Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem37 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lcfrlem37 35193
Description: Lemma for lcfr 35199. (Contributed by NM, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfrlem17.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfrlem17.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfrlem17.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfrlem17.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfrlem17.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcfrlem17.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
lcfrlem17.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
lcfrlem17.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfrlem17.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
lcfrlem22.b  |-  B  =  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )
lcfrlem24.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
lcfrlem24.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lcfrlem24.q  |-  Q  =  ( 0g `  S
)
lcfrlem24.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lcfrlem24.j  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
lcfrlem24.ib  |-  ( ph  ->  I  e.  B )
lcfrlem24.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfrlem25.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcfrlem28.jn  |-  ( ph  ->  ( ( J `  Y ) `  I
)  =/=  Q )
lcfrlem29.i  |-  F  =  ( invr `  S
)
lcfrlem30.m  |-  .-  =  ( -g `  D )
lcfrlem30.c  |-  C  =  ( ( J `  X )  .-  (
( ( F `  ( ( J `  Y ) `  I
) ) ( .r
`  S ) ( ( J `  X
) `  I )
) ( .s `  D ) ( J `
 Y ) ) )
lcfrlem37.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( LSubSp `  D ) )
lcfrlem37.gs  |-  ( ph  ->  G  C_  { f  e.  (LFnl `  U )  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) } )
lcfrlem37.e  |-  E  = 
U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g ) )
lcfrlem37.xe  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
lcfrlem37.ye  |-  ( ph  ->  Y  e.  E )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem37  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  E )
Distinct variable groups:    v, k, w, x,  ._|_    .+ , k, v, w, x    R, k, v, x    S, k    .x. , k, v, w, x   
v, V, x    k, X, v, w, x    k, Y, v, w, x    x,  .0.    f, J    f, L    ._|_ ,
f    .+ , f    R, f    .x. , f    U, f    f, V   
f, X    f, Y, k, v, w, x, g    C, g, k    D, g, k    g, G, k   
g, I, k    f,
g, J, k    g, L, k    ._|_ , g    .+ , g    Q, g, k    U, k   
g, V    g, X    g, Y    ph, g, k    v,
g, w, x
Allowed substitution hints:    ph( x, w, v, f)    A( x, w, v, f, g, k)    B( x, w, v, f, g, k)    C( x, w, v, f)    D( x, w, v, f)    Q( x, w, v, f)    R( w, g)    S( x, w, v, f, g)    .x. ( g)    U( x, w, v, g)    E( x, w, v, f, g, k)    F( x, w, v, f, g, k)    G( x, w, v, f)    H( x, w, v, f, g, k)    I( x, w, v, f)    J( x, w, v)    K( x, w, v, f, g, k)    L( x, w, v)    .- ( x, w, v, f, g, k)    N( x, w, v, f, g, k)    V( w, k)    W( x, w, v, f, g, k)    .0. ( w, v, f, g, k)

Proof of Theorem lcfrlem37
StepHypRef Expression
1 lcfrlem30.c . . . . 5  |-  C  =  ( ( J `  X )  .-  (
( ( F `  ( ( J `  Y ) `  I
) ) ( .r
`  S ) ( ( J `  X
) `  I )
) ( .s `  D ) ( J `
 Y ) ) )
2 lcfrlem25.d . . . . . 6  |-  D  =  (LDual `  U )
3 lcfrlem30.m . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  D )
4 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  D )  =  (
LSubSp `  D )
5 lcfrlem17.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 lcfrlem17.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 lcfrlem17.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
85, 6, 7dvhlmod 34724 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
9 lcfrlem37.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  ( LSubSp `  D ) )
