Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdvsub Structured version   Unicode version

Theorem lcdvsub 35260
Description: The value of vector subtraction in the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdvsub.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcdvsub.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcdvsub.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lcdvsub.n  |-  N  =  ( invg `  S )
lcdvsub.e  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
lcdvsub.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
lcdvsub.v  |-  V  =  ( Base `  C
)
lcdvsub.p  |-  .+  =  ( +g  `  C )
lcdvsub.t  |-  .x.  =  ( .s `  C )
lcdvsub.m  |-  .-  =  ( -g `  C )
lcdvsub.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcdvsub.f  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
lcdvsub.g  |-  ( ph  ->  G  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lcdvsub  |-  ( ph  ->  ( F  .-  G
)  =  ( F 
.+  ( ( N `
 .1.  )  .x.  G ) ) )

Proof of Theorem lcdvsub
StepHypRef Expression
1 lcdvsub.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 lcdvsub.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
3 lcdvsub.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3lcdlmod 35235 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
5 lcdvsub.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
6 lcdvsub.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  V )
7 lcdvsub.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  C
)
8 lcdvsub.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  C )
9 lcdvsub.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  C )
10 eqid 2442 . . . 4  |-  (Scalar `  C )  =  (Scalar `  C )
11 lcdvsub.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  C )
12 eqid 2442 . . . 4  |-  ( invg `  (Scalar `  C ) )  =  ( invg `  (Scalar `  C ) )
13 eqid 2442 . . . 4  |-  ( 1r
`  (Scalar `  C )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  C )
)
147, 8, 9, 10, 11, 12, 13lmodvsubval2 16999 . . 3  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  F  e.  V  /\  G  e.  V )  ->  ( F  .-  G )  =  ( F  .+  (
( ( invg `  (Scalar `  C )
) `  ( 1r `  (Scalar `  C )
) )  .x.  G
) ) )
154, 5, 6, 14syl3anc 1218 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  .-  G
)  =  ( F 
.+  ( ( ( invg `  (Scalar `  C ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  C ) ) ) 
.x.  G ) ) )
16 lcdvsub.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
17 lcdvsub.s . . . . . . . 8  |-  S  =  (Scalar `  U )
18 eqid 2442 . . . . . . . 8  |-  (oppr `  S
)  =  (oppr `  S
)
191, 16, 17, 18, 2, 10, 3lcdsca 35242 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Scalar `  C )  =  (oppr
`  S ) )
2019fveq2d 5694 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( invg `  (Scalar `  C ) )  =  ( invg `  (oppr
`  S ) ) )
21 lcdvsub.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( invg `  S )
2218, 21opprneg 16726 . . . . . 6  |-  N  =  ( invg `  (oppr `  S ) )
2320, 22syl6reqr 2493 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  =  ( invg `  (Scalar `  C ) ) )
2419fveq2d 5694 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1r `  (Scalar `  C ) )  =  ( 1r `  (oppr `  S
) ) )
25 lcdvsub.e . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
2618, 25oppr1 16725 . . . . . 6  |-  .1.  =  ( 1r `  (oppr `  S
) )
2724, 26syl6reqr 2493 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .1.  =  ( 1r
`  (Scalar `  C )
) )
2823, 27fveq12d 5696 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  .1.  )  =  ( ( invg `  (Scalar `  C ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  C ) ) ) )
2928oveq1d 6105 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  .1.  )  .x.  G )  =  ( ( ( invg `  (Scalar `  C ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  C ) ) ) 
.x.  G ) )
3029oveq2d 6106 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  .+  (
( N `  .1.  )  .x.  G ) )  =  ( F  .+  ( ( ( invg `  (Scalar `  C ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  C ) ) ) 
.x.  G ) ) )
3115, 30eqtr4d 2477 1  |-  ( ph  ->  ( F  .-  G
)  =  ( F 
.+  ( ( N `
 .1.  )  .x.  G ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   Basecbs 14173   +g cplusg 14237  Scalarcsca 14240   .scvsca 14241   invgcminusg 15410   -gcsg 15412   1rcur 16602  opprcoppr 16713   LModclmod 16947   HLchlt 32993   LHypclh 33626   DVecHcdvh 34721  LCDualclcd 35229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-riotaBAD 32602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-tpos 6744  df-undef 6791  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-fz 11437  df-struct 14175  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-sca 14253  df-vsca 14254  df-0g 14379  df-mre 14523  df-mrc 14524  df-acs 14526  df-poset 15115  df-plt 15127  df-lub 15143  df-glb 15144  df-join 15145  df-meet 15146  df-p0 15208  df-p1 15209  df-lat 15215  df-clat 15277  df-mnd 15414  df-submnd 15464  df-grp 15544  df-minusg 15545  df-sbg 15546  df-subg 15677  df-cntz 15834  df-oppg 15860  df-lsm 16134  df-cmn 16278  df-abl 16279  df-mgp 16591  df-ur 16603  df-rng 16646  df-oppr 16714  df-dvdsr 16732  df-unit 16733  df-invr 16763  df-dvr 16774  df-drng 16833  df-lmod 16949  df-lss 17013  df-lsp 17052  df-lvec 17183  df-lsatoms 32619  df-lshyp 32620  df-lcv 32662  df-lfl 32701  df-lkr 32729  df-ldual 32767  df-oposet 32819  df-ol 32821  df-oml 32822  df-covers 32909  df-ats 32910  df-atl 32941  df-cvlat 32965  df-hlat 32994  df-llines 33140  df-lplanes 33141  df-lvols 33142  df-lines 33143  df-psubsp 33145  df-pmap 33146  df-padd 33438  df-lhyp 33630  df-laut 33631  df-ldil 33746  df-ltrn 33747  df-trl 33801  df-tgrp 34385  df-tendo 34397  df-edring 34399  df-dveca 34645  df-disoa 34672  df-dvech 34722  df-dib 34782  df-dic 34816  df-dih 34872  df-doch 34991  df-djh 35038  df-lcdual 35230
This theorem is referenced by:  mapdpglem30  35345
  Copyright terms: Public domain W3C validator