Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfl2 Structured version   Unicode version

Theorem lcfl2 36583
Description: Property of a functional with a closed kernel. (Contributed by NM, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcfl2.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcfl2.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcfl2.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcfl2.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcfl2.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcfl2.c  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
lcfl2.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcfl2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lcfl2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =/= 
V  \/  ( L `
 G )  =  V ) ) )
Distinct variable groups:    f, F    f, G    f, L    ._|_ , f
Allowed substitution hints:    ph( f)    C( f)    U( f)    H( f)    K( f)    V( f)    W( f)

Proof of Theorem lcfl2
StepHypRef Expression
1 lcfl2.c . . 3  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
2 lcfl2.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
31, 2lcfl1 36582 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G ) ) )
4 lcfl2.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 lcfl2.o . . 3  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
6 lcfl2.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 lcfl2.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
8 lcfl2.f . . 3  |-  F  =  (LFnl `  U )
9 lcfl2.l . . 3  |-  L  =  (LKer `  U )
10 lcfl2.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 2dochkrshp4 36479 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =  ( L `  G )  <->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =/=  V  \/  ( L `  G
)  =  V ) ) )
123, 11bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( G  e.  C  <->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =/= 
V  \/  ( L `
 G )  =  V ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   {crab 2821   ` cfv 5593   Basecbs 14502  LFnlclfn 34147  LKerclk 34175   HLchlt 34440   LHypclh 35073   DVecHcdvh 36168   ocHcoch 36437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579  ax-riotaBAD 34049
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-tpos 6965  df-undef 7012  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-fz 11683  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-sca 14583  df-vsca 14584  df-0g 14709  df-poset 15445  df-plt 15457  df-lub 15473  df-glb 15474  df-join 15475  df-meet 15476  df-p0 15538  df-p1 15539  df-lat 15545  df-clat 15607  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-submnd 15820  df-grp 15906  df-minusg 15907  df-sbg 15908  df-subg 16047  df-cntz 16204  df-lsm 16506  df-cmn 16650  df-abl 16651  df-mgp 16991  df-ur 17003  df-ring 17049  df-oppr 17121  df-dvdsr 17139  df-unit 17140  df-invr 17170  df-dvr 17181  df-drng 17246  df-lmod 17362  df-lss 17427  df-lsp 17466  df-lvec 17597  df-lsatoms 34066  df-lshyp 34067  df-lfl 34148  df-lkr 34176  df-oposet 34266  df-ol 34268  df-oml 34269  df-covers 34356  df-ats 34357  df-atl 34388  df-cvlat 34412  df-hlat 34441  df-llines 34587  df-lplanes 34588  df-lvols 34589  df-lines 34590  df-psubsp 34592  df-pmap 34593  df-padd 34885  df-lhyp 35077  df-laut 35078  df-ldil 35193  df-ltrn 35194  df-trl 35248  df-tendo 35844  df-edring 35846  df-disoa 36119  df-dvech 36169  df-dib 36229  df-dic 36263  df-dih 36319  df-doch 36438
This theorem is referenced by:  lcfl3  36584  lcfl6  36590
  Copyright terms: Public domain W3C validator