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Theorem lcfl7N 36316
Description: Property of a functional with a closed kernel. Every nonzero functional is determined by a unique nonzero vector. Note that  ( L `  G )  =  V means the functional is zero by lkr0f 33909. (Contributed by NM, 4-Jan-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl6.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfl6.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfl6.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfl6.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfl6.a  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfl6.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
lcfl6.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lcfl6.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lcfl6.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcfl6.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcfl6.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfl6.c  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
lcfl6.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfl6.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lcfl7N  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( ( L `  G
)  =  V  \/  E! x  e.  ( V  \  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    v, k, w,  .+    f, k, v, w, x,  ._|_    w,  .0. , x    x, C    f, G, x   
f, F    f, L, x    ph, x    R, k,
v    S, k, w, x   
v, V, x    x, U    .x. , k, v, w   
x,  .+    x, R    x,  .x.
Allowed substitution hints:    ph( w, v, f, k)    C( w, v, f, k)    .+ ( f)    R( w, f)    S( v, f)    .x. ( f)    U( w, v, f, k)    F( x, w, v, k)    G( w, v, k)    H( x, w, v, f, k)    K( x, w, v, f, k)    L( w, v, k)    V( w, f, k)    W( x, w, v, f, k)    .0. ( v, f, k)

Proof of Theorem lcfl7N
Dummy variables  l  u  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcfl6.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 lcfl6.o . . 3  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 lcfl6.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 lcfl6.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 lcfl6.a . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  U )
6 lcfl6.t . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  U )
7 lcfl6.s . . 3  |-  S  =  (Scalar `  U )
8 lcfl6.r . . 3  |-  R  =  ( Base `  S
)
9 lcfl6.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
10 lcfl6.f . . 3  |-  F  =  (LFnl `  U )
11 lcfl6.l . . 3  |-  L  =  (LKer `  U )
12 lcfl6.c . . 3  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
13 lcfl6.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
14 lcfl6.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14lcfl6 36315 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( ( L `  G
)  =  V  \/  E. x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) ) )
1613ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
17 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  {
x } ) u  =  ( z  .+  ( l  .x.  x
) ) ) )  =  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { x } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) ) )
18 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  {
y } ) u  =  ( z  .+  ( l  .x.  y
) ) ) )  =  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) ) )
19 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
20 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
21 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )
22 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  u  ->  (
v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) )  <->  u  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )
2322rexbidv 2973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  u  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) )  <->  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )
2423riotabidv 6247 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  u  ->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) ) )  =  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) u  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) )
25 oveq1 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  l  ->  (
k  .x.  x )  =  ( l  .x.  x ) )
2625oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  l  ->  (
w  .+  ( k  .x.  x ) )  =  ( w  .+  (
l  .x.  x )
) )
2726eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  l  ->  (
u  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) )  <->  u  =  ( w  .+  ( l 
.x.  x ) ) ) )
2827rexbidv 2973 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  l  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) )  <->  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( w  .+  ( l 
.x.  x ) ) ) )
29 oveq1 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  z  ->  (
w  .+  ( l  .x.  x ) )  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) )
3029eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  z  ->  (
u  =  ( w 
.+  ( l  .x.  x ) )  <->  u  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) ) )
3130cbvrexv 3089 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) u  =  ( w 
.+  ( l  .x.  x ) )  <->  E. z  e.  (  ._|_  `  {
x } ) u  =  ( z  .+  ( l  .x.  x
) ) )
3228, 31syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  l  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) )  <->  E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) ) ) )
3332cbvriotav 6256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) u  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) )  =  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) ) )
3424, 33syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  u  ->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) ) )  =  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { x } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) ) )
3534cbvmptv 4538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  =  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { x } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) ) )
3621, 35syl6eq 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  G  =  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) ) ) ) )
37 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) ) )
38 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  u  ->  (
v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  y ) )  <->  u  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) )
3938rexbidv 2973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  u  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) )  <->  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) )
4039riotabidv 6247 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  u  ->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  y ) ) )  =  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) )
41 oveq1 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  l  ->  (
k  .x.  y )  =  ( l  .x.  y ) )
4241oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  l  ->  (
