Theorem lcfr 37046

Description: Reconstruction of a subspace from a dual subspace of functionals with closed kernels. Our proof was suggested by Mario Carneiro, 20-Feb-2015. (Contributed by NM, 5-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfr.h	|- H = ( LHyp ` K )
lcfr.o	|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
lcfr.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
lcfr.s	|- S = ( LSubSp ` U )
lcfr.f	|- F = (LFnl ` U )
lcfr.l	|- L = (LKer ` U )
lcfr.d	|- D = (LDual ` U )
lcfr.t	|- T = ( LSubSp ` D )
lcfr.c	|- C = { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) }
lcfr.q	|- Q = U_ g e. R ( ._|_ ` ( L ` g ) )
lcfr.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
lcfr.r	|- ( ph -> R e. T )
lcfr.rs	|- ( ph -> R C_ C )

Assertion

Ref	Expression
lcfr	|- ( ph -> Q e. S )

Distinct variable groups:   f, F   f, g, L   ._|_ , f, g   R, g   U, f

Allowed substitution hints:   ph( f, g)   C( f, g)   D( f, g)   Q( f, g)   R( f)   S( f, g)   T( f, g)   U( g)   F( g)   H( f, g)   K( f, g)   W( f, g)

Proof of Theorem lcfr

Dummy variables h a b x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfr.q	. . . 4 |- Q = U_ g e. R ( ._|_ ` ( L ` g ) )
2		fveq2 5856	. . . . . 6 |- ( g = h -> ( L ` g ) = ( L ` h ) )
3	2	fveq2d 5860	. . . . 5 |- ( g = h -> ( ._|_ ` ( L ` g ) ) = ( ._|_ ` ( L ` h ) ) )
4	3	cbviunv 4354	. . . 4 |- U_ g e. R ( ._|_ ` ( L ` g ) ) = U_ h e. R ( ._|_ ` ( L ` h ) )
5	1, 4	eqtri 2472	. . 3 |- Q = U_ h e. R ( ._|_ ` ( L ` h ) )
6		lcfr.k	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
7	6	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ h e. R ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
8		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ( Base ` U ) = ( Base ` U )
9		lcfr.f	. . . . . . 7 |- F = (LFnl ` U )
10		lcfr.l	. . . . . . 7 |- L = (LKer ` U )
11		lcfr.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( LHyp ` K )
12		lcfr.u	. . . . . . . . 9 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
13	11, 12, 6	dvhlmod 36571	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. LMod )
14	13	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h e. R ) -> U e. LMod )
15		lcfr.r	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. T )
16		eqid 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` D ) = ( Base ` D )
17		lcfr.t	. . . . . . . . . . 11 |- T = ( LSubSp ` D )
18	16, 17	lssss 17457	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. T -> R C_ ( Base ` D ) )
19	15, 18	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R C_ ( Base ` D ) )
20		lcfr.d	. . . . . . . . . 10 |- D = (LDual ` U )
21	9, 20, 16, 13	ldualvbase 34585	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Base ` D ) = F )
22	19, 21	sseqtrd 3525	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R C_ F )
23	22	sselda 3489	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h e. R ) -> h e. F )
24	8, 9, 10, 14, 23	lkrssv 34555	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ h e. R ) -> ( L ` h ) C_ ( Base ` U ) )
25		lcfr.o	. . . . . . 7 |- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
26	11, 12, 8, 25	dochssv 36816	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( L ` h ) C_ ( Base ` U ) ) -> ( ._|_ ` ( L ` h ) ) C_ ( Base ` U ) )
27	7, 24, 26	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ h e. R ) -> ( ._|_ ` ( L ` h ) ) C_ ( Base ` U ) )
28	27	ralrimiva 2857	. . . 4 |- ( ph -> A. h e. R ( ._|_ ` ( L ` h ) ) C_ ( Base ` U ) )
29		iunss 4356	. . . 4 |- ( U_ h e. R ( ._|_ ` ( L ` h ) ) C_ ( Base ` U ) <-> A. h e. R ( ._|_ ` ( L ` h ) ) C_ ( Base ` U ) )
30	28, 29	sylibr 212	. . 3 |- ( ph -> U_ h e. R ( ._|_ ` ( L ` h ) ) C_ ( Base ` U ) )
31	5, 30	syl5eqss 3533	. 2 |- ( ph -> Q C_ ( Base ` U ) )
32	5	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> Q = U_ h e. R ( ._|_ ` ( L ` h ) ) )
33	20, 13	lduallmod 34612	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. LMod )
34		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` D ) = ( 0g ` D )
35	34, 17	lss0cl 17467	. . . . . . 7 |- ( ( D e. LMod /\ R e. T ) -> ( 0g ` D ) e. R )
36	33, 15, 35	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0g ` D ) e. R )
37	9, 20, 34, 13	ldual0vcl 34610	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0g ` D ) e. F )
38	8, 9, 10, 13, 37	lkrssv 34555	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( L ` ( 0g ` D ) ) C_ ( Base ` U ) )
39		lcfr.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( LSubSp ` U )
