Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem20 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lcfrlem20 35132
Description: Lemma for lcfr 35155. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfrlem17.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfrlem17.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfrlem17.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfrlem17.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfrlem17.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcfrlem17.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
lcfrlem17.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
lcfrlem17.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfrlem17.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
lcfrlem20.e  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( 
._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } ) )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem20  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  e.  A )

Proof of Theorem lcfrlem20
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
2 lcfrlem17.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
3 eqid 2452 . . . 4  |-  ( LSSum `  U )  =  (
LSSum `  U )
4 lcfrlem17.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 lcfrlem17.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
6 lcfrlem17.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
74, 5, 6dvhlmod 34680 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
8 lcfrlem17.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
98eldifad 3384 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
10 lcfrlem17.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1110eldifad 3384 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
121, 2, 3, 7, 9, 11lsmpr 18323 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Y }
) ) )
1312ineq1d 3601 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  =  ( ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Y }
) )  i^i  (  ._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } ) ) )
14 eqid 2452 . . 3  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
15 eqid 2452 . . 3  |-  (LSHyp `  U )  =  (LSHyp `  U )
16 lcfrlem17.a . . 3  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
174, 5, 6dvhlvec 34679 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
18 lcfrlem17.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
19 lcfrlem17.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
20 lcfrlem17.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  U )
21 lcfrlem17.ne . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
224, 18, 5, 1, 20, 19, 2, 16, 6, 8, 10, 21lcfrlem17 35129 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
234, 18, 5, 1, 19, 15, 6, 22dochsnshp 35023 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } )  e.  (LSHyp `  U ) )
241, 2, 19, 16, 7, 8lsatlspsn 32561 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  A
)
251, 2, 19, 16, 7, 10lsatlspsn 32561 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  A
)
26 lcfrlem20.e . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( 
._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } ) )
271, 20lmodvacl 18116 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  e.  V )
287, 9, 11, 27syl3anc 1271 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  V )
2928snssd 4086 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( X  .+  Y ) }  C_  V )
304, 5, 1, 14, 18dochlss 34924 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  { ( X 
.+  Y ) } 
C_  V )  -> 
(  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } )  e.  ( LSubSp `  U ) )
316, 29, 30syl2anc 671 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
321, 14, 2, 7, 31, 9lspsnel5 18229 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( 
._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } )  <->  ( N `  { X } )  C_  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) ) )
3326, 32mtbid 306 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( N `  { X } )  C_  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )
3414, 3, 15, 16, 17, 23, 24, 25, 21, 33lshpat 32624 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 { X }
) ( LSSum `  U
) ( N `  { Y } ) )  i^i  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) )  e.  A )
3513, 34eqeltrd 2530 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X ,  Y }
)  i^i  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  e.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1448    e. wcel 1891    =/= wne 2622    \ cdif 3369    i^i cin 3371    C_ wss 3372   {csn 3936   {cpr 3938   ` cfv 5561  (class class class)co 6276   Basecbs 15132   +g cplusg 15201   0gc0g 15349   LSSumclsm 17297   LModclmod 18102   LSubSpclss 18166   LSpanclspn 18205  LSAtomsclsa 32542  LSHypclsh 32543   HLchlt 32918   LHypclh 33551   DVecHcdvh 34648   ocHcoch 34917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1673  ax-4 1686  ax-5 1762  ax-6 1809  ax-7 1855  ax-8 1893  ax-9 1900  ax-10 1919  ax-11 1924  ax-12 1937  ax-13 2092  ax-ext 2432  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4506  ax-pow 4554  ax-pr 4612  ax-un 6571  ax-cnex 9582  ax-resscn 9583  ax-1cn 9584  ax-icn 9585  ax-addcl 9586  ax-addrcl 9587  ax-mulcl 9588  ax-mulrcl 9589  ax-mulcom 9590  ax-addass 9591  ax-mulass 9592  ax-distr 9593  ax-i2m1 9594  ax-1ne0 9595  ax-1rid 9596  ax-rnegex 9597  ax-rrecex 9598  ax-cnre 9599  ax-pre-lttri 9600  ax-pre-lttrn 9601  ax-pre-ltadd 9602  ax-pre-mulgt0 9603  ax-riotaBAD 32527
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1451  df-fal 1454  df-ex 1668  df-nf 1672  df-sb 1802  df-eu 2304  df-mo 2305  df-clab 2439  df-cleq 2445  df-clel 2448  df-nfc 2582  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3015  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4169  df-int 4205  df-iun 4250  df-iin 4251  df-br 4375  df-opab 4434  df-mpt 4435  df-tr 4470  df-eprel 4723  df-id 4727  df-po 4733  df-so 4734  df-fr 4771  df-we 4773  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-pred 5359  df-ord 5405  df-on 5406  df-lim 5407  df-suc 5408  df-iota 5525  df-fun 5563  df-fn 5564  df-f 5565  df-f1 5566  df-fo 5567  df-f1o 5568  df-fv 5569  df-riota 6238  df-ov 6279  df-oprab 6280  df-mpt2 6281  df-om 6681  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6960  df-undef 7007  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-pnf 9664  df-mnf 9665  df-xr 9666  df-ltxr 9667  df-le 9668  df-sub 9849  df-neg 9850  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-n0 10860  df-z 10928  df-uz 11150  df-fz 11776  df-struct 15134  df-ndx 15135  df-slot 15136  df-base 15137  df-sets 15138  df-ress 15139  df-plusg 15214  df-mulr 15215  df-sca 15217  df-vsca 15218  df-0g 15351  df-mre 15503  df-mrc 15504  df-acs 15506  df-preset 16184  df-poset 16202  df-plt 16215  df-lub 16231  df-glb 16232  df-join 16233  df-meet 16234  df-p0 16296  df-p1 16297  df-lat 16303  df-clat 16365  df-mgm 16499  df-sgrp 16538  df-mnd 16548  df-submnd 16594  df-grp 16684  df-minusg 16685  df-sbg 16686  df-subg 16825  df-cntz 16982  df-oppg 17008  df-lsm 17299  df-cmn 17443  df-abl 17444  df-mgp 17735  df-ur 17747  df-ring 17793  df-oppr 17862  df-dvdsr 17880  df-unit 17881  df-invr 17911  df-dvr 17922  df-drng 17988  df-lmod 18104  df-lss 18167  df-lsp 18206  df-lvec 18337  df-lsatoms 32544  df-lshyp 32545  df-lcv 32587  df-oposet 32744  df-ol 32746  df-oml 32747  df-covers 32834  df-ats 32835  df-atl 32866  df-cvlat 32890  df-hlat 32919  df-llines 33065  df-lplanes 33066  df-lvols 33067  df-lines 33068  df-psubsp 33070  df-pmap 33071  df-padd 33363  df-lhyp 33555  df-laut 33556  df-ldil 33671  df-ltrn 33672  df-trl 33727  df-tgrp 34312  df-tendo 34324  df-edring 34326  df-dveca 34572  df-disoa 34599  df-dvech 34649  df-dib 34709  df-dic 34743  df-dih 34799  df-doch 34918  df-djh 34965
This theorem is referenced by:  lcfrlem21  35133
  Copyright terms: Public domain W3C validator