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Theorem lcfl6 34985
Description: Property of a functional with a closed kernel. Note that  ( L `  G )  =  V means the functional is zero by lkr0f 32579. (Contributed by NM, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl6.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfl6.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfl6.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfl6.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfl6.a  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcfl6.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
lcfl6.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lcfl6.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lcfl6.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcfl6.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcfl6.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfl6.c  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
lcfl6.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfl6.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lcfl6  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( ( L `  G
)  =  V  \/  E. x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    v, k, w,  .+    f, k, v, w, x,  ._|_    w,  .0. , x    x, C    f, G, x   
f, F    f, L, x    ph, x    R, k,
v    S, k, w, x   
v, V, x    x, U    .x. , k, v, w
Allowed substitution hints:    ph( w, v, f, k)    C( w, v, f, k)    .+ ( x, f)    R( x, w, f)    S( v, f)    .x. ( x, f)    U( w, v, f, k)    F( x, w, v, k)    G( w, v, k)    H( x, w, v, f, k)    K( x, w, v, f, k)    L( w, v, k)    V( w, f, k)    W( x, w, v, f, k)    .0. ( v, f, k)

Proof of Theorem lcfl6
StepHypRef Expression
1 df-ne 2603 . . . . 5  |-  ( ( L `  G )  =/=  V  <->  -.  ( L `  G )  =  V )
2 lcfl6.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 lcfl6.o . . . . . . . 8  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
4 lcfl6.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 lcfl6.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  U
)
6 lcfl6.s . . . . . . . 8  |-  S  =  (Scalar `  U )
7 lcfl6.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
8 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  S )  =  ( 1r `  S
)
9 lcfl6.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (LFnl `  U )
10 lcfl6.l . . . . . . . 8  |-  L  =  (LKer `  U )
11 lcfl6.k . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
1211ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =/=  V )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 lcfl6.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
1413ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =/=  V )  ->  G  e.  F )
15 lcfl6.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
162, 3, 4, 5, 9, 10, 15, 11, 13lcfl2 34978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =/= 
V  \/  ( L `
 G )  =  V ) ) )
1716biimpa 484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  G  e.  C )  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =/= 
V  \/  ( L `
 G )  =  V ) )
1817orcomd 388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  G  e.  C )  ->  (
( L `  G
)  =  V  \/  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =/= 
V ) )
1918ord 377 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  G  e.  C )  ->  ( -.  ( L `  G
)  =  V  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =/= 
V ) )
201, 19syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  G  e.  C )  ->  (
( L `  G
)  =/=  V  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =/= 
V ) )
2120imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =/=  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =/=  V
)
222, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 21dochkr1 34963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =/=  V )  ->  E. x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } ) ( G `  x )  =  ( 1r `  S ) )
232, 4, 11dvhlmod 34595 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
245, 9, 10, 23, 13lkrssv 32581 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  V )
252, 4, 5, 3dochssv 34840 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( L `  G )  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  ( L `  G
) )  C_  V
)
2611, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) 
C_  V )
2726ssdifd 3487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  C_  ( V  \  {  .0.  } ) )
2827ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G
)  =/=  V )  /\  ( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  /\  ( G `
 x )  =  ( 1r `  S
) ) )  -> 
( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  C_  ( V  \  {  .0.  } ) )
29 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G
)  =/=  V )  /\  ( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  /\  ( G `
 x )  =  ( 1r `  S
) ) )  ->  x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G ) )  \  {  .0.  } ) )
3028, 29sseldd 3352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G
)  =/=  V )  /\  ( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  /\  ( G `
 x )  =  ( 1r `  S
) ) )  ->  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
31 lcfl6.a . . . . . . . . . . 11  |-  .+  =  ( +g  `  U )
32 lcfl6.t . . . . . . . . . . 11  |-  .x.  =  ( .s `  U )
33 lcfl6.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( Base `  S
)
3411ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G
)  =/=  V )  /\  ( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  /\  ( G `
 x )  =  ( 1r `  S
) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3513ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G
)  =/=  V )  /\  ( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  /\  ( G `
 x )  =  ( 1r `  S
) ) )  ->  G  e.  F )
36 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G
)  =/=  V )  /\  ( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  /\  ( G `
 x )  =  ( 1r `  S
) ) )  -> 
( G `  x
)  =  ( 1r
`  S ) )
372, 3, 4, 5, 31, 32, 6, 8, 33, 7, 9, 10, 34, 35, 29, 36lcfl6lem 34983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G
)  =/=  V )  /\  ( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  /\  ( G `
 x )  =  ( 1r `  S
) ) )  ->  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) ) )
3830, 37jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G
)  =/=  V )  /\  ( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  /\  ( G `
 x )  =  ( 1r `  S
) ) )  -> 
( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) )
3938ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =/=  V )  ->  (
( x  e.  ( (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) 
\  {  .0.  }
)  /\  ( G `  x )  =  ( 1r `  S ) )  ->  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) ) ) )
4039reximdv2 2820 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =/=  V )  ->  ( E. x  e.  (
(  ._|_  `  ( L `  G ) )  \  {  .0.  } ) ( G `  x )  =  ( 1r `  S )  ->  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) )
4122, 40mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  C )  /\  ( L `  G )  =/=  V )  ->  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )
4241ex 434 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  G  e.  C )  ->  (
( L `  G
)  =/=  V  ->  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) )
431, 42syl5bir 218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  G  e.  C )  ->  ( -.  ( L `  G
)  =  V  ->  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) )
4443orrd 378 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  e.  C )  ->  (
( L `  G
)  =  V  \/  E. x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) )
4544ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  ->  ( ( L `  G )  =  V  \/  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) ) )
46 olc 384 . . . 4  |-  ( ( L `  G )  =  V  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =/= 
V  \/  ( L `
 G )  =  V ) )
4746, 16syl5ibr 221 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  =  V  ->  G  e.  C
) )
4811adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
49 eldifi 3473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  x  e.  V )
5049adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  x  e.  V )
5150snssd 4013 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  { x }  C_  V )
52 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
DIsoH `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoH `  K ) `  W )
532, 52, 4, 5, 3dochcl 34838 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  { x }  C_  V )  ->  (  ._|_  `  { x }
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
5448, 51, 53syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (  ._|_  `  { x }
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
552, 52, 3dochoc 34852 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  {
x } )  e. 
