Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem36 Structured version   Unicode version

Theorem lcfrlem36 37702
Description: Lemma for lcfr 37709. (Contributed by NM, 6-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfrlem17.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfrlem17.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfrlem17.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfrlem17.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfrlem17.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcfrlem17.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
lcfrlem17.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
lcfrlem17.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfrlem17.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
lcfrlem22.b  |-  B  =  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )
lcfrlem24.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
lcfrlem24.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lcfrlem24.q  |-  Q  =  ( 0g `  S
)
lcfrlem24.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lcfrlem24.j  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
lcfrlem24.ib  |-  ( ph  ->  I  e.  B )
lcfrlem24.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfrlem25.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcfrlem28.jn  |-  ( ph  ->  ( ( J `  Y ) `  I
)  =/=  Q )
lcfrlem29.i  |-  F  =  ( invr `  S
)
lcfrlem30.m  |-  .-  =  ( -g `  D )
lcfrlem30.c  |-  C  =  ( ( J `  X )  .-  (
( ( F `  ( ( J `  Y ) `  I
) ) ( .r
`  S ) ( ( J `  X
) `  I )
) ( .s `  D ) ( J `
 Y ) ) )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem36  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  (  ._|_  `  ( L `  C
) ) )
Distinct variable groups:    v, k, w, x,  ._|_    .+ , k, v, w, x    R, k, v, x    S, k    .x. , k, v, w, x   
v, V, x    k, X, v, w, x    k, Y, v, w, x    x,  .0.
Allowed substitution hints:    ph( x, w, v, k)    A( x, w, v, k)    B( x, w, v, k)    C( x, w, v, k)    D( x, w, v, k)    Q( x, w, v, k)    R( w)    S( x, w, v)    U( x, w, v, k)    F( x, w, v, k)    H( x, w, v, k)    I( x, w, v, k)    J( x, w, v, k)    K( x, w, v, k)    L( x, w, v, k)    .- ( x, w, v, k)    N( x, w, v, k)    V( w, k)    W( x, w, v, k)    .0. ( w, v, k)

Proof of Theorem lcfrlem36
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 lcfrlem17.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 lcfrlem17.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
4 lcfrlem17.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 lcfrlem17.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
6 lcfrlem17.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 lcfrlem17.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  U )
8 lcfrlem17.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
9 lcfrlem17.a . . . . . . 7  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
10 lcfrlem17.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
11 lcfrlem17.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
12 lcfrlem17.ne . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
131, 3, 2, 4, 7, 8, 5, 9, 6, 10, 11, 12lcfrlem17 37683 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1413eldifad 3473 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  V )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 14dochocsn 37505 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  =  ( N `
 { ( X 
.+  Y ) } ) )
16 lcfrlem22.b . . . . . 6  |-  B  =  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )
17 lcfrlem24.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  U )
18 lcfrlem24.s . . . . . 6  |-  S  =  (Scalar `  U )
19 lcfrlem24.q . . . . . 6  |-  Q  =  ( 0g `  S
)
20 lcfrlem24.r . . . . . 6  |-  R  =  ( Base `  S
)
21 lcfrlem24.j . . . . . 6  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
22 lcfrlem24.ib . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  B )
23 lcfrlem24.l . . . . . 6  |-  L  =  (LKer `  U )
24 lcfrlem25.d . . . . . 6  |-  D  =  (LDual `  U )
