Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfl8 Structured version   Unicode version

Theorem lcfl8 34989
Description: Property of a functional with a closed kernel. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl8.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfl8.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfl8.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfl8.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfl8.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcfl8.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfl8.c  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
lcfl8.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfl8.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lcfl8  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  E. x  e.  V  ( L `  G )  =  (  ._|_  `  {
x } ) ) )
Distinct variable groups:    x, C    f, F    x, f, G   
f, L, x    ._|_ , f, x   
x, U    x, V    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( f)    C( f)    U( f)    F( x)    H( x, f)    K( x, f)    V( f)    W( x, f)

Proof of Theorem lcfl8
StepHypRef Expression
1 lcfl8.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 lcfl8.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 lcfl8.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3dvhlmod 34597 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
54adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  G  e.  C )  ->  U  e.  LMod )
6 lcfl8.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  U
)
7 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( LSpan `  U )  =  (
LSpan `  U )
8 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  (LSAtoms `  U
)  =  (LSAtoms `  U
)
96, 7, 8islsati 32479 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  (  ._|_  `  ( L `  G ) )  e.  (LSAtoms `  U )
)  ->  E. x  e.  V  (  ._|_  `  ( L `  G
) )  =  ( ( LSpan `  U ) `  { x } ) )
105, 9sylan 473 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  (  ._|_  `  ( L `  G ) )  e.  (LSAtoms `  U )
)  ->  E. x  e.  V  (  ._|_  `  ( L `  G
) )  =  ( ( LSpan `  U ) `  { x } ) )
11 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  (  ._|_  `  ( L `  G )
)  e.  (LSAtoms `  U
) )  /\  x  e.  V )  /\  (  ._|_  `  ( L `  G ) )  =  ( ( LSpan `  U
) `  { x } ) )  -> 
(  ._|_  `  ( L `  G ) )  =  ( ( LSpan `  U
) `  { x } ) )
1211fveq2d 5882 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  (  ._|_  `  ( L `  G )
)  e.  (LSAtoms `  U
) )  /\  x  e.  V )  /\  (  ._|_  `  ( L `  G ) )  =  ( ( LSpan `  U
) `  { x } ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  (  ._|_  `  ( (
LSpan `  U ) `  { x } ) ) )
13 simp-4r 775 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  (  ._|_  `  ( L `  G )
)  e.  (LSAtoms `  U
) )  /\  x  e.  V )  /\  (  ._|_  `  ( L `  G ) )  =  ( ( LSpan `  U
) `  { x } ) )  ->  G  e.  C )
14 lcfl8.c . . . . . . . . . 10  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
15 lcfl8.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
1615ad4antr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  (  ._|_  `  ( L `  G )
)  e.  (LSAtoms `  U
) )  /\  x  e.  V )  /\  (  ._|_  `  ( L `  G ) )  =  ( ( LSpan `  U
) `  { x } ) )  ->  G  e.  F )
1714, 16lcfl1 34979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  (  ._|_  `  ( L `  G )
)  e.  (LSAtoms `  U
) )  /\  x  e.  V )  /\  (  ._|_  `  ( L `  G ) )  =  ( ( LSpan `  U
) `  { x } ) )  -> 
( G  e.  C  <->  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G ) ) )
1813, 17mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  (  ._|_  `  ( L `  G )
)  e.  (LSAtoms `  U
) )  /\  x  e.  V )  /\  (  ._|_  `  ( L `  G ) )  =  ( ( LSpan `  U
) `  { x } ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
) )
19 lcfl8.o . . . . . . . . 9  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
203ad4antr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  (  ._|_  `  ( L `  G )
)  e.  (LSAtoms `  U
) )  /\  x  e.  V )  /\  (  ._|_  `  ( L `  G ) )  =  ( ( LSpan `  U
) `  { x } ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
21 simplr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  (  ._|_  `  ( L `  G )
)  e.  (LSAtoms `  U
) )  /\  x  e.  V )  /\  (  ._|_  `  ( L `  G ) )  =  ( ( LSpan `  U
) `  { x } ) )  ->  x  e.  V )
2221snssd 4142 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  (  ._|_  `  ( L `  G )
)  e.  (LSAtoms `  U
) )  /\  x  e.  V )  /\  (  ._|_  `  ( L `  G ) )  =  ( ( LSpan `  U
) `  { x } ) )  ->  { x }  C_  V )
