlem6.en . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )
3332adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )
3433adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  G )  /\  ( N `  { X } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  g ) ) )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )
35 simpr 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  G )  /\  ( N `  { X } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  g ) ) )  ->  ( N `  { X } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  g ) ) )
3634, 35eqsstr3d 3388 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  G )  /\  ( N `  { X } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  g ) ) )  ->  ( N `  { Y } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  g ) ) )
3736ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  (
( N `  { X } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  g ) )  -> 
( N `  { Y } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  g ) ) ) )
38 lcfrlem6.n . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( LSpan `  U )
396, 27, 7, 13, 15, 21, 18, 2, 8, 16, 1lcfrlem4 34912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  U ) )
4039adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  X  e.  ( Base `  U
) )
4113, 26, 38, 10, 29, 40lspsnel5 17054 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  ( X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) )  <->  ( N `  { X } ) 
C_  (  ._|_  `  ( L `  g )
) ) )
42 lcfrlem6.y . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  E )
436, 27, 7, 13, 15, 21, 18, 2, 8, 16, 42lcfrlem4 34912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Base `  U ) )
4443adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  Y  e.  ( Base `  U
) )
4513, 26, 38, 10, 29, 44lspsnel5 17054 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  ( Y  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) )  <->  ( N `  { Y } ) 
C_  (  ._|_  `  ( L `  g )
) ) )
4637, 41, 453imtr4d 268 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  ( X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) )  ->  Y  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) ) )
4746imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  G )  /\  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )  ->  Y  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )
48 lcfrlem6.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  U )
4948, 26lssvacl 17013 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  LMod  /\  (  ._|_  `  ( L `
 g ) )  e.  ( LSubSp `  U
) )  /\  ( X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) )  /\  Y  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) ) )  -> 
( X  .+  Y
)  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) ) )
5011, 30, 31, 47, 49syl22anc 1214 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  G )  /\  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `
 g ) ) )
5150ex 434 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  G )  ->  ( X  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `
 g ) ) ) )
5251reximdva 2826 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. g  e.  G  X  e.  ( 
._|_  `  ( L `  g ) )  ->  E. g  e.  G  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) ) )
535, 52mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  E. g  e.  G  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )
54 eliun 4172 . . 3  |-  ( ( X  .+  Y )  e.  U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g )
)  <->  E. g  e.  G  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )
5553, 54sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g
) ) )
5655, 2syl6eleqr 2532 1  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   E.wrex 2714    C_ wss 3325   {csn 3874   U_ciun 4168   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   LModclmod 16928   LSubSpclss 16991   LSpanclspn 17030  LFnlclfn 32424  LKerclk 32452  LDualcld 32490   HLchlt 32717   LHypclh 33350   DVecHcdvh 34445   ocHcoch 34714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-riotaBAD 32326
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-tpos 6744  df-undef 6788  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-0g 14376  df-poset 15112  df-plt 15124  df-lub 15140  df-glb 15141  df-join 15142  df-meet 15143  df-p0 15205  df-p1 15206  df-lat 15212  df-clat 15274  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-subg 15671  df-cntz 15828  df-lsm 16128  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-dvr 16765  df-drng 16814  df-lmod 16930  df-lss 16992  df-lsp 17031  df-lvec 17162  df-lfl 32425  df-lkr 32453  df-ldual 32491  df-oposet 32543  df-ol 32545  df-oml 32546  df-covers 32633  df-ats 32634  df-atl 32665  df-cvlat 32689  df-hlat 32718  df-llines 32864  df-lplanes 32865  df-lvols 32866  df-lines 32867  df-psubsp 32869  df-pmap 32870  df-padd 33162  df-lhyp 33354  df-laut 33355  df-ldil 33470  df-ltrn 33471  df-trl 33525  df-tendo 34121  df-edring 34123  df-disoa 34396  df-dvech 34446  df-dib 34506  df-dic 34540  df-dih 34596  df-doch 34715
This theorem is referenced by:  lcfrlem41  34950
  Copyright terms: Public domain W3C validator