Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem36 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lcfrlem36 35147
Description: Lemma for lcfr 35154. (Contributed by NM, 6-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfrlem17.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfrlem17.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfrlem17.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfrlem17.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfrlem17.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcfrlem17.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
lcfrlem17.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
lcfrlem17.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfrlem17.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
lcfrlem22.b  |-  B  =  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )
lcfrlem24.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
lcfrlem24.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lcfrlem24.q  |-  Q  =  ( 0g `  S
)
lcfrlem24.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lcfrlem24.j  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
lcfrlem24.ib  |-  ( ph  ->  I  e.  B )
lcfrlem24.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfrlem25.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcfrlem28.jn  |-  ( ph  ->  ( ( J `  Y ) `  I
)  =/=  Q )
lcfrlem29.i  |-  F  =  ( invr `  S
)
lcfrlem30.m  |-  .-  =  ( -g `  D )
lcfrlem30.c  |-  C  =  ( ( J `  X )  .-  (
( ( F `  ( ( J `  Y ) `  I
) ) ( .r
`  S ) ( ( J `  X
) `  I )
) ( .s `  D ) ( J `
 Y ) ) )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem36  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  (  ._|_  `  ( L `  C
) ) )
Distinct variable groups:    v, k, w, x,  ._|_    .+ , k, v, w, x    R, k, v, x    S, k    .x. , k, v, w, x   
v, V, x    k, X, v, w, x    k, Y, v, w, x    x,  .0.
Allowed substitution hints:    ph( x, w, v, k)    A( x, w, v, k)    B( x, w, v, k)    C( x, w, v, k)    D( x, w, v, k)    Q( x, w, v, k)    R( w)    S( x, w, v)    U( x, w, v, k)    F( x, w, v, k)    H( x, w, v, k)    I( x, w, v, k)    J( x, w, v, k)    K( x, w, v, k)    L( x, w, v, k)    .- ( x, w, v, k)    N( x, w, v, k)    V( w, k)    W( x, w, v, k)    .0. ( w, v, k)

Proof of Theorem lcfrlem36
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 lcfrlem17.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 lcfrlem17.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
4 lcfrlem17.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 lcfrlem17.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
6 lcfrlem17.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 lcfrlem17.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  U )
8 lcfrlem17.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
9 lcfrlem17.a . . . . . . 7  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
10 lcfrlem17.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
11 lcfrlem17.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
12 lcfrlem17.ne . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
131, 3, 2, 4, 7, 8, 5, 9, 6, 10, 11, 12lcfrlem17 35128 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1413eldifad 3383 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  V )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 14dochocsn 34950 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  =  ( N `
 { ( X 
.+  Y ) } ) )
16 lcfrlem22.b . . . . . 6  |-  B  =  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )
17 lcfrlem24.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  U )
18 lcfrlem24.s . . . . . 6  |-  S  =  (Scalar `  U )
19 lcfrlem24.q . . . . . 6  |-  Q  =  ( 0g `  S
)
20 lcfrlem24.r . . . . . 6  |-  R  =  ( Base `  S
)
21 lcfrlem24.j . . . . . 6  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
22 lcfrlem24.ib . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  B )
23 lcfrlem24.l . . . . . 6  |-  L  =  (LKer `  U )
24 lcfrlem25.d . . . . . 6  |-  D  =  (LDual `  U )
25 lcfrlem28.jn . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( J `  Y ) `  I
)  =/=  Q )
26 lcfrlem29.i . . . . . 6  |-  F  =  ( invr `  S
)
27 lcfrlem30.m . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  D )
28 lcfrlem30.c . . . . . 6  |-  C  =  ( ( J `  X )  .-  (
( ( F `  ( ( J `  Y ) `  I
) ) ( .r
`  S ) ( ( J `  X
) `  I )
) ( .s `  D ) ( J `
 Y ) ) )
291, 3, 2, 4, 7, 8, 5, 9, 6, 10, 11, 12, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28lcfrlem35 35146 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } )  =  ( L `  C ) )
3029fveq2d 5851 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  =  (  ._|_  `  ( L `  C
) ) )
3115, 30eqtr3d 2487 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .+  Y
) } )  =  (  ._|_  `  ( L `
 C ) ) )
32 eqimss 3451 . . 3  |-  ( ( N `  { ( X  .+  Y ) } )  =  ( 
._|_  `  ( L `  C ) )  -> 
( N `  {
( X  .+  Y
) } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  C ) ) )
3331, 32syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .+  Y
) } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  C ) ) )
34 eqid 2451 . . 3  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
351, 2, 6dvhlmod 34679 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
36 eqid 2451 . . . . 5  |-  (LFnl `  U )  =  (LFnl `  U )
371, 3, 2, 4, 7, 8, 5, 9, 6, 10, 11, 12, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28lcfrlem30 35141 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  (LFnl `  U ) )
384, 36, 23, 35, 37lkrssv 32663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L `  C
)  C_  V )
391, 2, 4, 34, 3dochlss 34923 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( L `  C )  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  ( L `  C
) )  e.  (
LSubSp `  U ) )
406, 38, 39syl2anc 671 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( L `
 C ) )  e.  ( LSubSp `  U
) )
414, 34, 5, 35, 40, 14lspsnel5 18228 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .+  Y )  e.  ( 
._|_  `  ( L `  C ) )  <->  ( N `  { ( X  .+  Y ) } ) 
C_  (  ._|_  `  ( L `  C )
) ) )
4233, 41mpbird 240 1  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  (  ._|_  `  ( L `  C
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1447    e. wcel 1890    =/= wne 2621   E.wrex 2737    \ cdif 3368    i^i cin 3370    C_ wss 3371   {csn 3935   {cpr 3937    |-> cmpt 4432   ` cfv 5560   iota_crio 6236  (class class class)co 6275   Basecbs 15131   +g cplusg 15200   .rcmulr 15201  Scalarcsca 15203   .scvsca 15204   0gc0g 15348   -gcsg 16681   invrcinvr 17909   LSubSpclss 18165   LSpanclspn 18204  LSAtomsclsa 32541  LFnlclfn 32624  LKerclk 32652  LDualcld 32690   HLchlt 32917   LHypclh 33550   DVecHcdvh 34647   ocHcoch 34916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1672  ax-4 1685  ax-5 1761  ax-6 1808  ax-7 1854  ax-8 1892  ax-9 1899  ax-10 1918  ax-11 1923  ax-12 1936  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4486  ax-sep 4496  ax-nul 4505  ax-pow 4553  ax-pr 4611  ax-un 6570  ax-cnex 9581  ax-resscn 9582  ax-1cn 9583  ax-icn 9584  ax-addcl 9585  ax-addrcl 9586  ax-mulcl 9587  ax-mulrcl 9588  ax-mulcom 9589  ax-addass 9590  ax-mulass 9591  ax-distr 9592  ax-i2m1 9593  ax-1ne0 9594  ax-1rid 9595  ax-rnegex 9596  ax-rrecex 9597  ax-cnre 9598  ax-pre-lttri 9599  ax-pre-lttrn 9600  ax-pre-ltadd 9601  ax-pre-mulgt0 9602  ax-riotaBAD 32526
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1450  df-fal 1453  df-ex 1667  df-nf 1671  df-sb 1801  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3014  df-sbc 3235  df-csb 3331  df-dif 3374  df-un 3376  df-in 3378  df-ss 3385  df-pss 3387  df-nul 3699  df-if 3849  df-pw 3920  df-sn 3936  df-pr 3938  df-tp 3940  df-op 3942  df-uni 4168  df-int 4204  df-iun 4249  df-iin 4250  df-br 4374  df-opab 4433  df-mpt 4434  df-tr 4469  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4732  df-so 4733  df-fr 4770  df-we 4772  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-pred 5358  df-ord 5404  df-on 5405  df-lim 5406  df-suc 5407  df-iota 5524  df-fun 5562  df-fn 5563  df-f 5564  df-f1 5565  df-fo 5566  df-f1o 5567  df-fv 5568  df-riota 6237  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6518  df-om 6680  df-1st 6780  df-2nd 6781  df-tpos 6959  df-undef 7006  df-wrecs 7014  df-recs 7076  df-rdg 7114  df-1o 7168  df-oadd 7172  df-er 7349  df-map 7460  df-en 7556  df-dom 7557  df-sdom 7558  df-fin 7559  df-pnf 9663  df-mnf 9664  df-xr 9665  df-ltxr 9666  df-le 9667  df-sub 9848  df-neg 9849  df-nn 10598  df-2 10656  df-3 10657  df-4 10658  df-5 10659  df-6 10660  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11775  df-struct 15133  df-ndx 15134  df-slot 15135  df-base 15136  df-sets 15137  df-ress 15138  df-plusg 15213  df-mulr 15214  df-sca 15216  df-vsca 15217  df-0g 15350  df-mre 15502  df-mrc 15503  df-acs 15505  df-preset 16183  df-poset 16201  df-plt 16214  df-lub 16230  df-glb 16231  df-join 16232  df-meet 16233  df-p0 16295  df-p1 16296  df-lat 16302  df-clat 16364  df-mgm 16498  df-sgrp 16537  df-mnd 16547  df-submnd 16593  df-grp 16683  df-minusg 16684  df-sbg 16685  df-subg 16824  df-cntz 16981  df-oppg 17007  df-lsm 17298  df-cmn 17442  df-abl 17443  df-mgp 17734  df-ur 17746  df-ring 17792  df-oppr 17861  df-dvdsr 17879  df-unit 17880  df-invr 17910  df-dvr 17921  df-drng 17987  df-lmod 18103  df-lss 18166  df-lsp 18205  df-lvec 18336  df-lsatoms 32543  df-lshyp 32544  df-lcv 32586  df-lfl 32625  df-lkr 32653  df-ldual 32691  df-oposet 32743  df-ol 32745  df-oml 32746  df-covers 32833  df-ats 32834  df-atl 32865  df-cvlat 32889  df-hlat 32918  df-llines 33064  df-lplanes 33065  df-lvols 33066  df-lines 33067  df-psubsp 33069  df-pmap 33070  df-padd 33362  df-lhyp 33554  df-laut 33555  df-ldil 33670  df-ltrn 33671  df-trl 33726  df-tgrp 34311  df-tendo 34323  df-edring 34325  df-dveca 34571  df-disoa 34598  df-dvech 34648  df-dib 34708  df-dic 34742  df-dih 34798  df-doch 34917  df-djh 34964
This theorem is referenced by:  lcfrlem37  35148
  Copyright terms: Public domain W3C validator