Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfl3 Structured version   Unicode version

Theorem lcfl3 36955
Description: Property of a functional with a closed kernel. (Contributed by NM, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl3.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfl3.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfl3.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfl3.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfl3.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
lcfl3.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcfl3.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfl3.c  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
lcfl3.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfl3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lcfl3  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( (  ._|_  `  ( L `
 G ) )  e.  A  \/  ( L `  G )  =  V ) ) )
Distinct variable groups:    f, F    f, G    f, L    ._|_ , f
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    C( f)    U( f)    H( f)    K( f)    V( f)    W( f)

Proof of Theorem lcfl3
StepHypRef Expression
1 lcfl3.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 lcfl3.o . . 3  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 lcfl3.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 lcfl3.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 lcfl3.f . . 3  |-  F  =  (LFnl `  U )
6 lcfl3.l . . 3  |-  L  =  (LKer `  U )
7 lcfl3.c . . 3  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
8 lcfl3.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9 lcfl3.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lcfl2 36954 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =/= 
V  \/  ( L `
 G )  =  V ) ) )
11 lcfl3.a . . . 4  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
121, 2, 3, 4, 11, 5, 6, 8, 9dochkrsat2 36917 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V  <->  (  ._|_  `  ( L `  G
) )  e.  A
) )
1312orbi1d 702 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =/=  V  \/  ( L `  G )  =  V )  <->  ( (  ._|_  `  ( L `  G ) )  e.  A  \/  ( L `
 G )  =  V ) ) )
1410, 13bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( (  ._|_  `  ( L `
 G ) )  e.  A  \/  ( L `  G )  =  V ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   {crab 2797   ` cfv 5578   Basecbs 14509  LSAtomsclsa 34433  LFnlclfn 34516  LKerclk 34544   HLchlt 34809   LHypclh 35442   DVecHcdvh 36539   ocHcoch 36808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-riotaBAD 34418
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6957  df-undef 7004  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-0g 14716  df-preset 15431  df-poset 15449  df-plt 15462  df-lub 15478  df-glb 15479  df-join 15480  df-meet 15481  df-p0 15543  df-p1 15544  df-lat 15550  df-clat 15612  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-sbg 15933  df-subg 16072  df-cntz 16229  df-lsm 16530  df-cmn 16674  df-abl 16675  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-oppr 17146  df-dvdsr 17164  df-unit 17165  df-invr 17195  df-dvr 17206  df-drng 17272  df-lmod 17388  df-lss 17453  df-lsp 17492  df-lvec 17623  df-lsatoms 34435  df-lshyp 34436  df-lfl 34517  df-lkr 34545  df-oposet 34635  df-ol 34637  df-oml 34638  df-covers 34725  df-ats 34726  df-atl 34757  df-cvlat 34781  df-hlat 34810  df-llines 34956  df-lplanes 34957  df-lvols 34958  df-lines 34959  df-psubsp 34961  df-pmap 34962  df-padd 35254  df-lhyp 35446  df-laut 35447  df-ldil 35562  df-ltrn 35563  df-trl 35618  df-tgrp 36203  df-tendo 36215  df-edring 36217  df-dveca 36463  df-disoa 36490  df-dvech 36540  df-dib 36600  df-dic 36634  df-dih 36690  df-doch 36809  df-djh 36856
This theorem is referenced by:  lcfl4N  36956  lcfl8  36963
  Copyright terms: Public domain W3C validator