ran  ( ( DIsoH `  K ) `  W
) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { x }
) ) )  =  (  ._|_  `  { x } ) )
5648, 54, 55syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { x }
) ) )  =  (  ._|_  `  { x } ) )
57563adant3 1008 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { x } ) ) )  =  (  ._|_  `  {
x } ) )
58 simp3 990 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  ->  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) ) )
5958fveq2d 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  -> 
( L `  G
)  =  ( L `
 ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) ) )
60 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) )
61 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
622, 3, 4, 5, 7, 31, 32, 10, 6, 33, 60, 48, 61dochsnkr2 34958 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( L `  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) ) )  =  (  ._|_  `  { x } ) )
63623adant3 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  -> 
( L `  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  =  (  ._|_  `  { x } ) )
6459, 63eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  -> 
( L `  G
)  =  (  ._|_  `  { x } ) )
6564fveq2d 5690 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  -> 
(  ._|_  `  ( L `  G ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { x } ) ) )
6665fveq2d 5690 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  { x } ) ) ) )
6757, 66, 643eqtr4d 2480 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
) )
68133ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  ->  G  e.  F )
6915, 68lcfl1 34977 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  -> 
( G  e.  C  <->  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G ) ) )
7067, 69mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  ->  G  e.  C )
7170rexlimdv3a 2838 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  ->  G  e.  C ) )
7247, 71jaod 380 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( L `
 G )  =  V  \/  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  ->  G  e.  C )
)
7345, 72impbid 191 1  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( ( L `  G
)  =  V  \/  E. x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) G  =  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   E.wrex 2711   {crab 2714    \ cdif 3320    C_ wss 3323   {csn 3872    e. cmpt 4345   ran crn 4836   ` cfv 5413   iota_crio 6046  (class class class)co 6086   Basecbs 14166   +g cplusg 14230  Scalarcsca 14233   .scvsca 14234   0gc0g 14370   1rcur 16591  LFnlclfn 32542  LKerclk 32570   HLchlt 32835   LHypclh 33468   DVecHcdvh 34563   DIsoHcdih 34713   ocHcoch 34832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-riotaBAD 32444
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-tpos 6740  df-undef 6784  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-0g 14372  df-poset 15108  df-plt 15120  df-lub 15136  df-glb 15137  df-join 15138  df-meet 15139  df-p0 15201  df-p1 15202  df-lat 15208  df-clat 15270  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-subg 15669  df-cntz 15826  df-lsm 16126  df-cmn 16270  df-abl 16271  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635  df-oppr 16703  df-dvdsr 16721  df-unit 16722  df-invr 16752  df-dvr 16763  df-drng 16812  df-lmod 16928  df-lss 16991  df-lsp 17030  df-lvec 17161  df-lsatoms 32461  df-lshyp 32462  df-lfl 32543  df-lkr 32571  df-oposet 32661  df-ol 32663  df-oml 32664  df-covers 32751  df-ats 32752  df-atl 32783  df-cvlat 32807  df-hlat 32836  df-llines 32982  df-lplanes 32983  df-lvols 32984  df-lines 32985  df-psubsp 32987  df-pmap 32988  df-padd 33280  df-lhyp 33472  df-laut 33473  df-ldil 33588  df-ltrn 33589  df-trl 33643  df-tgrp 34227  df-tendo 34239  df-edring 34241  df-dveca 34487  df-disoa 34514  df-dvech 34564  df-dib 34624  df-dic 34658  df-dih 34714  df-doch 34833  df-djh 34880
This theorem is referenced by:  lcfl7N  34986  lcfrlem9  35035
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