Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcf1o Structured version   Unicode version

Theorem lcf1o 37379
Description: Define a function  J that provides a bijection from nonzero vectors  V to nonzero functionals with closed kernels  C. (Contributed by NM, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcf1o.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcf1o.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcf1o.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcf1o.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcf1o.a  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcf1o.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
lcf1o.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lcf1o.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lcf1o.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcf1o.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcf1o.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcf1o.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcf1o.q  |-  Q  =  ( 0g `  D
)
lcf1o.c  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
lcf1o.j  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
lcflo.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
lcf1o  |-  ( ph  ->  J : ( V 
\  {  .0.  }
)
-1-1-onto-> ( C  \  { Q } ) )
Distinct variable groups:    x, w,  ._|_    x,  .0.    x, v, V    x,  .x.    v, k, w, x, 
.+    x, R    f, k,
v, w, x,  .+    ._|_ , f, k, v    f, L    R, f, k, v    f, F    f, V    .x. , f, k, v, w
Allowed substitution hints:    ph( x, w, v, f, k)    C( x, w, v, f, k)    D( x, w, v, f, k)    Q( x, w, v, f, k)    R( w)    S( x, w, v, f, k)    U( x, w, v, f, k)    F( x, w, v, k)    H( x, w, v, f, k)    J( x, w, v, f, k)    K( x, w, v, f, k)    L( x, w, v, k)    V( w, k)    W( x, w, v, f, k)    .0. ( w, v, f, k)

Proof of Theorem lcf1o
Dummy variables  l  u  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcf1o.h . 2  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 lcf1o.o . 2  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 lcf1o.u . 2  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 lcf1o.v . 2  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 lcf1o.a . 2  |-  .+  =  ( +g  `  U )
6 lcf1o.t . 2  |-  .x.  =  ( .s `  U )
7 lcf1o.s . 2  |-  S  =  (Scalar `  U )
8 lcf1o.r . 2  |-  R  =  ( Base `  S
)
9 lcf1o.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
10 lcf1o.f . 2  |-  F  =  (LFnl `  U )
11 lcf1o.l . 2  |-  L  =  (LKer `  U )
12 lcf1o.d . 2  |-  D  =  (LDual `  U )
13 lcf1o.q . 2  |-  Q  =  ( 0g `  D
)
14 lcf1o.c . 2  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
15 lcf1o.j . . 3  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
16 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  (
w  .+  ( k  .x.  x ) )  =  ( z  .+  (
k  .x.  x )
) )
1716eqeq2d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  (
v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) )  <->  v  =  ( z  .+  (
k  .x.  x )
) ) )
1817cbvrexv 3085 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) )  <->  E. z  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( z  .+  ( k  .x.  x
) ) )
19 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  l  ->  (
k  .x.  x )  =  ( l  .x.  x ) )
2019oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  l  ->  (
z  .+  ( k  .x.  x ) )  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) )
2120eqeq2d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  l  ->  (
v  =  ( z 
.+  ( k  .x.  x ) )  <->  v  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) ) )
2221rexbidv 2968 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  l  ->  ( E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( z  .+  ( k 
.x.  x ) )  <->  E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) ) ) )
2318, 22syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  l  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) )  <->  E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) ) ) )
2423cbvriotav 6269 . . . . . . 7  |-  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) )  =  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) ) )
25 eqeq1 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  u  ->  (
v  =  ( z 
.+  ( l  .x.  x ) )  <->  u  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) ) )
2625rexbidv 2968 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  u  ->  ( E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) )  <->  E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) ) ) )
2726riotabidv 6260 . . . . . . 7  |-  ( v  =  u  ->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( z 
.+  ( l  .x.  x ) ) )  =  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { x } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) ) )
2824, 27syl5eq 2510 . . . . . 6  |-  ( v  =  u  ->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) ) )  =  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { x } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) ) )
2928cbvmptv 4548 . . . . 5  |-  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  =  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { x } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) ) )
30 sneq 4042 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
3130fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (  ._|_  `  { x }
)  =  (  ._|_  `  { y } ) )
32 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
l  .x.  x )  =  ( l  .x.  y ) )
3332oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
z  .+  ( l  .x.  x ) )  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) )
3433eqeq2d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
u  =  ( z 
.+  ( l  .x.  x ) )  <->  u  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) ) )
3531, 34rexeqbidv 3069 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) )  <->  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  y ) ) ) )
3635riotabidv 6260 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { x } ) u  =  ( z 
.+  ( l  .x.  x ) ) )  =  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) ) )
3736mpteq2dv 4544 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
u  e.  V  |->  (
iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) ) ) )  =  ( u  e.  V  |->  (
iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  y ) ) ) ) )
3829, 37syl5eq 2510 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  =  ( u  e.  V  |->  (
iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  y ) ) ) ) )
3938cbvmptv 4548 . . 3  |-  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  =  ( y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) ) ) )
4015, 39eqtri 2486 . 2  |-  J  =  ( y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) ) ) )
41 lcflo.k . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
421, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 40, 41lcfrlem9 37378 1  |-  ( ph  ->  J : ( V 
\  {  .0.  }
)
-1-1-onto-> ( C  \  { Q } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   E.wrex 2808   {crab 2811    \ cdif 3468   {csn 4032    |-> cmpt 4515   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594   iota_crio 6257  (class class class)co 6296   Basecbs 14643   +g cplusg 14711  Scalarcsca 14714   .scvsca 14715   0gc0g 14856  LFnlclfn 34883  LKerclk 34911  LDualcld 34949   HLchlt 35176   LHypclh 35809   DVecHcdvh 36906   ocHcoch 37175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-riotaBAD 34785
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-undef 7020  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-0g 14858  df-preset 15683  df-poset 15701  df-plt 15714  df-lub 15730  df-glb 15731  df-join 15732  df-meet 15733  df-p0 15795  df-p1 15796  df-lat 15802  df-clat 15864  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-subg 16324  df-cntz 16481  df-lsm 16782  df-cmn 16926  df-abl 16927  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-oppr 17398  df-dvdsr 17416  df-unit 17417  df-invr 17447  df-dvr 17458  df-drng 17524  df-lmod 17640  df-lss 17705  df-lsp 17744  df-lvec 17875  df-lsatoms 34802  df-lshyp 34803  df-lfl 34884  df-lkr 34912  df-ldual 34950  df-oposet 35002  df-ol 35004  df-oml 35005  df-covers 35092  df-ats 35093  df-atl 35124  df-cvlat 35148  df-hlat 35177  df-llines 35323  df-lplanes 35324  df-lvols 35325  df-lines 35326  df-psubsp 35328  df-pmap 35329  df-padd 35621  df-lhyp 35813  df-laut 35814  df-ldil 35929  df-ltrn 35930  df-trl 35985  df-tgrp 36570  df-tendo 36582  df-edring 36584  df-dveca 36830  df-disoa 36857  df-dvech 36907  df-dib 36967  df-dic 37001  df-dih 37057  df-doch 37176  df-djh 37223
This theorem is referenced by:  lcfrlem13  37383  hvmap1o  37591
  Copyright terms: Public domain W3C validator