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Theorem lcfl7N 35143
Description: Property of a functional with a closed kernel. Every nonzero functional is determined by a unique nonzero vector. Note that  ( L `  G )  =  V means the functional is zero by lkr0f 32736. (Contributed by NM, 4-Jan-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl6.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfl6.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfl6.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfl6.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfl6.a  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfl6.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
lcfl6.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lcfl6.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lcfl6.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcfl6.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcfl6.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfl6.c  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
lcfl6.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfl6.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lcfl7N  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( ( L `  G
)  =  V  \/  E! x  e.  ( V  \  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    v, k, w,  .+    f, k, v, w, x,  ._|_    w,  .0. , x    x, C    f, G, x   
f, F    f, L, x    ph, x    R, k,
v    S, k, w, x   
v, V, x    x, U    .x. , k, v, w   
x,  .+    x, R    x,  .x.
Allowed substitution hints:    ph( w, v, f, k)    C( w, v, f, k)    .+ ( f)    R( w, f)    S( v, f)    .x. ( f)    U( w, v, f, k)    F( x, w, v, k)    G( w, v, k)    H( x, w, v, f, k)    K( x, w, v, f, k)    L( w, v, k)    V( w, f, k)    W( x, w, v, f, k)    .0. ( v, f, k)

Proof of Theorem lcfl7N
Dummy variables  l  u  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcfl6.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 lcfl6.o . . 3  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 lcfl6.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 lcfl6.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 lcfl6.a . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  U )
6 lcfl6.t . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  U )
7 lcfl6.s . . 3  |-  S  =  (Scalar `  U )
8 lcfl6.r . . 3  |-  R  =  ( Base `  S
)
9 lcfl6.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
10 lcfl6.f . . 3  |-  F  =  (LFnl `  U )
11 lcfl6.l . . 3  |-  L  =  (LKer `  U )
12 lcfl6.c . . 3  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
13 lcfl6.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
14 lcfl6.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14lcfl6 35142 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( ( L `  G
)  =  V  \/  E. x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) ) )
1613ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
17 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  {
x } ) u  =  ( z  .+  ( l  .x.  x
) ) ) )  =  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { x } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) ) )
18 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  {
y } ) u  =  ( z  .+  ( l  .x.  y
) ) ) )  =  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) ) )
19 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
20 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
21 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )
22 eqeq1 2447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  u  ->  (
v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) )  <->  u  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )
2322rexbidv 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  u  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) )  <->  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )
2423riotabidv 6052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  u  ->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) ) )  =  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) u  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) )
25 oveq1 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  l  ->  (
k  .x.  x )  =  ( l  .x.  x ) )
2625oveq2d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  l  ->  (
w  .+  ( k  .x.  x ) )  =  ( w  .+  (
l  .x.  x )
) )
2726eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  l  ->  (
u  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) )  <->  u  =  ( w  .+  ( l 
.x.  x ) ) ) )
2827rexbidv 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  l  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) )  <->  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( w  .+  ( l 
.x.  x ) ) ) )
29 oveq1 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  z  ->  (
w  .+  ( l  .x.  x ) )  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) )
3029eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  z  ->  (
u  =  ( w 
.+  ( l  .x.  x ) )  <->  u  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) ) )
3130cbvrexv 2946 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) u  =  ( w 
.+  ( l  .x.  x ) )  <->  E. z  e.  (  ._|_  `  {
x } ) u  =  ( z  .+  ( l  .x.  x
) ) )
3228, 31syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  l  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) )  <->  E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) ) ) )
3332cbvriotav 6061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) u  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) )  =  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) ) )
3424, 33syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  u  ->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) ) )  =  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { x } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) ) )
3534cbvmptv 4381 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  =  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { x } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) ) )
3621, 35syl6eq 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  G  =  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) ) ) ) )
37 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) ) )
38 eqeq1 2447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  u  ->  (
v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  y ) )  <->  u  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) )
3938rexbidv 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  u  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) )  <->  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) )
4039riotabidv 6052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  u  ->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  y ) ) )  =  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) )
41 oveq1 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  l  ->  (
k  .x.  y )  =  ( l  .x.  y ) )
4241oveq2d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  l  ->  (
w  .+  ( k  .x.  y ) )  =  ( w  .+  (
l  .x.  y )
