Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem21 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lcfrlem21 35202
Description: Lemma for lcfr 35224. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfrlem17.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfrlem17.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfrlem17.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfrlem17.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfrlem17.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcfrlem17.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
lcfrlem17.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
lcfrlem17.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfrlem17.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem21  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  e.  A )

Proof of Theorem lcfrlem21
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 lcfrlem17.o . . 3  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 lcfrlem17.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 lcfrlem17.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 lcfrlem17.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  U )
6 lcfrlem17.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
7 lcfrlem17.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  U )
8 lcfrlem17.a . . 3  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
9 lcfrlem17.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
109adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
11 lcfrlem17.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1211adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
13 lcfrlem17.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1413adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
15 lcfrlem17.ne . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
1615adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
17 simpr 468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  ->  -.  X  e.  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 17lcfrlem20 35201 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  ->  ( ( N `
 { X ,  Y } )  i^i  (  ._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } ) )  e.  A
)
191, 3, 9dvhlmod 34749 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
2011eldifad 3402 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2113eldifad 3402 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
224, 5lmodcom 18212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X
) )
2319, 20, 21, 22syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  =  ( Y 
.+  X ) )
2423sneqd 3971 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { ( X  .+  Y ) }  =  { ( Y  .+  X ) } )
2524fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } )  =  ( 
._|_  `  { ( Y 
.+  X ) } ) )
2625eleq2d 2534 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( 
._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } )  <->  Y  e.  (  ._|_  `  { ( Y 
.+  X ) } ) ) )
2726biimprd 231 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( 
._|_  `  { ( Y 
.+  X ) } )  ->  Y  e.  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) ) )
2827con3dimp 448 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  ->  -.  Y  e.  (  ._|_  `  { ( Y  .+  X ) } ) )
29 prcom 4041 . . . . . . . 8  |-  { X ,  Y }  =  { Y ,  X }
3029fveq2i 5882 . . . . . . 7  |-  ( N `
 { X ,  Y } )  =  ( N `  { Y ,  X } )
3130a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  ( N `
 { Y ,  X } ) )
3231, 25ineq12d 3626 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  =  ( ( N `  { Y ,  X } )  i^i  (  ._|_  `  { ( Y  .+  X ) } ) ) )
3332adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( Y  .+  X
) } ) )  ->  ( ( N `
 { X ,  Y } )  i^i  (  ._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } ) )  =  ( ( N `  { Y ,  X }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( Y  .+  X ) } ) ) )
349adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( Y  .+  X
) } ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3513adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( Y  .+  X
) } ) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
3611adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( Y  .+  X
) } ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
3715necomd 2698 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { X } ) )
3837adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( Y  .+  X
) } ) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { X } ) )
39 simpr 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( Y  .+  X
) } ) )  ->  -.  Y  e.  (  ._|_  `  { ( Y  .+  X ) } ) )
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 34, 35, 36, 38, 39lcfrlem20 35201 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( Y  .+  X
) } ) )  ->  ( ( N `
 { Y ,  X } )  i^i  (  ._|_  `  { ( Y 
.+  X ) } ) )  e.  A
)
4133, 40eqeltrd 2549 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( Y  .+  X
) } ) )  ->  ( ( N `
 { X ,  Y } )  i^i  (  ._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } ) )  e.  A
)
4228, 41syldan 478 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  ->  ( ( N `
 { X ,  Y } )  i^i  (  ._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } ) )  e.  A
)
431, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 15lcfrlem19 35200 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  X  e.  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } )  \/  -.  Y  e.  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) ) )
4418, 42, 43mpjaodan 803 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  e.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641    \ cdif 3387    i^i cin 3389   {csn 3959   {cpr 3961   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Basecbs 15199   +g cplusg 15268   0gc0g 15416   LModclmod 18169   LSpanclspn 18272  LSAtomsclsa 32611   HLchlt 32987   LHypclh 33620   DVecHcdvh 34717   ocHcoch 34986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-riotaBAD 32589
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-undef 7038  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-0g 15418  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-preset 16251  df-poset 16269  df-plt 16282  df-lub 16298  df-glb 16299  df-join 16300  df-meet 16301  df-p0 16363  df-p1 16364  df-lat 16370  df-clat 16432  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-oppg 17075  df-lsm 17366  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-drng 18055  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-lvec 18404  df-lsatoms 32613  df-lshyp 32614  df-lcv 32656  df-oposet 32813  df-ol 32815  df-oml 32816  df-covers 32903  df-ats 32904  df-atl 32935  df-cvlat 32959  df-hlat 32988  df-llines 33134  df-lplanes 33135  df-lvols 33136  df-lines 33137  df-psubsp 33139  df-pmap 33140  df-padd 33432  df-lhyp 33624  df-laut 33625  df-ldil 33740  df-ltrn 33741  df-trl 33796  df-tgrp 34381  df-tendo 34393  df-edring 34395  df-dveca 34641  df-disoa 34668  df-dvech 34718  df-dib 34778  df-dic 34812  df-dih 34868  df-doch 34987  df-djh 35034
This theorem is referenced by:  lcfrlem22  35203  lcfrlem40  35221
  Copyright terms: Public domain W3C validator