10 lcfrlem17.o . . . . . . 7  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
11 lcfrlem17.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  U
)
12 lcfrlem17.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  U )
13 lcfrlem24.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  U )
14 lcfrlem24.s . . . . . . 7  |-  S  =  (Scalar `  U )
15 lcfrlem24.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( Base `  S
)
16 lcfrlem17.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
17 eqid 2462 . . . . . . 7  |-  (LFnl `  U )  =  (LFnl `  U )
18 lcfrlem24.l . . . . . . 7  |-  L  =  (LKer `  U )
19 eqid 2462 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  D )  =  ( 0g `  D
)
20 eqid 2462 . . . . . . 7  |-  { f  e.  (LFnl `  U
)  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 f ) ) )  =  ( L `
 f ) }  =  { f  e.  (LFnl `  U )  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
21 lcfrlem24.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
22 lcfrlem37.gs . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  C_  { f  e.  (LFnl `  U )  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) } )
23 lcfrlem37.e . . . . . . 7  |-  E  = 
U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g ) )
24 lcfrlem37.xe . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
25 lcfrlem17.x . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
26 eldifsni 4111 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  =/=  .0.  )
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
28 eldifsn 4110 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  ( E  \  {  .0.  } )  <->  ( X  e.  E  /\  X  =/= 
.0.  ) )
2924, 27, 28sylanbrc 675 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( E 
\  {  .0.  }
) )
305, 10, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 2, 19, 20, 21, 7, 4, 9, 22, 23, 29lcfrlem16 35172 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J `  X
)  e.  G )
31 eqid 2462 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  D )  =  ( .s `  D
)
32 lcfrlem17.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( LSpan `  U )
33 lcfrlem17.a . . . . . . . 8  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
34 lcfrlem17.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
35 lcfrlem17.ne . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
36 lcfrlem22.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )
37 lcfrlem24.q . . . . . . . 8  |-  Q  =  ( 0g `  S
)
38 lcfrlem24.ib . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  e.  B )
39 lcfrlem28.jn . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( J `  Y ) `  I
)  =/=  Q )
40 lcfrlem29.i . . . . . . . 8  |-  F  =  ( invr `  S
)
415, 10, 6, 11, 12, 16, 32, 33, 7, 25, 34, 35, 36, 13, 14, 37, 15, 21, 38, 18, 2, 39, 40lcfrlem29 35185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F `  ( ( J `  Y ) `  I
) ) ( .r
`  S ) ( ( J `  X
) `  I )
)  e.  R )
42 lcfrlem37.ye . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  E )
43 eldifsni 4111 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  =/=  .0.  )
4434, 43syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  =/=  .0.  )
45 eldifsn 4110 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  ( E  \  {  .0.  } )  <->  ( Y  e.  E  /\  Y  =/= 
.0.  ) )
4642, 44, 45sylanbrc 675 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( E 
\  {  .0.  }
) )
475, 10, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 2, 19, 20, 21, 7, 4, 9, 22, 23, 46lcfrlem16 35172 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( J `  Y
)  e.  G )
4814, 15, 2, 31, 4, 8, 9, 41, 47ldualssvscl 32770 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 ( ( J `
 Y ) `  I ) ) ( .r `  S ) ( ( J `  X ) `  I
