Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem21 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lcfrlem21 35131
Description: Lemma for lcfr 35153. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfrlem17.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfrlem17.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfrlem17.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfrlem17.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfrlem17.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcfrlem17.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
lcfrlem17.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
lcfrlem17.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfrlem17.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem21  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  e.  A )

Proof of Theorem lcfrlem21
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 lcfrlem17.o . . 3  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 lcfrlem17.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 lcfrlem17.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 lcfrlem17.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  U )
6 lcfrlem17.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
7 lcfrlem17.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  U )
8 lcfrlem17.a . . 3  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
9 lcfrlem17.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
109adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
11 lcfrlem17.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1211adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
13 lcfrlem17.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1413adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
15 lcfrlem17.ne . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
1615adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
17 simpr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  ->  -.  X  e.  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 17lcfrlem20 35130 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  ->  ( ( N `
 { X ,  Y } )  i^i  (  ._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } ) )  e.  A
)
191, 3, 9dvhlmod 34678 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
2011eldifad 3416 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2113eldifad 3416 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
224, 5lmodcom 18134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X
) )
2319, 20, 21, 22syl3anc 1268 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  =  ( Y 
.+  X ) )
2423sneqd 3980 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { ( X  .+  Y ) }  =  { ( Y  .+  X ) } )
2524fveq2d 5869 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } )  =  ( 
._|_  `  { ( Y 
.+  X ) } ) )
2625eleq2d 2514 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( 
._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } )  <->  Y  e.  (  ._|_  `  { ( Y 
.+  X ) } ) ) )
2726biimprd 227 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( 
._|_  `  { ( Y 
.+  X ) } )  ->  Y  e.  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) ) )
2827con3dimp 443 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  ->  -.  Y  e.  (  ._|_  `  { ( Y  .+  X ) } ) )
29 prcom 4050 . . . . . . . 8  |-  { X ,  Y }  =  { Y ,  X }
3029fveq2i 5868 . . . . . . 7  |-  ( N `
 { X ,  Y } )  =  ( N `  { Y ,  X } )
3130a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  ( N `
 { Y ,  X } ) )
3231, 25ineq12d 3635 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  =  ( ( N `  { Y ,  X } )  i^i  (  ._|_  `  { ( Y  .+  X ) } ) ) )
3332adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( Y  .+  X
) } ) )  ->  ( ( N `
 { X ,  Y } )  i^i  (  ._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } ) )  =  ( ( N `  { Y ,  X }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( Y  .+  X ) } ) ) )
349adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( Y  .+  X
) } ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3513adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( Y  .+  X
) } ) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
3611adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( Y  .+  X
) } ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
3715necomd 2679 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { X } ) )
3837adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( Y  .+  X
) } ) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { X } ) )
39 simpr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( Y  .+  X
) } ) )  ->  -.  Y  e.  (  ._|_  `  { ( Y  .+  X ) } ) )
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 34, 35, 36, 38, 39lcfrlem20 35130 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( Y  .+  X
) } ) )  ->  ( ( N `
 { Y ,  X } )  i^i  (  ._|_  `  { ( Y 
.+  X ) } ) )  e.  A
)
4133, 40eqeltrd 2529 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( Y  .+  X
) } ) )  ->  ( ( N `
 { X ,  Y } )  i^i  (  ._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } ) )  e.  A
)
4228, 41syldan 473 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  ->  ( ( N `
 { X ,  Y } )  i^i  (  ._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } ) )  e.  A
)
431, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 15lcfrlem19 35129 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  X  e.  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } )  \/  -.  Y  e.  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) ) )
4418, 42, 43mpjaodan 795 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  e.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622    \ cdif 3401    i^i cin 3403   {csn 3968   {cpr 3970   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121   +g cplusg 15190   0gc0g 15338   LModclmod 18091   LSpanclspn 18194  LSAtomsclsa 32540   HLchlt 32916   LHypclh 33549   DVecHcdvh 34646   ocHcoch 34915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-riotaBAD 32525
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-tpos 6973  df-undef 7020  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-0g 15340  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-preset 16173  df-poset 16191  df-plt 16204  df-lub 16220  df-glb 16221  df-join 16222  df-meet 16223  df-p0 16285  df-p1 16286  df-lat 16292  df-clat 16354  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-subg 16814  df-cntz 16971  df-oppg 16997  df-lsm 17288  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-dvr 17911  df-drng 17977  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-lsp 18195  df-lvec 18326  df-lsatoms 32542  df-lshyp 32543  df-lcv 32585  df-oposet 32742  df-ol 32744  df-oml 32745  df-covers 32832  df-ats 32833  df-atl 32864  df-cvlat 32888  df-hlat 32917  df-llines 33063  df-lplanes 33064  df-lvols 33065  df-lines 33066  df-psubsp 33068  df-pmap 33069  df-padd 33361  df-lhyp 33553  df-laut 33554  df-ldil 33669  df-ltrn 33670  df-trl 33725  df-tgrp 34310  df-tendo 34322  df-edring 34324  df-dveca 34570  df-disoa 34597  df-dvech 34647  df-dib 34707  df-dic 34741  df-dih 34797  df-doch 34916  df-djh 34963
This theorem is referenced by:  lcfrlem22  35132  lcfrlem40  35150
  Copyright terms: Public domain W3C validator