40	11, 12, 8, 39, 25	dochlss 36815	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( L ` ( 0g ` D ) ) C_ ( Base ` U ) ) -> ( ._|_ ` ( L ` ( 0g ` D ) ) ) e. S )
41	6, 38, 40	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ._|_ ` ( L ` ( 0g ` D ) ) ) e. S )
42		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` U ) = ( 0g ` U )
43	42, 39	lss0cl 17467	. . . . . . 7 |- ( ( U e. LMod /\ ( ._|_ ` ( L ` ( 0g ` D ) ) ) e. S ) -> ( 0g ` U ) e. ( ._|_ ` ( L ` ( 0g ` D ) ) ) )
44	13, 41, 43	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0g ` U ) e. ( ._|_ ` ( L ` ( 0g ` D ) ) ) )
45		fveq2 5856	. . . . . . . . 9 |- ( h = ( 0g ` D ) -> ( L ` h ) = ( L ` ( 0g ` D ) ) )
46	45	fveq2d 5860	. . . . . . . 8 |- ( h = ( 0g ` D ) -> ( ._|_ ` ( L ` h ) ) = ( ._|_ ` ( L ` ( 0g ` D ) ) ) )
47	46	eleq2d 2513	. . . . . . 7 |- ( h = ( 0g ` D ) -> ( ( 0g ` U ) e. ( ._|_ ` ( L ` h ) ) <-> ( 0g ` U ) e. ( ._|_ ` ( L ` ( 0g ` D ) ) ) ) )
48	47	rspcev 3196	. . . . . 6 |- ( ( ( 0g ` D ) e. R /\ ( 0g ` U ) e. ( ._|_ ` ( L ` ( 0g ` D ) ) ) ) -> E. h e. R ( 0g ` U ) e. ( ._|_ ` ( L ` h ) ) )
49	36, 44, 48	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> E. h e. R ( 0g ` U ) e. ( ._|_ ` ( L ` h ) ) )
50		eliun 4320	. . . . 5 |- ( ( 0g ` U ) e. U_ h e. R ( ._|_ ` ( L ` h ) ) <-> E. h e. R ( 0g ` U ) e. ( ._|_ ` ( L ` h ) ) )
51	49, 50	sylibr 212	. . . 4 |- ( ph -> ( 0g ` U ) e. U_ h e. R ( ._|_ ` ( L ` h ) ) )
52		ne0i 3776	. . . 4 |- ( ( 0g ` U ) e. U_ h e. R ( ._|_ ` ( L ` h ) ) -> U_ h e. R ( ._|_ ` ( L ` h ) ) =/= (/) )
53	51, 52	syl 16	. . 3 |- ( ph -> U_ h e. R ( ._|_ ` ( L ` h ) ) =/= (/) )
54	32, 53	eqnetrd 2736	. 2 |- ( ph -> Q =/= (/) )
55		eqid 2443	. . . 4 |- ( +g ` U ) = ( +g ` U )
56		lcfr.c	. . . . 5 |- C = { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) }
57		rabeq 3089	. . . . . 6 |- ( F = (LFnl ` U ) -> { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } = { f e. (LFnl ` U ) | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } )
58	9, 57	ax-mp 5	. . . . 5 |- { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } = { f e. (LFnl ` U ) | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) }
59	56, 58	eqtri 2472	. . . 4 |- C = { f e. (LFnl ` U ) | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) }
60	6	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) /\ a e. Q /\ b e. Q ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
61	15	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) /\ a e. Q /\ b e. Q ) ) -> R e. T )
62		lcfr.rs	. . . . 5 |- ( ph -> R C_ C )
63	62	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) /\ a e. Q /\ b e. Q ) ) -> R C_ C )
64		simpr2 1004	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) /\ a e. Q /\ b e. Q ) ) -> a e. Q )
65		eqid 2443	. . . . 5 |- (Scalar ` U ) = (Scalar ` U )
66		eqid 2443	. . . . 5 |- ( Base ` (Scalar ` U ) ) = ( Base ` (Scalar ` U ) )
67		eqid 2443	. . . . 5 |- ( .s ` U ) = ( .s ` U )
68		simpr1 1003	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) /\ a e. Q /\ b e. Q ) ) -> x e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) )
69	11, 25, 12, 8, 9, 10, 20, 17, 60, 61, 5, 64, 65, 66, 67, 68	lcfrlem5 37007	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) /\ a e. Q /\ b e. Q ) ) -> ( x ( .s ` U ) a ) e. Q )
70		simpr3 1005	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) /\ a e. Q /\ b e. Q ) ) -> b e. Q )
71	11, 25, 12, 55, 9, 10, 20, 17, 59, 5, 60, 61, 63, 69, 70	lcfrlem42 37045	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) /\ a e. Q /\ b e. Q ) ) -> ( ( x ( .s ` U ) a ) ( +g ` U ) b ) e. Q )
72	71	ralrimivvva 2865	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) A. a e. Q A. b e. Q ( ( x ( .s ` U ) a ) ( +g ` U ) b ) e. Q )
73	65, 66, 8, 55, 67, 39	islss 17455	. 2 |- ( Q e. S <-> ( Q C_ ( Base ` U ) /\ Q =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) A. a e. Q A. b e. Q ( ( x ( .s ` U ) a ) ( +g ` U ) b ) e. Q ) )
74	31, 54, 72, 73	syl3anbrc 1181	1 |- ( ph -> Q e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 974   = wceq 1383   e. wcel 1804   =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   {crab 2797   C_ wss 3461   (/)c0 3770   U_ciun 4315   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14509   +g cplusg 14574  Scalarcsca 14577   .scvsca 14578   0gc0g 14714   LModclmod 17386   LSubSpclss 17452  LFnlclfn 34516  LKerclk 34544  LDualcld 34582   HLchlt 34809   LHypclh 35442   DVecHcdvh 36539   ocHcoch 36808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-riotaBAD 34418

