Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfl9a Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lcfl9a 35085
Description: Property implying that a functional has a closed kernel. (Contributed by NM, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl9a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfl9a.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfl9a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfl9a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfl9a.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcfl9a.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfl9a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfl9a.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
lcfl9a.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lcfl9a.s  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { X } )  C_  ( L `  G )
)
Assertion
Ref Expression
lcfl9a  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
) )

Proof of Theorem lcfl9a
StepHypRef Expression
1 lcfl9a.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 lcfl9a.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 lcfl9a.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
4 lcfl9a.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 lcfl9a.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
61, 2, 3, 4, 5dochoc1 34941 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  V ) )  =  V )
76adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  V ) )  =  V )
8 lcfl9a.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (LFnl `  U )
9 lcfl9a.l . . . . . . . 8  |-  L  =  (LKer `  U )
101, 2, 5dvhlmod 34690 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
11 lcfl9a.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
124, 8, 9, 10, 11lkrssv 32674 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  V )
1312adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( L `  G )  C_  V
)
14 sneq 3980 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  { X }  =  { ( 0g `  U ) } )
1514fveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  (  ._|_  `  { X }
)  =  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } ) )
16 eqid 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
171, 2, 3, 4, 16doch0 34938 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } )  =  V )
185, 17syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } )  =  V )
1915, 18sylan9eqr 2509 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  (  ._|_  `  { X } )  =  V )
20 lcfl9a.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { X } )  C_  ( L `  G )
)
2120adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  (  ._|_  `  { X } ) 
C_  ( L `  G ) )
2219, 21eqsstr3d 3469 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  V  C_  ( L `  G )
)
2313, 22eqssd 3451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( L `  G )  =  V )
2423fveq2d 5874 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  (  ._|_  `  ( L `  G
) )  =  ( 
._|_  `  V ) )
2524fveq2d 5874 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  V ) ) )
267, 25, 233eqtr4d 2497 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  ( L `
 G ) )
276adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  V ) )  =  V )
28 simpr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  ( L `  G )  =  V )
2928fveq2d 5874 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  (  ._|_  `  ( L `  G
) )  =  ( 
._|_  `  V ) )
3029fveq2d 5874 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  V ) ) )
3127, 30, 283eqtr4d 2497 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  ( L `
 G ) )
32 lcfl9a.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3332snssd 4120 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { X }  C_  V )
34 eqid 2453 . . . . . . 7  |-  ( (
DIsoH `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoH `  K ) `  W )
351, 34, 2, 4, 3dochcl 34933 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  { X }  C_  V )  ->  (  ._|_  `  { X }
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
365, 33, 35syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { X } )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
371, 34, 3dochoc 34947 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  { X } )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { X } ) ) )  =  ( 
._|_  `  { X }
) )
385, 36, 37syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { X } ) ) )  =  (  ._|_  `  { X } ) )
3938adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { X }
) ) )  =  (  ._|_  `  { X } ) )
4020adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  { X }
)  C_  ( L `  G ) )
41 eqid 2453 . . . . . . 7  |-  (LSHyp `  U )  =  (LSHyp `  U )
421, 2, 5dvhlvec 34689 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
4342adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  U  e.  LVec )
445adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
4532adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  X  e.  V )
46 simprl 765 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  X  =/=  ( 0g `  U
) )
47 eldifsn 4100 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ( V  \  { ( 0g `  U ) } )  <-> 
( X  e.  V  /\  X  =/=  ( 0g `  U ) ) )
4845, 46, 47sylanbrc 671 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  X  e.  ( V  \  {
( 0g `  U
) } ) )
491, 3, 2, 4, 16, 41, 44, 48dochsnshp 35033 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  { X }
)  e.  (LSHyp `  U ) )
50 simprr 767 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  ( L `  G )  =/=  V )
514, 41, 8, 9, 42, 11lkrshp4 32686 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  =/=  V  <->  ( L `  G )  e.  (LSHyp `  U
) ) )
5251adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (
( L `  G
)  =/=  V  <->  ( L `  G )  e.  (LSHyp `  U ) ) )
5350, 52mpbid 214 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  ( L `  G )  e.  (LSHyp `  U )
)
5441, 43, 49, 53lshpcmp 32566 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (
(  ._|_  `  { X } )  C_  ( L `  G )  <->  ( 
._|_  `  { X }
)  =  ( L `
 G ) ) )
5540, 54mpbid 214 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  { X }
)  =  ( L `
 G ) )
5655fveq2d 5874 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { X } ) )  =  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )
5756fveq2d 5874 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { X }
) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) ) )
5839, 57, 553eqtr3d 2495 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G ) )
5926, 31, 58pm2.61da2ne 2714 1  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624    \ cdif 3403    C_ wss 3406   {csn 3970   ran crn 4838   ` cfv 5585   Basecbs 15133   0gc0g 15350   LVecclvec 18337  LSHypclsh 32553  LFnlclfn 32635  LKerclk 32663   HLchlt 32928   LHypclh 33561   DVecHcdvh 34658   DIsoHcdih 34808   ocHcoch 34927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-riotaBAD 32537
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-tpos 6978  df-undef 7025  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-0g 15352  df-preset 16185  df-poset 16203  df-plt 16216  df-lub 16232  df-glb 16233  df-join 16234  df-meet 16235  df-p0 16297  df-p1 16298  df-lat 16304  df-clat 16366  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-sbg 16687  df-subg 16826  df-cntz 16983  df-lsm 17300  df-cmn 17444  df-abl 17445  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-oppr 17863  df-dvdsr 17881  df-unit 17882  df-invr 17912  df-dvr 17923  df-drng 17989  df-lmod 18105  df-lss 18168  df-lsp 18207  df-lvec 18338  df-lsatoms 32554  df-lshyp 32555  df-lfl 32636  df-lkr 32664  df-oposet 32754  df-ol 32756  df-oml 32757  df-covers 32844  df-ats 32845  df-atl 32876  df-cvlat 32900  df-hlat 32929  df-llines 33075  df-lplanes 33076  df-lvols 33077  df-lines 33078  df-psubsp 33080  df-pmap 33081  df-padd 33373  df-lhyp 33565  df-laut 33566  df-ldil 33681  df-ltrn 33682  df-trl 33737  df-tgrp 34322  df-tendo 34334  df-edring 34336  df-dveca 34582  df-disoa 34609  df-dvech 34659  df-dib 34719  df-dic 34753  df-dih 34809  df-doch 34928  df-djh 34975
This theorem is referenced by:  mapdsn  35221
  Copyright terms: Public domain W3C validator