Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfl6lem Structured version   Unicode version

Theorem lcfl6lem 35446
Description: Lemma for lcfl6 35448. A functional  G (whose kernel is closed by dochsnkr 35420) is comletely determined by a vector  X in the orthocomplement in its kernel at which the functional value is 1. Note that the  \  {  .0.  } in the  X hypothesis is redundant by the last hypothesis but allows easier use of other theorems. (Contributed by NM, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl6lem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfl6lem.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfl6lem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfl6lem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfl6lem.a  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfl6lem.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
lcfl6lem.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lcfl6lem.i  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
lcfl6lem.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lcfl6lem.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcfl6lem.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcfl6lem.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfl6lem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfl6lem.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
lcfl6lem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( ( 
._|_  `  ( L `  G ) )  \  {  .0.  } ) )
lcfl6lem.y  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =  .1.  )
Assertion
Ref Expression
lcfl6lem  |-  ( ph  ->  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { X } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  X )
) ) ) )
Distinct variable groups:    v, k, w,  .+    .1. , k, w    ._|_ , k, v, w    R, k, v    S, k    .x. , k, v, w   
v, V    k, X, v, w    w,  .0.
Allowed substitution hints:    ph( w, v, k)    R( w)    S( w, v)    U( w, v, k)    .1. ( v)    F( w, v, k)    G( w, v, k)    H( w, v, k)    K( w, v, k)    L( w, v, k)    V( w, k)    W( w, v, k)    .0. ( v, k)

Proof of Theorem lcfl6lem
StepHypRef Expression
1 lcfl6lem.v . 2  |-  V  =  ( Base `  U
)
2 lcfl6lem.s . 2  |-  S  =  (Scalar `  U )
3 lcfl6lem.r . 2  |-  R  =  ( Base `  S
)
4 eqid 2451 . 2  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
5 lcfl6lem.f . 2  |-  F  =  (LFnl `  U )
6 lcfl6lem.l . 2  |-  L  =  (LKer `  U )
7 lcfl6lem.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 lcfl6lem.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
9 lcfl6lem.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
107, 8, 9dvhlvec 35057 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
117, 8, 9dvhlmod 35058 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
12 lcfl6lem.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
131, 5, 6, 11, 12lkrssv 33044 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  V )
14 lcfl6lem.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
157, 8, 1, 14dochssv 35303 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( L `  G )  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  ( L `  G
) )  C_  V
)
169, 13, 15syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) 
C_  V )
17 lcfl6lem.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( ( 
._|_  `  ( L `  G ) )  \  {  .0.  } ) )
1817eldifad 3435 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )
1916, 18sseldd 3452 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
20 lcfl6lem.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
21 lcfl6lem.a . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  U )
22 lcfl6lem.t . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  U )
23 eqid 2451 . . 3  |-  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { X } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  X )
) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { X }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  X ) ) ) )
24 eldifsni 4096 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G
) )  \  {  .0.  } )  ->  X  =/=  .0.  )
2517, 24syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
26 eldifsn 4095 . . . 4  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  <->  ( X  e.  V  /\  X  =/= 
.0.  ) )
2719, 25, 26sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
287, 14, 8, 1, 20, 21, 22, 5, 2, 3, 23, 9, 27dochflcl 35423 . 2  |-  ( ph  ->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { X }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  X ) ) ) )  e.  F
)
297, 14, 8, 1, 20, 5, 6, 9, 12, 17dochsnkr 35420 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  =  (  ._|_  `  { X } ) )
307, 14, 8, 1, 20, 21, 22, 6, 2, 3, 23, 9, 27dochsnkr2 35421 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L `  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { X }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  X ) ) ) ) )  =  (  ._|_  `  { X } ) )
3129, 30eqtr4d 2494 . 2  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  =  ( L `
 ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { X } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  X )
) ) ) ) )
32 lcfl6lem.y . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =  .1.  )
33 lcfl6lem.i . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
347, 14, 8, 1, 21, 22, 20, 2, 3, 33, 9, 27, 23dochfl1 35424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { X } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  X )
) ) ) `  X )  =  .1.  )
3532, 34eqtr4d 2494 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =  ( ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { X }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  X ) ) ) ) `  X
) )
367, 14, 8, 1, 2, 4, 20, 5, 6, 9, 12, 17dochfln0 35425 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =/=  ( 0g
`  S ) )
371, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 19, 12, 28, 31, 35, 36eqlkr3 33049 1  |-  ( ph  ->  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { X } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  X )
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2642   E.wrex 2794    \ cdif 3420    C_ wss 3423   {csn 3972    |-> cmpt 4445   ` cfv 5513   iota_crio 6147  (class class class)co 6187   Basecbs 14273   +g cplusg 14337  Scalarcsca 14340   .scvsca 14341   0gc0g 14477   1rcur 16705  LFnlclfn 33005  LKerclk 33033   HLchlt 33298   LHypclh 33931   DVecHcdvh 35026   ocHcoch 35295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457  ax-riotaBAD 32907
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-iin 4269  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-tpos 6842  df-undef 6889  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-oadd 7021  df-er 7198  df-map 7313  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-fin 7411  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-4 10480  df-5 10481  df-6 10482  df-n0 10678  df-z 10745  df-uz 10960  df-fz 11536  df-struct 14275  df-ndx 14276  df-slot 14277  df-base 14278  df-sets 14279  df-ress 14280  df-plusg 14350  df-mulr 14351  df-sca 14353  df-vsca 14354  df-0g 14479  df-poset 15215  df-plt 15227  df-lub 15243  df-glb 15244  df-join 15245  df-meet 15246  df-p0 15308  df-p1 15309  df-lat 15315  df-clat 15377  df-mnd 15514  df-submnd 15564  df-grp 15644  df-minusg 15645  df-sbg 15646  df-subg 15777  df-cntz 15934  df-lsm 16236  df-cmn 16380  df-abl 16381  df-mgp 16694  df-ur 16706  df-rng 16750  df-oppr 16818  df-dvdsr 16836  df-unit 16837  df-invr 16867  df-dvr 16878  df-drng 16937  df-lmod 17053  df-lss 17117  df-lsp 17156  df-lvec 17287  df-lsatoms 32924  df-lshyp 32925  df-lfl 33006  df-lkr 33034  df-oposet 33124  df-ol 33126  df-oml 33127  df-covers 33214  df-ats 33215  df-atl 33246  df-cvlat 33270  df-hlat 33299  df-llines 33445  df-lplanes 33446  df-lvols 33447  df-lines 33448  df-psubsp 33450  df-pmap 33451  df-padd 33743  df-lhyp 33935  df-laut 33936  df-ldil 34051  df-ltrn 34052  df-trl 34106  df-tgrp 34690  df-tendo 34702  df-edring 34704  df-dveca 34950  df-disoa 34977  df-dvech 35027  df-dib 35087  df-dic 35121  df-dih 35177  df-doch 35296  df-djh 35343
This theorem is referenced by:  lcfl6  35448
  Copyright terms: Public domain W3C validator