Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfl7N Structured version   Unicode version

Theorem lcfl7N 34778
Description: Property of a functional with a closed kernel. Every nonzero functional is determined by a unique nonzero vector. Note that  ( L `  G )  =  V means the functional is zero by lkr0f 32369. (Contributed by NM, 4-Jan-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl6.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfl6.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfl6.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfl6.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfl6.a  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfl6.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
lcfl6.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lcfl6.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lcfl6.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcfl6.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcfl6.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfl6.c  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
lcfl6.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfl6.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lcfl7N  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( ( L `  G
)  =  V  \/  E! x  e.  ( V  \  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    v, k, w,  .+    f, k, v, w, x,  ._|_    w,  .0. , x    x, C    f, G, x   
f, F    f, L, x    ph, x    R, k,
v    S, k, w, x   
v, V, x    x, U    .x. , k, v, w   
x,  .+    x, R    x,  .x.
Allowed substitution hints:    ph( w, v, f, k)    C( w, v, f, k)    .+ ( f)    R( w, f)    S( v, f)    .x. ( f)    U( w, v, f, k)    F( x, w, v, k)    G( w, v, k)    H( x, w, v, f, k)    K( x, w, v, f, k)    L( w, v, k)    V( w, f, k)    W( x, w, v, f, k)    .0. ( v, f, k)

Proof of Theorem lcfl7N
Dummy variables  l  u  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcfl6.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 lcfl6.o . . 3  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 lcfl6.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 lcfl6.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 lcfl6.a . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  U )
6 lcfl6.t . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  U )
7 lcfl6.s . . 3  |-  S  =  (Scalar `  U )
8 lcfl6.r . . 3  |-  R  =  ( Base `  S
)
9 lcfl6.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
10 lcfl6.f . . 3  |-  F  =  (LFnl `  U )
11 lcfl6.l . . 3  |-  L  =  (LKer `  U )
12 lcfl6.c . . 3  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
13 lcfl6.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
14 lcfl6.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14lcfl6 34777 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( ( L `  G
)  =  V  \/  E. x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) ) )
1613ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
17 eqid 2429 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  {
x } ) u  =  ( z  .+  ( l  .x.  x
) ) ) )  =  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { x } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) ) )
18 eqid 2429 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  {
y } ) u  =  ( z  .+  ( l  .x.  y
) ) ) )  =  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) ) )
19 simplrl 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
20 simplrr 769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
21 simprl 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )
22 eqeq1 2433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  u  ->  (
v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) )  <->  u  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )
2322rexbidv 2946 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  u  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) )  <->  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )
2423riotabidv 6269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  u  ->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) ) )  =  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) u  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) )
25 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  l  ->  (
k  .x.  x )  =  ( l  .x.  x ) )
2625oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  l  ->  (
w  .+  ( k  .x.  x ) )  =  ( w  .+  (
l  .x.  x )
) )
2726eqeq2d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  l  ->  (
u  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) )  <->  u  =  ( w  .+  ( l 
.x.  x ) ) ) )
2827rexbidv 2946 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  l  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) )  <->  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( w  .+  ( l 
.x.  x ) ) ) )
29 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  z  ->  (
w  .+  ( l  .x.  x ) )  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) )
3029eqeq2d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  z  ->  (
u  =  ( w 
.+  ( l  .x.  x ) )  <->  u  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) ) )
3130cbvrexv 3063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) u  =  ( w 
.+  ( l  .x.  x ) )  <->  E. z  e.  (  ._|_  `  {
x } ) u  =  ( z  .+  ( l  .x.  x
) ) )
3228, 31syl6bb 264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  l  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) )  <->  E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) ) ) )
3332cbvriotav 6278 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) u  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) )  =  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) ) )
3424, 33syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  u  ->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) ) )  =  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { x } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) ) )
3534cbvmptv 4518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  =  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { x } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) ) )
3621, 35syl6eq 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  G  =  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) ) ) ) )
37 simprr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) ) )
38 eqeq1 2433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  u  ->  (
v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  y ) )  <->  u  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) )
3938rexbidv 2946 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  u  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) )  <->  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) )
4039riotabidv 6269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  u  ->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  y ) ) )  =  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) )
41 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  l  ->  (
k  .x.  y )  =  ( l  .x.  y ) )
4241oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  l  ->  (
