Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcf1o Structured version   Unicode version

Theorem lcf1o 35194
Description: Define a function  J that provides a bijection from nonzero vectors  V to nonzero functionals with closed kernels  C. (Contributed by NM, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcf1o.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcf1o.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lcf1o.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcf1o.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcf1o.a  |-  .+  =  ( +g  `  U )
lcf1o.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
lcf1o.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lcf1o.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lcf1o.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
lcf1o.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcf1o.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lcf1o.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcf1o.q  |-  Q  =  ( 0g `  D
)
lcf1o.c  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
lcf1o.j  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
lcflo.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
lcf1o  |-  ( ph  ->  J : ( V 
\  {  .0.  }
)
-1-1-onto-> ( C  \  { Q } ) )
Distinct variable groups:    x, w,  ._|_    x,  .0.    x, v, V    x,  .x.    v, k, w, x, 
.+    x, R    f, k,
v, w, x,  .+    ._|_ , f, k, v    f, L    R, f, k, v    f, F    f, V    .x. , f, k, v, w
Allowed substitution hints:    ph( x, w, v, f, k)    C( x, w, v, f, k)    D( x, w, v, f, k)    Q( x, w, v, f, k)    R( w)    S( x, w, v, f, k)    U( x, w, v, f, k)    F( x, w, v, k)    H( x, w, v, f, k)    J( x, w, v, f, k)    K( x, w, v, f, k)    L( x, w, v, k)    V( w, k)    W( x, w, v, f, k)    .0. ( w, v, f, k)

Proof of Theorem lcf1o
Dummy variables  l  u  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcf1o.h . 2  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 lcf1o.o . 2  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 lcf1o.u . 2  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 lcf1o.v . 2  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 lcf1o.a . 2  |-  .+  =  ( +g  `  U )
6 lcf1o.t . 2  |-  .x.  =  ( .s `  U )
7 lcf1o.s . 2  |-  S  =  (Scalar `  U )
8 lcf1o.r . 2  |-  R  =  ( Base `  S
)
9 lcf1o.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
10 lcf1o.f . 2  |-  F  =  (LFnl `  U )
11 lcf1o.l . 2  |-  L  =  (LKer `  U )
12 lcf1o.d . 2  |-  D  =  (LDual `  U )
13 lcf1o.q . 2  |-  Q  =  ( 0g `  D
)
14 lcf1o.c . 2  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
15 lcf1o.j . . 3  |-  J  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w  .+  (
k  .x.  x )
) ) ) )
16 oveq1 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  (
w  .+  ( k  .x.  x ) )  =  ( z  .+  (
k  .x.  x )
) )
1716eqeq2d 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  (
v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) )  <->  v  =  ( z  .+  (
k  .x.  x )
) ) )
1817cbvrexv 2947 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) )  <->  E. z  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( z  .+  ( k  .x.  x
) ) )
19 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  l  ->  (
k  .x.  x )  =  ( l  .x.  x ) )
2019oveq2d 6106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  l  ->  (
z  .+  ( k  .x.  x ) )  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) )
2120eqeq2d 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  l  ->  (
v  =  ( z 
.+  ( k  .x.  x ) )  <->  v  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) ) )
2221rexbidv 2735 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  l  ->  ( E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( z  .+  ( k 
.x.  x ) )  <->  E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) ) ) )
2318, 22syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  l  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) )  <->  E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) ) ) )
2423cbvriotav 6062 . . . . . . 7  |-  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) )  =  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) ) )
25 eqeq1 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  u  ->  (
v  =  ( z 
.+  ( l  .x.  x ) )  <->  u  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) ) )
2625rexbidv 2735 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  u  ->  ( E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) )  <->  E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) ) ) )
2726riotabidv 6053 . . . . . . 7  |-  ( v  =  u  ->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( z 
