Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem37 Structured version   Unicode version

Theorem lcfrlem37 35543
Description: Lemma for lcfr 35549. (Contributed by NM, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfrlem17.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfrlem17.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfrlem17.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfrlem17.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfrlem17.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcfrlem17.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
lcfrlem17.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
lcfrlem17.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfrlem17.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
lcfrlem22.b  |-  B  =  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )
lcfrlem24.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
lcfrlem24.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lcfrlem24.q  |-  Q  =  ( 0g `  S
)
lcfrlem24.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lcfrlem24.j  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
lcfrlem24.ib  |-  ( ph  ->  I  e.  B )
lcfrlem24.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfrlem25.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcfrlem28.jn  |-  ( ph  ->  ( ( J `  Y ) `  I
)  =/=  Q )
lcfrlem29.i  |-  F  =  ( invr `  S
)
lcfrlem30.m  |-  .-  =  ( -g `  D )
lcfrlem30.c  |-  C  =  ( ( J `  X )  .-  (
( ( F `  ( ( J `  Y ) `  I
) ) ( .r
`  S ) ( ( J `  X
) `  I )
) ( .s `  D ) ( J `
 Y ) ) )
lcfrlem37.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( LSubSp `  D ) )
lcfrlem37.gs  |-  ( ph  ->  G  C_  { f  e.  (LFnl `  U )  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) } )
lcfrlem37.e  |-  E  = 
U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g ) )
lcfrlem37.xe  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
lcfrlem37.ye  |-  ( ph  ->  Y  e.  E )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem37  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  E )
Distinct variable groups:    v, k, w, x,  ._|_    .+ , k, v, w, x    R, k, v, x    S, k    .x. , k, v, w, x   
v, V, x    k, X, v, w, x    k, Y, v, w, x    x,  .0.    f, J    f, L    ._|_ ,
f    .+ , f    R, f    .x. , f    U, f    f, V   
f, X    f, Y, k, v, w, x, g    C, g, k    D, g, k    g, G, k   
g, I, k    f,
g, J, k    g, L, k    ._|_ , g    .+ , g    Q, g, k    U, k   
g, V    g, X    g, Y    ph, g, k    v,
g, w, x
Allowed substitution hints:    ph( x, w, v, f)    A( x, w, v, f, g, k)    B( x, w, v, f, g, k)    C( x, w, v, f)    D( x, w, v, f)    Q( x, w, v, f)    R( w, g)    S( x, w, v, f, g)    .x. ( g)    U( x, w, v, g)    E( x, w, v, f, g, k)    F( x, w, v, f, g, k)    G( x, w, v, f)    H( x, w, v, f, g, k)    I( x, w, v, f)    J( x, w, v)    K( x, w, v, f, g, k)    L( x, w, v)    .- ( x, w, v, f, g, k)    N( x, w, v, f, g, k)    V( w, k)    W( x, w, v, f, g, k)    .0. ( w, v, f, g, k)

Proof of Theorem lcfrlem37
StepHypRef Expression
1 lcfrlem30.c . . . . 5  |-  C  =  ( ( J `  X )  .-  (
( ( F `  ( ( J `  Y ) `  I
) ) ( .r
`  S ) ( ( J `  X
) `  I )
) ( .s `  D ) ( J `
 Y ) ) )
2 lcfrlem25.d . . . . . 6  |-  D  =  (LDual `  U )
3 lcfrlem30.m . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  D )
4 eqid 2452 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  D )  =  (
LSubSp `  D )
5 lcfrlem17.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 lcfrlem17.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 lcfrlem17.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
85, 6, 7dvhlmod 35074 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
9 lcfrlem37.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  ( LSubSp `  D ) )
10 lcfrlem17.o . . . . . . 7  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
11 lcfrlem17.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  U
)
12 lcfrlem17.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  U )
13 lcfrlem24.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  U )
14 lcfrlem24.s . . . . . . 7  |-  S  =  (Scalar `  U )
15 lcfrlem24.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( Base `  S
)
16 lcfrlem17.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
17 eqid 2452 . . . . . . 7  |-  (LFnl `  U )  =  (LFnl `  U )
18 lcfrlem24.l . . . . . . 7  |-  L  =  (LKer `  U )
19 eqid 2452 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  D )  =  ( 0g `  D
)
20 eqid 2452 . . . . . . 7  |-  { f  e.  (LFnl `  U
)  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 f ) ) )  =  ( L `
 f ) }  =  { f  e.  (LFnl `  U )  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
21 lcfrlem24.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
22 lcfrlem37.gs . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  C_  { f  e.  (LFnl `  U )  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) } )
23 lcfrlem37.e . . . . . . 7  |-  E  = 
U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g ) )
24 lcfrlem37.xe . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
25 lcfrlem17.x . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
26 eldifsni 4104 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  =/=  .0.  )
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
28 eldifsn 4103 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  ( E  \  {  .0.  } )  <->  ( X  e.  E  /\  X  =/= 
.0.  ) )
