Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem37 Structured version   Unicode version

Theorem lcfrlem37 37722
Description: Lemma for lcfr 37728. (Contributed by NM, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfrlem17.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfrlem17.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfrlem17.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfrlem17.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfrlem17.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcfrlem17.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
lcfrlem17.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
lcfrlem17.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfrlem17.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
lcfrlem22.b  |-  B  =  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )
lcfrlem24.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
lcfrlem24.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lcfrlem24.q  |-  Q  =  ( 0g `  S
)
lcfrlem24.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lcfrlem24.j  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
lcfrlem24.ib  |-  ( ph  ->  I  e.  B )
lcfrlem24.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfrlem25.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcfrlem28.jn  |-  ( ph  ->  ( ( J `  Y ) `  I
)  =/=  Q )
lcfrlem29.i  |-  F  =  ( invr `  S
)
lcfrlem30.m  |-  .-  =  ( -g `  D )
lcfrlem30.c  |-  C  =  ( ( J `  X )  .-  (
( ( F `  ( ( J `  Y ) `  I
) ) ( .r
`  S ) ( ( J `  X
) `  I )
) ( .s `  D ) ( J `
 Y ) ) )
lcfrlem37.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( LSubSp `  D ) )
lcfrlem37.gs  |-  ( ph  ->  G  C_  { f  e.  (LFnl `  U )  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) } )
lcfrlem37.e  |-  E  = 
U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g ) )
lcfrlem37.xe  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
lcfrlem37.ye  |-  ( ph  ->  Y  e.  E )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem37  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  E )
Distinct variable groups:    v, k, w, x,  ._|_    .+ , k, v, w, x    R, k, v, x    S, k    .x. , k, v, w, x   
v, V, x    k, X, v, w, x    k, Y, v, w, x    x,  .0.    f, J    f, L    ._|_ ,
f    .+ , f    R, f    .x. , f    U, f    f, V   
f, X    f, Y, k, v, w, x, g    C, g, k    D, g, k    g, G, k   
g, I, k    f,
g, J, k    g, L, k    ._|_ , g    .+ , g    Q, g, k    U, k   
g, V    g, X    g, Y    ph, g, k    v,
g, w, x
Allowed substitution hints:    ph( x, w, v, f)    A( x, w, v, f, g, k)    B( x, w, v, f, g, k)    C( x, w, v, f)    D( x, w, v, f)    Q( x, w, v, f)    R( w, g)    S( x, w, v, f, g)    .x. ( g)    U( x, w, v, g)    E( x, w, v, f, g, k)    F( x, w, v, f, g, k)    G( x, w, v, f)    H( x, w, v, f, g, k)    I( x, w, v, f)    J( x, w, v)    K( x, w, v, f, g, k)    L( x, w, v)    .- ( x, w, v, f, g, k)    N( x, w, v, f, g, k)    V( w, k)    W( x, w, v, f, g, k)    .0. ( w, v, f, g, k)

Proof of Theorem lcfrlem37
StepHypRef Expression
1 lcfrlem30.c . . . . 5  |-  C  =  ( ( J `  X )  .-  (
( ( F `  ( ( J `  Y ) `  I
) ) ( .r
`  S ) ( ( J `  X
) `  I )
) ( .s `  D ) ( J `
 Y ) ) )
2 lcfrlem25.d . . . . . 6  |-  D  =  (LDual `  U )
3 lcfrlem30.m . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  D )
4 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  D )  =  (
LSubSp `  D )
5 lcfrlem17.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 lcfrlem17.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 lcfrlem17.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
85, 6, 7dvhlmod 37253 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
9 lcfrlem37.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  ( LSubSp `  D ) )
10 lcfrlem17.o . . . . . . 7  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
11 lcfrlem17.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  U
)
12 lcfrlem17.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  U )
13 lcfrlem24.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  U )
14 lcfrlem24.s . . . . . . 7  |-  S  =  (Scalar `  U )
15 lcfrlem24.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( Base `  S
)
16 lcfrlem17.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
17 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  (LFnl `  U )  =  (LFnl `  U )
18 lcfrlem24.l . . . . . . 7  |-  L  =  (LKer `  U )
19 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  D )  =  ( 0g `  D
)
20 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  { f  e.  (LFnl `  U
)  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 f ) ) )  =  ( L `
 f ) }  =  { f  e.  (LFnl `  U )  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
21 lcfrlem24.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
22 lcfrlem37.gs . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  C_  { f  e.  (LFnl `  U )  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) } )
23 lcfrlem37.e . . . . . . 7  |-  E  = 
U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g ) )
24 lcfrlem37.xe . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
25 lcfrlem17.x . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
26 eldifsni 4142 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  =/=  .0.  )
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
28 eldifsn 4141 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  ( E  \  {  .0.  } )  <->  ( X  e.  E  /\  X  =/= 
.0.  ) )
