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Theorem lcfl6 36698
Description: Property of a functional with a closed kernel. Note that  ( L `  G )  =  V means the functional is zero by lkr0f 34292. (Contributed by NM, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl6.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfl6.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfl6.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfl6.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfl6.a  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfl6.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
lcfl6.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lcfl6.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lcfl6.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcfl6.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcfl6.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfl6.c  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
lcfl6.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfl6.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lcfl6  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( ( L `  G
)  =  V  \/  E. x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    v, k, w,  .+    f, k, v, w, x,  ._|_    w,  .0. , x    x, C    f, G, x   
f, F    f, L, x    ph, x    R, k,
v    S, k, w, x   
v, V, x    x, U    .x. , k, v, w
Allowed substitution hints:    ph( w, v, f, k)    C( w, v, f, k)    .+ ( x, f)    R( x, w, f)    S( v, f)    .x. ( x, f)    U( w, v, f, k)    F( x, w, v, k)    G( w, v, k)    H( x, w, v, f, k)    K( x, w, v, f, k)    L( w, v, k)    V( w, f, k)    W( x, w, v, f, k)    .0. ( v, f, k)

Proof of Theorem lcfl6
StepHypRef Expression
1 df-ne 2664 . . . . 5  |-  ( ( L `  G )  =/=  V  <->  -.  ( L `  G )  =  V )
2 lcfl6.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 lcfl6.o . . . . . . . 8  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
4 lcfl6.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 lcfl6.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  U
)
6 lcfl6.s . . . . . . . 8  |-  S  =  (Scalar `  U )
7 lcfl6.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
8 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  S )  =  ( 1r `  S
)
9 lcfl6.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (LFnl `  U )
10 lcfl6.l . . . . . . . 8  |-  L  =  (LKer `  U )
11 lcfl6.k . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
1211ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =/=  V )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 lcfl6.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
1413ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =/=  V )  ->  G  e.  F )
15 lcfl6.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
162, 3, 4, 5, 9, 10, 15, 11, 13lcfl2 36691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =/= 
V  \/  ( L `
 G )  =  V ) ) )
1716biimpa 484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  G  e.  C )  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =/= 
V  \/  ( L `
 G )  =  V ) )
1817orcomd 388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  G  e.  C )  ->  (
( L `  G
)  =  V  \/  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =/= 
V ) )
1918ord 377 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  G  e.  C )  ->  ( -.  ( L `  G
)  =  V  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =/= 
V ) )
201, 19syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  G  e.  C )  ->  (
( L `  G
)  =/=  V  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =/= 
V ) )
2120imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =/=  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =/=  V
)
222, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 21dochkr1 36676 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =/=  V )  ->  E. x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } ) ( G `  x )  =  ( 1r `  S ) )
232, 4, 11dvhlmod 36308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
245, 9, 10, 23, 13lkrssv 34294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  V )
252, 4, 5, 3dochssv 36553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( L `  G )  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  ( L `  G
) )  C_  V
)
2611, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) 
C_  V )
2726ssdifd 3645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  C_  ( V  \  {  .0.  } ) )
2827ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G
)  =/=  V )  /\  ( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  /\  ( G `
 x )  =  ( 1r `  S
) ) )  -> 
( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  C_  ( V  \  {  .0.  } ) )
29 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G
)  =/=  V )  /\  ( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  /\  ( G `
 x )  =  ( 1r `  S
) ) )  ->  x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G ) )  \  {  .0.  } ) )
3028, 29sseldd 3510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G
)  =/=  V )  /\  ( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  /\  ( G `
 x )  =  ( 1r `  S
) ) )  ->  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
31 lcfl6.a . . . . . . . . . . 11  |-  .+  =  ( +g  `  U )
32 lcfl6.t . . . . . . . . . . 11  |-  .x.  =  ( .s `  U )
33 lcfl6.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( Base `  S
)
3411ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G
)  =/=  V )  /\  ( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  /\  ( G `
 x )  =  ( 1r `  S
) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3513ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G
)  =/=  V )  /\  ( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  /\  ( G `
 x )  =  ( 1r `  S
) ) )  ->  G  e.  F )
36 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G
)  =/=  V )  /\  ( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  /\  ( G `
 x )  =  ( 1r `  S
) ) )  -> 
( G `  x
)  =  ( 1r
`  S ) )
372, 3, 4, 5, 31, 32, 6, 8, 33, 7, 9, 10, 34, 35, 29, 36lcfl6lem 36696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G
)  =/=  V )  /\  ( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  /\  ( G `
 x )  =  ( 1r `  S
) ) )  ->  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) ) )
3830, 37jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G
