Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfl5a Structured version   Unicode version

Theorem lcfl5a 34983
Description: Property of a functional with a closed kernel. TODO: Make lcfl5 34982 etc. obsolete and rewrite w/out 
C hypothesis? (Contributed by NM, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl5a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfl5a.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
lcfl5a.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfl5a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfl5a.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcfl5a.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfl5a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfl5a.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lcfl5a  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =  ( L `  G )  <->  ( L `  G )  e.  ran  I ) )

Proof of Theorem lcfl5a
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2422 . . 3  |-  { f  e.  F  |  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f )
) )  =  ( L `  f ) }  =  { f  e.  F  |  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f )
) )  =  ( L `  f ) }
2 lcfl5a.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
31, 2lcfl1 34978 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  {
f  e.  F  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f
) ) )  =  ( L `  f
) }  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  ( L `
 G ) ) )
4 lcfl5a.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 lcfl5a.i . . 3  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
6 lcfl5a.o . . 3  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
7 lcfl5a.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
8 lcfl5a.f . . 3  |-  F  =  (LFnl `  U )
9 lcfl5a.l . . 3  |-  L  =  (LKer `  U )
10 lcfl5a.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
114, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 10, 2lcfl5 34982 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  {
f  e.  F  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f
) ) )  =  ( L `  f
) }  <->  ( L `  G )  e.  ran  I ) )
123, 11bitr3d 258 1  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =  ( L `  G )  <->  ( L `  G )  e.  ran  I ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   {crab 2779   ran crn 4850   ` cfv 5597  LFnlclfn 32541  LKerclk 32569   HLchlt 32834   LHypclh 33467   DVecHcdvh 34564   DIsoHcdih 34714   ocHcoch 34833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-riotaBAD 32443
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-tpos 6977  df-undef 7024  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-sca 15193  df-vsca 15194  df-0g 15327  df-preset 16160  df-poset 16178  df-plt 16191  df-lub 16207  df-glb 16208  df-join 16209  df-meet 16210  df-p0 16272  df-p1 16273  df-lat 16279  df-clat 16341  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-grp 16660  df-minusg 16661  df-sbg 16662  df-subg 16801  df-cntz 16958  df-lsm 17275  df-cmn 17419  df-abl 17420  df-mgp 17711  df-ur 17723  df-ring 17769  df-oppr 17838  df-dvdsr 17856  df-unit 17857  df-invr 17887  df-dvr 17898  df-drng 17964  df-lmod 18080  df-lss 18143  df-lsp 18182  df-lvec 18313  df-lfl 32542  df-lkr 32570  df-oposet 32660  df-ol 32662  df-oml 32663  df-covers 32750  df-ats 32751  df-atl 32782  df-cvlat 32806  df-hlat 32835  df-llines 32981  df-lplanes 32982  df-lvols 32983  df-lines 32984  df-psubsp 32986  df-pmap 32987  df-padd 33279  df-lhyp 33471  df-laut 33472  df-ldil 33587  df-ltrn 33588  df-trl 33643  df-tendo 34240  df-edring 34242  df-disoa 34515  df-dvech 34565  df-dib 34625  df-dic 34659  df-dih 34715  df-doch 34834
This theorem is referenced by:  lclkrslem2  35024
  Copyright terms: Public domain W3C validator