Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem19 Structured version   Unicode version

Theorem lcfrlem19 35206
Description: Lemma for lcfr 35230. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfrlem17.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfrlem17.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfrlem17.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfrlem17.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfrlem17.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcfrlem17.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
lcfrlem17.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
lcfrlem17.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfrlem17.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lcfrlem17.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem19  |-  ( ph  ->  ( -.  X  e.  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } )  \/  -.  Y  e.  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) ) )

Proof of Theorem lcfrlem19
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 lcfrlem17.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 lcfrlem17.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 lcfrlem17.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 lcfrlem17.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
6 lcfrlem17.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 lcfrlem17.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  U )
8 lcfrlem17.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
9 lcfrlem17.a . . . . 5  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
10 lcfrlem17.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
11 lcfrlem17.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
12 lcfrlem17.ne . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
131, 2, 3, 4, 7, 5, 8, 9, 6, 10, 11, 12lcfrlem17 35204 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 13dochnel 35038 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( X  .+  Y )  e.  ( 
._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } ) )
151, 3, 6dvhlmod 34755 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
1615adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } )  /\  Y  e.  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) ) )  ->  U  e.  LMod )
1710eldifad 3340 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
1811eldifad 3340 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
194, 7lmodvacl 16962 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  e.  V )
2015, 17, 18, 19syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  V )
2120snssd 4018 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( X  .+  Y ) }  C_  V )
22 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
231, 3, 4, 22, 2dochlss 34999 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  { ( X 
.+  Y ) } 
C_  V )  -> 
(  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } )  e.  ( LSubSp `  U ) )
246, 21, 23syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
2524adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } )  /\  Y  e.  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) ) )  ->  (  ._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } )  e.  ( LSubSp `  U ) )
26 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } )  /\  Y  e.  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) ) )  ->  ( X  e.  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } )  /\  Y  e.  ( 
._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } ) ) )
277, 22lssvacl 17035 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  LMod  /\  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } )  e.  (
LSubSp `  U ) )  /\  ( X  e.  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } )  /\  Y  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  ( 
._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } ) )
2816, 25, 26, 27syl21anc 1217 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } )  /\  Y  e.  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )
2914, 28mtand 659 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( X  e.  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } )  /\  Y  e.  (  ._|_  `  {
( X  .+  Y
) } ) ) )
30 ianor 488 . 2  |-  ( -.  ( X  e.  ( 
._|_  `  { ( X 
.+  Y ) } )  /\  Y  e.  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) )  <->  ( -.  X  e.  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } )  \/  -.  Y  e.  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) ) )
3129, 30sylib 196 1  |-  ( ph  ->  ( -.  X  e.  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } )  \/  -.  Y  e.  (  ._|_  `  { ( X  .+  Y ) } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606    \ cdif 3325    C_ wss 3328   {csn 3877   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   0gc0g 14378   LModclmod 16948   LSubSpclss 17013   LSpanclspn 17052  LSAtomsclsa 32619   HLchlt 32995   LHypclh 33628   DVecHcdvh 34723   ocHcoch 34992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-riotaBAD 32604
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-tpos 6745  df-undef 6792  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-0g 14380  df-poset 15116  df-plt 15128  df-lub 15144  df-glb 15145  df-join 15146  df-meet 15147  df-p0 15209  df-p1 15210  df-lat 15216  df-clat 15278  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-subg 15678  df-cntz 15835  df-lsm 16135  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-oppr 16715  df-dvdsr 16733  df-unit 16734  df-invr 16764  df-dvr 16775  df-drng 16834  df-lmod 16950  df-lss 17014  df-lsp 17053  df-lvec 17184  df-lsatoms 32621  df-oposet 32821  df-ol 32823  df-oml 32824  df-covers 32911  df-ats 32912  df-atl 32943  df-cvlat 32967  df-hlat 32996  df-llines 33142  df-lplanes 33143  df-lvols 33144  df-lines 33145  df-psubsp 33147  df-pmap 33148  df-padd 33440  df-lhyp 33632  df-laut 33633  df-ldil 33748  df-ltrn 33749  df-trl 33803  df-tendo 34399  df-edring 34401  df-disoa 34674  df-dvech 34724  df-dib 34784  df-dic 34818  df-dih 34874  df-doch 34993
This theorem is referenced by:  lcfrlem21  35208
  Copyright terms: Public domain W3C validator