Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdvsubval Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lcdvsubval 35257
Description: The value of the value of vector addition in the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 11-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdvsubval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcdvsubval.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcdvsubval.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
lcdvsubval.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
lcdvsubval.s  |-  S  =  ( -g `  R
)
lcdvsubval.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
lcdvsubval.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
lcdvsubval.m  |-  .-  =  ( -g `  C )
lcdvsubval.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcdvsubval.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
lcdvsubval.g  |-  ( ph  ->  G  e.  D )
lcdvsubval.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lcdvsubval  |-  ( ph  ->  ( ( F  .-  G ) `  X
)  =  ( ( F `  X ) S ( G `  X ) ) )

Proof of Theorem lcdvsubval
StepHypRef Expression
1 lcdvsubval.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 lcdvsubval.c . . . . 5  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
3 lcdvsubval.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3lcdlmod 35231 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
5 lcdvsubval.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
6 lcdvsubval.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  D )
7 lcdvsubval.d . . . . 5  |-  D  =  ( Base `  C
)
8 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( +g  `  C )  =  ( +g  `  C )
9 lcdvsubval.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  C )
10 eqid 2471 . . . . 5  |-  (Scalar `  C )  =  (Scalar `  C )
11 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( .s
`  C )  =  ( .s `  C
)
12 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( invg `  (Scalar `  C ) )  =  ( invg `  (Scalar `  C ) )
13 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( 1r
`  (Scalar `  C )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  C )
)
147, 8, 9, 10, 11, 12, 13lmodvsubval2 18221 . . . 4  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  ->  ( F  .-  G )  =  ( F ( +g  `  C ) ( ( ( invg `  (Scalar `  C ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  C ) ) ) ( .s `  C ) G ) ) )
154, 5, 6, 14syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  .-  G
)  =  ( F ( +g  `  C
) ( ( ( invg `  (Scalar `  C ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  C ) ) ) ( .s `  C
) G ) ) )
1615fveq1d 5881 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  .-  G ) `  X
)  =  ( ( F ( +g  `  C
) ( ( ( invg `  (Scalar `  C ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  C ) ) ) ( .s `  C
) G ) ) `
 X ) )
17 lcdvsubval.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
18 lcdvsubval.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
19 lcdvsubval.r . . 3  |-  R  =  (Scalar `  U )
20 eqid 2471 . . 3  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
21 eqid 2471 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2210lmodfgrp 18178 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  LMod  ->  (Scalar `  C )  e.  Grp )
234, 22syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Scalar `  C )  e.  Grp )
2410lmodring 18177 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  LMod  ->  (Scalar `  C )  e.  Ring )
254, 24syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Scalar `  C )  e.  Ring )
26 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (Scalar `  C )
)  =  ( Base `  (Scalar `  C )
)
2726, 13ringidcl 17879 . . . . . . 7  |-  ( (Scalar `  C )  e.  Ring  -> 
( 1r `  (Scalar `  C ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  C ) ) )
2825, 27syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1r `  (Scalar `  C ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  C ) ) )
2926, 12grpinvcl 16789 . . . . . 6  |-  ( ( (Scalar `  C )  e.  Grp  /\  ( 1r
`  (Scalar `  C )
)  e.  ( Base `  (Scalar `  C )
) )  ->  (
( invg `  (Scalar `  C ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  C ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  C )
) )
3023, 28, 29syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  (Scalar `  C )
) `  ( 1r `  (Scalar `  C )
) )  e.  (
Base `  (Scalar `  C
) ) )
311, 17, 19, 21, 2, 10, 26, 3lcdsbase 35239 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  (Scalar `  C ) )  =  ( Base `  R
) )
3230, 31eleqtrd 2551 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  (Scalar `  C )
) `  ( 1r `  (Scalar `  C )
) )  e.  (
Base `  R )
)
331, 17, 19, 21, 2, 7, 11, 3, 32, 6lcdvscl 35244 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( invg `  (Scalar `  C ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  C ) ) ) ( .s `  C
) G )  e.  D )
34 lcdvsubval.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
351, 17, 18, 19, 20, 2, 7, 8, 3, 5, 33, 34lcdvaddval 35237 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F ( +g  `  C ) ( ( ( invg `  (Scalar `  C ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  C ) ) ) ( .s `  C
) G ) ) `
 X )  =  ( ( F `  X ) ( +g  `  R ) ( ( ( ( invg `  (Scalar `  C )
) `  ( 1r `  (Scalar `  C )
) ) ( .s
`  C ) G ) `  X ) ) )
36 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
