Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem34 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lcfrlem34 35189
Description: Lemma for lcfr 35198. (Contributed by NM, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfrlem17.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfrlem17.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfrlem17.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfrlem17.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfrlem17.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcfrlem17.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
lcfrlem17.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
lcfrlem17.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfrlem17.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
lcfrlem22.b  |-  B  =  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )
lcfrlem24.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
lcfrlem24.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lcfrlem24.q  |-  Q  =  ( 0g `  S
)
lcfrlem24.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lcfrlem24.j  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
lcfrlem24.ib  |-  ( ph  ->  I  e.  B )
lcfrlem24.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfrlem25.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcfrlem28.jn  |-  ( ph  ->  ( ( J `  Y ) `  I
)  =/=  Q )
lcfrlem29.i  |-  F  =  ( invr `  S
)
lcfrlem30.m  |-  .-  =  ( -g `  D )
lcfrlem30.c  |-  C  =  ( ( J `  X )  .-  (
( ( F `  ( ( J `  Y ) `  I
) ) ( .r
`  S ) ( ( J `  X
) `  I )
) ( .s `  D ) ( J `
 Y ) ) )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem34  |-  ( ph  ->  C  =/=  ( 0g
`  D ) )
Distinct variable groups:    v, k, w, x,  ._|_    .+ , k, v, w, x    R, k, v, x    S, k    .x. , k, v, w, x   
v, V, x    k, X, v, w, x    k, Y, v, w, x    x,  .0.
Allowed substitution hints:    ph( x, w, v, k)    A( x, w, v, k)    B( x, w, v, k)    C( x, w, v, k)    D( x, w, v, k)    Q( x, w, v, k)    R( w)    S( x, w, v)    U( x, w, v, k)    F( x, w, v, k)    H( x, w, v, k)    I( x, w, v, k)    J( x, w, v, k)    K( x, w, v, k)    L( x, w, v, k)    .- ( x, w, v, k)    N( x, w, v, k)    V( w, k)    W( x, w, v, k)    .0. ( w, v, k)

Proof of Theorem lcfrlem34
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 lcfrlem17.o . . 3  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 lcfrlem17.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 lcfrlem17.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 lcfrlem17.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  U )
6 lcfrlem17.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
7 lcfrlem17.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  U )
8 lcfrlem17.a . . 3  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
9 lcfrlem17.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
109adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( J `  X ) `  I )  =  Q )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
11 lcfrlem17.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1211adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( J `  X ) `  I )  =  Q )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
13 lcfrlem17.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1413adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( J `  X ) `  I )  =  Q )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
15 lcfrlem17.ne . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
1615adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( J `  X ) `  I )  =  Q )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
17 lcfrlem22.b . . 3  |-  B  =  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )
18 lcfrlem24.t . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  U )
19 lcfrlem24.s . . 3  |-  S  =  (Scalar `  U )
20 lcfrlem24.q . . 3  |-  Q  =  ( 0g `  S
)
21 lcfrlem24.r . . 3  |-  R  =  ( Base `  S
)
22 lcfrlem24.j . . 3  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
23 lcfrlem24.ib . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  B )
2423adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( J `  X ) `  I )  =  Q )  ->  I  e.  B )
25 lcfrlem24.l . . 3  |-  L  =  (LKer `  U )
