Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdvbasess Structured version   Unicode version

Theorem lcdvbasess 34915
Description: The vector base set of the closed kernel dual space is a set of functionals. (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdvbasess.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lcdvbasess.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
lcdvbasess.v  |-  V  =  ( Base `  C
)
lcdvbasess.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lcdvbasess.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lcdvbasess.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
lcdvbasess  |-  ( ph  ->  V  C_  F )

Proof of Theorem lcdvbasess
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcdvbasess.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 eqid 2420 . . 3  |-  ( ( ocH `  K ) `
 W )  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 lcdvbasess.c . . 3  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
4 lcdvbasess.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  C
)
5 lcdvbasess.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
6 lcdvbasess.f . . 3  |-  F  =  (LFnl `  U )
7 eqid 2420 . . 3  |-  (LKer `  U )  =  (LKer `  U )
8 eqid 2420 . . 3  |-  { f  e.  F  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) }  =  { f  e.  F  |  (
( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) }
9 lcdvbasess.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lcdvbase 34914 . 2  |-  ( ph  ->  V  =  { f  e.  F  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) } )
11 ssrab2 3543 . 2  |-  { f  e.  F  |  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (LKer `  U ) `  f
) ) )  =  ( (LKer `  U
) `  f ) }  C_  F
1210, 11syl6eqss 3511 1  |-  ( ph  ->  V  C_  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   {crab 2777    C_ wss 3433   ` cfv 5592   Basecbs 15081  LFnlclfn 32376  LKerclk 32404   HLchlt 32669   LHypclh 33302   DVecHcdvh 34399   ocHcoch 34668  LCDualclcd 34907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-riotaBAD 32278
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-tpos 6972  df-undef 7019  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11772  df-struct 15083  df-ndx 15084  df-slot 15085  df-base 15086  df-sets 15087  df-ress 15088  df-plusg 15163  df-mulr 15164  df-sca 15166  df-vsca 15167  df-0g 15300  df-preset 16125  df-poset 16143  df-plt 16156  df-lub 16172  df-glb 16173  df-join 16174  df-meet 16175  df-p0 16237  df-p1 16238  df-lat 16244  df-clat 16306  df-mgm 16440  df-sgrp 16479  df-mnd 16489  df-grp 16625  df-minusg 16626  df-mgp 17665  df-ur 17677  df-ring 17723  df-oppr 17792  df-dvdsr 17810  df-unit 17811  df-invr 17841  df-dvr 17852  df-drng 17918  df-lmod 18034  df-lvec 18267  df-ldual 32443  df-oposet 32495  df-ol 32497  df-oml 32498  df-covers 32585  df-ats 32586  df-atl 32617  df-cvlat 32641  df-hlat 32670  df-llines 32816  df-lplanes 32817  df-lvols 32818  df-lines 32819  df-psubsp 32821  df-pmap 32822  df-padd 33114  df-lhyp 33306  df-laut 33307  df-ldil 33422  df-ltrn 33423  df-trl 33478  df-tendo 34075  df-edring 34077  df-dvech 34400  df-lcdual 34908
This theorem is referenced by:  lcdvbaselfl  34916
  Copyright terms: Public domain W3C validator