Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfl9a Structured version   Unicode version

Theorem lcfl9a 37375
Description: Property implying that a functional has a closed kernel. (Contributed by NM, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl9a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfl9a.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfl9a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfl9a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfl9a.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcfl9a.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfl9a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfl9a.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
lcfl9a.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lcfl9a.s  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { X } )  C_  ( L `  G )
)
Assertion
Ref Expression
lcfl9a  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
) )

Proof of Theorem lcfl9a
StepHypRef Expression
1 lcfl9a.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 lcfl9a.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 lcfl9a.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
4 lcfl9a.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 lcfl9a.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
61, 2, 3, 4, 5dochoc1 37231 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  V ) )  =  V )
76adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  V ) )  =  V )
8 lcfl9a.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (LFnl `  U )
9 lcfl9a.l . . . . . . . 8  |-  L  =  (LKer `  U )
101, 2, 5dvhlmod 36980 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
11 lcfl9a.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
124, 8, 9, 10, 11lkrssv 34964 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  V )
1312adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( L `  G )  C_  V
)
14 sneq 4042 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  { X }  =  { ( 0g `  U ) } )
1514fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  (  ._|_  `  { X }
)  =  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } ) )
16 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
171, 2, 3, 4, 16doch0 37228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } )  =  V )
185, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } )  =  V )
1915, 18sylan9eqr 2520 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  (  ._|_  `  { X } )  =  V )
20 lcfl9a.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { X } )  C_  ( L `  G )
)
2120adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  (  ._|_  `  { X } ) 
C_  ( L `  G ) )
2219, 21eqsstr3d 3534 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  V  C_  ( L `  G )
)
2313, 22eqssd 3516 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( L `  G )  =  V )
2423fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  (  ._|_  `  ( L `  G
) )  =  ( 
._|_  `  V ) )
2524fveq2d 5876 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  V ) ) )
267, 25, 233eqtr4d 2508 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  ( L `
 G ) )
276adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  V ) )  =  V )
28 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  ( L `  G )  =  V )
2928fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  (  ._|_  `  ( L `  G
) )  =  ( 
._|_  `  V ) )
3029fveq2d 5876 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  V ) ) )
3127, 30, 283eqtr4d 2508 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  ( L `
 G ) )
32 lcfl9a.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3332snssd 4177 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { X }  C_  V )
34 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( (
DIsoH `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoH `  K ) `  W )
351, 34, 2, 4, 3dochcl 37223 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  { X }  C_  V )  ->  (  ._|_  `  { X }
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
365, 33, 35syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { X } )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
371, 34, 3dochoc 37237 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  { X } )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { X } ) ) )  =  ( 
._|_  `  { X }
) )
385, 36, 37syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { X } ) ) )  =  (  ._|_  `  { X } ) )
3938adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { X }
) ) )  =  (  ._|_  `  { X } ) )
4020adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  { X }
)  C_  ( L `  G ) )
41 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  (LSHyp `  U )  =  (LSHyp `  U )
421, 2, 5dvhlvec 36979 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
4342adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  U  e.  LVec )
445adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
4532adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  X  e.  V )
46 simprl 756 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  X  =/=  ( 0g `  U
) )
47 eldifsn 4157 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ( V  \  { ( 0g `  U ) } )  <-> 
( X  e.  V  /\  X  =/=  ( 0g `  U ) ) )
4845, 46, 47sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  X  e.  ( V  \  {
( 0g `  U
) } ) )
491, 3, 2, 4, 16, 41, 44, 48dochsnshp 37323 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  { X }
)  e.  (LSHyp `  U ) )
50 simprr 757 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  ( L `  G )  =/=  V )
514, 41, 8, 9, 42, 11lkrshp4 34976 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  =/=  V  <->  ( L `  G )  e.  (LSHyp `  U
) ) )
5251adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (
( L `  G
)  =/=  V  <->  ( L `  G )  e.  (LSHyp `  U ) ) )
5350, 52mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  ( L `  G )  e.  (LSHyp `  U )
)
5441, 43, 49, 53lshpcmp 34856 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (
(  ._|_  `  { X } )  C_  ( L `  G )  <->  ( 
._|_  `  { X }
)  =  ( L `
 G ) ) )
5540, 54mpbid 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  { X }
)  =  ( L `
 G ) )
5655fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { X } ) )  =  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )
5756fveq2d 5876 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { X }
) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) ) )
5839, 57, 553eqtr3d 2506 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G ) )
5926, 31, 58pm2.61da2ne 2776 1  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652    \ cdif 3468    C_ wss 3471   {csn 4032   ran crn 5009   ` cfv 5594   Basecbs 14644   0gc0g 14857   LVecclvec 17875  LSHypclsh 34843  LFnlclfn 34925  LKerclk 34953   HLchlt 35218   LHypclh 35851   DVecHcdvh 36948   DIsoHcdih 37098   ocHcoch 37217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-riotaBAD 34827
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-undef 7020  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-0g 14859  df-preset 15684  df-poset 15702  df-plt 15715  df-lub 15731  df-glb 15732  df-join 15733  df-meet 15734  df-p0 15796  df-p1 15797  df-lat 15803  df-clat 15865  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-subg 16325  df-cntz 16482  df-lsm 16783  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-dvr 17459  df-drng 17525  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-lvec 17876  df-lsatoms 34844  df-lshyp 34845  df-lfl 34926  df-lkr 34954  df-oposet 35044  df-ol 35046  df-oml 35047  df-covers 35134  df-ats 35135  df-atl 35166  df-cvlat 35190  df-hlat 35219  df-llines 35365  df-lplanes 35366  df-lvols 35367  df-lines 35368  df-psubsp 35370  df-pmap 35371  df-padd 35663  df-lhyp 35855  df-laut 35856  df-ldil 35971  df-ltrn 35972  df-trl 36027  df-tgrp 36612  df-tendo 36624  df-edring 36626  df-dveca 36872  df-disoa 36899  df-dvech 36949  df-dib 37009  df-dic 37043  df-dih 37099  df-doch 37218  df-djh 37265
This theorem is referenced by:  mapdsn  37511
  Copyright terms: Public domain W3C validator