w  .+  ( k  .x.  y ) )  =  ( w  .+  (
l  .x.  y )
) )
4342eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  l  ->  (
u  =  ( w 
.+  ( k  .x.  y ) )  <->  u  =  ( w  .+  ( l 
.x.  y ) ) ) )
4443rexbidv 2973 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  l  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) )  <->  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( w  .+  ( l 
.x.  y ) ) ) )
45 oveq1 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  z  ->  (
w  .+  ( l  .x.  y ) )  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) )
4645eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  z  ->  (
u  =  ( w 
.+  ( l  .x.  y ) )  <->  u  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) ) )
4746cbvrexv 3089 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( w 
.+  ( l  .x.  y ) )  <->  E. z  e.  (  ._|_  `  {
y } ) u  =  ( z  .+  ( l  .x.  y
) ) )
4844, 47syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  l  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) )  <->  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  y ) ) ) )
4948cbvriotav 6256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
y } ) u  =  ( w  .+  ( k  .x.  y
) ) )  =  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  y ) ) )
5040, 49syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  u  ->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  y ) ) )  =  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) ) )
5150cbvmptv 4538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
y } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  y
) ) ) )  =  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) ) )
5237, 51syl6eq 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  G  =  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  y ) ) ) ) )
5336, 52eqtr3d 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  {
x } ) u  =  ( z  .+  ( l  .x.  x
) ) ) )  =  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) ) ) )
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 17, 18, 19, 20, 53lcfl7lem 36314 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  x  =  y )
5554ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( ( G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
y } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  y
) ) ) ) )  ->  x  =  y ) )
5655ralrimivva 2885 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) A. y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( ( G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) ) )  ->  x  =  y )
)
5756a1d 25 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) A. y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( ( G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) ) )  ->  x  =  y )
) )
5857ancld 553 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  ->  ( E. x  e.  ( V  \  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  A. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) A. y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( ( G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
y } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  y
) ) ) ) )  ->  x  =  y ) ) ) )
59 sneq 4037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
6059fveq2d 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (  ._|_  `  { x }
)  =  (  ._|_  `  { y } ) )
61 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
k  .x.  x )  =  ( k  .x.  y ) )
6261oveq2d 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
w  .+  ( k  .x.  x ) )  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) )
6362eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) )  <->  v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) )
6460, 63rexeqbidv 3073 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) )  <->  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) )
6564riotabidv 6247 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) ) )  =  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) )
6665mpteq2dv 4534 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) ) )
6766eqeq2d 2481 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  <-> 
G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
y } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  y
) ) ) ) ) )
6867reu4 3297 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  <->  ( E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  /\  A. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) A. y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( ( G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) ) )  ->  x  =  y )
) )
6958, 68syl6ibr 227 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  ->  E! x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) ) ) )
70 reurex 3078 . . . 4  |-  ( E! x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  ->  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )
7169, 70impbid1 203 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  <->  E! x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) )
7271orbi2d 701 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( L `
 G )  =  V  \/  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  <->  ( ( L `  G )  =  V  \/  E! x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) ) ) ) )
7315, 72bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( ( L `  G
)  =  V  \/  E! x  e.  ( V  \  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   E!wreu 2816   {crab 2818    \ cdif 3473   {csn 4027    |-> cmpt 4505   ` cfv 5588   iota_crio 6244  (class class class)co 6284   Basecbs 14490   +g cplusg 14555  Scalarcsca 14558   .scvsca 14559   0gc0g 14695  LFnlclfn 33872  LKerclk 33900   HLchlt 34165   LHypclh 34798   DVecHcdvh 35893   ocHcoch 36162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-riotaBAD 33774
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6955  df-undef 7002  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-0g 14697  df-poset 15433  df-plt 15445  df-lub 15461  df-glb 15462  df-join 15463  df-meet 15464  df-p0 15526  df-p1 15527  df-lat 15533  df-clat 15595  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-subg 16003  df-cntz 16160  df-lsm 16462  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-oppr 17073  df-dvdsr 17091  df-unit 17092  df-invr 17122  df-dvr 17133  df-drng 17198  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-lsp 17418  df-lvec 17549  df-lsatoms 33791  df-lshyp 33792  df-lfl 33873  df-lkr 33901  df-oposet 33991  df-ol 33993  df-oml 33994  df-covers 34081  df-ats 34082  df-atl 34113  df-cvlat 34137  df-hlat 34166  df-llines 34312  df-lplanes 34313  df-lvols 34314  df-lines 34315  df-psubsp 34317  df-pmap 34318  df-padd 34610  df-lhyp 34802  df-laut 34803  df-ldil 34918  df-ltrn 34919  df-trl 34973  df-tgrp 35557  df-tendo 35569  df-edring 35571  df-dveca 35817  df-disoa 35844  df-dvech 35894  df-dib 35954  df-dic 35988  df-dih 36044  df-doch 36163  df-djh 36210
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