Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdvsubval Structured version   Unicode version

Theorem lcdvsubval 35359
Description: The value of the value of vector addition in the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 11-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdvsubval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcdvsubval.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcdvsubval.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcdvsubval.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
lcdvsubval.s  |-  S  =  ( -g `  R
)
lcdvsubval.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
lcdvsubval.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
lcdvsubval.m  |-  .-  =  ( -g `  C )
lcdvsubval.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcdvsubval.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
lcdvsubval.g  |-  ( ph  ->  G  e.  D )
lcdvsubval.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lcdvsubval  |-  ( ph  ->  ( ( F  .-  G ) `  X
)  =  ( ( F `  X ) S ( G `  X ) ) )

Proof of Theorem lcdvsubval
StepHypRef Expression
1 lcdvsubval.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 lcdvsubval.c . . . . 5  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
3 lcdvsubval.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3lcdlmod 35333 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
5 lcdvsubval.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
6 lcdvsubval.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  D )
7 lcdvsubval.d . . . . 5  |-  D  =  ( Base `  C
)
8 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( +g  `  C )  =  ( +g  `  C )
9 lcdvsubval.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  C )
10 eqid 2443 . . . . 5  |-  (Scalar `  C )  =  (Scalar `  C )
11 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( .s
`  C )  =  ( .s `  C
)
12 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( invg `  (Scalar `  C ) )  =  ( invg `  (Scalar `  C ) )
13 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 1r
`  (Scalar `  C )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  C )
)
147, 8, 9, 10, 11, 12, 13lmodvsubval2 17022 . . . 4  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  ->  ( F  .-  G )  =  ( F ( +g  `  C ) ( ( ( invg `  (Scalar `  C ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  C ) ) ) ( .s `  C ) G ) ) )
154, 5, 6, 14syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  .-  G
)  =  ( F ( +g  `  C
) ( ( ( invg `  (Scalar `  C ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  C ) ) ) ( .s `  C
) G ) ) )
1615fveq1d 5714 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  .-  G ) `  X
)  =  ( ( F ( +g  `  C
) ( ( ( invg `  (Scalar `  C ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  C ) ) ) ( .s `  C
) G ) ) `
 X ) )
17 lcdvsubval.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
18 lcdvsubval.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
19 lcdvsubval.r . . 3  |-  R  =  (Scalar `  U )
20 eqid 2443 . . 3  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
21 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2210lmodfgrp 16979 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  LMod  ->  (Scalar `  C )  e.  Grp )
234, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Scalar `  C )  e.  Grp )
2410lmodrng 16978 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  LMod  ->  (Scalar `  C )  e.  Ring )
254, 24syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Scalar `  C )  e.  Ring )
26 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (Scalar `  C )
)  =  ( Base `  (Scalar `  C )
)
2726, 13rngidcl 16687 . . . . . . 7  |-  ( (Scalar `  C )  e.  Ring  -> 
( 1r `  (Scalar `  C ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  C ) ) )
2825, 27syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1r `  (Scalar `  C ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  C ) ) )
2926, 12grpinvcl 15604 . . . . . 6  |-  ( ( (Scalar `  C )  e.  Grp  /\  ( 1r
`  (Scalar `  C )
)  e.  ( Base `  (Scalar `  C )
) )  ->  (
( invg `  (Scalar `  C ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  C ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  C )
) )
3023, 28, 29syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  (Scalar `  C )
) `  ( 1r `  (Scalar `  C )
) )  e.  (
Base `  (Scalar `  C
) ) )
311, 17, 19, 21, 2, 10, 26, 3lcdsbase 35341 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  (Scalar `  C ) )  =  ( Base `  R
) )
3230, 31eleqtrd 2519 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  (Scalar `  C )
) `  ( 1r `  (Scalar `  C )
) )  e.  (
Base `  R )
)
331, 17, 19, 21, 2, 7, 11, 3, 32, 6lcdvscl 35346 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( invg `  (Scalar `  C ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  C ) ) ) ( .s `  C
) G )  e.  D )
34 lcdvsubval.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
351, 17, 18, 19, 20, 2, 7, 8, 3, 5, 33, 34lcdvaddval 35339 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F ( +g  `  C ) ( ( ( invg `  (Scalar `  C ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  C ) ) ) ( .s `  C
) G ) ) `
 X )  =  ( ( F `  X ) ( +g  `  R ) ( ( ( ( invg `  (Scalar `  C )
) `  ( 1r `  (Scalar `  C )
) ) ( .s
`  C ) G ) `  X ) ) )
36 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
371, 17, 19, 36, 2, 10, 12, 3lcdneg 35351 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( invg `  (Scalar `  C ) )  =  ( invg `  R ) )