231, 2, 19, 6, 7, 20, 22dochocsp 34866 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  (  ._|_  `  ( L `  G )
)  e.  (LSAtoms `  U
) )  /\  x  e.  V )  /\  (  ._|_  `  ( L `  G ) )  =  ( ( LSpan `  U
) `  { x } ) )  -> 
(  ._|_  `  ( ( LSpan `  U ) `  { x } ) )  =  (  ._|_  `  { x } ) )
2412, 18, 233eqtr3d 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  (  ._|_  `  ( L `  G )
)  e.  (LSAtoms `  U
) )  /\  x  e.  V )  /\  (  ._|_  `  ( L `  G ) )  =  ( ( LSpan `  U
) `  { x } ) )  -> 
( L `  G
)  =  (  ._|_  `  { x } ) )
2524ex 435 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  (  ._|_  `  ( L `  G )
)  e.  (LSAtoms `  U
) )  /\  x  e.  V )  ->  (
(  ._|_  `  ( L `  G ) )  =  ( ( LSpan `  U
) `  { x } )  ->  ( L `  G )  =  (  ._|_  `  {
x } ) ) )
2625reximdva 2900 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  (  ._|_  `  ( L `  G ) )  e.  (LSAtoms `  U )
)  ->  ( E. x  e.  V  (  ._|_  `  ( L `  G ) )  =  ( ( LSpan `  U
) `  { x } )  ->  E. x  e.  V  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { x }
) ) )
2710, 26mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  (  ._|_  `  ( L `  G ) )  e.  (LSAtoms `  U )
)  ->  E. x  e.  V  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { x }
) )
285adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  U  e.  LMod )
29 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
306, 29lmod0vcl 18108 . . . . . 6  |-  ( U  e.  LMod  ->  ( 0g
`  U )  e.  V )
3128, 30syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  ( 0g `  U )  e.  V )
32 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  ( L `  G )  =  V )
333adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  G  e.  C )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3433adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
351, 2, 19, 6, 29doch0 34845 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } )  =  V )
3634, 35syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  (  ._|_  `  { ( 0g
`  U ) } )  =  V )
3732, 36eqtr4d 2466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  ( L `  G )  =  (  ._|_  `  {
( 0g `  U
) } ) )
38 sneq 4006 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 0g `  U )  ->  { x }  =  { ( 0g `  U ) } )
3938fveq2d 5882 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( 0g `  U )  ->  (  ._|_  `  { x }
)  =  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } ) )
4039eqeq2d 2436 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0g `  U )  ->  (
( L `  G
)  =  (  ._|_  `  { x } )  <-> 
( L `  G
)  =  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } ) ) )
4140rspcev 3182 . . . . 5  |-  ( ( ( 0g `  U
)  e.  V  /\  ( L `  G )  =  (  ._|_  `  {
( 0g `  U
) } ) )  ->  E. x  e.  V  ( L `  G )  =  (  ._|_  `  {
x } ) )
4231, 37, 41syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  E. x  e.  V  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { x }
) )
43 lcfl8.f . . . . . 6  |-  F  =  (LFnl `  U )
44 lcfl8.l . . . . . 6  |-  L  =  (LKer `  U )
451, 19, 2, 6, 8, 43, 44, 14, 3, 15lcfl3 34981 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( (  ._|_  `  ( L `
 G ) )  e.  (LSAtoms `  U
)  \/  ( L `
 G )  =  V ) ) )
4645biimpa 486 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  G  e.  C )  ->  (
(  ._|_  `  ( L `  G ) )  e.  (LSAtoms `  U )  \/  ( L `  G
)  =  V ) )
4727, 42, 46mpjaodan 793 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  e.  C )  ->  E. x  e.  V  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { x }
) )
4847ex 435 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  ->  E. x  e.  V  ( L `  G )  =  (  ._|_  `  {
x } ) ) )
4933ad2ant1 1026 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { x }
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
50 simp2 1006 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { x }
) )  ->  x  e.  V )
5150snssd 4142 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { x }
) )  ->  { x }  C_  V )
52 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( (
DIsoH `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoH `  K ) `  W )
531, 52, 2, 6, 19dochcl 34840 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  { x }  C_  V )  ->  (  ._|_  `  { x }
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
5449, 51, 53syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { x }
) )  ->  (  ._|_  `  { x }
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
551, 52, 19dochoc 34854 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  {
x } )  e. 
