Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem41 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lcfrlem41 35197
Description: Lemma for lcfr 35199. Eliminate span condition. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem38.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfrlem38.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfrlem38.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfrlem38.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfrlem38.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcfrlem38.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfrlem38.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcfrlem38.q  |-  Q  =  ( LSubSp `  D )
lcfrlem38.c  |-  C  =  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f )
) )  =  ( L `  f ) }
lcfrlem38.e  |-  E  = 
U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g ) )
lcfrlem38.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfrlem38.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Q )
lcfrlem38.gs  |-  ( ph  ->  G  C_  C )
lcfrlem38.xe  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
lcfrlem38.ye  |-  ( ph  ->  Y  e.  E )
lcfrlem38.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcfrlem38.x  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
lcfrlem38.y  |-  ( ph  ->  Y  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem41  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  E )
Distinct variable groups:    D, g    g, G    f, g, L    ._|_ , f, g    .+ , f,
g    U, f, g    f, X, g    f, Y, g    .0. , f, g    ph, g
Allowed substitution hints:    ph( f)    C( f, g)    D( f)    Q( f, g)    E( f, g)    F( f, g)    G( f)    H( f, g)    K( f, g)    W( f, g)

Proof of Theorem lcfrlem41
StepHypRef Expression
1 lcfrlem38.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 lcfrlem38.o . . 3  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 lcfrlem38.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 lcfrlem38.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  U )
5 eqid 2462 . . 3  |-  ( LSpan `  U )  =  (
LSpan `  U )
6 lcfrlem38.l . . 3  |-  L  =  (LKer `  U )
7 lcfrlem38.d . . 3  |-  D  =  (LDual `  U )
8 lcfrlem38.q . . 3  |-  Q  =  ( LSubSp `  D )
9 lcfrlem38.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
109adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( LSpan `  U ) `  { X } )  =  ( ( LSpan `  U
) `  { Y } ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
11 lcfrlem38.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Q )
1211adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( LSpan `  U ) `  { X } )  =  ( ( LSpan `  U
) `  { Y } ) )  ->  G  e.  Q )
13 lcfrlem38.e . . 3  |-  E  = 
U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g ) )
14 lcfrlem38.xe . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
1514adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( LSpan `  U ) `  { X } )  =  ( ( LSpan `  U
) `  { Y } ) )  ->  X  e.  E )
16 lcfrlem38.ye . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  E )
1716adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( LSpan `  U ) `  { X } )  =  ( ( LSpan `  U
) `  { Y } ) )  ->  Y  e.  E )
18 simpr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( LSpan `  U ) `  { X } )  =  ( ( LSpan `  U
) `  { Y } ) )  -> 
( ( LSpan `  U
) `  { X } )  =  ( ( LSpan `  U ) `  { Y } ) )
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 17, 18lcfrlem6 35161 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( ( LSpan `  U ) `  { X } )  =  ( ( LSpan `  U
) `  { Y } ) )  -> 
( X  .+  Y
)  e.  E )
20 lcfrlem38.f . . 3  |-  F  =  (LFnl `  U )
21 lcfrlem38.c . . 3  |-  C  =  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f )
) )  =  ( L `  f ) }
229adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( LSpan `  U ) `  { X } )  =/=  ( ( LSpan `  U
) `  { Y } ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2311adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( LSpan `  U ) `  { X } )  =/=  ( ( LSpan `  U
) `  { Y } ) )  ->  G  e.  Q )
24 lcfrlem38.gs . . . 4  |-  ( ph  ->  G  C_  C )
2524adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( LSpan `  U ) `  { X } )  =/=  ( ( LSpan `  U
) `  { Y } ) )  ->  G  C_  C )
2614adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( LSpan `  U ) `  { X } )  =/=  ( ( LSpan `  U
) `  { Y } ) )  ->  X  e.  E )
2716adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( LSpan `  U ) `  { X } )  =/=  ( ( LSpan `  U
) `  { Y } ) )  ->  Y  e.  E )
28 lcfrlem38.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
29 lcfrlem38.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
3029adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( LSpan `  U ) `  { X } )  =/=  ( ( LSpan `  U
) `  { Y } ) )  ->  X  =/=  .0.  )
31 lcfrlem38.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  =/=  .0.  )
3231adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( LSpan `  U ) `  { X } )  =/=  ( ( LSpan `  U
) `  { Y } ) )  ->  Y  =/=  .0.  )
33 simpr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( LSpan `  U ) `  { X } )  =/=  ( ( LSpan `  U
) `  { Y } ) )  -> 
( ( LSpan `  U
) `  { X } )  =/=  (
( LSpan `  U ) `  { Y } ) )
341, 2, 3, 4, 20, 6, 7, 8, 21, 13, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 5, 33lcfrlem40 35196 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( ( LSpan `  U ) `  { X } )  =/=  ( ( LSpan `  U
) `  { Y } ) )  -> 
( X  .+  Y
)  e.  E )
3519, 34pm2.61dane 2723 1  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   {crab 2753    C_ wss 3416   {csn 3980   U_ciun 4292   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   +g cplusg 15245   0gc0g 15393   LSubSpclss 18210   LSpanclspn 18249  LFnlclfn 32669  LKerclk 32697  LDualcld 32735   HLchlt 32962   LHypclh 33595   DVecHcdvh 34692   ocHcoch 34961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-riotaBAD 32571
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-of 6563  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-tpos 7004  df-undef 7051  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-4 10703  df-5 10704  df-6 10705  df-n0 10904  df-z 10972  df-uz 11194  df-fz 11820  df-struct 15178  df-ndx 15179  df-slot 15180  df-base 15181  df-sets 15182  df-ress 15183  df-plusg 15258  df-mulr 15259  df-sca 15261  df-vsca 15262  df-0g 15395  df-mre 15547  df-mrc 15548  df-acs 15550  df-preset 16228  df-poset 16246  df-plt 16259  df-lub 16275  df-glb 16276  df-join 16277  df-meet 16278  df-p0 16340  df-p1 16341  df-lat 16347  df-clat 16409  df-mgm 16543  df-sgrp 16582  df-mnd 16592  df-submnd 16638  df-grp 16728  df-minusg 16729  df-sbg 16730  df-subg 16869  df-cntz 17026  df-oppg 17052  df-lsm 17343  df-cmn 17487  df-abl 17488  df-mgp 17779  df-ur 17791  df-ring 17837  df-oppr 17906  df-dvdsr 17924  df-unit 17925  df-invr 17955  df-dvr 17966  df-drng 18032  df-lmod 18148  df-lss 18211  df-lsp 18250  df-lvec 18381  df-lsatoms 32588  df-lshyp 32589  df-lcv 32631  df-lfl 32670  df-lkr 32698  df-ldual 32736  df-oposet 32788  df-ol 32790  df-oml 32791  df-covers 32878  df-ats 32879  df-atl 32910  df-cvlat 32934  df-hlat 32963  df-llines 33109  df-lplanes 33110  df-lvols 33111  df-lines 33112  df-psubsp 33114  df-pmap 33115  df-padd 33407  df-lhyp 33599  df-laut 33600  df-ldil 33715  df-ltrn 33716  df-trl 33771  df-tgrp 34356  df-tendo 34368  df-edring 34370  df-dveca 34616  df-disoa 34643  df-dvech 34693  df-dib 34753  df-dic 34787  df-dih 34843  df-doch 34962  df-djh 35009
This theorem is referenced by:  lcfrlem42  35198
  Copyright terms: Public domain W3C validator