) ) ( .s
`  D ) ( J `  Y ) )  e.  G )
492, 3, 4, 8, 9, 30, 48ldualssvsubcl 32771 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J `  X )  .-  (
( ( F `  ( ( J `  Y ) `  I
) ) ( .r
`  S ) ( ( J `  X
) `  I )
) ( .s `  D ) ( J `
 Y ) ) )  e.  G )
501, 49syl5eqel 2544 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  G )
515, 10, 6, 11, 12, 16, 32, 33, 7, 25, 34, 35, 36, 13, 14, 37, 15, 21, 38, 18, 2, 39, 40, 3, 1lcfrlem36 35192 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  (  ._|_  `  ( L `  C
) ) )
52 fveq2 5892 . . . . . . 7  |-  ( g  =  C  ->  ( L `  g )  =  ( L `  C ) )
5352fveq2d 5896 . . . . . 6  |-  ( g  =  C  ->  (  ._|_  `  ( L `  g ) )  =  (  ._|_  `  ( L `
 C ) ) )
5453eleq2d 2525 . . . . 5  |-  ( g  =  C  ->  (
( X  .+  Y
)  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) )  <->  ( X  .+  Y )  e.  ( 
._|_  `  ( L `  C ) ) ) )
5554rspcev 3162 . . . 4  |-  ( ( C  e.  G  /\  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `  C )
) )  ->  E. g  e.  G  ( X  .+  Y )  e.  ( 
._|_  `  ( L `  g ) ) )
5650, 51, 55syl2anc 671 . . 3  |-  ( ph  ->  E. g  e.  G  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )
57 eliun 4297 . . 3  |-  ( ( X  .+  Y )  e.  U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g )
)  <->  E. g  e.  G  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )
5856, 57sylibr 217 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g
) ) )
5958, 23syl6eleqr 2551 1  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   E.wrex 2750   {crab 2753    \ cdif 3413    i^i cin 3415    C_ wss 3416   {csn 3980   {cpr 3982   U_ciun 4292    |-> cmpt 4477   ` cfv 5605   iota_crio 6281  (class class class)co 6320   Basecbs 15176   +g cplusg 15245   .rcmulr 15246  Scalarcsca 15248   .scvsca 15249   0gc0g 15393   -gcsg 16726   invrcinvr 17954   LSubSpclss 18210   LSpanclspn 18249  LSAtomsclsa 32586  LFnlclfn 32669  LKerclk 32697  LDualcld 32735   HLchlt 32962   LHypclh 33595   DVecHcdvh 34692   ocHcoch 34961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-riotaBAD 32571
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-of 6563  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-tpos 7004  df-undef 7051  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-4 10703  df-5 10704  df-6 10705  df-n0 10904  df-z 10972  df-uz 11194  df-fz 11820  df-struct 15178  df-ndx 15179  df-slot 15180  df-base 15181  df-sets 15182  df-ress 15183  df-plusg 15258  df-mulr 15259  df-sca 15261  df-vsca 15262  df-0g 15395  df-mre 15547  df-mrc 15548  df-acs 15550  df-preset 16228  df-poset 16246  df-plt 16259  df-lub 16275  df-glb 16276  df-join 16277  df-meet 16278  df-p0 16340  df-p1 16341  df-lat 16347  df-clat 16409  df-mgm 16543  df-sgrp 16582  df-mnd 16592  df-submnd 16638  df-grp 16728  df-minusg 16729  df-sbg 16730  df-subg 16869  df-cntz 17026  df-oppg 17052  df-lsm 17343  df-cmn 17487  df-abl 17488  df-mgp 17779  df-ur 17791  df-ring 17837  df-oppr 17906  df-dvdsr 17924  df-unit 17925  df-invr 17955  df-dvr 17966  df-drng 18032  df-lmod 18148  df-lss 18211  df-lsp 18250  df-lvec 18381  df-lsatoms 32588  df-lshyp 32589  df-lcv 32631  df-lfl 32670  df-lkr 32698  df-ldual 32736  df-oposet 32788  df-ol 32790  df-oml 32791  df-covers 32878  df-ats 32879  df-atl 32910  df-cvlat 32934  df-hlat 32963  df-llines 33109  df-lplanes 33110  df-lvols 33111  df-lines 33112  df-psubsp 33114  df-pmap 33115  df-padd 33407  df-lhyp 33599  df-laut 33600  df-ldil 33715  df-ltrn 33716  df-trl 33771  df-tgrp 34356  df-tendo 34368  df-edring 34370  df-dveca 34616  df-disoa 34643  df-dvech 34693  df-dib 34753  df-dic 34787  df-dih 34843  df-doch 34962  df-djh 35009
This theorem is referenced by:  lcfrlem38  35194
  Copyright terms: Public domain W3C validator