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Theorem lcfl6 35035
Description: Property of a functional with a closed kernel. Note that  ( L `  G )  =  V means the functional is zero by lkr0f 32627. (Contributed by NM, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl6.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfl6.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfl6.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfl6.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfl6.a  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfl6.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
lcfl6.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lcfl6.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lcfl6.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcfl6.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcfl6.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfl6.c  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
lcfl6.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfl6.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lcfl6  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( ( L `  G
)  =  V  \/  E. x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    v, k, w,  .+    f, k, v, w, x,  ._|_    w,  .0. , x    x, C    f, G, x   
f, F    f, L, x    ph, x    R, k,
v    S, k, w, x   
v, V, x    x, U    .x. , k, v, w
Allowed substitution hints:    ph( w, v, f, k)    C( w, v, f, k)    .+ ( x, f)    R( x, w, f)    S( v, f)    .x. ( x, f)    U( w, v, f, k)    F( x, w, v, k)    G( w, v, k)    H( x, w, v, f, k)    K( x, w, v, f, k)    L( w, v, k)    V( w, f, k)    W( x, w, v, f, k)    .0. ( v, f, k)

Proof of Theorem lcfl6
StepHypRef Expression
1 df-ne 2621 . . . . 5  |-  ( ( L `  G )  =/=  V  <->  -.  ( L `  G )  =  V )
2 lcfl6.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 lcfl6.o . . . . . . . 8  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
4 lcfl6.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 lcfl6.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  U
)
6 lcfl6.s . . . . . . . 8  |-  S  =  (Scalar `  U )
7 lcfl6.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
8 eqid 2423 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  S )  =  ( 1r `  S
)
9 lcfl6.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (LFnl `  U )
10 lcfl6.l . . . . . . . 8  |-  L  =  (LKer `  U )
11 lcfl6.k . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
1211ad2antrr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =/=  V )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 lcfl6.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
1413ad2antrr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =/=  V )  ->  G  e.  F )
15 lcfl6.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
162, 3, 4, 5, 9, 10, 15, 11, 13lcfl2 35028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =/= 
V  \/  ( L `
 G )  =  V ) ) )
1716biimpa 487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  G  e.  C )  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =/= 
V  \/  ( L `
 G )  =  V ) )
1817orcomd 390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  G  e.  C )  ->  (
( L `  G
)  =  V  \/  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =/= 
V ) )
1918ord 379 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  G  e.  C )  ->  ( -.  ( L `  G
)  =  V  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =/= 
V ) )
201, 19syl5bi 221 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  G  e.  C )  ->  (
( L `  G
)  =/=  V  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =/= 
V ) )
2120imp 431 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =/=  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =/=  V
)
222, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 21dochkr1 35013 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =/=  V )  ->  E. x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } ) ( G `  x )  =  ( 1r `  S ) )
232, 4, 11dvhlmod 34645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
245, 9, 10, 23, 13lkrssv 32629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  V )
252, 4, 5, 3dochssv 34890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( L `  G )  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  ( L `  G
) )  C_  V
)
2611, 24, 25syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) 
C_  V )
2726ssdifd 3603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  C_  ( V  \  {  .0.  } ) )
2827ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G
)  =/=  V )  /\  ( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  /\  ( G `
 x )  =  ( 1r `  S
) ) )  -> 
( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  C_  ( V  \  {  .0.  } ) )
