Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfl9a Structured version   Unicode version

Theorem lcfl9a 35155
Description: Property implying that a functional has a closed kernel. (Contributed by NM, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl9a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfl9a.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfl9a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfl9a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfl9a.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcfl9a.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfl9a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfl9a.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
lcfl9a.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lcfl9a.s  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { X } )  C_  ( L `  G )
)
Assertion
Ref Expression
lcfl9a  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
) )

Proof of Theorem lcfl9a
StepHypRef Expression
1 lcfl9a.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 lcfl9a.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 lcfl9a.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
4 lcfl9a.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 lcfl9a.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
61, 2, 3, 4, 5dochoc1 35011 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  V ) )  =  V )
76adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  V ) )  =  V )
8 lcfl9a.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (LFnl `  U )
9 lcfl9a.l . . . . . . . 8  |-  L  =  (LKer `  U )
101, 2, 5dvhlmod 34760 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
11 lcfl9a.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
124, 8, 9, 10, 11lkrssv 32746 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  V )
1312adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( L `  G )  C_  V
)
14 sneq 3892 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  { X }  =  { ( 0g `  U ) } )
1514fveq2d 5700 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  (  ._|_  `  { X }
)  =  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } ) )
16 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
171, 2, 3, 4, 16doch0 35008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } )  =  V )
185, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } )  =  V )
1915, 18sylan9eqr 2497 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  (  ._|_  `  { X } )  =  V )
20 lcfl9a.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { X } )  C_  ( L `  G )
)
2120adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  (  ._|_  `  { X } ) 
C_  ( L `  G ) )
2219, 21eqsstr3d 3396 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  V  C_  ( L `  G )
)
2313, 22eqssd 3378 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( L `  G )  =  V )
2423fveq2d 5700 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  (  ._|_  `  ( L `  G
) )  =  ( 
._|_  `  V ) )
2524fveq2d 5700 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  V ) ) )
267, 25, 233eqtr4d 2485 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  ( L `
 G ) )
276adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  V ) )  =  V )
28 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  ( L `  G )  =  V )
2928fveq2d 5700 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  (  ._|_  `  ( L `  G
) )  =  ( 
._|_  `  V ) )
3029fveq2d 5700 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  V ) ) )
3127, 30, 283eqtr4d 2485 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  ( L `
 G ) )
32 lcfl9a.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3332snssd 4023 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { X }  C_  V )
34 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( (
DIsoH `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoH `  K ) `  W )
351, 34, 2, 4, 3dochcl 35003 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  { X }  C_  V )  ->  (  ._|_  `  { X }
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
365, 33, 35syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { X } )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
371, 34, 3dochoc 35017 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  { X } )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { X } ) ) )  =  ( 
._|_  `  { X }
) )
385, 36, 37syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { X } ) ) )  =  (  ._|_  `  { X } ) )
3938adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { X }
) ) )  =  (  ._|_  `  { X } ) )
4020adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  { X }
)  C_  ( L `  G ) )
41 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  (LSHyp `  U )  =  (LSHyp `  U )
421, 2, 5dvhlvec 34759 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
4342adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  U  e.  LVec )
445adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
4532adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  X  e.  V )
46 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  X  =/=  ( 0g `  U
) )
47 eldifsn 4005 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ( V  \  { ( 0g `  U ) } )  <-> 
( X  e.  V  /\  X  =/=  ( 0g `  U ) ) )
4845, 46, 47sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  X  e.  ( V  \  {
( 0g `  U
) } ) )
491, 3, 2, 4, 16, 41, 44, 48dochsnshp 35103 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  { X }
)  e.  (LSHyp `  U ) )
50 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  ( L `  G )  =/=  V )
514, 41, 8, 9, 42, 11lkrshp4 32758 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  =/=  V  <->  ( L `  G )  e.  (LSHyp `  U
) ) )
5251adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (
( L `  G
)  =/=  V  <->  ( L `  G )  e.  (LSHyp `  U ) ) )
5350, 52mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  ( L `  G )  e.  (LSHyp `  U )
)
5441, 43, 49, 53lshpcmp 32638 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (
(  ._|_  `  { X } )  C_  ( L `  G )  <->  ( 
._|_  `  { X }
)  =  ( L `
 G ) ) )
5540, 54mpbid 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  { X }
)  =  ( L `
 G ) )
5655fveq2d 5700 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { X } ) )  =  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )
5756fveq2d 5700 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { X }
) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) ) )
5839, 57, 553eqtr3d 2483 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  ( L `  G )  =/=  V
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G ) )
5926, 31, 58pm2.61da2ne 2695 1  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611    \ cdif 3330    C_ wss 3333   {csn 3882   ran crn 4846   ` cfv 5423   Basecbs 14179   0gc0g 14383   LVecclvec 17188  LSHypclsh 32625  LFnlclfn 32707  LKerclk 32735   HLchlt 33000   LHypclh 33633   DVecHcdvh 34728   DIsoHcdih 34878   ocHcoch 34997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-riotaBAD 32609
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-tpos 6750  df-undef 6797  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-0g 14385  df-poset 15121  df-plt 15133  df-lub 15149  df-glb 15150  df-join 15151  df-meet 15152  df-p0 15214  df-p1 15215  df-lat 15221  df-clat 15283  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-subg 15683  df-cntz 15840  df-lsm 16140  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-oppr 16720  df-dvdsr 16738  df-unit 16739  df-invr 16769  df-dvr 16780  df-drng 16839  df-lmod 16955  df-lss 17019  df-lsp 17058  df-lvec 17189  df-lsatoms 32626  df-lshyp 32627  df-lfl 32708  df-lkr 32736  df-oposet 32826  df-ol 32828  df-oml 32829  df-covers 32916  df-ats 32917  df-atl 32948  df-cvlat 32972  df-hlat 33001  df-llines 33147  df-lplanes 33148  df-lvols 33149  df-lines 33150  df-psubsp 33152  df-pmap 33153  df-padd 33445  df-lhyp 33637  df-laut 33638  df-ldil 33753  df-ltrn 33754  df-trl 33808  df-tgrp 34392  df-tendo 34404  df-edring 34406  df-dveca 34652  df-disoa 34679  df-dvech 34729  df-dib 34789  df-dic 34823  df-dih 34879  df-doch 34998  df-djh 35045
This theorem is referenced by:  mapdsn  35291
  Copyright terms: Public domain W3C validator