Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lcfrlem2 35123
Description: Lemma for lcfr 35165. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem1.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfrlem1.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lcfrlem1.q  |-  .X.  =  ( .r `  S )
lcfrlem1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
lcfrlem1.i  |-  I  =  ( invr `  S
)
lcfrlem1.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcfrlem1.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcfrlem1.t  |-  .x.  =  ( .s `  D )
lcfrlem1.m  |-  .-  =  ( -g `  D )
lcfrlem1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
lcfrlem1.e  |-  ( ph  ->  E  e.  F )
lcfrlem1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
lcfrlem1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lcfrlem1.n  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =/=  .0.  )
lcfrlem1.h  |-  H  =  ( E  .-  (
( ( I `  ( G `  X ) )  .X.  ( E `  X ) )  .x.  G ) )
lcfrlem2.l  |-  L  =  (LKer `  U )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem2  |-  ( ph  ->  ( ( L `  E )  i^i  ( L `  G )
)  C_  ( L `  H ) )

Proof of Theorem lcfrlem2
StepHypRef Expression
1 lcfrlem1.s . . . . . 6  |-  S  =  (Scalar `  U )
2 eqid 2453 . . . . . 6  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 lcfrlem1.f . . . . . 6  |-  F  =  (LFnl `  U )
4 lcfrlem2.l . . . . . 6  |-  L  =  (LKer `  U )
5 lcfrlem1.d . . . . . 6  |-  D  =  (LDual `  U )
6 lcfrlem1.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  D )
7 lcfrlem1.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
8 lcfrlem1.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
9 lveclmod 18341 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  LVec  ->  U  e. 
LMod )
107, 9syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
111lmodring 18111 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  LMod  ->  S  e. 
Ring )
1210, 11syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
131lvecdrng 18340 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  LVec  ->  S  e.  DivRing )
147, 13syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  DivRing )
15 lcfrlem1.x . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
16 lcfrlem1.v . . . . . . . . . 10  |-  V  =  ( Base `  U
)
171, 2, 16, 3lflcl 32642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X )  e.  ( Base `  S
) )
187, 8, 15, 17syl3anc 1269 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  e.  ( Base `  S ) )
19 lcfrlem1.n . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =/=  .0.  )
20 lcfrlem1.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
21 lcfrlem1.i . . . . . . . . 9  |-  I  =  ( invr `  S
)
222, 20, 21drnginvrcl 18004 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  DivRing  /\  ( G `  X )  e.  ( Base `  S
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  ->  ( I `  ( G `  X ) )  e.  ( Base `  S ) )
2314, 18, 19, 22syl3anc 1269 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( I `  ( G `  X )
)  e.  ( Base `  S ) )
24 lcfrlem1.e . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  F )
251, 2, 16, 3lflcl 32642 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  LVec  /\  E  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( E `  X )  e.  ( Base `  S
) )
267, 24, 15, 25syl3anc 1269 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E `  X
)  e.  ( Base `  S ) )
27 lcfrlem1.q . . . . . . . 8  |-  .X.  =  ( .r `  S )
282, 27ringcl 17806 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  (
I `  ( G `  X ) )  e.  ( Base `  S
)  /\  ( E `  X )  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
I `  ( G `  X ) )  .X.  ( E `  X ) )  e.  ( Base `  S ) )
2912, 23, 26, 28syl3anc 1269 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( I `  ( G `  X ) )  .X.  ( E `  X ) )  e.  ( Base `  S
) )
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 29lkrss 32746 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  ( L `  ( ( ( I `
 ( G `  X ) )  .X.  ( E `  X ) )  .x.  G ) ) )
313, 1, 2, 5, 6, 10, 29, 8ldualvscl 32717 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 ( G `  X ) )  .X.  ( E `  X ) )  .x.  G )  e.  F )
32 ringgrp 17797 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  Ring  ->  S  e. 