29 simprl 763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G
)  =/=  V )  /\  ( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  /\  ( G `
 x )  =  ( 1r `  S
) ) )  ->  x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G ) )  \  {  .0.  } ) )
3028, 29sseldd 3467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G
)  =/=  V )  /\  ( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  /\  ( G `
 x )  =  ( 1r `  S
) ) )  ->  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
31 lcfl6.a . . . . . . . . . . 11  |-  .+  =  ( +g  `  U )
32 lcfl6.t . . . . . . . . . . 11  |-  .x.  =  ( .s `  U )
33 lcfl6.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( Base `  S
)
3411ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G
)  =/=  V )  /\  ( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  /\  ( G `
 x )  =  ( 1r `  S
) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3513ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G
)  =/=  V )  /\  ( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  /\  ( G `
 x )  =  ( 1r `  S
) ) )  ->  G  e.  F )
36 simprr 765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G
)  =/=  V )  /\  ( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  /\  ( G `
 x )  =  ( 1r `  S
) ) )  -> 
( G `  x
)  =  ( 1r
`  S ) )
372, 3, 4, 5, 31, 32, 6, 8, 33, 7, 9, 10, 34, 35, 29, 36lcfl6lem 35033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G
)  =/=  V )  /\  ( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  /\  ( G `
 x )  =  ( 1r `  S
) ) )  ->  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) ) )
3830, 37jca 535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G
)  =/=  V )  /\  ( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  /\  ( G `
 x )  =  ( 1r `  S
) ) )  -> 
( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) )
3938ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =/=  V )  ->  (
( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) 
\  {  .0.  }
)  /\  ( G `  x )  =  ( 1r `  S ) )  ->  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) ) ) )
4039reximdv2 2897 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =/=  V )  ->  ( E. x  e.  (
(  ._|_  `  ( L `  G ) )  \  {  .0.  } ) ( G `  x )  =  ( 1r `  S )  ->  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) )
4122, 40mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =/=  V )  ->  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )
4241ex 436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  G  e.  C )  ->  (
( L `  G
)  =/=  V  ->  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) )
431, 42syl5bir 222 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  G  e.  C )  ->  ( -.  ( L `  G
)  =  V  ->  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) )
4443orrd 380 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  e.  C )  ->  (
( L `  G
)  =  V  \/  E. x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) )
4544ex 436 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  ->  ( ( L `  G )  =  V  \/  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) ) )
46 olc 386 . . . 4  |-  ( ( L `  G )  =  V  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =/= 
V  \/  ( L `
 G )  =  V ) )
4746, 16syl5ibr 225 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  =  V  ->  G  e.  C
) )
4811adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
49 eldifi 3589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  x  e.  V )
5049adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  x  e.  V )
5150snssd 4144 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  { x }  C_  V )
52 eqid 2423 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
DIsoH `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoH `  K ) `  W )
532, 52, 4, 5, 3dochcl 34888 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  { x }  C_  V )  ->  (  ._|_  `  { x }
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
5448, 51, 53syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (  ._|_  `  { x }
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
552, 52, 3dochoc 34902 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  {
x } )  e. 
ran  ( ( DIsoH `  K ) `  W
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { x }
) ) )  =  (  ._|_  `  { x } ) )
5648, 54, 55syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { x }
) ) )  =  (  ._|_  `  { x } ) )
57563adant3 1026 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { x } ) ) )  =  (  ._|_  `  {
x } ) )
58 simp3 1008 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  ->  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) ) )
5958fveq2d 5884 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  -> 
( L `  G
)  =  ( L `
 ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) ) )
60 eqid 2423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) )
61 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
622, 3, 4, 5, 7, 31, 32, 10, 6, 33, 60, 48, 61dochsnkr2 35008 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( L `  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) ) )  =  (  ._|_  `  { x } ) )
63623adant3 1026 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  -> 
( L `  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  =  (  ._|_  `  { x } ) )
6459, 63eqtrd 2464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  -> 
( L `  G
)  =  (  ._|_  `  { x } ) )
6564fveq2d 5884 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  -> 
(  ._|_  `  ( L `  G ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { x } ) ) )
6665fveq2d 5884 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { x } ) ) ) )
6757, 66, 643eqtr4d 2474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
) )
68133ad2ant1 1027 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  ->  G  e.  F )
6915, 68lcfl1 35027 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  -> 
( G  e.  C  <->  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G ) ) )
7067, 69mpbird 236 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  ->  G  e.  C )
7170rexlimdv3a 2920 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  ->  G  e.  C ) )
7247, 71jaod 382 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( L `
 G )  =  V  \/  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  ->  G  e.  C )
)
7345, 72impbid 194 1  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( ( L `  G
)  =  V  \/  E. x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619   E.wrex 2777   {crab 2780    \ cdif 3435    C_ wss 3438   {csn 3998    |-> cmpt 4481   ran crn 4853   ` cfv 5600   iota_crio 6265  (class class class)co 6304   Basecbs 15118   +g cplusg 15187  Scalarcsca 15190   .scvsca 15191   0gc0g 15335   1rcur 17732  LFnlclfn 32590  LKerclk 32618   HLchlt 32883   LHypclh 33516   DVecHcdvh 34613   DIsoHcdih 34763   ocHcoch 34882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4535  ax-sep 4545  ax-nul 4554  ax-pow 4601  ax-pr 4659  ax-un 6596  ax-cnex 9601  ax-resscn 9602  ax-1cn 9603  ax-icn 9604  ax-addcl 9605  ax-addrcl 9606  ax-mulcl 9607  ax-mulrcl 9608  ax-mulcom 9609  ax-addass 9610  ax-mulass 9611  ax-distr 9612  ax-i2m1 9613  ax-1ne0 9614  ax-1rid 9615  ax-rnegex 9616  ax-rrecex 9617  ax-cnre 9618  ax-pre-lttri 9619  ax-pre-lttrn 9620  ax-pre-ltadd 9621  ax-pre-mulgt0 9622  ax-riotaBAD 32492
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3302  df-csb 3398  df-dif 3441  df-un 3443  df-in 3445  df-ss 3452  df-pss 3454  df-nul 3764  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4219  df-int 4255  df-iun 4300  df-iin 4301  df-br 4423  df-opab 4482  df-mpt 4483  df-tr 4518  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6266  df-ov 6307  df-oprab 6308  df-mpt2 6309  df-om 6706  df-1st 6806  df-2nd 6807  df-tpos 6983  df-undef 7030  df-wrecs 7038  df-recs 7100  df-rdg 7138  df-1o 7192  df-oadd 7196  df-er 7373  df-map 7484  df-en 7580  df-dom 7581  df-sdom 7582  df-fin 7583  df-pnf 9683  df-mnf 9684  df-xr 9685  df-ltxr 9686  df-le 9687  df-sub 9868  df-neg 9869  df-nn 10616  df-2 10674  df-3 10675  df-4 10676  df-5 10677  df-6 10678  df-n0 10876  df-z 10944  df-uz 11166  df-fz 11791  df-struct 15120  df-ndx 15121  df-slot 15122  df-base 15123  df-sets 15124  df-ress 15125  df-plusg 15200  df-mulr 15201  df-sca 15203  df-vsca 15204  df-0g 15337  df-preset 16170  df-poset 16188  df-plt 16201  df-lub 16217  df-glb 16218  df-join 16219  df-meet 16220  df-p0 16282  df-p1 16283  df-lat 16289  df-clat 16351  df-mgm 16485  df-sgrp 16524  df-mnd 16534  df-submnd 16580  df-grp 16670  df-minusg 16671  df-sbg 16672  df-subg 16811  df-cntz 16968  df-lsm 17285  df-cmn 17429  df-abl 17430  df-mgp 17721  df-ur 17733  df-ring 17779  df-oppr 17848  df-dvdsr 17866  df-unit 17867  df-invr 17897  df-dvr 17908  df-drng 17974  df-lmod 18090  df-lss 18153  df-lsp 18192  df-lvec 18323  df-lsatoms 32509  df-lshyp 32510  df-lfl 32591  df-lkr 32619  df-oposet 32709  df-ol 32711  df-oml 32712  df-covers 32799  df-ats 32800  df-atl 32831  df-cvlat 32855  df-hlat 32884  df-llines 33030  df-lplanes 33031  df-lvols 33032  df-lines 33033  df-psubsp 33035  df-pmap 33036  df-padd 33328  df-lhyp 33520  df-laut 33521  df-ldil 33636  df-ltrn 33637  df-trl 33692  df-tgrp 34277  df-tendo 34289  df-edring 34291  df-dveca 34537  df-disoa 34564  df-dvech 34614  df-dib 34674  df-dic 34708  df-dih 34764  df-doch 34883  df-djh 34930
This theorem is referenced by:  lcfl7N  35036  lcfrlem9  35085
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