Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdvs Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lcdvs 35215
Description: Scalar product for the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdvs.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcdvs.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcdvs.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lcdvs.t  |-  .x.  =  ( .s `  D )
lcdvs.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
lcdvs.m  |-  .xb  =  ( .s `  C )
lcdvs.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
lcdvs  |-  ( ph  -> 
.xb  =  .x.  )

Proof of Theorem lcdvs
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcdvs.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 eqid 2461 . . . 4  |-  ( ( ocH `  K ) `
 W )  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 lcdvs.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
4 lcdvs.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 eqid 2461 . . . 4  |-  (LFnl `  U )  =  (LFnl `  U )
6 eqid 2461 . . . 4  |-  (LKer `  U )  =  (LKer `  U )
7 lcdvs.d . . . 4  |-  D  =  (LDual `  U )
8 lcdvs.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8lcdval 35201 . . 3  |-  ( ph  ->  C  =  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } ) )
109fveq2d 5891 . 2  |-  ( ph  ->  ( .s `  C
)  =  ( .s
`  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U
)  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } ) ) )
11 lcdvs.m . 2  |-  .xb  =  ( .s `  C )
12 fvex 5897 . . . 4  |-  (LFnl `  U )  e.  _V
1312rabex 4567 . . 3  |-  { f  e.  (LFnl `  U
)  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) }  e.  _V
14 eqid 2461 . . . 4  |-  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } )  =  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } )
15 lcdvs.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  D )
1614, 15ressvsca 15324 . . 3  |-  ( { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) }  e.  _V  ->  .x.  =  ( .s `  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } ) ) )
1713, 16ax-mp 5 . 2  |-  .x.  =  ( .s `  ( Ds  { f  e.  (LFnl `  U )  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } ) )
1810, 11, 173eqtr4g 2520 1  |-  ( ph  -> 
.xb  =  .x.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897   {crab 2752   _Vcvv 3056   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   ↾s cress 15170   .scvsca 15242  LFnlclfn 32667  LKerclk 32695  LDualcld 32733   HLchlt 32960   LHypclh 33593   DVecHcdvh 34690   ocHcoch 34959  LCDualclcd 35198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-vsca 15255  df-lcdual 35199
This theorem is referenced by:  lcdvsval  35216  lcdlkreq2N  35235
  Copyright terms: Public domain W3C validator