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6957  df-undef 7004  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-0g 14716  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-preset 15431  df-poset 15449  df-plt 15462  df-lub 15478  df-glb 15479  df-join 15480  df-meet 15481  df-p0 15543  df-p1 15544  df-lat 15550  df-clat 15612  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-sbg 15933  df-subg 16072  df-cntz 16229  df-oppg 16255  df-lsm 16530  df-cmn 16674  df-abl 16675  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-oppr 17146  df-dvdsr 17164  df-unit 17165  df-invr 17195  df-dvr 17206  df-drng 17272  df-lmod 17388  df-lss 17453  df-lsp 17492  df-lvec 17623  df-lsatoms 34435  df-lshyp 34436  df-lcv 34478  df-lfl 34517  df-lkr 34545  df-ldual 34583  df-oposet 34635  df-ol 34637  df-oml 34638  df-covers 34725  df-ats 34726  df-atl 34757  df-cvlat 34781  df-hlat 34810  df-llines 34956  df-lplanes 34957  df-lvols 34958  df-lines 34959  df-psubsp 34961  df-pmap 34962  df-padd 35254  df-lhyp 35446  df-laut 35447  df-ldil 35562  df-ltrn 35563  df-trl 35618  df-tgrp 36203  df-tendo 36215  df-edring 36217  df-dveca 36463  df-disoa 36490  df-dvech 36540  df-dib 36600  df-dic 36634  df-dih 36690  df-doch 36809  df-djh 36856

This theorem is referenced by:  mapdrval  37108  mapd1o  37109