.+  ( l  .x.  x ) ) )  =  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { x } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) ) )
2824, 27syl5eq 2486 . . . . . 6  |-  ( v  =  u  ->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x } ) v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  x ) ) )  =  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { x } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) ) )
2928cbvmptv 4382 . . . . 5  |-  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  {
x } ) v  =  ( w  .+  ( k  .x.  x
) ) ) )  =  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { x } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  x )
) ) )
30 sneq 3886 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
3130fveq2d 5694 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (  ._|_  `  { x }
)  =  (  ._|_  `  { y } ) )
32 oveq2 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
l  .x.  x )  =  ( l  .x.  y ) )
3332oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
z  .+  ( l  .x.  x ) )  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) )
3433eqeq2d 2453 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
u  =  ( z 
.+  ( l  .x.  x ) )  <->  u  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) ) )
3531, 34rexeqbidv 2931 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) )  <->  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  y ) ) ) )
3635riotabidv 6053 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { x } ) u  =  ( z 
.+  ( l  .x.  x ) ) )  =  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) ) )
3736mpteq2dv 4378 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
u  e.  V  |->  (
iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { x }
) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  x ) ) ) )  =  ( u  e.  V  |->  (
iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  y ) ) ) ) )
3829, 37syl5eq 2486 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) )  =  ( u  e.  V  |->  (
iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  ( l 
.x.  y ) ) ) ) )
3938cbvmptv 4382 . . 3  |-  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { x }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  x ) ) ) ) )  =  ( y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) ) ) )
4015, 39eqtri 2462 . 2  |-  J  =  ( y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( u  e.  V  |->  ( iota_ l  e.  R  E. z  e.  (  ._|_  `  { y } ) u  =  ( z  .+  (
l  .x.  y )
) ) ) )
41 lcflo.k . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
421, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 40, 41lcfrlem9 35193 1  |-  ( ph  ->  J : ( V 
\  {  .0.  }
)
-1-1-onto-> ( C  \  { Q } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2715   {crab 2718    \ cdif 3324   {csn 3876    e. cmpt 4349   -1-1-onto->wf1o 5416   ` cfv 5417   iota_crio 6050  (class class class)co 6090   Basecbs 14173   +g cplusg 14237  Scalarcsca 14240   .scvsca 14241   0gc0g 14377  LFnlclfn 32700  LKerclk 32728  LDualcld 32766   HLchlt 32993   LHypclh 33626   DVecHcdvh 34721   ocHcoch 34990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-riotaBAD 32602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-tpos 6744  df-undef 6791  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-fz 11437  df-struct 14175  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-sca 14253  df-vsca 14254  df-0g 14379  df-poset 15115  df-plt 15127  df-lub 15143  df-glb 15144  df-join 15145  df-meet 15146  df-p0 15208  df-p1 15209  df-lat 15215  df-clat 15277  df-mnd 15414  df-submnd 15464  df-grp 15544  df-minusg 15545  df-sbg 15546  df-subg 15677  df-cntz 15834  df-lsm 16134  df-cmn 16278  df-abl 16279  df-mgp 16591  df-ur 16603  df-rng 16646  df-oppr 16714  df-dvdsr 16732  df-unit 16733  df-invr 16763  df-dvr 16774  df-drng 16833  df-lmod 16949  df-lss 17013  df-lsp 17052  df-lvec 17183  df-lsatoms 32619  df-lshyp 32620  df-lfl 32701  df-lkr 32729  df-ldual 32767  df-oposet 32819  df-ol 32821  df-oml 32822  df-covers 32909  df-ats 32910  df-atl 32941  df-cvlat 32965  df-hlat 32994  df-llines 33140  df-lplanes 33141  df-lvols 33142  df-lines 33143  df-psubsp 33145  df-pmap 33146  df-padd 33438  df-lhyp 33630  df-laut 33631  df-ldil 33746  df-ltrn 33747  df-trl 33801  df-tgrp 34385  df-tendo 34397  df-edring 34399  df-dveca 34645  df-disoa 34672  df-dvech 34722  df-dib 34782  df-dic 34816  df-dih 34872  df-doch 34991  df-djh 35038
This theorem is referenced by:  lcfrlem13  35198  hvmap1o  35406
  Copyright terms: Public domain W3C validator