25 lcfrlem28.jn . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( J `  Y ) `  I
)  =/=  Q )
26 lcfrlem29.i . . . . . 6  |-  F  =  ( invr `  S
)
27 lcfrlem30.m . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  D )
28 lcfrlem30.c . . . . . 6  |-  C  =  ( ( J `  X )  .-  (
( ( F `  ( ( J `  Y ) `  I
) ) ( .r
`  S ) ( ( J `  X
) `  I )
) ( .s `  D ) ( J `
 Y ) ) )
291, 3, 2, 4, 7, 8, 5, 9, 6, 10, 11, 12, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28lcfrlem35 37701 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } )  =  ( L `  C ) )
3029fveq2d 5852 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  =  (  ._|_  `  ( L `  C
) ) )
3115, 30eqtr3d 2497 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .+  Y
) } )  =  (  ._|_  `  ( L `
 C ) ) )
32 eqimss 3541 . . 3  |-  ( ( N `  { ( X  .+  Y ) } )  =  ( 
._|_  `  ( L `  C ) )  -> 
( N `  {
( X  .+  Y
) } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  C ) ) )
3331, 32syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .+  Y
) } )  C_  (  ._|_  `  ( L `  C ) ) )
34 eqid 2454 . . 3  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
351, 2, 6dvhlmod 37234 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
36 eqid 2454 . . . . 5  |-  (LFnl `  U )  =  (LFnl `  U )
371, 3, 2, 4, 7, 8, 5, 9, 6, 10, 11, 12, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28lcfrlem30 37696 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  (LFnl `  U ) )
384, 36, 23, 35, 37lkrssv 35218 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L `  C
)  C_  V )
391, 2, 4, 34, 3dochlss 37478 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( L `  C )  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  ( L `  C
) )  e.  (
LSubSp `  U ) )
406, 38, 39syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( L `
 C ) )  e.  ( LSubSp `  U
) )
414, 34, 5, 35, 40, 14lspsnel5 17836 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .+  Y )  e.  ( 
._|_  `  ( L `  C ) )  <->  ( N `  { ( X  .+  Y ) } ) 
C_  (  ._|_  `  ( L `  C )
) ) )
4233, 41mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  (  ._|_  `  ( L `  C
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   E.wrex 2805    \ cdif 3458    i^i cin 3460    C_ wss 3461   {csn 4016   {cpr 4018    |-> cmpt 4497   ` cfv 5570   iota_crio 6231  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   +g cplusg 14784   .rcmulr 14785  Scalarcsca 14787   .scvsca 14788   0gc0g 14929   -gcsg 16254   invrcinvr 17515   LSubSpclss 17773   LSpanclspn 17812  LSAtomsclsa 35096  LFnlclfn 35179  LKerclk 35207  LDualcld 35245   HLchlt 35472   LHypclh 36105   DVecHcdvh 37202   ocHcoch 37471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-riotaBAD 35081
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-undef 6994  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-0g 14931  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-preset 15756  df-poset 15774  df-plt 15787  df-lub 15803  df-glb 15804  df-join 15805  df-meet 15806  df-p0 15868  df-p1 15869  df-lat 15875  df-clat 15937  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-subg 16397  df-cntz 16554  df-oppg 16580  df-lsm 16855  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-oppr 17467  df-dvdsr 17485  df-unit 17486  df-invr 17516  df-dvr 17527  df-drng 17593  df-lmod 17709  df-lss 17774  df-lsp 17813  df-lvec 17944  df-lsatoms 35098  df-lshyp 35099  df-lcv 35141  df-lfl 35180  df-lkr 35208  df-ldual 35246  df-oposet 35298  df-ol 35300  df-oml 35301  df-covers 35388  df-ats 35389  df-atl 35420  df-cvlat 35444  df-hlat 35473  df-llines 35619  df-lplanes 35620  df-lvols 35621  df-lines 35622  df-psubsp 35624  df-pmap 35625  df-padd 35917  df-lhyp 36109  df-laut 36110  df-ldil 36225  df-ltrn 36226  df-trl 36281  df-tgrp 36866  df-tendo 36878  df-edring 36880  df-dveca 37126  df-disoa 37153  df-dvech 37203  df-dib 37263  df-dic 37297  df-dih 37353  df-doch 37472  df-djh 37519
This theorem is referenced by:  lcfrlem37  37703
  Copyright terms: Public domain W3C validator