w  .+  ( k  .x.  y ) )  =  ( w  .+  (
l  .x.  y )
) )
4342eqeq2d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  l  ->  (
u  =  ( w 
.+  ( k  .x.  y ) )  <->  u  =  ( w  .+  ( l 
.x.  y ) ) ) )
4443rexbidv 2946 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  l  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) )  <->  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( w  .+  ( l 
.x.  y ) ) ) )
45 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  z  ->  (
w  .+  ( l  .x.  y ) )  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) )
4645eqeq2d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  z  ->  (
u  =  ( w 
.+  ( l  .x.  y ) )  <->  u  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) ) )
4746cbvrexv 3063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( w 
.+  ( l  .x.  y ) )  <->  E. z  e.  (  ._|_  `  {
y } ) u  =  ( z  .+  ( l  .x.  y
) ) )
4844, 47syl6bb 264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  l  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) )  <->  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  y ) ) ) )
4948cbvriotav 6278 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
y } ) u  =  ( w  .+  ( k  .x.  y
) ) )  =  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  y ) ) )
5040, 49syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  u  ->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  y ) ) )  =  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) ) )
5150cbvmptv 4518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
y } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  y
) ) ) )  =  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) ) )
5237, 51syl6eq 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  G  =  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  y ) ) ) ) )
5336, 52eqtr3d 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  {
x } ) u  =  ( z  .+  ( l  .x.  x
) ) ) )  =  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) ) ) )
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 17, 18, 19, 20, 53lcfl7lem 34776 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( G  =  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) ) ) )  ->  x  =  y )
5554ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( ( G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
y } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  y
) ) ) ) )  ->  x  =  y ) )
5655ralrimivva 2853 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) A. y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( ( G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) ) )  ->  x  =  y )
)
5756a1d 26 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) A. y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( ( G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) ) )  ->  x  =  y )
) )
5857ancld 555 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  ->  ( E. x  e.  ( V  \  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  /\  A. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) A. y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( ( G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
y } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  y
) ) ) ) )  ->  x  =  y ) ) ) )
59 sneq 4012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
6059fveq2d 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (  ._|_  `  { x }
)  =  (  ._|_  `  { y } ) )
61 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
k  .x.  x )  =  ( k  .x.  y ) )
6261oveq2d 6321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
w  .+  ( k  .x.  x ) )  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) )
6362eqeq2d 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) )  <->  v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) )
6460, 63rexeqbidv 3047 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) )  <->  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) )
6564riotabidv 6269 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) ) )  =  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  y )
) ) )
6665mpteq2dv 4513 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) ) )
6766eqeq2d 2443 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  <-> 
G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
y } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  y
) ) ) ) ) )
6867reu4 3271 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  <->  ( E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  /\  A. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) A. y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( ( G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { y } ) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  y ) ) ) ) )  ->  x  =  y )
) )
6958, 68syl6ibr 230 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  ->  E! x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) ) ) )
70 reurex 3052 . . . 4  |-  ( E! x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  ->  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )
7169, 70impbid1 206 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  <->  E! x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) )
7271orbi2d 706 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( L `
 G )  =  V  \/  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  <->  ( ( L `  G )  =  V  \/  E! x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) ) ) ) )
7315, 72bitrd 256 1  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( ( L `  G
)  =  V  \/  E! x  e.  ( V  \  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   E!wreu 2784   {crab 2786    \ cdif 3439   {csn 4002    |-> cmpt 4484   ` cfv 5601   iota_crio 6266  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   +g cplusg 15152  Scalarcsca 15155   .scvsca 15156   0gc0g 15297  LFnlclfn 32332  LKerclk 32360   HLchlt 32625   LHypclh 33258   DVecHcdvh 34355   ocHcoch 34624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-riotaBAD 32234
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-undef 7028  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-0g 15299  df-preset 16124  df-poset 16142  df-plt 16155  df-lub 16171  df-glb 16172  df-join 16173  df-meet 16174  df-p0 16236  df-p1 16237  df-lat 16243  df-clat 16305  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-subg 16765  df-cntz 16922  df-lsm 17223  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-invr 17835  df-dvr 17846  df-drng 17912  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-lsp 18130  df-lvec 18261  df-lsatoms 32251  df-lshyp 32252  df-lfl 32333  df-lkr 32361  df-oposet 32451  df-ol 32453  df-oml 32454  df-covers 32541  df-ats 32542  df-atl 32573  df-cvlat 32597  df-hlat 32626  df-llines 32772  df-lplanes 32773  df-lvols 32774  df-lines 32775  df-psubsp 32777  df-pmap 32778  df-padd 33070  df-lhyp 33262  df-laut 33263  df-ldil 33378  df-ltrn 33379  df-trl 33434  df-tgrp 34019  df-tendo 34031  df-edring 34033  df-dveca 34279  df-disoa 34306  df-dvech 34356  df-dib 34416  df-dic 34450  df-dih 34506  df-doch 34625  df-djh 34672
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator