Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem21 Structured version   Unicode version

Theorem lcfrlem21 35516
Description: Lemma for lcfr 35538. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfrlem17.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfrlem17.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfrlem17.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfrlem17.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfrlem17.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcfrlem17.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
lcfrlem17.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
lcfrlem17.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfrlem17.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem21  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  e.  A )

Proof of Theorem lcfrlem21
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 lcfrlem17.o . . 3  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 lcfrlem17.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 lcfrlem17.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 lcfrlem17.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  U )
6 lcfrlem17.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
7 lcfrlem17.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  U )
8 lcfrlem17.a . . 3  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
9 lcfrlem17.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
109adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
11 lcfrlem17.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1211adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
13 lcfrlem17.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1413adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
15 lcfrlem17.ne . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
1615adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
17 simpr 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  ->  -.  X  e.  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 17lcfrlem20 35515 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  ->  ( ( N `
 { X ,  Y } )  i^i  (  ._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } ) )  e.  A
)
191, 3, 9dvhlmod 35063 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
2011eldifad 3440 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2113eldifad 3440 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
224, 5lmodcom 17099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X
) )
2319, 20, 21, 22syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  =  ( Y 
.+  X ) )
2423sneqd 3989 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { ( X  .+  Y ) }  =  { ( Y  .+  X ) } )
2524fveq2d 5795 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } )  =  ( 
._|_  `  { ( Y 
.+  X ) } ) )
2625eleq2d 2521 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( 
._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } )  <->  Y  e.  (  ._|_  `  { ( Y 
.+  X ) } ) ) )
2726biimprd 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( 
._|_  `  { ( Y 
.+  X ) } )  ->  Y  e.  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) ) )
2827con3dimp 441 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  ->  -.  Y  e.  (  ._|_  `  { ( Y  .+  X ) } ) )
29 prcom 4053 . . . . . . . 8  |-  { X ,  Y }  =  { Y ,  X }
3029fveq2i 5794 . . . . . . 7  |-  ( N `
 { X ,  Y } )  =  ( N `  { Y ,  X } )
3130a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  ( N `
 { Y ,  X } ) )
3231, 25ineq12d 3653 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  =  ( ( N `  { Y ,  X } )  i^i  (  ._|_  `  { ( Y  .+  X ) } ) ) )
3332adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( Y  .+  X
) } ) )  ->  ( ( N `
 { X ,  Y } )  i^i  (  ._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } ) )  =  ( ( N `  { Y ,  X }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( Y  .+  X ) } ) ) )
349adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( Y  .+  X
) } ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3513adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( Y  .+  X
) } ) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
3611adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( Y  .+  X
) } ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
3715necomd 2719 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { X } ) )
3837adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( Y  .+  X
) } ) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { X } ) )
39 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( Y  .+  X
) } ) )  ->  -.  Y  e.  (  ._|_  `  { ( Y  .+  X ) } ) )
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 34, 35, 36, 38, 39lcfrlem20 35515 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( Y  .+  X
) } ) )  ->  ( ( N `
 { Y ,  X } )  i^i  (  ._|_  `  { ( Y 
.+  X ) } ) )  e.  A
)
4133, 40eqeltrd 2539 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( Y  .+  X
) } ) )  ->  ( ( N `
 { X ,  Y } )  i^i  (  ._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } ) )  e.  A
)
4228, 41syldan 470 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  ->  ( ( N `
 { X ,  Y } )  i^i  (  ._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } ) )  e.  A
)
431, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 15lcfrlem19 35514 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  X  e.  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } )  \/  -.  Y  e.  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) ) )
4418, 42, 43mpjaodan 784 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  e.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644    \ cdif 3425    i^i cin 3427   {csn 3977   {cpr 3979   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   Basecbs 14278   +g cplusg 14342   0gc0g 14482   LModclmod 17056   LSpanclspn 17160  LSAtomsclsa 32927   HLchlt 33303   LHypclh 33936   DVecHcdvh 35031   ocHcoch 35300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-riotaBAD 32912
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-tpos 6847  df-undef 6894  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fz 11541  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-0g 14484  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-poset 15220  df-plt 15232  df-lub 15248  df-glb 15249  df-join 15250  df-meet 15251  df-p0 15313  df-p1 15314  df-lat 15320  df-clat 15382  df-mnd 15519  df-submnd 15569  df-grp 15649  df-minusg 15650  df-sbg 15651  df-subg 15782  df-cntz 15939  df-oppg 15965  df-lsm 16241  df-cmn 16385  df-abl 16386  df-mgp 16699  df-ur 16711  df-rng 16755  df-oppr 16823  df-dvdsr 16841  df-unit 16842  df-invr 16872  df-dvr 16883  df-drng 16942  df-lmod 17058  df-lss 17122  df-lsp 17161  df-lvec 17292  df-lsatoms 32929  df-lshyp 32930  df-lcv 32972  df-oposet 33129  df-ol 33131  df-oml 33132  df-covers 33219  df-ats 33220  df-atl 33251  df-cvlat 33275  df-hlat 33304  df-llines 33450  df-lplanes 33451  df-lvols 33452  df-lines 33453  df-psubsp 33455  df-pmap 33456  df-padd 33748  df-lhyp 33940  df-laut 33941  df-ldil 34056  df-ltrn 34057  df-trl 34111  df-tgrp 34695  df-tendo 34707  df-edring 34709  df-dveca 34955  df-disoa 34982  df-dvech 35032  df-dib 35092  df-dic 35126  df-dih 35182  df-doch 35301  df-djh 35348
This theorem is referenced by:  lcfrlem22  35517  lcfrlem40  35535
  Copyright terms: Public domain W3C validator