ran  ( ( DIsoH `  K ) `  W
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { x }
) ) )  =  (  ._|_  `  { x } ) )
5649, 54, 55syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { x }
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { x }
) ) )  =  (  ._|_  `  { x } ) )
57 simp3 1007 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { x }
) )  ->  ( L `  G )  =  (  ._|_  `  {
x } ) )
5857fveq2d 5882 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { x }
) )  ->  (  ._|_  `  ( L `  G ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { x } ) ) )
5958fveq2d 5882 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { x }
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { x }
) ) ) )
6056, 59, 573eqtr4d 2473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { x }
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G ) )
6160rexlimdv3a 2919 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  V  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { x }
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  ( L `
 G ) ) )
6214, 15lcfl1 34979 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G ) ) )
6361, 62sylibrd 237 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  V  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  { x }
)  ->  G  e.  C ) )
6448, 63impbid 193 1  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  E. x  e.  V  ( L `  G )  =  (  ._|_  `  {
x } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   E.wrex 2776   {crab 2779    C_ wss 3436   {csn 3996   ran crn 4851   ` cfv 5598   Basecbs 15109   0gc0g 15326   LModclmod 18079   LSpanclspn 18182  LSAtomsclsa 32459  LFnlclfn 32542  LKerclk 32570   HLchlt 32835   LHypclh 33468   DVecHcdvh 34565   DIsoHcdih 34715   ocHcoch 34834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-riotaBAD 32444
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-tpos 6978  df-undef 7025  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-fz 11786  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-sca 15194  df-vsca 15195  df-0g 15328  df-preset 16161  df-poset 16179  df-plt 16192  df-lub 16208  df-glb 16209  df-join 16210  df-meet 16211  df-p0 16273  df-p1 16274  df-lat 16280  df-clat 16342  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-submnd 16571  df-grp 16661  df-minusg 16662  df-sbg 16663  df-subg 16802  df-cntz 16959  df-lsm 17276  df-cmn 17420  df-abl 17421  df-mgp 17712  df-ur 17724  df-ring 17770  df-oppr 17839  df-dvdsr 17857  df-unit 17858  df-invr 17888  df-dvr 17899  df-drng 17965  df-lmod 18081  df-lss 18144  df-lsp 18183  df-lvec 18314  df-lsatoms 32461  df-lshyp 32462  df-lfl 32543  df-lkr 32571  df-oposet 32661  df-ol 32663  df-oml 32664  df-covers 32751  df-ats 32752  df-atl 32783  df-cvlat 32807  df-hlat 32836  df-llines 32982  df-lplanes 32983  df-lvols 32984  df-lines 32985  df-psubsp 32987  df-pmap 32988  df-padd 33280  df-lhyp 33472  df-laut 33473  df-ldil 33588  df-ltrn 33589  df-trl 33644  df-tgrp 34229  df-tendo 34241  df-edring 34243  df-dveca 34489  df-disoa 34516  df-dvech 34566  df-dib 34626  df-dic 34660  df-dih 34716  df-doch 34835  df-djh 34882
This theorem is referenced by:  lcfl8a  34990  lcfl8b  34991
  Copyright terms: Public domain W3C validator