38 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
391, 17, 19, 38, 2, 10, 13, 3lcd1 35350 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1r `  (Scalar `  C ) )  =  ( 1r `  R
) )
4037, 39fveq12d 5718 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  (Scalar `  C )
) `  ( 1r `  (Scalar `  C )
) )  =  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )
4140oveq1d 6127 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( invg `  (Scalar `  C ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  C ) ) ) ( .s `  C
) G )  =  ( ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ( .s `  C ) G ) )
4241fveq1d 5714 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( invg `  (Scalar `  C ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  C ) ) ) ( .s `  C
) G ) `  X )  =  ( ( ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ( .s `  C ) G ) `  X
) )
43 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
441, 17, 3dvhlmod 34851 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
4519lmodrng 16978 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
4644, 45syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
47 rnggrp 16672 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
4846, 47syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
4919, 21, 38lmod1cl 16997 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  LMod  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
5044, 49syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  e.  ( Base `  R ) )
5121, 36grpinvcl 15604 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  R
) )
5248, 50, 51syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  R
) )
531, 17, 18, 19, 21, 43, 2, 7, 11, 3, 52, 6, 34lcdvsval 35345 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( invg `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ( .s `  C ) G ) `  X
)  =  ( ( G `  X ) ( .r `  R
) ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ) )
541, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 6, 34lcdvbasecl 35337 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  e.  ( Base `  R ) )
5521, 43, 38, 36, 46, 54rngnegr 16708 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G `  X ) ( .r
`  R ) ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( invg `  R
) `  ( G `  X ) ) )
5642, 53, 553eqtrd 2479 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( invg `  (Scalar `  C ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  C ) ) ) ( .s `  C
) G ) `  X )  =  ( ( invg `  R ) `  ( G `  X )
) )
5756oveq2d 6128 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  X ) ( +g  `  R ) ( ( ( ( invg `  (Scalar `  C )
) `  ( 1r `  (Scalar `  C )
) ) ( .s
`  C ) G ) `  X ) )  =  ( ( F `  X ) ( +g  `  R
) ( ( invg `  R ) `
 ( G `  X ) ) ) )
581, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 5, 34lcdvbasecl 35337 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  e.  ( Base `  R ) )
59 lcdvsubval.s . . . . 5  |-  S  =  ( -g `  R
)
6021, 20, 36, 59grpsubval 15602 . . . 4  |-  ( ( ( F `  X
)  e.  ( Base `  R )  /\  ( G `  X )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( F `  X
) S ( G `
 X ) )  =  ( ( F `
 X ) ( +g  `  R ) ( ( invg `  R ) `  ( G `  X )
) ) )
6158, 54, 60syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  X ) S ( G `  X ) )  =  ( ( F `  X ) ( +g  `  R
) ( ( invg `  R ) `
 ( G `  X ) ) ) )
6257, 61eqtr4d 2478 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  X ) ( +g  `  R ) ( ( ( ( invg `  (Scalar `  C )
) `  ( 1r `  (Scalar `  C )
) ) ( .s
`  C ) G ) `  X ) )  =  ( ( F `  X ) S ( G `  X ) ) )
6316, 35, 623eqtrd 2479 1  |-  ( ph  ->  ( ( F  .-  G ) `  X
)  =  ( ( F `  X ) S ( G `  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Basecbs 14195   +g cplusg 14259   .rcmulr 14260  Scalarcsca 14262   .scvsca 14263   Grpcgrp 15431   invgcminusg 15432   -gcsg 15434   1rcur 16625   Ringcrg 16667   LModclmod 16970   HLchlt 33091   LHypclh 33724   DVecHcdvh 34819  LCDualclcd 35327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-riotaBAD 32700
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-tpos 6766  df-undef 6813  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-0g 14401  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-poset 15137  df-plt 15149  df-lub 15165  df-glb 15166  df-join 15167  df-meet 15168  df-p0 15230  df-p1 15231  df-lat 15237  df-clat 15299  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-sbg 15568  df-subg 15699  df-cntz 15856  df-oppg 15882  df-lsm 16156  df-cmn 16300  df-abl 16301  df-mgp 16614  df-ur 16626  df-rng 16669  df-oppr 16737  df-dvdsr 16755  df-unit 16756  df-invr 16786  df-dvr 16797  df-drng 16856  df-lmod 16972  df-lss 17036  df-lsp 17075  df-lvec 17206  df-lsatoms 32717  df-lshyp 32718  df-lcv 32760  df-lfl 32799  df-lkr 32827  df-ldual 32865  df-oposet 32917  df-ol 32919  df-oml 32920  df-covers 33007  df-ats 33008  df-atl 33039  df-cvlat 33063  df-hlat 33092  df-llines 33238  df-lplanes 33239  df-lvols 33240  df-lines 33241  df-psubsp 33243  df-pmap 33244  df-padd 33536  df-lhyp 33728  df-laut 33729  df-ldil 33844  df-ltrn 33845  df-trl 33899  df-tgrp 34483  df-tendo 34495  df-edring 34497  df-dveca 34743  df-disoa 34770  df-dvech 34820  df-dib 34880  df-dic 34914  df-dih 34970  df-doch 35089  df-djh 35136  df-lcdual 35328
This theorem is referenced by:  hdmapinvlem3  35664
  Copyright terms: Public domain W3C validator