Grp )
3312, 32syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  Grp )
34 eqid 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  S )  =  ( 1r `  S
)
352, 34ringidcl 17813 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  Ring  ->  ( 1r
`  S )  e.  ( Base `  S
) )
3612, 35syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  S
)  e.  ( Base `  S ) )
37 eqid 2453 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  S )  =  ( invg `  S )
382, 37grpinvcl 16723 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  ( 1r `  S )  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( invg `  S ) `  ( 1r `  S ) )  e.  ( Base `  S
) )
3933, 36, 38syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  S ) `  ( 1r `  S ) )  e.  ( Base `  S
) )
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 31, 39lkrss 32746 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( L `  (
( ( I `  ( G `  X ) )  .X.  ( E `  X ) )  .x.  G ) )  C_  ( L `  ( ( ( invg `  S ) `  ( 1r `  S ) ) 
.x.  ( ( ( I `  ( G `
 X ) ) 
.X.  ( E `  X ) )  .x.  G ) ) ) )
4130, 40sstrd 3444 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  ( L `  ( ( ( invg `  S ) `
 ( 1r `  S ) )  .x.  ( ( ( I `
 ( G `  X ) )  .X.  ( E `  X ) )  .x.  G ) ) ) )
42 sslin 3660 . . . 4  |-  ( ( L `  G ) 
C_  ( L `  ( ( ( invg `  S ) `
 ( 1r `  S ) )  .x.  ( ( ( I `
 ( G `  X ) )  .X.  ( E `  X ) )  .x.  G ) ) )  ->  (
( L `  E
)  i^i  ( L `  G ) )  C_  ( ( L `  E )  i^i  ( L `  ( (
( invg `  S ) `  ( 1r `  S ) ) 
.x.  ( ( ( I `  ( G `
 X ) ) 
.X.  ( E `  X ) )  .x.  G ) ) ) ) )
4341, 42syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( L `  E )  i^i  ( L `  G )
)  C_  ( ( L `  E )  i^i  ( L `  (
( ( invg `  S ) `  ( 1r `  S ) ) 
.x.  ( ( ( I `  ( G `
 X ) ) 
.X.  ( E `  X ) )  .x.  G ) ) ) ) )
44 eqid 2453 . . . 4  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
453, 1, 2, 5, 6, 10, 39, 31ldualvscl 32717 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( invg `  S ) `
 ( 1r `  S ) )  .x.  ( ( ( I `
 ( G `  X ) )  .X.  ( E `  X ) )  .x.  G ) )  e.  F )
463, 4, 5, 44, 10, 24, 45lkrin 32742 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( L `  E )  i^i  ( L `  ( (
( invg `  S ) `  ( 1r `  S ) ) 
.x.  ( ( ( I `  ( G `
 X ) ) 
.X.  ( E `  X ) )  .x.  G ) ) ) )  C_  ( L `  ( E ( +g  `  D ) ( ( ( invg `  S ) `  ( 1r `  S ) ) 
.x.  ( ( ( I `  ( G `
 X ) ) 
.X.  ( E `  X ) )  .x.  G ) ) ) ) )
4743, 46sstrd 3444 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( L `  E )  i^i  ( L `  G )
)  C_  ( L `  ( E ( +g  `  D ) ( ( ( invg `  S ) `  ( 1r `  S ) ) 
.x.  ( ( ( I `  ( G `
 X ) ) 
.X.  ( E `  X ) )  .x.  G ) ) ) ) )
48 lcfrlem1.h . . . 4  |-  H  =  ( E  .-  (
( ( I `  ( G `  X ) )  .X.  ( E `  X ) )  .x.  G ) )
4948fveq2i 5873 . . 3  |-  ( L `
 H )  =  ( L `  ( E  .-  ( ( ( I `  ( G `
 X ) ) 
.X.  ( E `  X ) )  .x.  G ) ) )
50 lcfrlem1.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  D )
511, 37, 34, 3, 5, 44, 6, 50, 10, 24, 31ldualvsub 32733 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  .-  (
( ( I `  ( G `  X ) )  .X.  ( E `  X ) )  .x.  G ) )  =  ( E ( +g  `  D ) ( ( ( invg `  S ) `  ( 1r `  S ) ) 
.x.  ( ( ( I `  ( G `
 X ) ) 
.X.  ( E `  X ) )  .x.  G ) ) ) )
5251fveq2d 5874 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L `  ( E  .-  ( ( ( I `  ( G `
 X ) ) 
.X.  ( E `  X ) )  .x.  G ) ) )  =  ( L `  ( E ( +g  `  D
) ( ( ( invg `  S
) `  ( 1r `  S ) )  .x.  ( ( ( I `
 ( G `  X ) )  .X.  ( E `  X ) )  .x.  G ) ) ) ) )
5349, 52syl5req 2500 . 2  |-  ( ph  ->  ( L `  ( E ( +g  `  D
) ( ( ( invg `  S
) `  ( 1r `  S ) )  .x.  ( ( ( I `
 ( G `  X ) )  .X.  ( E `  X ) )  .x.  G ) ) ) )  =  ( L `  H
) )
5447, 53sseqtrd 3470 1  |-  ( ph  ->  ( ( L `  E )  i^i  ( L `  G )
)  C_  ( L `  H ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624    i^i cin 3405    C_ wss 3406   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   Basecbs 15133   +g cplusg 15202   .rcmulr 15203  Scalarcsca 15205   .scvsca 15206   0gc0g 15350   Grpcgrp 16681   invgcminusg 16682   -gcsg 16683   1rcur 17747   Ringcrg 17792   invrcinvr 17911   DivRingcdr 17987   LModclmod 18103   LVecclvec 18337  LFnlclfn 32635  LKerclk 32663  LDualcld 32701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-tpos 6978  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-0g 15352  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-sbg 16687  df-cmn 17444  df-abl 17445  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-oppr 17863  df-dvdsr 17881  df-unit 17882  df-invr 17912  df-drng 17989  df-lmod 18105  df-lss 18168  df-lvec 18338  df-lfl 32636  df-lkr 32664  df-ldual 32702
This theorem is referenced by:  lcfrlem35  35157
  Copyright terms: Public domain W3C validator