371, 17, 19, 36, 2, 10, 12, 3lcdneg 35249 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( invg `  (Scalar `  C ) )  =  ( invg `  R ) )
38 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
391, 17, 19, 38, 2, 10, 13, 3lcd1 35248 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1r `  (Scalar `  C ) )  =  ( 1r `  R
) )
4037, 39fveq12d 5885 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  (Scalar `  C )
) `  ( 1r `  (Scalar `  C )
) )  =  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )
4140oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( invg `  (Scalar `  C ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  C ) ) ) ( .s `  C
) G )  =  ( ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ( .s `  C ) G ) )
4241fveq1d 5881 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( invg `  (Scalar `  C ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  C ) ) ) ( .s `  C
) G ) `  X )  =  ( ( ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ( .s `  C ) G ) `  X
) )
43 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
441, 17, 3dvhlmod 34749 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
4519lmodring 18177 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
4644, 45syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
47 ringgrp 17863 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
4846, 47syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
4919, 21, 38lmod1cl 18196 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  LMod  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
5044, 49syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  e.  ( Base `  R ) )
5121, 36grpinvcl 16789 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  R
) )
5248, 50, 51syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  R
) )
531, 17, 18, 19, 21, 43, 2, 7, 11, 3, 52, 6, 34lcdvsval 35243 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( invg `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ( .s `  C ) G ) `  X
)  =  ( ( G `  X ) ( .r `  R
) ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ) )
541, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 6, 34lcdvbasecl 35235 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  e.  ( Base `  R ) )
5521, 43, 38, 36, 46, 54rngnegr 17901 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G `  X ) ( .r
`  R ) ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( invg `  R
) `  ( G `  X ) ) )
5642, 53, 553eqtrd 2509 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( invg `  (Scalar `  C ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  C ) ) ) ( .s `  C
) G ) `  X )  =  ( ( invg `  R ) `  ( G `  X )
) )
5756oveq2d 6324 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  X ) ( +g  `  R ) ( ( ( ( invg `  (Scalar `  C )
) `  ( 1r `  (Scalar `  C )
) ) ( .s
`  C ) G ) `  X ) )  =  ( ( F `  X ) ( +g  `  R
) ( ( invg `  R ) `
 ( G `  X ) ) ) )
581, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 5, 34lcdvbasecl 35235 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  e.  ( Base `  R ) )
59 lcdvsubval.s . . . . 5  |-  S  =  ( -g `  R
)
6021, 20, 36, 59grpsubval 16787 . . . 4  |-  ( ( ( F `  X
)  e.  ( Base `  R )  /\  ( G `  X )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( F `  X
) S ( G `
 X ) )  =  ( ( F `
 X ) ( +g  `  R ) ( ( invg `  R ) `  ( G `  X )
) ) )
6158, 54, 60syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  X ) S ( G `  X ) )  =  ( ( F `  X ) ( +g  `  R
) ( ( invg `  R ) `
 ( G `  X ) ) ) )
6257, 61eqtr4d 2508 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  X ) ( +g  `  R ) ( ( ( ( invg `  (Scalar `  C )
) `  ( 1r `  (Scalar `  C )
) ) ( .s
`  C ) G ) `  X ) )  =  ( ( F `  X ) S ( G `  X ) ) )
6316, 35, 623eqtrd 2509 1  |-  ( ph  ->  ( ( F  .-  G ) `  X
)  =  ( ( F `  X ) S ( G `  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Basecbs 15199   +g cplusg 15268   .rcmulr 15269  Scalarcsca 15271   .scvsca 15272   Grpcgrp 16747   invgcminusg 16748   -gcsg 16749   1rcur 17813   Ringcrg 17858   LModclmod 18169   HLchlt 32987   LHypclh 33620   DVecHcdvh 34717  LCDualclcd 35225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-riotaBAD 32589
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-undef 7038  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-0g 15418  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-preset 16251  df-poset 16269  df-plt 16282  df-lub 16298  df-glb 16299  df-join 16300  df-meet 16301  df-p0 16363  df-p1 16364  df-lat 16370  df-clat 16432  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-oppg 17075  df-lsm 17366  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-drng 18055  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-lvec 18404  df-lsatoms 32613  df-lshyp 32614  df-lcv 32656  df-lfl 32695  df-lkr 32723  df-ldual 32761  df-oposet 32813  df-ol 32815  df-oml 32816  df-covers 32903  df-ats 32904  df-atl 32935  df-cvlat 32959  df-hlat 32988  df-llines 33134  df-lplanes 33135  df-lvols 33136  df-lines 33137  df-psubsp 33139  df-pmap 33140  df-padd 33432  df-lhyp 33624  df-laut 33625  df-ldil 33740  df-ltrn 33741  df-trl 33796  df-tgrp 34381  df-tendo 34393  df-edring 34395  df-dveca 34641  df-disoa 34668  df-dvech 34718  df-dib 34778  df-dic 34812  df-dih 34868  df-doch 34987  df-djh 35034  df-lcdual 35226
This theorem is referenced by:  hdmapinvlem3  35562
  Copyright terms: Public domain W3C validator