)  =/=  V )  /\  ( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  /\  ( G `
 x )  =  ( 1r `  S
) ) )  -> 
( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) )
3938ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =/=  V )  ->  (
( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) 
\  {  .0.  }
)  /\  ( G `  x )  =  ( 1r `  S ) )  ->  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) ) ) )
4039reximdv2 2938 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =/=  V )  ->  ( E. x  e.  (
(  ._|_  `  ( L `  G ) )  \  {  .0.  } ) ( G `  x )  =  ( 1r `  S )  ->  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) )
4122, 40mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =/=  V )  ->  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )
4241ex 434 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  G  e.  C )  ->  (
( L `  G
)  =/=  V  ->  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) )
431, 42syl5bir 218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  G  e.  C )  ->  ( -.  ( L `  G
)  =  V  ->  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) )
4443orrd 378 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  e.  C )  ->  (
( L `  G
)  =  V  \/  E. x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) )
4544ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  ->  ( ( L `  G )  =  V  \/  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) ) )
46 olc 384 . . . 4  |-  ( ( L `  G )  =  V  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =/= 
V  \/  ( L `
 G )  =  V ) )
4746, 16syl5ibr 221 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  =  V  ->  G  e.  C
) )
4811adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
49 eldifi 3631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  x  e.  V )
5049adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  x  e.  V )
5150snssd 4178 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  { x }  C_  V )
52 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
DIsoH `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoH `  K ) `  W )
532, 52, 4, 5, 3dochcl 36551 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  { x }  C_  V )  ->  (  ._|_  `  { x }
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
5448, 51, 53syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (  ._|_  `  { x }
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
552, 52, 3dochoc 36565 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  {
x } )  e. 
ran  ( ( DIsoH `  K ) `  W
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { x }
) ) )  =  (  ._|_  `  { x } ) )
5648, 54, 55syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { x }
) ) )  =  (  ._|_  `  { x } ) )
57563adant3 1016 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { x } ) ) )  =  (  ._|_  `  {
x } ) )
58 simp3 998 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  ->  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) ) )
5958fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  -> 
( L `  G
)  =  ( L `
 ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) ) )
60 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) )
61 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
622, 3, 4, 5, 7, 31, 32, 10, 6, 33, 60, 48, 61dochsnkr2 36671 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( L `  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) ) )  =  (  ._|_  `  { x } ) )
63623adant3 1016 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  -> 
( L `  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  =  (  ._|_  `  { x } ) )
6459, 63eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  -> 
( L `  G
)  =  (  ._|_  `  { x } ) )
6564fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  -> 
(  ._|_  `  ( L `  G ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { x } ) ) )
6665fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { x } ) ) ) )
6757, 66, 643eqtr4d 2518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
) )
68133ad2ant1 1017 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  ->  G  e.  F )
6915, 68lcfl1 36690 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  -> 
( G  e.  C  <->  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G ) ) )
7067, 69mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  ->  G  e.  C )
7170rexlimdv3a 2961 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  ->  G  e.  C ) )
7247, 71jaod 380 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( L `
 G )  =  V  \/  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  ->  G  e.  C )
)
7345, 72impbid 191 1  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( ( L `  G
)  =  V  \/  E. x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2818   {crab 2821    \ cdif 3478    C_ wss 3481   {csn 4033    |-> cmpt 4511   ran crn 5006   ` cfv 5594   iota_crio 6255  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   +g cplusg 14572  Scalarcsca 14575   .scvsca 14576   0gc0g 14712   1rcur 17025  LFnlclfn 34255  LKerclk 34283   HLchlt 34548   LHypclh 35181   DVecHcdvh 36276   DIsoHcdih 36426   ocHcoch 36545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-riotaBAD 34157
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-undef 7014  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-0g 14714  df-poset 15450  df-plt 15462  df-lub 15478  df-glb 15479  df-join 15480  df-meet 15481  df-p0 15543  df-p1 15544  df-lat 15550  df-clat 15612  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-cntz 16227  df-lsm 16529  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-dvr 17204  df-drng 17269  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489  df-lvec 17620  df-lsatoms 34174  df-lshyp 34175  df-lfl 34256  df-lkr 34284  df-oposet 34374  df-ol 34376  df-oml 34377  df-covers 34464  df-ats 34465  df-atl 34496  df-cvlat 34520  df-hlat 34549  df-llines 34695  df-lplanes 34696  df-lvols 34697  df-lines 34698  df-psubsp 34700  df-pmap 34701  df-padd 34993  df-lhyp 35185  df-laut 35186  df-ldil 35301  df-ltrn 35302  df-trl 35356  df-tgrp 35940  df-tendo 35952  df-edring 35954  df-dveca 36200  df-disoa 36227  df-dvech 36277  df-dib 36337  df-dic 36371  df-dih 36427  df-doch 36546  df-djh 36593
This theorem is referenced by:  lcfl7N  36699  lcfrlem9  36748
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