2924, 27, 28sylanbrc 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( E 
\  {  .0.  }
) )
305, 10, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 2, 19, 20, 21, 7, 4, 9, 22, 23, 29lcfrlem16 37701 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J `  X
)  e.  G )
31 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  D )  =  ( .s `  D
)
32 lcfrlem17.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( LSpan `  U )
33 lcfrlem17.a . . . . . . . 8  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
34 lcfrlem17.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
35 lcfrlem17.ne . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
36 lcfrlem22.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )
37 lcfrlem24.q . . . . . . . 8  |-  Q  =  ( 0g `  S
)
38 lcfrlem24.ib . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  e.  B )
39 lcfrlem28.jn . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( J `  Y ) `  I
)  =/=  Q )
40 lcfrlem29.i . . . . . . . 8  |-  F  =  ( invr `  S
)
415, 10, 6, 11, 12, 16, 32, 33, 7, 25, 34, 35, 36, 13, 14, 37, 15, 21, 38, 18, 2, 39, 40lcfrlem29 37714 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F `  ( ( J `  Y ) `  I
) ) ( .r
`  S ) ( ( J `  X
) `  I )
)  e.  R )
42 lcfrlem37.ye . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  E )
43 eldifsni 4142 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  =/=  .0.  )
4434, 43syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  =/=  .0.  )
45 eldifsn 4141 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  ( E  \  {  .0.  } )  <->  ( Y  e.  E  /\  Y  =/= 
.0.  ) )
4642, 44, 45sylanbrc 662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( E 
\  {  .0.  }
) )
475, 10, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 2, 19, 20, 21, 7, 4, 9, 22, 23, 46lcfrlem16 37701 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( J `  Y
)  e.  G )
4814, 15, 2, 31, 4, 8, 9, 41, 47ldualssvscl 35299 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 ( ( J `
 Y ) `  I ) ) ( .r `  S ) ( ( J `  X ) `  I
) ) ( .s
`  D ) ( J `  Y ) )  e.  G )
492, 3, 4, 8, 9, 30, 48ldualssvsubcl 35300 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J `  X )  .-  (
( ( F `  ( ( J `  Y ) `  I
) ) ( .r
`  S ) ( ( J `  X
) `  I )
) ( .s `  D ) ( J `
 Y ) ) )  e.  G )
501, 49syl5eqel 2546 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  G )
515, 10, 6, 11, 12, 16, 32, 33, 7, 25, 34, 35, 36, 13, 14, 37, 15, 21, 38, 18, 2, 39, 40, 3, 1lcfrlem36 37721 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  (  ._|_  `  ( L `  C
) ) )
52 fveq2 5848 . . . . . . 7  |-  ( g  =  C  ->  ( L `  g )  =  ( L `  C ) )
5352fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( g  =  C  ->  (  ._|_  `  ( L `  g ) )  =  (  ._|_  `  ( L `
 C ) ) )
5453eleq2d 2524 . . . . 5  |-  ( g  =  C  ->  (
( X  .+  Y
)  e.  (  ._|_  `  ( L `  g
) )  <->  ( X  .+  Y )  e.  ( 
._|_  `  ( L `  C ) ) ) )
5554rspcev 3207 . . . 4  |-  ( ( C  e.  G  /\  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `  C )
) )  ->  E. g  e.  G  ( X  .+  Y )  e.  ( 
._|_  `  ( L `  g ) ) )
5650, 51, 55syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  E. g  e.  G  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )
57 eliun 4320 . . 3  |-  ( ( X  .+  Y )  e.  U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g )
)  <->  E. g  e.  G  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )
5856, 57sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  U_ g  e.  G  (  ._|_  `  ( L `  g
) ) )
5958, 23syl6eleqr 2553 1  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   E.wrex 2805   {crab 2808    \ cdif 3458    i^i cin 3460    C_ wss 3461   {csn 4016   {cpr 4018   U_ciun 4315    |-> cmpt 4497   ` cfv 5570   iota_crio 6231  (class class class)co 6270   Basecbs 14719   +g cplusg 14787   .rcmulr 14788  Scalarcsca 14790   .scvsca 14791   0gc0g 14932   -gcsg 16257   invrcinvr 17518   LSubSpclss 17776   LSpanclspn 17815  LSAtomsclsa 35115  LFnlclfn 35198  LKerclk 35226  LDualcld 35264   HLchlt 35491   LHypclh 36124   DVecHcdvh 37221   ocHcoch 37490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-riotaBAD 35100
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-undef 6994  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-0g 14934  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-preset 15759  df-poset 15777  df-plt 15790  df-lub 15806  df-glb 15807  df-join 15808  df-meet 15809  df-p0 15871  df-p1 15872  df-lat 15878  df-clat 15940  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-sbg 16261  df-subg 16400  df-cntz 16557  df-oppg 16583  df-lsm 16858  df-cmn 17002  df-abl 17003  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-oppr 17470  df-dvdsr 17488  df-unit 17489  df-invr 17519  df-dvr 17530  df-drng 17596  df-lmod 17712  df-lss 17777  df-lsp 17816  df-lvec 17947  df-lsatoms 35117  df-lshyp 35118  df-lcv 35160  df-lfl 35199  df-lkr 35227  df-ldual 35265  df-oposet 35317  df-ol 35319  df-oml 35320  df-covers 35407  df-ats 35408  df-atl 35439  df-cvlat 35463  df-hlat 35492  df-llines 35638  df-lplanes 35639  df-lvols 35640  df-lines 35641  df-psubsp 35643  df-pmap 35644  df-padd 35936  df-lhyp 36128  df-laut 36129  df-ldil 36244  df-ltrn 36245  df-trl 36300  df-tgrp 36885  df-tendo 36897  df-edring 36899  df-dveca 37145  df-disoa 37172  df-dvech 37222  df-dib 37282  df-dic 37316  df-dih 37372  df-doch 37491  df-djh 37538
This theorem is referenced by:  lcfrlem38  37723
  Copyright terms: Public domain W3C validator