26 lcfrlem25.d . . 3  |-  D  =  (LDual `  U )
27 lcfrlem28.jn . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( J `  Y ) `  I
)  =/=  Q )
2827adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( J `  X ) `  I )  =  Q )  ->  ( ( J `  Y ) `  I )  =/=  Q
)
29 lcfrlem29.i . . 3  |-  F  =  ( invr `  S
)
30 lcfrlem30.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  D )
31 lcfrlem30.c . . 3  |-  C  =  ( ( J `  X )  .-  (
( ( F `  ( ( J `  Y ) `  I
) ) ( .r
`  S ) ( ( J `  X
) `  I )
) ( .s `  D ) ( J `
 Y ) ) )
32 simpr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( J `  X ) `  I )  =  Q )  ->  ( ( J `  X ) `  I )  =  Q )
331, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 28, 29, 30, 31, 32lcfrlem33 35188 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( ( J `  X ) `  I )  =  Q )  ->  C  =/=  ( 0g `  D ) )
349adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( J `  X ) `  I )  =/=  Q
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3511adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( J `  X ) `  I )  =/=  Q
)  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
3613adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( J `  X ) `  I )  =/=  Q
)  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
3715adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( J `  X ) `  I )  =/=  Q
)  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
3823adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( J `  X ) `  I )  =/=  Q
)  ->  I  e.  B )
3927adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( J `  X ) `  I )  =/=  Q
)  ->  ( ( J `  Y ) `  I )  =/=  Q
)
40 simpr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( J `  X ) `  I )  =/=  Q
)  ->  ( ( J `  X ) `  I )  =/=  Q
)
411, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 34, 35, 36, 37, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 38, 25, 26, 39, 29, 30, 31, 40lcfrlem32 35187 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( ( J `  X ) `  I )  =/=  Q
)  ->  C  =/=  ( 0g `  D ) )
4233, 41pm2.61dane 2723 1  |-  ( ph  ->  C  =/=  ( 0g
`  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   E.wrex 2750    \ cdif 3413    i^i cin 3415   {csn 3980   {cpr 3982    |-> cmpt 4475   ` cfv 5601   iota_crio 6276  (class class class)co 6315   Basecbs 15170   +g cplusg 15239   .rcmulr 15240  Scalarcsca 15242   .scvsca 15243   0gc0g 15387   -gcsg 16720   invrcinvr 17948   LSpanclspn 18243  LSAtomsclsa 32585  LKerclk 32696  LDualcld 32734   HLchlt 32961   LHypclh 33594   DVecHcdvh 34691   ocHcoch 34960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-riotaBAD 32570
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-of 6558  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-tpos 6999  df-undef 7046  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-struct 15172  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-mulr 15253  df-sca 15255  df-vsca 15256  df-0g 15389  df-mre 15541  df-mrc 15542  df-acs 15544  df-preset 16222  df-poset 16240  df-plt 16253  df-lub 16269  df-glb 16270  df-join 16271  df-meet 16272  df-p0 16334  df-p1 16335  df-lat 16341  df-clat 16403  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-submnd 16632  df-grp 16722  df-minusg 16723  df-sbg 16724  df-subg 16863  df-cntz 17020  df-oppg 17046  df-lsm 17337  df-cmn 17481  df-abl 17482  df-mgp 17773  df-ur 17785  df-ring 17831  df-oppr 17900  df-dvdsr 17918  df-unit 17919  df-invr 17949  df-dvr 17960  df-drng 18026  df-lmod 18142  df-lss 18205  df-lsp 18244  df-lvec 18375  df-lsatoms 32587  df-lshyp 32588  df-lcv 32630  df-lfl 32669  df-lkr 32697  df-ldual 32735  df-oposet 32787  df-ol 32789  df-oml 32790  df-covers 32877  df-ats 32878  df-atl 32909  df-cvlat 32933  df-hlat 32962  df-llines 33108  df-lplanes 33109  df-lvols 33110  df-lines 33111  df-psubsp 33113  df-pmap 33114  df-padd 33406  df-lhyp 33598  df-laut 33599  df-ldil 33714  df-ltrn 33715  df-trl 33770  df-tgrp 34355  df-tendo 34367  df-edring 34369  df-dveca 34615  df-disoa 34642  df-dvech 34692  df-dib 34752  df-dic 34786  df-dih 34842  df-doch 34961  df-djh 35008
This theorem is referenced by:  lcfrlem35  35190
  Copyright terms: Public domain W3C validator