2924, 27, 28sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( E 
\  {  .0.  }
) )
305, 10, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 2, 19, 20, 21, 7, 4, 9, 22, 23, 29lcfrlem16 35522 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J `  X
)  e.  G )
31 eqid 2452 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  D )  =  ( .s `  D
)
32 lcfrlem17.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( LSpan `  U )
33 lcfrlem17.a . . . . . . . 8  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
34 lcfrlem17.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
35 lcfrlem17.ne . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
36 lcfrlem22.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )
37 lcfrlem24.q . . . . . . . 8  |-  Q  =  ( 0g `  S
)
38 lcfrlem24.ib . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  e.  B )
39 lcfrlem28.jn . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( J `  Y ) `  I
)  =/=  Q )
40 lcfrlem29.i . . . . . . . 8  |-  F  =  ( invr `  S
)
415, 10, 6, 11, 12, 16, 32, 33, 7, 25, 34, 35, 36, 13, 14, 37, 15, 21, 38, 18, 2, 39, 40lcfrlem29 35535 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F `  ( ( J `  Y ) `  I
) ) ( .r
`  S ) ( ( J `  X
) `  I )
)  e.  R )
42 lcfrlem37.ye . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  E )
43 eldifsni 4104 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  =/=  .0.  )
4434, 43syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  =/=  .0.  )
45 eldifsn 4103 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  ( E  \  {  .0.  } )  <->  ( Y  e.  E  /\  Y  =/= 
.0.  ) )
4642, 44, 45sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( E 
\  {  .0.  }
) )
475, 10, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 2, 19, 20, 21, 7, 4, 9, 22, 23, 46lcfrlem16 35522 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( J `  Y
)  e.  G )
4814, 15, 2, 31, 4, 8, 9, 41, 47ldualssvscl 33122 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 ( ( J `
 Y ) `  I ) ) ( .r `  S ) ( ( J `  X ) `  I
) ) ( .s
`  D ) ( J `  Y ) )  e.  G )
492, 3, 4, 8, 9, 30, 48ldualssvsubcl 33123 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J `  X )  .-  (
( ( F `  ( ( J `  Y ) `  I
) ) ( .r
`  S ) ( ( J `  X
) `  I )
) ( .s `  D ) ( J `
 Y ) ) )  e.  G )
501, 49syl5eqel 2544 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  G )
515, 10, 6, 11, 12, 16, 32, 33, 7, 25, 34, 35, 36, 13, 14, 37, 15, 21, 38, 18, 2, 39, 40, 3, 1lcfrlem36 35542 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  (  ._|_  `  ( L `  C
) ) )
52 fveq2 5794 . . . . . . 7  |-  ( g  =  C  ->  ( L `  g )  =  ( L `  C ) )
5352fveq2d 5798 . . . . . 6  |-  ( g  =  C  ->  (  ._|_  `  ( L `  g ) )  =  (  ._|_  `  ( L `
 C ) ) )
5453eleq2d 2522 . . . . 5  |-  ( g  =  C  ->  (
( X  .+  Y
)  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) )  <->  ( X  .+  Y )  e.  ( 
._|_  `  ( L `  C ) ) ) )
5554rspcev 3173 . . . 4  |-  ( ( C  e.  G  /\  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `  C )
) )  ->  E. g  e.  G  ( X  .+  Y )  e.  ( 
._|_  `  ( L `  g ) ) )
5650, 51, 55syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  E. g  e.  G  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )
57 eliun 4278 . . 3  |-  ( ( X  .+  Y )  e.  U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g )
)  <->  E. g  e.  G  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )
5856, 57sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g
) ) )
5958, 23syl6eleqr 2551 1  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2645   E.wrex 2797   {crab 2800    \ cdif 3428    i^i cin 3430    C_ wss 3431   {csn 3980   {cpr 3982   U_ciun 4274    |-> cmpt 4453   ` cfv 5521   iota_crio 6155  (class class class)co 6195   Basecbs 14287   +g cplusg 14352   .rcmulr 14353  Scalarcsca 14355   .scvsca 14356   0gc0g 14492   -gcsg 15527   invrcinvr 16881   LSubSpclss 17131   LSpanclspn 17170  LSAtomsclsa 32938  LFnlclfn 33021  LKerclk 33049  LDualcld 33087   HLchlt 33314   LHypclh 33947   DVecHcdvh 35042   ocHcoch 35311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-riotaBAD 32923
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-tpos 6850  df-undef 6897  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-0g 14494  df-mre 14638  df-mrc 14639  df-acs 14641  df-poset 15230  df-plt 15242  df-lub 15258  df-glb 15259  df-join 15260  df-meet 15261  df-p0 15323  df-p1 15324  df-lat 15330  df-clat 15392  df-mnd 15529  df-submnd 15579  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-sbg 15661  df-subg 15792  df-cntz 15949  df-oppg 15975  df-lsm 16251  df-cmn 16395  df-abl 16396  df-mgp 16709  df-ur 16721  df-rng 16765  df-oppr 16833  df-dvdsr 16851  df-unit 16852  df-invr 16882  df-dvr 16893  df-drng 16952  df-lmod 17068  df-lss 17132  df-lsp 17171  df-lvec 17302  df-lsatoms 32940  df-lshyp 32941  df-lcv 32983  df-lfl 33022  df-lkr 33050  df-ldual 33088  df-oposet 33140  df-ol 33142  df-oml 33143  df-covers 33230  df-ats 33231  df-atl 33262  df-cvlat 33286  df-hlat 33315  df-llines 33461  df-lplanes 33462  df-lvols 33463  df-lines 33464  df-psubsp 33466  df-pmap 33467  df-padd 33759  df-lhyp 33951  df-laut 33952  df-ldil 34067  df-ltrn 34068  df-trl 34122  df-tgrp 34706  df-tendo 34718  df-edring 34720  df-dveca 34966  df-disoa 34993  df-dvech 35043  df-dib 35103  df-dic 35137  df-dih 35193  df-doch 35312  df-djh 35359
This theorem is referenced by:  lcfrlem38  35544
  Copyright terms: Public domain W3C validator