) )
4342eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  l  ->  (
u  =  ( w 
.+  ( k  .x.  y ) )  <->  u  =  ( w  .+  ( l 
.x.  y ) ) ) )
4443rexbidv 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  l  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) )  <->  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( w  .+  ( l 
.x.  y ) ) ) )
45 oveq1 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  z  ->  (
w  .+  ( l  .x.  y ) )  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) )
4645eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  z  ->  (
u  =  ( w 
.+  ( l  .x.  y ) )  <->  u  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) ) )
4746cbvrexv 2946 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( w 
.+  ( l  .x.  y ) )  <->  E. z  e.  (  ._|_  `  {
y } ) u  =  ( z  .+  ( l  .x.  y
) ) )
4844, 47syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  l  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) )  <->  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  y ) ) ) )
4948cbvriotav 6061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
y } ) u  =  ( w  .+  ( k  .x.  y
) ) )  =  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  y ) ) )
5040, 49syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  u  ->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  y ) ) )  =  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) ) )
5150cbvmptv 4381 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
y } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  y
) ) ) )  =  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) ) )
5237, 51syl6eq 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  G  =  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  y ) ) ) ) )
5336, 52eqtr3d 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  {
x } ) u  =  ( z  .+  ( l  .x.  x
) ) ) )  =  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) ) ) )
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 17, 18, 19, 20, 53lcfl7lem 35141 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  x  =  y )
5554ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( ( G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
y } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  y
) ) ) ) )  ->  x  =  y ) )
5655ralrimivva 2806 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) A. y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( ( G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) ) )  ->  x  =  y )
)
5756a1d 25 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) A. y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( ( G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) ) )  ->  x  =  y )
) )
5857ancld 553 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  ->  ( E. x  e.  ( V  \  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  A. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) A. y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( ( G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
y } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  y
) ) ) ) )  ->  x  =  y ) ) ) )
59 sneq 3885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
6059fveq2d 5693 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (  ._|_  `  { x }
)  =  (  ._|_  `  { y } ) )
61 oveq2 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
k  .x.  x )  =  ( k  .x.  y ) )
6261oveq2d 6105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
w  .+  ( k  .x.  x ) )  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) )
6362eqeq2d 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) )  <->  v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) )
6460, 63rexeqbidv 2930 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) )  <->  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) )
6564riotabidv 6052 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) ) )  =  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) )
6665mpteq2dv 4377 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) ) )
6766eqeq2d 2452 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  <-> 
G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
y } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  y
) ) ) ) ) )
6867reu4 3151 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  <->  ( E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  /\  A. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) A. y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( ( G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) ) )  ->  x  =  y )
) )
6958, 68syl6ibr 227 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  ->  E! x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) ) ) )
70 reurex 2935 . . . 4  |-  ( E! x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  ->  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )
7169, 70impbid1 203 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  <->  E! x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) )
7271orbi2d 701 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( L `
 G )  =  V  \/  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  <->  ( ( L `  G )  =  V  \/  E! x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) ) ) ) )
7315, 72bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( ( L `  G
)  =  V  \/  E! x  e.  ( V  \  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   E.wrex 2714   E!wreu 2715   {crab 2717    \ cdif 3323   {csn 3875    e. cmpt 4348   ` cfv 5416   iota_crio 6049  (class class class)co 6089   Basecbs 14172   +g cplusg 14236  Scalarcsca 14239   .scvsca 14240   0gc0g 14376  LFnlclfn 32699  LKerclk 32727   HLchlt 32992   LHypclh 33625   DVecHcdvh 34720   ocHcoch 34989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-riotaBAD 32601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-iin 4172  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-tpos 6743  df-undef 6790  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-0g 14378  df-poset 15114  df-plt 15126  df-lub 15142  df-glb 15143  df-join 15144  df-meet 15145  df-p0 15207  df-p1 15208  df-lat 15214  df-clat 15276  df-mnd 15413  df-submnd 15463  df-grp 15543  df-minusg 15544  df-sbg 15545  df-subg 15676  df-cntz 15833  df-lsm 16133  df-cmn 16277  df-abl 16278  df-mgp 16590  df-ur 16602  df-rng 16645  df-oppr 16713  df-dvdsr 16731  df-unit 16732  df-invr 16762  df-dvr 16773  df-drng 16832  df-lmod 16948  df-lss 17012  df-lsp 17051  df-lvec 17182  df-lsatoms 32618  df-lshyp 32619  df-lfl 32700  df-lkr 32728  df-oposet 32818  df-ol 32820  df-oml 32821  df-covers 32908  df-ats 32909  df-atl 32940  df-cvlat 32964  df-hlat 32993  df-llines 33139  df-lplanes 33140  df-lvols 33141  df-lines 33142  df-psubsp 33144  df-pmap 33145  df-padd 33437  df-lhyp 33629  df-laut 33630  df-ldil 33745  df-ltrn 33746  df-trl 33800  df-tgrp 34384  df-tendo 34396  df-edring 34398  df-dveca 34644  df-disoa 34671  df-dvech 34721  df-dib 34781  df-dic 34815  df-dih 34871  df-doch 34990  df-djh 35037
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