Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdvsub Structured version   Unicode version

Theorem lcdvsub 36815
Description: The value of vector subtraction in the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdvsub.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcdvsub.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcdvsub.s  |-  S  =  (Scalar `  U )
lcdvsub.n  |-  N  =  ( invg `  S )
lcdvsub.e  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
lcdvsub.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
lcdvsub.v  |-  V  =  ( Base `  C
)
lcdvsub.p  |-  .+  =  ( +g  `  C )
lcdvsub.t  |-  .x.  =  ( .s `  C )
lcdvsub.m  |-  .-  =  ( -g `  C )
lcdvsub.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lcdvsub.f  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
lcdvsub.g  |-  ( ph  ->  G  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lcdvsub  |-  ( ph  ->  ( F  .-  G
)  =  ( F 
.+  ( ( N `
 .1.  )  .x.  G ) ) )

Proof of Theorem lcdvsub
StepHypRef Expression
1 lcdvsub.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 lcdvsub.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
3 lcdvsub.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3lcdlmod 36790 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
5 lcdvsub.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
6 lcdvsub.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  V )
7 lcdvsub.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  C
)
8 lcdvsub.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  C )
9 lcdvsub.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  C )
10 eqid 2467 . . . 4  |-  (Scalar `  C )  =  (Scalar `  C )
11 lcdvsub.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  C )
12 eqid 2467 . . . 4  |-  ( invg `  (Scalar `  C ) )  =  ( invg `  (Scalar `  C ) )
13 eqid 2467 . . . 4  |-  ( 1r
`  (Scalar `  C )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  C )
)
147, 8, 9, 10, 11, 12, 13lmodvsubval2 17436 . . 3  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  F  e.  V  /\  G  e.  V )  ->  ( F  .-  G )  =  ( F  .+  (
( ( invg `  (Scalar `  C )
) `  ( 1r `  (Scalar `  C )
) )  .x.  G
) ) )
154, 5, 6, 14syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  .-  G
)  =  ( F 
.+  ( ( ( invg `  (Scalar `  C ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  C ) ) ) 
.x.  G ) ) )
16 lcdvsub.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
17 lcdvsub.s . . . . . . . 8  |-  S  =  (Scalar `  U )
18 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  (oppr `  S
)  =  (oppr `  S
)
191, 16, 17, 18, 2, 10, 3lcdsca 36797 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Scalar `  C )  =  (oppr
`  S ) )
2019fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( invg `  (Scalar `  C ) )  =  ( invg `  (oppr
`  S ) ) )
21 lcdvsub.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( invg `  S )
2218, 21opprneg 17156 . . . . . 6  |-  N  =  ( invg `  (oppr `  S ) )
2320, 22syl6reqr 2527 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  =  ( invg `  (Scalar `  C ) ) )
2419fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1r `  (Scalar `  C ) )  =  ( 1r `  (oppr `  S
) ) )
25 lcdvsub.e . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
2618, 25oppr1 17155 . . . . . 6  |-  .1.  =  ( 1r `  (oppr `  S
) )
2724, 26syl6reqr 2527 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .1.  =  ( 1r
`  (Scalar `  C )
) )
2823, 27fveq12d 5878 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  .1.  )  =  ( ( invg `  (Scalar `  C ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  C ) ) ) )
2928oveq1d 6310 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  .1.  )  .x.  G )  =  ( ( ( invg `  (Scalar `  C ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  C ) ) ) 
.x.  G ) )
3029oveq2d 6311 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  .+  (
( N `  .1.  )  .x.  G ) )  =  ( F  .+  ( ( ( invg `  (Scalar `  C ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  C ) ) ) 
.x.  G ) ) )
3115, 30eqtr4d 2511 1  |-  ( ph  ->  ( F  .-  G
)  =  ( F 
.+  ( ( N `
 .1.  )  .x.  G ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   +g cplusg 14572  Scalarcsca 14575   .scvsca 14576   invgcminusg 15926   -gcsg 15927   1rcur 17025  opprcoppr 17143   LModclmod 17383   HLchlt 34548   LHypclh 35181   DVecHcdvh 36276  LCDualclcd 36784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-riotaBAD 34157
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-undef 7014  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-0g 14714  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-poset 15450  df-plt 15462  df-lub 15478  df-glb 15479  df-join 15480  df-meet 15481  df-p0 15543  df-p1 15544  df-lat 15550  df-clat 15612  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-cntz 16227  df-oppg 16253  df-lsm 16529  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-dvr 17204  df-drng 17269  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489  df-lvec 17620  df-lsatoms 34174  df-lshyp 34175  df-lcv 34217  df-lfl 34256  df-lkr 34284  df-ldual 34322  df-oposet 34374  df-ol 34376  df-oml 34377  df-covers 34464  df-ats 34465  df-atl 34496  df-cvlat 34520  df-hlat 34549  df-llines 34695  df-lplanes 34696  df-lvols 34697  df-lines 34698  df-psubsp 34700  df-pmap 34701  df-padd 34993  df-lhyp 35185  df-laut 35186  df-ldil 35301  df-ltrn 35302  df-trl 35356  df-tgrp 35940  df-tendo 35952  df-edring 35954  df-dveca 36200  df-disoa 36227  df-dvech 36277  df-dib 36337  df-dic 36371  df-dih 36427  df-doch 36546  df-djh 36593  df-lcdual 36785
This theorem is referenced by:  mapdpglem30  36900
  Copyright terms: Public domain W3C validator